專訪數學大師阿諾德：那些年頂級數學家在莫斯科齊聚一堂_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-08 14:00
俄國數學家阿諾德是20世紀最偉大的數學家之一，師承另一位偉大數學家柯爾莫哥洛夫，其天才可見於不滿20歲即解決希爾伯特第13問題。阿諾德一生貢獻頗豐，開創了多個數學領域，許多成就直接應用於物理學領域，開創了物理學研究的新局面。
本文是1995年對阿諾德的一次採訪，他回憶了自己學生時期，雲集在莫斯科國立大學的諸多數學大師；他自己的數學英雄；也談到了不同風格的數學研究和教育，並一如既往地反對了布爾巴基學派和美式的研究風格。在這些軼事中，我們亦能看出他閃出的智慧火花。
撰文 | S. H. Lui
翻譯 | 哪吒
Utilius scandalum nasci permittur quam veritas relinquatur.
（即使有引發醜聞的風險，也應該説實話。）
——Decretalium V of Pope Gregory IX, 1227–1241
弗拉基米爾·阿諾德（Vladimir Arnol’d）目前是斯捷克洛夫數學研究所（Steklov Mathematical Institute）和巴黎第九大學決策數學研究所（CEREMADE）的數學教授。阿諾德教授於1961年在莫斯科國立大學獲得博士學位。他在動力系統、奇點理論、穩定性理論、拓撲學、代數幾何、磁流體力學、偏微分方程等領域做出了基礎性貢獻。阿諾德教授獲得了許多榮譽和獎項，包括列寧獎（Lenin Prize）、克拉福德獎（Crafoord Prize）和哈維獎（Harvey Prize）等。
此次訪談於1995年11月11日進行。讀者可能會對如下文章感興趣：
1）《對話弗拉基米爾·阿諾德》[Conversation with Vladimir Igorevich Arnol’d, S. Zdravkovska, The Mathematical Intelligencer, volume 9, pages, 28–32 (1987).]
2）《數學三藝》[A mathematical trivium, V. I. Arnol’d , Russian Math. Surveys 46:1 (1991), 271-278.]
3）《俄羅斯數學還能堅持嗎？》[ Will Russian mathematics survive?. V. I. Arnol’d, Notices of the AMS 40:2 (1993). ]
4）《為什麼是數學？》[Why Mathematics? by V. I. Arnol’d Quantum, 1994.]
5）《數學還能堅持嗎？在蘇黎世大會上的報告》[Will mathematics survive? Report on the Zurich Congress, V. I. Arnol’d, Mathematical Intelligencer, volume 17, pages 6–10 (1995).]
Lui：請告訴我們一些您早期的教育情況。您從小就對數學感興趣嗎？
阿諾德：俄羅斯的數學傳統可以追溯到古老的商人問題。很小的孩子，甚至在對數字一無所知之時就開始思考這些問題了。五到六歲的孩子都很喜歡，也能解出來，但對於受過正規數學訓練的大學畢業生來説，可能太難了。一個典型的例子是：
你從一桶酒中舀出一勺酒，然後把它倒進一杯茶裏。然後從茶杯裏再舀一勺（不均勻！）倒回桶裏。現在杯子裏有一些酒，桶裏也有一些茶。在你的操作結束時，杯子裏酒的量與桶裏茶的量，哪個更多？
稍微大一點的孩子，知道前面幾個數字，比如下面這個問題：簡和約翰想買一本兒童讀物。簡需要7分錢來買這本書，而約翰還需要1分錢。他們決定一起只買一本書，但發現錢還是不夠。這本書的價格是多少？（要知道俄羅斯的書很便宜！）
許多俄羅斯家庭都有給孩子出題的傳統，有幾百道這樣的問題出給孩子們，我的家庭也不例外。而我第一次真正的數學體驗是我們學校的老師I. V. Morozkin出了這樣一個問題：兩個老婦人在日出時出發，每個人都以恆定的速度行走。一人從A點到B點，另一人從B點到A點，它們在中午會合，一路不停，分別在下午4點和晚上9點到達B點和A點。這一天日出是什麼時候？
我花了一整天的時間思考這個老問題，而答案是一個發現（基於現在所説的縮放推理（scaling arguments），維度分析（dimensional analysis）或環面簇理論（toric variety theory），這取決於你的品味）。我當時（1949年）做出發現後的感覺和所有後來做出更嚴肅問題的感覺完全一樣——無論是發現實平面曲線的代數幾何和四維拓撲之間的關係（1970年），還是發現焦散線的奇點（singularities of caustics）與波前（wave fronts）之間的關係，以及單李代數和Coxeter羣之間的關係（1972年）。我對這種美妙感覺的渴望，曾經是，現在仍是我學習數學的主要動力。
Lui：在莫斯科國立大學學習是什麼感覺？您能給我們講講這些教授嗎？彼得羅夫斯基（Petrovskii）[注1]、柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）[注2]、龐特里亞金（Pontriagin）[注3]、克羅林（Rokhlin） [注4] ……？
阿諾德：上世紀五十年代我還是學生的時候，莫斯科國立大學力學和數學系（Mechmat）的氛圍在S. Zdravkovska和P. L. Duren主編的《莫斯科數學的黃金歲月》（Golden Years of Moscow Mathematics）一書中有詳細的描述，該書於1993年由美國數學學會（AMS）和倫敦數學學會（LMS）聯合出版。書中包含了許多人的回憶。特別是，我的文章是關於柯爾莫哥洛夫的，他是我的導師。
當我在力學數學系學習的時候，一羣偉大的數學家齊聚一堂，這是非常罕見的，我從未在其他任何地方見過這樣的場面。有柯爾莫哥洛夫、蓋爾範德（Gelfand）[注5]、彼得羅夫斯基、龐特里亞金、諾維科夫（P. Novikov）[注6]、馬爾可夫（Markov）[注7]，格爾豐德（Gelfond）[注8]、柳斯特尼克（Lusternik）[注9]、辛欽（Khinchin）[注10]，還有亞歷山德羅夫（Aleksandrov）[注11]等老師教學，學生中包括尤里·馬寧（Manin）[注12]、西奈（Sinai）[注13]、諾維科夫（S. Novikov）[注14]、阿列克謝耶夫（V. M. Alexev）[注15]、阿諾索夫（Anosov）[注16]、亞歷山大·基裏洛夫（A. A. Kirillov）[注17]，還有我。
他的嘗試沒有成功。促使他研究的這個問題仍然是懸而未決的——沒有人能夠在一般受擾動的系統中找到攜帶混合流的不變環面。然而，這項工作的副產品遠比最初關於混合的技術性問題更重要。人們發現了持久性非共振環面（persistent nonresonant tori），“加速收斂”（accelerated convergence）方法和函數空間中相關的隱函數定理，許多哈密頓系統（例如陀螺儀和行星軌道）中運動穩定性的證明，以及託卡馬克幾何（Tokamak geometry）中存在磁性表面的證明，後者用於研究受控熱核聚變的等離子體約束。
研究的結果比原來的問題更重要，這是一個普遍現象。哥倫布最初的目標是找到一條通往印度的新路。新大陸的發現只是一個副產品。
我在力學數學系讀書時，龐特里亞金已經非常虛弱，但他也許是最好的講師。他剛剛從拓撲理論轉向控制理論，他的性格也發生了很大的變化。他後來在《俄羅斯數學調查》（Russian Mathematical Surveys）[注18]上發表的自傳中解釋了他轉向應用數學的原因和他的反猶太主義思想。當他向編輯委員會提交這篇文章時，克格勃（蘇聯國家安全委員會，KGB）代表建議不要按原文出版，因為其觀點過於開放。我倒希望以原文出版，現在你找到的都是加工潤色過的了。有些人聲稱，他的反猶太主義可能只是一種恐懼的表現，因為他可能有部分猶太血統，而擔心會被發現。
然而，龐特里亞金並不總是這樣！在戰爭期間，他最好的學生羅克林被德國人打傷並監禁。後來，羅克林被美國人解放，他回到蘇聯，繼續在戰爭中的蘇軍部隊服役。有一天，當他把一名被俘的德國軍官移交上級時，遇到了一個醉酒的克格勃軍官，他想立即開槍打死這名德國軍官。羅克林表示反對。幸運的是，羅克林被他的上級救了下來，上級立即把他調到了另一個團。然而最終，羅克林和所有被盟軍從德國集中營中救出的人一樣，被送到了俄羅斯北部的古拉格勞改營。
幾個月後，一個從勞改營中解放出來的人來到莫斯科，他告訴龐特里亞金，羅克林還活着，但在營中捱餓，已經奄奄一息。龐特里亞金在柯爾莫哥洛夫、亞歷山德羅夫等人的幫助下，給克格勃領導人貝利亞（Beria）寫了一封信，要求羅克林應該立即被釋放，因為他是他們那一代最有才華的數學家。貝利亞簽署了釋放羅克林的命令，羅克林隨後獲得了一挺機槍，成了那個勞改營的警衞。龐特里亞金等人給貝利亞寫了第二封信，羅克林最終得以返回莫斯科。
羅克林從古拉格勞改營回來後，無權獲得莫斯科的居民許可 （propiska）。（Propiska是俄語，意思是僅可在特定地區生活——一個人不能自由地生活在其他地方。每個人都要Propiska！）龐特里亞金完全失明，有權在莫斯科斯捷克洛夫研究所聘請一名私人秘書。他勇敢地把這個職位給了羅克林。羅克林後來成為蘇聯在拓撲學和動力系統方面的領袖數學家之一。羅克林對年輕一代的數學家（如諾維科夫、西奈、阿諾索夫和我）有很大的影響，他後來在聖彼得堡創建了一所非常重要的數學學院[注19]。他的一些傑出學生包括維爾希克（Vershik）[注20]、格羅莫夫（Gromov）[注21]、伊利亞什伯格（Eliashberg）[注22]、維羅（Viro）[注23]，舒斯汀（Eugenii Shustin），圖拉耶夫（Turaev）[注24]和哈拉莫夫（Kharlamov）[注25]。六十年代我在一次莫斯科舉行的研討會上見到了他。他從一百英里外來到莫斯科，他只能住在那裏。
羅克林是猶太血統，通過假裝自己是穆斯林在德國戰俘營中倖存下來。事實上，他出生在阿塞拜疆的巴庫。對龐特里亞金來説，為幫助羅克林而去找貝利亞是冒了極大風險的。即使在龐特里亞金成了反猶太人的積極分子以後，他對羅克林的評價依舊很高。我和龐特里亞金的私交很好。他邀請我去他家做客、參加他的學術講座，他對我的研究真的非常感興趣，特別是奇點理論（Singularity Theory）。部分原因是我們在微分拓撲、控制論和博弈論方面的共同興趣，還一個重要的原因，他想在國際會議上反對我。龐特里亞金當時是國際數學聯盟（IMU）的蘇聯代表，他極力阻撓數學會選舉持不同政見的蘇聯學者。（我被列入黑名單，因為我和其他99名數學家簽署了一封信，抗議一位完全健康的蘇聯數學家被關進精神病院。這是消滅持異議分子的一貫手段。）IMU一直非常政治化，所以他得逞了。在龐特里亞金的回憶中，他透露有不少IMU官員表達過他們互相批鬥的想法。我真想知道他們的名字。巧合的是，我現在處於他以前的位置，是俄羅斯在國際數學聯盟的代表。
彼得羅夫斯基當時是大學校長，他常在學術講座前與羅克林在電梯裏相見。我覺得他被人看見和羅克林在一起是挺危險的。當時彼得羅夫斯基的學術不再活躍，但是他對莫斯科數學界是極為重要的，他總是為了支持真正的數學家們而與共產黨官僚們進行艱難的抗爭。
他的數學品味相當古典，更多基於意大利學派的代數幾何而非集合論。邁克爾·阿提亞爵士（Michael Atiyah）曾經告訴我，彼得羅夫斯基在其關於微分方程的著作中處理代數幾何的方式，總是令他感到興奮。其中一篇關於雙曲偏微分方程空隙（the lacunas of hyperbolic PDEs）的論文，後來被阿提亞、博特（Raoul Bott）[注26]和加丁（Lars Gårding）[注27]用現代術語改寫為兩篇長論文，發表在《數學學報》（Acta Mathematica）上。這是對一眾所周知的事實的深遠概述——在偶數維空間中（例如，在“平面”世界）不可能進行聲學通信，而在我們的三維世界中，這很容易進行。有趣的是，在這篇論文中，彼得羅夫斯基證明了代數簇的補的上同調類可以用有理微分形式表示，這個結果通常被歸功於格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）。
彼得羅夫斯基（在1933年和1938年）關於實代數幾何的工作（與關於實的平面代數曲線形狀的希爾伯特第16問題有關）開創了現代數學的一個重要分支——實代數簇的拓撲。這一理論的結果（例如，用方程的次數表示的Betti數的界）在許多數學分支中都非常有用，包括複雜性理論。例如，霍萬斯基（Khovanskii）[注28]在其Fewnomial理論[注29]，斯梅爾（StephenSmale）[注30]在“實的P-NP”問題研究中，都應用了這個理論。在西方，這些結果通常被認為屬於託姆（Thom）[注31]和米爾諾（Milnor）[注32]1965年的工作，而彼得羅夫斯基和他的學生奧萊尼克（Oleinik）[注33]在四十年代發表的論文包含了更好的估計（順便説一下，託姆和米爾諾引用了這些結果）。這是極為常見的情況——在當今的求職者中，很容易忽略引用俄羅斯的基礎論文。
彼得羅夫斯基從來就不是蘇共黨員，這是大多數共蘇聯共產黨人所不知道的。他的影響力很大，部分原因是他與以前學生的私人關係，他們在蘇聯的官僚系統中獲得了非常高的職位。彼得羅夫斯基當選為蘇聯最高蘇維埃主席團的成員，這是蘇聯的“集體領袖”。他在一次支持基礎科學的會議上進行了長久鬥爭後，因心臟病發作倒在了莫斯科的黨中央大樓門口。最後一句話是“我贏了。”
在他去世後，蘇共和克格勃花了20年的時間來摧毀他在力學數學系建立起的數學中心。當局停止聘用優秀的人才擔任教職，到今天他們也差不多終於毀掉了這個中心。
Lui：能告訴我們您教授本科生和指導研究生的理念嗎？您在俄羅斯和法國有多少研究生？
阿諾德：在我指導下進行博士論文答辨的有40個左右。由於幾個原因，我不能給出確切的數字。在“停滯時期”，我不能在莫斯科大學指導外國研究生，因為我不是蘇共黨員。留學生仍然跟着我做研究，但名義上的導師是一些友好的黨員，他們還因此拿了津貼。有些研究生有其他導師，但他們的論文源於我的研討班上的主題，實際上是我的學生。比如S. M. Gusein-Zade、Yu. Ilyashenko以及A. I. Neistadt。目前，我在莫斯科有兩個本科生和三個研究生，在巴黎有四個研究生。還有兩三個計劃從一月份開始。
我從學生，尤其是本科生身上，學到了很多東西。我從不給學生布置論文題目，那簡直像包辦婚姻一樣。我只是向他們展示已知的和未知的。
我在莫斯科的學術講座大約有三十位數學家參加，多數是我以前的研究生，也一直有其他人，即使我在國外，講座也照常舉行。這個講座延續了大概30年了，不同時期的參加者有西奈，阿列克謝耶夫，諾維科夫，孔採維奇（Kontsevich）[注34]，貢恰羅夫（Goncharov）[注35]、富克斯（D. B. Fuchs）[注36]、秋琳娜（G. Tjurina）[注37]、秋林（A. Tjurin）[注38]等。
莫斯科的生活非常艱苦，多數學生除了做研究外還不得不想辦法掙錢謀生。有些人開始自己創業，但莫斯科犯罪率很高，自己開公司做生意還有性命之虞。我在莫斯科的一個研究生剛剛完成論文，還沒來得及答辨，幾周前失蹤了。我們懷疑他是否還活着。
Lui：你有崇拜的數學人物嗎？
阿諾德：我要提到巴羅（Isaac Barrow）、牛頓（然而，他是一個非常不討人喜歡的人——參見我的書《惠更斯與巴羅、牛頓與胡克》（Huygens and Barrow, Newton and Hooke），Birkhäuser出版社 1990年版）、黎曼（Bernhard Riemann），龐加萊（Henri Poincaré）、閔可夫斯基（Hermann Minkowski）、外爾（Hermann Weyl）、柯爾莫哥洛夫，惠特尼（H. Whitney）[注39]，託姆、斯梅爾和米爾諾。有一半的數學家是我從克萊因（Christian Felix Klein）的《數學在19世紀的發展》（Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19）一書中瞭解的。我從許多數學家那裏學到很多，比如蓋爾範德、羅克林、諾維科夫、德利涅（P. Deligne）[注40]和富克斯；也從學生那裏學到很多，比如霍萬斯基、涅霍羅舍夫（Nekhoroshev）[注41]、 瓦爾琴科（Varchenko）[注42]、扎卡爾尤金（Zakalykin）[注43]、瓦西里耶夫（Vassiliev）[注44]、紀梵塔爾（Gievental）[注45]、戈柳諾夫（Goryunov）[注46]、謝爾巴科夫（O. Scherbak）、契卡諾夫（Yuri Vitalievich Chekanov）和卡扎裏安（Maxim Eduardovich Kazarian）。
我深深地感激託姆，他在高等科學研究所（Institut des Hautes Études Scientifiques，IHÉS）舉辦的奇點研討班，整個1965年我幾乎全程參加，這個研討班深刻地改變了我的數學觀。託姆討論數學的方式總是令我感到很愉悦，他使用的句子顯然沒有嚴格的邏輯意義。儘管我從未完全擺脱邏輯的束縛，但一直以來都被不負責任的、沒有確切意義的數學思辨之夢所毒害。“人們總能找到笨蛋來證明定理”，根據託姆的學生的説法，這就是他的理念。
米爾諾1961年在列寧格勒關於球面微分結構的演講，給我的導師柯爾莫哥洛夫留下了深刻的印象，以至於他建議我把那些內容放在我的研究生課程中。這迫使我向諾維科夫，富克斯和羅克林學習微分拓撲。這派上了用場，因為一年後，我成為諾維科夫關於球面的乘積的微分結構的論文答辯評委之一。
斯梅爾是我1961年來到莫斯科時遇到的第一批外國數學家之一。他在動力系統方面的研究，對俄羅斯以及對我個人的影響都是極大的。
Lui：您注意到不同文化背景的人研究數學的方式有什麼不同嗎？
阿諾德：多年來我一直沒有意識到這些差異，但差異確實存在。幾年前，我參加了在華盛頓特區舉行的國際科學活動基金會（ISF）會議，該組織向俄羅斯科學家提供資助。一名美國與會者建議支持一些俄羅斯數學家，因為“他的工作很有美式風格”。我大為不解，並請他解釋一下。“哦，”那個美國人回答説，“這意味着他經常出差，在各種會議上展示他的最新研究成果，並且讓這一領域的所有專家都認識他。”而我的觀點是，ISF應該更好地支持那些更有俄羅斯風格工作的人，即坐在家裏努力證明基本定理，這些定理將是數學的永恆基石！
俄羅斯人的工資太低了（現在和過去都是），如果有人要從事數學研究，對他來説就這意味着數學是他的目標，而不是賺錢的手段。只要簡單地改寫西方所不知道的俄羅斯古典成就和思想（或將它們現代化），仍然有可能在西方數學界獲得很高的聲譽。
俄羅斯人對待知識、科學和數學的態度始終符合俄羅斯知識分子（intelligentsiya）的古老傳統。這個詞在其他語言中是不存在的，因為沒有其他國家有類似的學者階層，醫生、藝術家、教師等等，他們對社會貢獻所獲得的回報，會遠多於個人或金錢的利益。
我的朋友維爾希克在巴黎，他最近想要辦美國簽證。“你在聖彼得堡的薪水是多少？”美國領事館的工作人員問道。在聽到他誠實的回答後，工作人員又問：“就這點工資，你還想説服我們你會回到聖彼得堡嗎？”維爾希克回答説：“當然。錢不是全部！”工作人員非常震驚，維爾希克隨即獲得了簽證。
一週前我也在申請簽證，他們把我放在等候名單上，要等上三週。理由是我的論文必須在華盛頓接受檢查，因為我是“驢子”。我要求解釋。“嗯，”他們回答説，“每次罪行都有這樣的名字：狗、貓、老虎、駱駝等等。”他們給我看了名單，“驢子”是一位俄羅斯科學家的代號。
俄羅斯數學傳統的另一個特點是傾向於將所有數學視為一個活的有機體。在西方，一個人很有可能成為數學模5的專家，而對數學模7一無所知[注47]。就研究的廣度來説，涉獵廣泛在西方被認為是負面的，反之領域狹窄則在俄羅斯不可接受，程度上兩者相當。
法國數學學派輝煌了好幾個世紀，直到勒雷（Jean Leray）、亨利·嘉當（Henri Paul Cartan）、塞爾（Jean-Pierre Serre）、託姆和瑟夫（Jean Cerf）等偉大深刻的工作。布爾巴基學派（Bourbakists）聲稱所有偉大的數學家——用狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）的話來講——是“用清晰的思想代替盲目的計算”。布爾巴基宣言中的這句話，翻譯成俄語變成了“用盲目的計算代替清晰的思想”。譯審是柯爾莫哥洛夫，他精通法語。我發現這一錯誤後大吃一驚，就去找柯爾莫哥洛夫討論。他答道：我不覺得翻譯有什麼問題，翻譯把布爾巴基風格描述得比他們自己説的更準確。遺憾的是，龐加萊（Henri Poincaré）沒在法國創建一個學派。
法國科學院最近的一場討論，是體現法國學術界觀念狹隘的一個典型例子。格羅莫夫多年來是外籍院士，但他最近加入了法國國籍因此不再是外籍院士。問題是要把他轉成一般的院士。法國數學家們卻對此反對，聲稱“這些位置是給真正的法國人的！”。在我看來，所有是“真正法國人”的候選者的水平遠遠不及格羅莫夫，他是世界頂尖數學家之一。最後，格羅莫夫還是沒當上院士。
在法國教書非常困難，因為學生們接受了布爾巴基公式化的訓練。例如，在巴黎第九大學四年級學生的動力系統筆試中，一個問題是找到相平面上哈密頓方程組解的極限，此相平面從某個給定的初始點出發，時間趨於無窮大。解法是把初始點選在一鞍點的分離線（separatrix）上，極限就是鞍點。
準備考試題時，我犯了一個計算錯誤，相曲線（含初始點的能量級曲線）變成了一個閉合橢圓而不是一條分離線。學生們發現了這一點，並得出結論：存在一個有限的時間T，在該時刻，解返回到初始點。利用唯一性定理，他們可以推導出對於任意正整數n，解在nT時刻的值還是初始點。然後得出的結論是：由於無窮遠時刻的極限與任何趨於無窮遠時刻的時間子序列的極限重合，因此極限等於初始點！這個解答是由坐在考試大廳不同位置的幾個優等生獨立給出的。在所有這些推理中，沒有邏輯錯誤。這確實是一個正確的推算，也能用計算機得到相同結果。但顯然，解題者根本什麼都不懂。可以想象布爾巴基學派對學生施加了多麼可怕的壓力，把（顯然並不笨的）學生變成了推理機器！這種公式化的教育對於任何實際問題都是完全無用的，甚至是危險的，會導致切爾諾貝利式的悲劇。糟糕的是，這種公式化的教育瘟疫正在很多國家蔓延，受其感染的數學前景不容樂觀。
美國則面臨着另一種危險。沒有一個俄羅斯教授能夠正確解答美國研究生入學考試（GRE）中的問題。在下面三組中選出與[角度angle，度數degree]最接近的一組：[時間time，小時hour]；[面積area，平方英寸square inch]和[牛奶milk，夸脱quart]。每個美國人都會立即給出正確答案。官方的正確答案是[面積，平方英寸]，解釋是：1度是角度的最小單位，1平方英寸是面積的最小單位，而1小時包含很多分，1夸脱包含2品脱。我一直很奇怪怎麼可能會有這麼多的美國人克服瞭如此的困難而成為大數學家的。紐約一位成功解決了這個問題的物理學家告訴我，他有一個準確描述這些出題者愚蠢程度的模型。
惠特尼告訴我，一次針對14歲在校學生的全國範圍測試中，一道關於數字80的120%是大於、小於，還是等於80的問題，只有30%的學生得到了正確答案。進行測試的人認為30%的學齡兒童理解百分比。然而，惠特尼向我解釋説，就整體樣本而言，真正理解的人數可以忽略不計。由於有三種可能的答案，因此正確隨機選擇的統計預測為33%，還有5%的誤差。
最近，就連美國國家科學院也決定應該加強美國的科學教育。他們建議從課程中刪除對美國孩子來説太難的、不必要的科學事實，代之以真正基礎的、初級的知識，如所有物體都有屬性，所有的生命都有天性！（參見Nature 372:5606 December 8, 1994.[注48]） 毫無疑問，他們會在這方面走得很遠！兩年前，我在《今日美國》（USA Today）上讀到，美國父母為不同年齡段的孩子列出了一份真正必要的知識清單。在十歲時，他們必須知道水有兩種狀態，而在十五歲時，要知道月亮有不同的月相併繞地球旋轉。在俄羅斯，我們在小學低年級[注49]裏就教孩子們水有三個狀態，但在短期來看，新興的美式文化無疑會取得勝利。不過在自由的美國體系中，有一些顯著的優勢，比如説，高中生可以選修爵士樂歷史的課程，而不是代數。
惠特尼去世前幾個月，仍然活躍在普林斯頓高等研究院，並向我講述了他數學研究的故事。他原是耶魯大學小提琴專業的本科生，第二年，他被送到歐洲最好的音樂中心之一。遺憾的是，我忘了是哪個城市了，但可以肯定，它離阿爾卑斯山不遠，因為他已經是一個登山運動員了。在那裏，學生必須通過一門和自己專業不同的科目的考試。惠特尼問他的同學當時最流行的科目是什麼，他們告訴他是量子力學。第一節量子力學課後，他這麼問那位著名的授課老師（泡利？薛定諤？或是索末菲？），“親愛的教授先生，好像您講的課有點不對勁兒，我是耶魯最好的學生，可您的課我還是一個字也聽不懂。”在得知惠特尼是音樂專業後，老師很有禮貌地回答説：“這是因為你需要一些背景知識，比如微積分和線性代數。”惠特尼説：“那好，我希望這些不像你的課那麼新，應該有人寫過一些教科書吧。”授課老師指點了幾本教材給惠特尼。（請知情者告我此事發生的地點，這位教授的名號，以及這幾本書的名字，先此致謝！）惠特尼對我説：“三個星期後，我能聽懂他的課了，學期末我從音樂專業轉到數學。”
柯爾莫哥羅夫一開始也不是學數學的——他研究的是歷史。他的第一篇論文寫於他17歲時，在莫斯科大學由巴赫羅欣（Bakhrushin）[注50]組織的一次研討會上發表。柯爾莫哥羅夫根據對諾夫哥羅德（Novgorod）[注51]中世紀税收記錄的分析得出了一些結論。講話結束後，柯爾莫哥羅夫問巴赫羅欣是否同意這些結論。“年輕人，”教授説，“在歷史學中，你至少需要五個證據才能得出一個結論。”第二天，柯爾莫哥洛夫就轉到了數學系。在他去世後，這篇論文從檔案中被找出來重新出版，歷史學家認為他的結論是對的。
Lui: 能談一下關於純粹數學和應用數學的看法嗎？
阿諾德：根據路易斯·巴斯德（Louis Pasteur）的説法，不存在應用科學——存在的是科學的應用。純數學家和理論物理學家對應用數學界的普遍看法是，應用數學家由無力的思考者組成，他們無法得出科學上重要的東西，還有一些人對金錢比對數學更感興趣。我不認為應用數學界完全匹配這種特性，參見我的文章《應用數學的歉意》（Apology of applied mathematics，發表於1996年Russian Mathematical Surveys）。此文總結了我在1995年7月漢堡工業與應用數學國際會議開幕式上的演講。我認為純粹數學和應用數學的區別在於社會而非科學。純數學家因數學上的發現而獲得報酬，應用數學家則因解決特定問題而獲得報酬。
當哥倫布揚帆起航時，他就像一個應用數學家，尋求一個具體問題的解決方案：找到去印度的路。新大陸的發現可以比作為純數學家的貢獻。我不認為伽利略的發現（他立即以美式的商業化風格利用其成果）不如純粹哲學家帕斯卡的那些重要。真正的危險不是應用數學家那幫人本身，而是由數學和數學教育的形式化（我認為這就是犯罪）造成的純粹數學與科學的分離。希爾伯特-布爾巴基（Hilbert-Bourbaki）的公理演繹式數學闡述在本世紀上半葉占主導地位，幸運的是，現在正讓位於龐加萊式幾何數學的統一趨勢，它將深刻的理論洞察力與現實世界的應用相結合。
順便説一下，我在最近的一本美國書中讀到，幾何是一種不會在冗長計算中犯錯誤的藝術。我認為這是對幾何學的低估。
我們的大腦有兩個半球:一個負責多項式的計算和語言，另一個負責圖形在空間中的定位和現實生活中所有重要的事情。當我們同時利用兩個半球時，數學就是幾何。可以參看“The geometry of formulae” by A. G.Khovanskii in the Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math.Phys. Rev. V4 (1984)。
編者注:在本文付印時，阿諾德根據隨後的通信和事件，提交了一份採訪的新改版。但編輯部收到過晚，不能列入文章中。
譯者注
[1] 彼得羅夫斯基（Ivan Georgievich Petrovsky，1901-1973），蘇聯數學家，偏微分方程專家。
[2] 柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolayevich Kolmogorov，1903-1987），20世紀最有影響的數學家之一。在現代數學眾多分支有重要影響，特別是在調和分析，概率論、集合論，信息論，數論，拓撲學方面做出了重大貢獻。
[3] 列夫·龐特里亞金（Lev Semyonovich Pontryagin，1908-1988），蘇聯數學家，在拓撲，代數，動力系統方面有重大貢獻。
[4] 羅克林（Vladimir Abramovich Rokhlin，1919-1984），蘇聯數學家，在代數拓撲，幾何方面有重大貢獻。
[5] 蓋爾範德（Israil Moiseevic Gelfand，1913-2009），柯爾莫哥洛夫的學生，在羣論、表示論、泛函分析等多個領域做出重大貢獻，在數學教育方面極有影響。
[6] 彼得·諾維科夫（Pyotr Sergeevich Novikov，1901-1975），集合論、數理邏輯、算法理論羣論專家。
[7] 安德烈·馬爾可夫（Andrey Andreevich Markov，1903-1979），俄羅斯著名數學家安德烈·馬爾可夫（Andrey Andreyevich Markov，1856–1922）的兒子，主要研究拓撲學、拓撲代數、動力系統、算法理論和構造性數學。他證明了拓撲學中同胚問題的不可判定性，引入了正規算法的概念。
[8] 格爾豐德（Aleksandr Osipovich Gelfond，1906-1968），他深刻地發展了超越數論和複變函數的插值理論和逼近理論，並解決了希爾伯特第7問題。
[9] 柳斯特尼克（Lasar’Aronovich Lusternik，1899-1981），泛函分析領域專家。
[10] 亞歷山大·辛欽（Aleksandr Yakovlevich Khinchin，1894-1959），蘇聯概率論學派主要數學家之一，數論、概率論和統計物理方面都有傑出貢獻。
[11] 帕維爾·亞歷山德羅夫（Pavel Sergeyevich Alexandrov，1896-1982），在集合論和拓撲學方面有傑出貢獻，其編寫的教材影響深遠。
[12] 尤里·馬寧（Yuri Ivanovich Manin，1937-），非交換代數幾何奠基人之一，在微分方程、數論、範疇論和物理學方面有傑出貢獻，也是最早提出量子計算理論的數學家之一。
[13] 雅科夫·西奈（Yakov Grigorevich Sinai，1935-），俄裔美籍數學家，柯爾莫哥洛夫的學生，主要從事動力系統理論、遍歷理論和數學物理研究，2014年獲得阿貝爾獎。
[14] 謝爾蓋·諾維科夫（Sergei Petrovich Novikov，1938-），彼得·諾維科夫的兒子，以代數拓撲和孤子理論方面工作而聞名，廣義相對論、量子場論等方面也有建樹。1970年菲爾茲獎獲得者，2005年獲得沃爾夫數學獎。
[15] 弗拉基米爾·阿列克謝耶夫（Vladimir Mikhailovich Alekseev，1932-1980），柯爾莫哥洛夫的學生，動力系統理論專家。
[16] 阿諾索夫（Dmitrii Viktorovich Anosov，1936-2014），龐特里亞金的學生，動力系統理論研究專家。
[17] 亞歷山大·基裏洛夫（Alexandre Aleksandrovich Kirillov，1936-），蓋爾範德的學生，在表示論、拓撲羣和李羣等領域做出傑出貢獻。
[18] 《俄羅斯數學調查》是俄羅斯雙月刊Uspekhi Matematicheskikh Nauk的英文譯本，創刊於1936年。
[19] 即俄羅斯科學院斯捷克洛夫數學研究所聖彼得堡分所（St.Petersburg Department of SteklovInstitute of Mathematics of the Russian Academy of Sciences）。
[20] 維希克（Anatoly Moiseevich Vershik，1933-），研究表示論、動力系統、遍歷理論、幾何學等多個領域有貢獻。他最著名的工作是無限對稱羣的表示，並將它應用到最長遞增子序列。
[21] 格莫洛夫（Mikhail Gromov，1943-），俄裔法籍數學家，在黎曼幾何、辛幾何、代數拓撲學、集合幾何羣論和微分方程等領域有傑出貢獻。1993年獲沃爾夫獎，2009年獲阿貝爾獎。
[22] 伊利亞什伯格（Yakov Eliashberg，1946-），辛拓撲與切觸拓撲的創始人之一，2020年獲沃爾夫獎。
[23] 維羅（OlegYanovich Viro，1948-），拓撲與代數幾何專家，尤其擅長實代數幾何，熱帶幾何與扭結理論。他是1983ICM（華沙）與2000ICM（巴塞羅那）受邀報告人。
[24] 圖拉耶夫（Vladimir Georgievitch Turaev，1954-）量子拓撲主要創始人，利用經典拓撲中的基本技巧在3維流形的不變量理論以及紐結與鏈環理論中引入新的思想與工具。
[25] 哈拉莫夫（Viatcheslav Mikhailovich Kharlamov，1950-）俄裔法籍數學家，代數幾何，微分拓撲專家。
[26] 博特（Raoul Bott，1923-2005），匈牙利裔美籍數學家，在幾何學方面做出傑出貢獻，2000年獲得沃爾夫獎。
[27] 加丁（Lars Gårding，1919-2014），瑞典數學家，對偏微分方程領域做出傑出貢獻。
[28] 霍萬斯基（Askold Georgievich Khovanskii，1947-）研究領域為代數幾何，交換代數，奇點理論，微分幾何與微分方程，發展了代數幾何中的環面簇與牛頓多面體理論。創立了稀疏多項式理論。
[29] Fewnomial theory是研究特殊類型多項式的理論，fewnomials也稱作稀疏多項式（sparsepoly nomials）或缺項多項式（lacunarypoly nomials），它們的項數是給定的，係數和次數可以變化。
[30] 斯蒂芬·斯梅爾（Stephen Smale，1930-），美國數學家，菲爾茲獎（1966）和沃爾夫獎（2007）獲得者，在拓撲學、動力系統，數理經濟學等方面做出傑出貢獻。
[31] 勒內·託姆（René Thom，1923-2002），法國數學家，突變理論創始人，1958年菲爾茲獎獲得者。
[32] 約翰·米爾諾（John Willard Milnor，1931-），美國數學家，在微分拓撲、K-理論和動力系統等方面做出傑出貢獻，榮獲數學三大獎：菲爾茲獎（1962）、沃爾夫獎（1989）和阿貝爾獎（2011）。
[33] 奧萊尼克（Olga Arsen’evna Oleinik，1925-2001），烏克蘭數學家，偏微分方程專家。
[34] 孔採維奇（Maxim Kontsevich，1964-），法國高等科學研究所（IHÉS）教授，1998年菲爾茲獎獲得者。
[35] 貢恰羅夫（Alexander Goncharov，1960-），耶魯大學教授，蓋爾範德的學生。
[36] 富克斯（D.B.Fuchs，1939-），俄裔美籍數學家，拓撲理論專家，和蓋爾範德共同創立了無窮維李代數的上同調理論。
[37] 加林娜·秋琳娜（Galina Nikolajewna Tjurina，1938-1970），主要研究代數幾何，是活躍在1960年代蘇聯頂尖數學家中的女數學家。
[38] 安德魯·秋林（Andrei Nikolajewitsch Tjurin，1940-2002），秋琳娜的弟弟，主要從事代數幾何研究。
[39] 哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney，1907-1989），美國數學家，奇點理論建立者之一，1982年獲沃爾夫獎。
[40] 德利涅（Pierre Deligne，1944-），比利時數學家，格羅騰迪克的學生，以證明Weil猜想著名，榮獲數學三大獎：菲爾茲獎（1978）、沃爾夫獎（2008）和阿貝爾獎（2013）。
[41] 涅霍羅舍夫（Nikolai Nikolaevich Nekhoroshev，1946-2008），在哈密頓系統、微擾理論等做出傑出貢獻。
[42] 瓦爾琴科（Alexander Nikolaevich Varchenko，1949-），在幾何學、撲拓學和組合數學、數學物理等領域做出傑出貢獻。
[43] 扎卡爾尤金（Vladimir Zakalyukin，1951-），在奇點理論和動力系統等領域做出傑出貢獻。
[44] 瓦西里耶夫（Victor Anatolievich Vassiliev，1956-），在拓撲學、奇點理論、積分幾何、計算複雜性理論等做出傑出貢獻，提出紐結理論中的Vassiliev不變量。
[45] 紀梵塔爾（Alexander Givental，1958-），俄裔美籍數學家，主要研究辛拓撲和奇點理論及其與拓撲弦理論的關係等。
[46] 戈柳諾夫（Victor Vladimirovich Goryunov，1956-），在奇點理論、辛流形和切觸幾何等方面做出傑出貢獻。
[47] 這裏以初等數論中的模p同餘為例。比如整數模5，就將所有整數劃分成5個類，每個整數可以寫成5t+s的形式，其中t是整數，s是{0,1,2,3,4}中的某一個。整數模7是類似的，每個整數可以寫成7p+q的形式，其中p是整數，q是{0,1,2,3,4,5,6}中的某一個。
[48] Macilwain,C. Academy report backs ‘science for all’ plan. Nature372, 489(1994).
https://doi.org/10.1038/372489a0
[49] 原文Primary school在美國一般指小學三四年級以前。
[50] 巴赫羅欣（Sergei Vladimirovich Bakhrushin，1882-1950），俄國著名歷史學家。
[51] 諾夫哥羅德（Novgorod）的歷史重要性很高，中世紀時期是個大公國，後併入莫斯科大公國。歷史學家Boris Kiselev評價説：“彼得大帝開了一扇朝向歐洲的窗户，而中世紀的諾夫哥羅德早已將大門敞開。”
受訪者簡介
弗拉基米爾·伊戈列維奇·阿諾爾德（俄語：Влади́мир И́горевич Арно́льд，1937年6月12日－2010年6月3日），俄國數學家。20世紀最偉大的數學家之一，動力系統和古典力學等方面的大師。1957年他19歲時就解決了希爾伯特第十三問題，此後對多個數學領域都有重大貢獻，包括動力系統理論、突變論、拓撲學、代數幾何、經典力學、奇點理論。他最著名的成果是關於可積哈密頓系統穩定性的KAM定理，即柯爾莫哥洛夫-阿諾德-莫澤定理。
採訪者S. H. lui
現為加拿大曼尼託巴大學（University of Manitoba）數學系主任、教授，研究方向為數值分析，應用偏微分方程。
本文原文發表於Hong Kong Mathematics Society Newsletter, 1996.2，原標題為An Interview with Vladimir Arnol’d，後經Notices of the AMS轉載。本文經採訪者授權發表於《返樸》。
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