菲爾茲獎得主再次突破數論難題：多少整數能寫成2個有理數立方和？_風聞

　　Pine 蕭簫 發自 凹非寺

　　量子位 | 公眾號 QbitAI

　　困擾數學界幾個世紀的難題，終於有重大突破了！

　　這個難題如果被解決，會直接影響到一個著名未解之謎的求解——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。

　　貝赫和斯維訥通-戴爾猜想是數學界頂尖的7大千禧難題之一，有人為了證明它，懸賞過最高100萬美元的獎金。

　　所以，究竟突破了什麼難題？

　　求解一共有多少整數，能被寫成2個有理數（整數和分數統稱）的立方和。

　　例如整數13，就可以被“拆”成有理數7/3的立方、以及有理數2/3的立方總和：

　　看起來似乎不難，但數學家們在這幾百年來關於它提出的各種猜想，卻沒有一個被真正、徹底地證實。

　　普林斯頓高等研究所的數學系教授Peter Sarnak對此感嘆：

　　分析兩個數的立方和，意味着研究的族（family，集的同義詞）非常小，族越小意味着問題越難。

　　我只能説這個問題很難、特別難，答案几乎“遙不可及”。

　　但對於學界而言，這個問題的求解又至關重要。

　　它不僅是解決很多純數學問題的核心突破口，在應用數學如密碼學領域也頗受重視。

　　無證明，不數學。現在3位數學家再次朝這一難題發起挑戰，併成功突破了關鍵瓶頸之一。

　　所以這個數學問題究竟難在哪裏，數學家們又究竟如何取得了這一突破？

　　選擇與三次方“死磕”

　　我們先來回看一下這個要解決的難題：

　　究竟有多少個整數，可以表達成有理數三次方和的形式？

　　這時可能會有盆友好奇，為什麼數學家們要死磕三次方的和，而不是平方、四次方、五次方……呢？

　　答案也很簡單——它更難，也更有用。

　　具體原因有以下三點：

　　其一，除了三次方之外，無論是小於它的二次方、還是大於它的N（N＞3）次方，有些問題已經被解決過了。

　　就拿二次方來説，已經有非常具體的方法來判斷哪些整數能成為兩個有理數的平方和。

　　這個方法是在17世紀早期，數學家阿爾伯特·吉拉德（Albert Girard）和皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）提出的，如果不符合這一條件，則整數不能用有理數二次方和表示。方法具體如下：

　　首先，將挑選的數字分解成質數冪的形式。以整數490為例，它可以被分解成下面這種形式：

　　然後，對分解後的質數進行檢查：如果其中一個質因數除以4的餘數為3，那麼它的冪必須為偶數。只有這樣，原來的數才能表示為有理數平方和。

　　這裏7除以4餘3，它的指數為2，符合偶數的要求，因此整數490可以用兩個有理數平方和表示：

　　其二，基於上述條件，“能否被2個有理數立方和表示”也可能成為繼奇數、偶數之外，又一個將整數有效分為兩個陣營的分類方法。

　　畢竟數學家們推算過，發現能用有理數二次方和表示的整數比例很低，同理N次方（N＞3）也是。

　　相比之下，可以用三次方和表示的整數就非常豐富。

　　光是在1～100的整數里，就有59個能用兩個有理數立方和來表示：

　　****△藍色數字可以寫成兩個有理數立方之和

　　這樣的話，大約就有59%的整數能被2個有理數立方和表示，甚至有數學家猜想這個數值能被推廣到所有整數範圍中。

　　其三，數學家們研究這個問題也不僅僅是為了有一個新的整數劃分方式，它還和數論中的“熱門研究領域”橢圓曲線有關。

　　

　　

　　****△橢圓曲線方程

　　橢圓曲線具有極其複雜的結構，這使它成為純數學和應用數學等許多領域的中心，在密碼學中也有很大的用處。

　　立方和問題，就是橢圓曲線中的一個特例。

　　****△橢圓曲線，圖源維基百科

　　如開頭提到的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，就是橢圓曲線領域的一個核心問題。

　　如果這一猜想成立，便能推斷出符合上面1~100整數表現（即藍色數字圖）的結論：

　　在1000萬個數字中，約有59%是兩個有理數立方的總和。

　　不過，上面提出的這麼多推斷，繞來繞去也都只停留在猜想層面。

　　過去的幾百年裏，不少數學家試圖揭開這個謎題，但要麼無法得出結論，要麼無法證明自己的推斷是正確的。

　　它不像指數為2時，整數可以輕鬆被證明能否被拆解為兩個有理數平方和（方法如上），畢竟指數為3時，沒有確切的方法可以證明整數能否被拆解。

　　但嘗試一個個“暴力拆解”整數又是不現實的。

　　因為在整個拆解過程中，涉及到的計算量巨大。

　　畢竟相較於拆成兩個整數立方和，拆成兩個分數立方和的難度要大得多……

　　舉個栗子，整數2083雖然可以被拆解成兩個分數的立方和，但光是這兩個分數的分母，就長達40多個數字！

　　這還僅僅是一個整數的計算量，更別提挨個兒計算其他整數了。

　　現在，終於有3位數學家成功突破了這個問題的瓶頸，第一次給出了可以拆解成兩個有理數立方和的整數比例：

　　9.5%~83%。

　　所以這一範圍究竟是怎麼得出的？

　　如何圈定這一範圍？

　　正如上面所説，橢圓曲線的結構極其複雜，這也使得它的直接求解變得非常困難。

　　於是這3位數學家開始思考：為何不試試將它與更容易處理的東西聯繫起來呢？

　　這一想就想到了矩陣。

　　這3位數學家中的1位，曾在今年4月證明過一個理論：

　　如果一個立方和方程存在有理數解（rational solutions），那麼至少存在一個2×2×2×2的四維矩陣與它對應。

　　依據這個理論，如果能想辦法計算出整數的2個分數立方和方程是否有對應的四維矩陣，就有辦法求解出不可能被表示成有理數立方和的整數範圍。

　　具體的求解過程，涉及兩方面的理論：

　　一部分是幾何數論，涉及計算不同幾何圖形在座標系中的格點（lattice points）；另一部分則是解析數論，與哈代-李特爾伍德圓法（定理）相關。

　　最終他們求解出的結果是，大約有1/6的整數不存在對應的四維矩陣，換言之，這1/6的整數完全不可能被表示成2個有理數立方和的形式。

　　這樣就確定了這個範圍的最大上限——至多有5/6（約83%）的整數可能被表示成有理數立方和。

　　所以求解下限的話，將定理反過來不就行了？

　　並非如此。

　　畢竟這個理論的逆定理並沒有被證明成立，即“如果一個整數能找到對應的四維矩陣，則它也能被表示為2個有理數的立方和”。

　　為此，三位數學家求助了橢圓曲線領域中對逆定理頗有研究的2位專家，分別是來自德克薩斯大學奧斯汀分校的Ashay Burungale和普林斯頓大學的Christopher Skinner。

　　他們一番搗鼓後，給出了一個特殊情況下逆定理成立的條件，在這種情況下至少存在2/21的整數，能表示為2個有理數的立方和。

　　而2/21（約9.5%）這個數值，也正是這一整數範圍的下限。

　　但畢竟是特殊情況，所以3位數學家認為，9.5%~83%這個整數範圍還能被進一步縮小。

　　接下來，他們打算進一步提升下限9.5%的數值，以接近逆定理完全成立下的5/12（約41%）。

　　領域內的學者認為，這一成果突破，表明數學家們距離貝赫和斯維訥通-戴爾猜想的證明又前進了一大步。

　　作者之一為菲爾茲獎得主

　　這次研究之前，3位數學家已經在數論領域有過幾次合作了。

　　其中，Ari Shnidman和Manjul Bhargava早在2012年就有過數論領域的合作，而Manjul Bhargava又是Levent Alpöge在普林斯頓大學讀博期間的導師。

　　Levent Alpöge，哈佛大學初級研究員，本科畢業於哈佛大學數學系，並獲得了物理系碩士學位，隨後他獲得普林斯頓大學數學系的碩士、博士學位。

　　他曾於2015年獲得摩根獎，這個獎項每年頒給數學研究出色的大學生。

　　Ari Shnidman，以色列希伯來大學數學系的高級講師，研究興趣是包括算數統計學、算數幾何等在內的數論方向。

　　Manjul Bhargava，普林斯頓大學數學系教授，本科畢業於哈佛大學，博士畢業於普林斯頓大學，研究方向是幾何數論。

　　他於2014年獲得菲爾茲獎，獲獎理由是在幾何數論領域做出的突出貢獻，包括開闢新方法來計算“小”秩（“小”指最多不超過5）的環數和估計橢圓曲線平均秩的界等。

　　值得一提的是，其中他研究的關於“橢圓曲線三次方程的有理數解”也是獲獎原因之一，這次研究的兩個有理數的立方和問題，就是其中的一種特殊求解情況。

　　這次突破有不少理論基礎，就建立在Manjul Bhargava之前做過的工作上。

　　論文地址：

　　https://arxiv.org/abs/2210.10730

　　參考鏈接：

　　[1]https://www.quantamagazine.org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-20221129/

　　[2]https://swc-math.github.io/aws/2009/09BhargavaNotes.pdf

　　[3]http://math.huji.ac.il/~shnidman/