葛惟昆：足球的魅力與科學_風聞

2022卡塔爾世界盃已經揭幕，在感受足球運動的激情與歡樂時，球迷朋友們也可以瞭解關於足球的更多內涵——足球中的物理學、統計學，足球經濟學乃至足球的哲學。足球的土壤需要培養，足球的精神可以共享。（本文原文發表於2016年。）

撰文 | 葛惟昆（清華大學物理系教授，香港科技大學榮休教授）

“踢足球非常簡單，難的是踢簡單的足球。”

——克魯伊夫

足球，這個世界第一運動，在中國曆盡劫波，讓國人又愛又愁，現在終於迎來了自己的春天。習近平總書記的關注和激勵，為中國足球的發展注入了強大的精神力量，他對中國足球的最大期待，就是中國足球能躋身世界強隊，使足球運動為增強人民體質、激勵人們頑強奮鬥精神發揮重要作用。

要發展足球，必須研究足球，成為足球的內行。中國足球長期落後的一個重要原因，就是文化素養匱乏，更缺少科學的認識，以至於充滿盲目性。本文旨在説明，足球有自身的規律性，足球不僅是運動，更是文化，是科學，是教育，它不但增強人民體質，也提高人的素質、提高人的修養，激勵人們頑強奮鬥。足球，凝聚一種精神。

01 足球是科學

把足球當做科學來研究，在西方日益受到重視。一些出色的物理學家投入了這個領域。清華大學物理系學生足球隊翻譯的《足球的科學》一書（圖1），就是一位英國物理學家John Wesson的專著。它論述了球在空氣中的運動，各種觸球的要領，競賽理論，以及足球經濟等等，並對空氣動力學問題輔以完整的數學表達式。自此以後， 一些物理學家針對電梯球等足球中的特殊技術，做了認真的物理分析，並在一流學術刊物上發表。相比而言，我國在這方面的研究和整個足球界的狀況一樣，處於落後的地位。本文試圖從這種研究開始，以足球的魅力和科學為主題，為中國足球事業的發展鼓動宣揚、出謀獻策，盡綿薄之力。

圖1 《足球的科學》原版與中文版

02 足球的物理學與統計學

足球運動， 不管是正式比賽還是練習或遊戲，都是足球在場上飛來飛去；而足球球體的運動，從物理學的角度來看， 就是一個彈性球體在空氣中運行的典型的空氣動力學問題。足球的運動服從物理規律：包括球的彈射與飛行，踢球的力度與角度，“香蕉球”原理，傳球與截斷路線的幾何分析，控球的時間與空間把握，等等。這種運動的一般規律並不複雜，主要起作用的因素就是球的彈性與摩擦力（包括球的材質及表面結構）和空氣阻力。但是有些情況稍許特殊，例如弧線球（也稱香蕉球）和電梯球，我們在這裏做一些簡單的介紹。

1. 弧線球

弧線球，也稱香蕉球，指的是踢出的足球在空中飛行一道弧線，其落點偏離出射時的直線方向。尤其在罰任意球時，可以通過詭異的軌跡竄入對方球門之內。著名的英國帥哥球員貝克漢姆就以出眾的腳法，通過罰出香蕉球來改變比賽進程而舉世聞名。貝克漢姆是以右腳的腳內側發出的弧線球，而巴西運動員卡洛斯在與法國隊比賽時以左腳外腳背踢出的弧線球更是驚世駭俗。

式中 l 表示在 l 的長度內， 有足球那樣大的截面積的體積中空氣的質量與球的質量相同， 所以 l 代表空氣密度。式（2）表明，球速越快，偏離距離越大，所需要的旋轉越厲害。我們還可以求出香蕉球偏轉的角度為

式（3）説明，距離越遠、速度越慢，偏離角度越大。這就是為什麼我們經常會看到，在香蕉球運行的末尾時刻，會有更劇烈的偏轉，使守門員防不勝防。

香蕉球的要領在於球的旋轉，所以對球員的腳法和球商都有很高的要求。貝克漢姆用右腳的內側（見圖4），踢球時要保障腳與球有比較長的接觸時間，形成強烈的摩擦，從而使球劇烈旋轉，同時要給予球足夠的衝力，使它有足夠的速度飛向對方的球門。而卡洛斯則是用左腳的外腳背，其原理是相同的，但足球旋轉和偏離的方向則相反。

2. 電梯球

電梯球的歷史不長，但它一出現就驚世駭俗。雖然巴西人儒尼尼奧是第一個踢出這種球的球員，但直到意大利的足球天才皮爾洛在對波蘭隊的一場正式比賽中踢出這樣一腳精妙絕倫的進球時，才正式被《米蘭足球報》美名為“電梯球”。它是這樣一種足球狀態：球很快地呈斜線往上飛，又以更大陡度急墜，好像電梯急上急下。

電梯球技術很快引起了物理學家的注意。法國巴黎理工大學 Cohen 等在2012 年做了系統研究。先在全美物理大會流體力學分會（2012 ， 聖地亞哥）發表， 後載於 2013年“Proceedings of Royal Society A”。主要根據該文的結果，我們結合實例在《物理》雜誌上對電梯球做了通俗的闡釋。Cohen等人的主要結論是：對於不同的發射速度，可以觀察到兩種不同的軌跡；對非旋轉球體， 當起始速度小於末端速度時， 球體軌跡為經典的伽利略拋物線；而當起始速度遠大於末端速度時， 球的軌跡不再是拋物線， 而是稱為塔爾塔利亞的非對稱曲線，球在下落時急墜。在後一種極限情況下，由於空氣阻力壁的作用，軌跡展現出豎直的漸進線。起始速度

（這裏末速度不一定是球落地時的速度，而是定義為速度不再變化那一瞬間的速度）之比定義為雷諾數。圖5 就是一個大雷諾數條件下，球運動的軌跡。

但細心的讀者會注意到，電梯球與香蕉球的一個最大不同，在於它是不旋轉的，只是要求初速極高，一般要接近150公里/小時，而足球球速的最高紀錄超過200公里/小時。這對運動員的體能、體力是極大的挑戰。目前世界上運用電梯球技術最多、最好的要數葡萄牙運動員C 羅納爾多，一般都稱他為 C羅。為了踢好電梯球， C羅在教練的指引下，專門加強訓練腿部肌肉和膝關節的力量，並形成一套踢球的模式，甚至要選擇球的氣門處作為擊球點，以增強彈性，可謂用心良苦。

C羅2018俄羅斯世界盃 電梯球

3. 球體材質與表面狀態的影響

但是C羅在2014年世界盃以後，在罰任意球方面遇到了麻煩。去年十月的一篇報道説：“在皇馬和葡萄牙國家隊，C羅壟斷了各個距離和位置的任意球機會，不過他的任意球得分效率正醒目地下降，最近85次主罰任意球，他只打入2球，以至於有媒體認為，皇馬應該在任意球上拉響警報，並考慮更換主罰球員。”這篇報道沒有深入分析這裏面的原因，其實我們早在2014年巴西世界盃時，就根據足球表面結構的變化預見到了這一點（見清華電視台的“名哨侃球”節目）。

足球的材質和製法，從中國古代的蹴鞠開始，有很大的發展和變化。現代足球本來的基本形狀如圖7所示，由32塊皮子組成。這看來平常的樣子，其實與科學有很大關聯。

首先， 在數學上可以從歐拉公式計算出， 這個結構中必須有12個面是正五邊形，20個面是正六邊形；其次在化學方面，1985年發現的碳 - 60 結構是一種天然分子，它以60個碳原子作為頂點，組成一個32面體，正好是像足球一樣的多邊形體， 所以也稱為足球烯。由於碳–60 在科學上的重要意義，它的發現被授予1996年化學諾貝爾獎。最後，從物理上看， 這種結構非常堅實，與排球和籃球的結構都不相同，可以承受最大的衝力。特別有趣的是，這種表面結構在近代有了許多變化，如圖8 所示。