張益唐最新突破使人們接近解決由歐拉和高斯提出的“方便數猜想”_風聞

撰文 | 倪憶

原標題：《張益唐的最新突破，使得人們接近於解決由歐拉和高斯提出的“方便數猜想”》

傳奇數學家張益唐近日公佈了他關於朗道-西格爾零點猜想的論文，在11月5日山東大學的在線講座中介紹了這一工作，並於11月8日在北京大學做線上學術報告。張益唐這一成果的意義十分重大，如果證明無誤的話，將是解析數論領域里程碑式的工作。我們在《千呼萬喚始出來，張益唐公佈證明朗道-西格爾零點猜想的論文》一文中，試圖從外行的角度解讀張益唐的工作。山東大學的解析數論專家在《張益唐教授談朗道-西格爾零點猜想研究的新突破》一文中也進行了專業解讀。在我們前面發表的文章中，對張益唐工作的解讀可以總結如下：朗道-西格爾零點猜想是廣義黎曼假設的一個重要的特殊情況，但跟黎曼假設沒有直接關係。張益唐證明了朗道-西格爾零點猜想的一個變形。這一成果在解析數論中的意義，比張益唐之前在孿生素數猜想上的突破還要重大。許多讀者非常關心的一個問題是，如果張益唐的論文正確的話，他到底有沒有證明朗道-西格爾零點猜想？對此，筆者的看法是，這不重要。數論是一門研究整數性質的數學分支。朗道-西格爾零點猜想本身並不是數論問題，而是一個複變函數問題，是對狄利克雷L函數可能的零點的大小的估計。數論學家們之所以會關心這個問題，是為了它在數論中的廣泛應用。在研究一類解析數論問題時，如果狄利克雷L函數的一個零點非常接近1，對於證明就會有很大影響。朗道-西格爾零點猜想的本質就是説L函數的實零點距離1不那麼近。具體在量化距離遠近的時候，朗道-西格爾採用的標準是

，

猜想和1之間的距離小於這個數的實零點（即西格爾零點）不存在。那麼現在張益唐就相當於用另外一種方式來量化這個距離，他宣稱和1之間的距離小於

的實零點不存在。這個結論比原來版本的朗道-西格爾零點猜想要弱，但對於數論中的應用已經足夠了。即便以後有人能解決原來版本的朗道-西格爾零點猜想，也不會給數論學家帶來更多實質上的幫助。從這個角度來説，認為張益唐解決了朗道-西格爾零點猜想也未嘗不可。我們之所以説張益唐證明了朗道-西格爾零點猜想的一個“變形”（variant），就是因為這一説法比説他證明了該猜想的“弱版本”更能準確地反映這一成果的意義。在張益唐新公佈的論文第一章中，他宣佈了兩個定理，分別是對於L(1,χ)的估計

以及對西格爾零點的估計：可能存在的西格爾零點不大於

.

其中c1和c2都是跟D無關的，可以計算出來的正實數。

“可以計算出來的”意思就是可以順着證明過程，一步一步地把這個常數因子具體算出來。有的定理只會告訴你存在這麼一個常數，但是你沒法根據證明過程算出這個常數到底是多少。對於朗道-西格爾猜想的數論應用來説，知道這個常數的具體數值是非常關鍵的。

上面的指數-2022和-2024都是可以改進的數字，就像他的孿生素數猜想論文中的七千萬一樣，只是為了計算方便而選取出來的。當然選取成目前的數字，明顯是在致敬今年的年份。

當年在張益唐的孿生素數猜想論文發表後，數論專家們發起了一個Polymath項目，將張益唐文中的七千萬最終改進為246. 如果張益唐現在的工作得到證實，可以想象同樣會有很多專家來改進他的估計。這裏的改進有兩方面，一方面是要具體算出兩個常數c1和c2的值，另一方面是改進其中的指數，爭取把2022和2024縮小。比起孿生素數猜想的情形，這些改進的意義要大得多，因為要想把張益唐的工作應用到數論問題中，肯定是所得到的估計越強越好。在國外reddit、mathoverflow等網站上，許多網友對張益唐的工作發表了評論。一位網友説：“我確信他為了能在2023年之前把論文寫出來而爭分奪秒地工作。”下面回覆：“哦，張益唐和他有趣的常數。如果這篇文章正確，大家會很興奮地看到另外一個改進常數的狂熱polymath項目。”

此外還有別的一些犀利吐槽：“如果這篇論文不能在今年底之前發表，我會很不爽。”“如果他工作得更努力，就能在去年寫出這篇文章，得到一個更好的指數-2021。”“突發新聞：Polymath項目為了改進張益唐的指數而發明時間機器。”

不過，也有一些網友發表了專業性的評論。其中，最引人注目的一個評論是一位叫Stopple的網友發表的。如果讀者近期關注張益唐的相關新聞，可能對這個名字不感陌生。此君就是張益唐的同事，解析數論專家Jeffrey Stopple。他曾説：“如果張益唐能夠證明朗道-西格爾零點猜想，就相當於一個人被閃電擊中兩次。”這句話最近被新聞廣泛引用，以説明張益唐的工作是多麼令人震驚。Stopple指出，張益唐的成果能夠用來研究歐拉和高斯遺留下來的一個關於“方便數”（idoneal number）的問題，把它化為有限次計算。這一問題在文獻中並沒有公認的名字，我們姑且稱之為“方便數猜想”。在張益唐的工作之後，這一猜想或許很快就會成為定理。那麼，這是一個什麼樣的猜想呢？（以下關於方便數猜想的介紹主要參考了Günther Frei和Ernst Kani的綜述文章。）

要介紹“方便數猜想”，需要追溯到17世紀的法國數學家費馬。費馬考慮過這樣一個問題：哪些自然數可以表示成兩個平方數的和？例如1、2、4、5等數能表示成平方和：

1=0+1, 2=1+1, 4=0+4, 5=1+4……

而3、6、7等數就不能表示成平方和。費馬完全解決了這個問題。對於素數這種特殊情況，費馬的結論是，一個奇素數是平方和當且僅當它是4k+1的形式，其中k是一個整數。

圖盧茲市政廳內的費馬雕像

進一步可以問，如果一個數能表示成平方和，那麼有多少種方式？例如25可以表示成0+25，也可以表示成9+16；65可以表示成1+64，也可以表示成16+49。這個問題也得到了圓滿解決，特別地，4k+1型的素數恰好只有一種方式表示成平方和。

在費馬之後一百多年，歐拉進一步研究了這個問題。他證明了，如果一個大於1的奇數m只有一種方式表示成平方和x2+y2，並且在這唯一的一種方式中，x和y互素，那麼m就是一個素數。（“x和y互素”即x和y僅有1這一個公約數。這個條件很重要，例如45只有一種平方和表示9+36，但它不是素數。）

這一定理可以用來判斷一個4k+1型的數是不是素數，比直接根據定義來判斷更便捷。舉個例子，如果要判斷97是不是素數，我們先寫出小於它一半的所有平方數：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36. 然後再從97中分別減去這些數，得到：97, 96, 93, 88, 81, 72, 61. 這其中恰好只有一個平方數81，所以97只有唯一一種平方和表示42+92. 我們又能看出4和9互素，所以97是一個素數。

歐拉畫像丨圖源：維基百科

歐拉的工作表明，1、2、3都是方便數。他隨後發現了一個簡單的方法，可以判斷一個給定的正整數是否是方便數。利用這一判別法，他研究了一萬以內的所有正整數，發現其中只有65個方便數，羅列如下：

可以觀察到，在1848之後就不再出現新的方便數了。於是歐拉在1778年猜測，以上這些就是全部的方便數。這就是我們所説的“方便數猜想”。

1798年，高斯寫出了他的名著《算術研究》。在這本書中，高斯系統地研究了整係數二次型，在這一理論體系下賦予了方便數新的含義。這涉及到代數數論裏的一些基本概念，限於篇幅，我們就不作説明了。高斯同樣猜測1848就是最大的方便數。（歐拉的猜想當時尚未發表。）

高斯畫像丨圖源：維基百科

在高斯之後，很多數學家都研究過方便數。1973年，Peter Weinberger利用日本數學家竜沢周雄在朗道-西格爾零點猜想方面的進展，證明了除去已知的65個方便數以外，最多隻有兩個方便數。如果有兩個的話，其中一個一定是另一個的四倍，所以本質上是同一種情況。（Weinberger後來成為一名計算機科學家，是AWK程序設計語言的作者之一。）

根據Stopple的評論，由張益唐的工作能夠證明，存在一個（很大的）自然數N，使得大於N的自然數都不是方便數。這樣一來，為了證明方便數猜想，只需要對不超過N的自然數逐一驗證便可。至於N究竟是多少，取決於張益唐定理1中的具體估計。在忽略常數因子的前提下，Stopple算出N可以取0.75×1025734. 這當然是一個天文數字，但畢竟還是一個有限的數，並非無窮大。如果能夠大幅改進張益唐的估計，或許可以把N縮小到一個適合用計算機加以處理的範圍，從而證明方便數猜想。

張益唐本人曾説，在他的突破之後，“一百個猜想都變成定理”。或許這個有244年曆史的方便數猜想就是其中之一。當然，所有一切都建立在張益唐論文是正確的基礎之上。希望解析數論領域的專家們能夠早日完成對張益唐論文的檢驗，使得一切懸念得到破解。

本文經授權轉載自微信公眾號“普林小虎隊”。

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