肥皂泡上隱藏百年難破解數學問題，兩學者休假時成功論證，被稱里程碑式研究_風聞

　　明敏 發自 凹非寺

　　量子位 | 公眾號 QbitAI

　　沒想到，小小肥皂泡放到數學家手上，也能變成綿延幾百年的大難題。

　　想象一下，吹出一個泡泡（假定體積不變），什麼情況下它的表面積是最小的？

　　想必大部分人都會想到標準球體這個答案。

　　早在2000多年前，希臘數學家芝諾多魯斯也斷言一定如此。

　　巴特，眾所周知只寫答案不給分，重要的是論證過程。

　　結果這一論證就花費了上千年，直到19世紀末，數學家施瓦茨才證明出球的表面積比相同體積的任何其他物體都要小。

　　但這還只是單個泡泡啊，兩個？三個？乃至更多呢？它們的最小表面積情況是怎樣的？又該如何計算？

　　隨着氣泡數量增加，論證的複雜難度、牽扯出的數學知識都直線上升。

　　等論證出雙氣泡大小一致時總表面積最小，已經2002年了。

　　2007年，美國數學學會副會長弗蘭克·摩根（Frank Morgan）推測，想要論證3個氣泡的情況，恐怕要再等一百年了。

　　而就在最近，兩位數學家利用去年休假的時間，把這事兒給搞定了！

　　通過論證數學家沙利文提出的猜想，伊曼紐爾·米爾曼（Emanuel Milman）和喬·尼曼（Joe Neeman）解決了3、4個氣泡的問題，甚至還在研究更加複雜的情況。

　　研究一經報道迅速引起熱議，Reddit上熱度超過800。

　　當年提出預測的弗蘭克·摩根評價道，他們提出的是一種全新的方法，這是里程碑式的研究！

　　如何論證？

　　簡單來説，這次突破是對此前一項猜想的論證。

　　柏林工業大學教授約翰·馬修·沙利文（John Matthew Sullivan）在上世紀90年代提出，只要氣泡數量比空間維度大1個，就會有一種特殊的最佳方式來包住這些氣泡，這種方式下投射出的氣泡陰影，將會對應表面積最小的情況。

　　按照沙利文提出的方法，作者在二維平面上創建了一個三氣泡集羣（這時的“氣泡”不是立體物體）。

　　首先，在一個球體上選擇四個點，它們之間的距離都是一樣的。接下來以這些點為中心吹4個氣泡，直到它們相互擠壓、覆蓋整個球體表面。

　　然後把這個球體放在一個無限平面上，假設它是透明的，在球體正上方設置一個點光源，這時四個氣泡之間接觸的表面，就會在平面上投射出影子。

　　影子形狀即為3個在平面上的“氣泡”。點光源不變、旋轉球體，影子形狀還會發生變化。

　　結合此前研究，通過測量投影的數據，即可計算出氣泡精確的表面積。

　　實際上在2018年時，米爾曼和尼曼便論證了沙利文猜想的一個類似版本。

　　當時他們把空間中的每個點視為是有價值的，原點是最貴的地方，離原點越遠越便宜，由此形成一個鐘形曲線。

　　假設在確定價格的情況下圍着原點建圍牆，要求成本最小化，由此來計算論證。

　　這項研究當年刊登在了數學領域頂刊《數學年鑑》上，併為解決計算機科學領域噪聲敏感性問題提供了參考。

　　之後，他們開始了更為深入的探索，幾年下來關於這一想法的筆記已經超過200頁。

　　但進展並沒有想象中的順利，嘗試的很多方向都失敗了。

　　以至於最後，兩個人是利用休假時間來搞定的項目——

　　畢竟假期是嘗試高風險、高收益類型項目的好時機（doge）。

　　目前，米爾曼是以色列理工學院數學系教授，研究方向為分析幾何。

　　尼曼是德克薩斯大學奧斯汀分校的助理教授，研究領域有概率、幾何不等式、隨機圖等。

　　One More Thing

　　要説數學家研究吹泡泡這件事，其實由來已久，現在已經發展為一個嚴肅的研究方向。

　　這些研究的特點往往是：看起來簡單、直覺上是對的，但是想要論證非常困難。

　　比利時物理學家普拉託在1873年出版了一本450頁的著作《僅置於分子力之下的液體之靜力學》，是泡泡研究中的經典之作。

　　以他名字命名的普拉託定律，也是很多泡泡研究的基礎，該定律指出：

　　1、肥皂泡由光滑曲面組成；

　　2、肥皂泡的任一部分的平均曲率，在同一片膜上的每一點都是常數；

　　3、肥皂泡交界面一定是由三個表面相接構成的三條曲線，稱為普拉託邊界，交接兩兩表面形成的平面夾角都是120度；

　　4、普拉託邊界相交一定是由4條邊界相交構成一個交點，在交點處，四個邊界線兩兩之間的夾角都相同，等於109.47度。

　　如果肥皂泡的構成不符合這一定律，它便是不穩定的，很快會破裂或者慢慢變化為符合普拉託定律的結構。

　　而如果想要用數學方法論證這些定律，需要掌握的知識有微分幾何、幾何測度論等……

　　雖然直觀來看，這些證明貌似然並卵，但實際上它對於理解數學、物理、探索最優化問題，都有很大啓示意義。

　　參考鏈接：

　　[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-math-proof-solves-triple-bubble-problem-and-more-20221006/

　　[2]https://www.reddit.com/r/math/comments/xxad0l/monumental_math_proof_solves_triple_bubble/