自上而下的因果關係：數學結構與觀察者_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-16 09:52
撰文 | Otávio Bueno
翻譯 | 劉志航
審校 | 劉培源
原文題目：
Mathematics and Measurement: Causation and the Mind
原文地址：
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-71899-2_3
摘要：這篇文章討論了自上而下因果關係的兩個方面，喬治·埃利斯（George Ellis，著名物理學家與複雜系統學者）對這一複雜概念進行了令人信服的解釋。作者首先考察了數學矩陣結構，並認認為這些結構是否可以進入任何因果關係尚不清楚。相反，作者強調在應用數學的背景下，數學理論的解釋所起的作用。其次，作者考察了自上而下的因果關係在測量中的作用，特別是在量子力學中，並確定了觀察者在這種情況下的重要性。這篇文章很大程度上同意埃利斯的總體信息，但可能對某些細節的理解略有不同。作者是在廣泛的經驗主義背景下闡明瞭這一信息。
1 簡歷
在《物理學如何成為心智的基礎？》（How Can Physics Underlie the Mind?，Ellis 2016），埃利斯提供了一個令人信服的案例，證明自上而下的因果關係在科學（特別是物理學、生物學、計算機科學和認知科學）及其他領域的重要性。這是一項範圍廣泛的工作，但有一個非常清晰的論點，並得到了各種例子的支持。簡而言之，他的這項工作不僅強調我們所熟悉的自下而上因果關係（從基本物理層面到非物理領域）的重要性，還特別強調了是自上而下的因果關係（從心理到物理）在表徵中的重要性的層次結構。正如埃利斯所説：
正是自下而上和自上而下的因果關係的結合，才使得真正複雜的行為從組合在一起的簡單組件中湧現出來，形成了模塊化的分層結構。除了自下而上的因果關係，自上而下的因果關係也發生在這些結構中[……]通過語境在決定較低層次因果關係結果中的關鍵作用。（Ellis 2016, p. 5; italics added）
我想通過討論埃利斯研究的兩個案例來關注這種“情境的關鍵作用”：數學結構的因果作用和自上而下的因果關係在測量中的作用（尤其是在量子力學中）。我非常同意他的總體信息，儘管我們可能在細節問題上存在分歧，我將在廣泛的經驗主義背景下闡明這一信息。
2 數學與心智
數學的本體論通常被描述為既不在時空中也不具有因果關係的對象和結構（參見 Lewis 1986；Hale 1987；Colyvan 2001）。
強調自上而下因果關係作用的一個有趣結果是，至少在某種視角下，數學在因果關係解釋上變得活躍。事實上，根據埃利斯的説法，數學的抽象世界在因果上是有效的（causally efficacious）：
數學這個抽象的世界在兩個方面是因果有效的。首先，它可以被人類的心智探索，由此產生的關係以多種方式共享和表示。例如，可以將曼德布洛特集的圖形版本印刷在一本書中，從而在頁面的墨水中產生這種抽象圖案的物理體現。（Ellis 2016, p. 367）
正是人類心智對數學的探索，使人們能夠發現抽象對象之間的新關係，並在物理世界中表示這種關係，例如在曼德布洛特集的情況下用抽象圖案的印刷表示。但這並不是抽象世界因果有效的唯一方式。埃利斯繼續説：
其次，由此產生的（抽象對象之間的）關係可用於商業、物理學和工程學，以分析可能性，從而改變世界。例如，數學是商業和建築項目中改變我們周圍世界的建築和工程決策的基礎。它還奠定了物理學支撐工程學的方式，例如麥克斯韋方程組是電信行業基礎的理論[. . . ]。因此，數學關係對世界上發生的事情產生了真正的影響。（Ellis 2016, p. 367）
使用數學來分析現實工程的可能性，可以對世界的變化採取行動。一個工程項目，例如金門大橋的建設，是在仔細的數學分析下設計的，體現了數學可以給世界帶來的各種變化。
如果我們理解得當，這無疑是一個合理的觀點。毫無疑問，數學在我們表示、理解和改變世界的方式中起着至關重要的作用。波普爾（1972）也捍衞了這樣一種觀點，即數學世界是因果有效的。
但我們不清楚，是否需要數學世界本身具有因果效力，它才能在我們理解和改變世界中發揮這樣的作用。畢竟，相同的數學結構與完全不同的物理情況兼容，具有不同的因果關係。因此，鑑於相關數學結構之間的兼容性並且沒有相應的因果變化，我們尚不清楚數學是否具有因果關係，並對物理世界中產生的影響負責。
例如，考慮一下量子力學中的狄拉克方程：這是一個具有負能解的重要方程。那麼問題是如何解釋這些解。事實證明，方程及其解與三種截然不同的物理情況兼容。第一個是負能解被認為與物理世界中的任何事物都不對應。這是保羅·狄拉克（Paul Dirac）對這個方程的最初反應，這個方程在他 1928 年第一次遇到這個方程後以他的名字命名。這個反應是相當合理的，事實上，這與經典力學中方程的負解時的反應是一樣的。然而，到 1930 年，狄拉克提出了對狄拉克方程的不同解釋：負量解對應於時空中的“洞”。但正如維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）和赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）等人迅速指出的那樣，在這種解釋中，電子和質子將具有相同的質量，這在經驗上顯然是不充分的。1931 年，狄拉克不為所動地提出了對同一方程的第三種解釋，根據該方程，負能解對應於與電子質量相同但電荷相反的新粒子。次年，即 1932 年，卡爾·安德森（Carl Anderson）製作了一張宇宙輻射的雲霧室圖像，經過適當的解釋，可以被視為支持這種粒子的存在：正電子已經被發現（有關詳細信息和參考資料，請參閲 Bueno 2005）。
這個例子説明了數學的一個共同特徵：極端的不確定性，在這種情況下，相同的數學關係與完全不同的經驗情況兼容。狄拉克方程及其負能解與三種非常不同的物理環境兼容：（i）一種情況下，其解不對應於任何物理真實的東西，因此沒有預期或觀察到因果關係；（ii）另一種情況，其解與時空中的“洞”有關，並最終引入一些經驗充分的東西；最後，（iii）解指向一中新粒子，最終產生了經驗證據。鑑於這種不確定性，似乎相關的數學結構並不能唯一地確定世界上的因果關係。正如上面第一種情況清楚地説明，狄拉克方程也與不存在任何因果變化的事實相兼容，這一事實似乎説明我們無法將因果力量歸因於數學。
接下來的問題是，究竟是數學的抽象世界具有因果有效性，還是人們在這個世界中的行為，在某些情況下，是由對數學形式主義的適當解釋所決定的，最終是因果有效性。相同的數學與世界上非常不同的物理狀態兼容這一事實似乎質疑抽象世界與物理環境之間是否可以建立直接的因果關係。任何這樣的聯繫都是通過對數學結構的適當解釋來調節的，其結果是，與其説是數學，不如説是它的解釋將相關的抽象結構與相應的物理過程聯繫起來。儘管數學很重要，但它只提供了一個整體框架，它對物理世界中發生的事情的因果過程保持沉默。將這個框架與具體的物理過程聯繫起來的艱鉅工作，需要恰當的解釋，這通常不是唯一的，並且會導致非常不同的因果結果。
作為進一步的説明，請考慮選擇公理（Axiom of Choice）的情況，該公理在其眾多公式中指定任何非空集合都具有選擇函數，即從原始集合中的每個集合生成相應元素的函數。眾所周知，從這個公理可以看出，每個集合都可以是良序的。選擇函數提供了良序的存在，即使它不能表現出所討論的特定良序。這是恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在集合論早期建立的結果（Zermelo 1904）。事實上，鑑於選擇公理的明確表述所產生的爭議，良序的結果最終導致策梅洛闡明瞭集合論的第一個公理化（Zermelo 1908; 有關討論，請參閲 Kanamori 1997）。
但選擇公理也有意想不到的後果，所謂的巴拿赫-塔斯基“悖論”就是一個重要的例子。根據這個結果，給定一個固體球體，可以將其分解成有限多的碎片，這些碎片可以放在一起形成兩個與原始球體大小相同的固體球體（有關選擇公理後果的進一步討論，請參閲 Bell 2009）。悖論的感覺於考慮到一個物理球體（也許是一個橙子）可以被切成兩個球體（兩個橙子）而產生的混亂。顯然，這是不可能的，巴拿赫-塔斯基定理也沒有另外説明。事實上，該定理僅適用於抽象對象：所討論的球體沒有體積（它們是點的無限散射），並且該定理對具體對象（例如水果）可以或不能做什麼沒有任何説明。再一次，在物理世界中，從抽象實體到具體配置沒有直接的因果關係。
也許可以説，數學只有一種傾向因果的作用：只有在適當的情況下，我們才能在世界上感受到數學的因果效應。人類（或具有相應意識的生物）需要存在並能夠適當地解釋相關的數學結構，並根據所討論的數學提供的抽象模式在現實世界上實施相應的行動（建造橋樑、飛機、粒子加速器）。但關鍵是，如果沒有相關的數學，根本無法創建幾個這樣的結構。
這就把數學在科學、工程和技術實踐中不可缺少的問題（Colyvan 2001）帶到了科學、工程和技術實踐中。我當然承認，數學對於這些實踐中確實是不可或缺的，即使在那些可以省略數學的情況下（例如，在簡單的算術計算中，可以僅從邏輯角度進行），毫無疑問，數學提供了強大的表示工具，極大地簡化了所涉及的推理過程。然而，即使賦予數學的不可或缺性，還需要一個額外的步驟來得出結論，數學需要具有因果效應才能發揮這種不可或缺的作用。
以下是對這種情況的不同描述：數學結構是抽象的，因此，在因果上是不活躍的，並且不位於時空中。它們沒有直接指定任何關於物理世界的內容，因為物理過程是具體的：它們是具有時空定位和因果活躍的。簡單地説，如果數學結構指定了函數、數字和集合之間的關係，並且如果所有這些實體都被認為是抽象的，那麼它們都不是物理世界的一部分，就像通常的情況一樣，假設後者被認為是具體的。充其量，數學結構只施加了基數限制。據推測，如果給定數學理論的所有模型都是有限的，那麼它們就不足以容納涉及無限多項目的現象。撇開基數的不談，目前尚不清楚抽象數學結構本身是否具有因果效力（或具有任何因果力量），儘管它們在物理現象的表徵以及世界上建築物和人工製品的設計和建造所涉及的可能性的分析中發揮了不可否認的作用。
與其將這一過程描述為從抽象結構到物理現象、過程和事件的自上而下的因果關係形式，不如用數學在物理世界表示中發揮的推論作用來解釋。數學結構提供有關給定抽象域中可能（或不可能）配置的信息。一旦得到適當的解釋，就像狄拉克試圖將狄拉克方程的負能解連接到物理世界時所做的那樣，數學結果可以用來推斷具體物體。毫無疑問，將推理過程描述為一種自上而下的因果關係形式是高度暗示性的，但它似乎要求抽象結構本身具有因果效力。要做到這一點，這種結構需要成為具體世界因果網絡的一部分，具有時空位置和因果活性。困難是如何在抽象實體的情景中理解這些特徵。
也許可以説，數學對象和結構位於它們所應用的具體對象所在的任何位置。從這個意義上説，抽象結構將具有因果力量，只要它們所適用的具體對象具有這種能力，因此具有因果效力。只要抽象和具體之間（在共置和識別方面）之間存在緊密的聯繫，就不難理解前者如何與後者具有完全相同的效力。
然而，困難在於數學理論通常比任何潛在的物理實例具有更多的結構。數學理論在物理世界的應用中如此有用的部分原因是它們提供了額外的，多餘的結構（Bueno & French 2018）。上面狄拉克方程的例子也説明了這一點，考慮到最初被認為是完全多餘的數學特徵（即負能解）所起的作用，因此被認為只是結構冗餘的一部分，但是通過適當的物理解釋，結果證明在啓發式上非常富有成效，並最終發現了一種新粒子（正電子）。有趣的是，當安德森被問及他是否知道狄拉克的工作時，他承認他知道狄拉克的論文，但指出他忙於處理他的儀器，在他看來，正電子的發現對他來説是“一個意外” （有關參考，請參見 Bueno 2005）。
由於數學理論通常提供的結構比具體世界中發現的任何結構都大得多，因此尚不清楚這些結構如何在物理上位於它們所應用的區域中。在無限數學結構的情況下，它們永遠不能在物理世界的任何部分完全實例化（假設它是有限的）。因此，可能無法唯一確定實際上應用了哪種數學結構。畢竟，有幾個非同構結構與據稱正在應用的結構的初始部分重疊，但在其他地方偏離了它，結果是無法確定哪個結構最終處於危險之中。
由於這些原因，通過檢查相關結構的解釋所起的作用，而不是強調數學之間的潛在因果關係，在科學和其他學科中使用數學和抽象結構似乎更容易解決問題。結構和物理現象。這使得人們可以通過埃利斯的自上而下的因果關係方法來承認數學結構在塑造具體世界中的巨大和決定性意義，儘管通過強調對所討論結構的正確解釋所起的作用，而不是承諾存在抽象世界和物理現實之間的直接因果關係。
3 測量和自下而上的因果關係
根據埃利斯的説法，另一個自上而下的因果關係也至關重要的領域是微觀物理學，特別是在量子力學測量的背景下。通常，重要的是要將按照薛定諤方程演化的量子系統的演化與測量過程區分開來，在適當的準備之後，測量過程旨在確定系統的狀態。正如埃利斯所指出的：
測量是一個與狀態準備過程有顯着相似之處的過程，因為兩者都可以將作為狀態疊加的波函數更改為特徵函數。因此，它們是非單一過程，不等價於薛定諤方程的作用。（Ellis 2016, p. 273）
將觀察者與研究中的量子系統區分開來也是常見且重要的。否則，測量設備與待測系統之間的相互作用將僅相當於量子力學要解釋的另一種物理相互作用，而不是對系統的測量。但測量不僅僅是任何相互作用：它涉及到一些特殊的東西，因為觀察者的存在以及觀察者影響測量過程某些方面的能力。正是在這個關頭，自上而下的因果關係進入了。埃利斯強調這一點：
實驗觀點是，宏觀觀察者和設備作為宏觀實體存在，可以被認為是理所當然的，並且可以在啓用狀態向量準備和確定測量結果的情境方面影響量子狀態，例如，通過確定將沿其測量自旋的軸。當然，這兩種情況都是自上而下的因果關係。（Ellis 2016, pp. 273–274）
埃利斯將觀察者在測量過程中可能產生的兩種影響（即，啓用狀態向量準備和為測量結果提供情境）識別為自上而下因果關係的實例是完全正確的。畢竟，這兩種情況粗略地説，都涉及從思維到身體的影響。這兩種情況也相當合理，不像產生量子力學特有的令人困惑的困難或挑戰。畢竟，人們在科學的其他類型的測量中發現了類似的例子。例如，為了使用透射電子顯微鏡，生物學家首先需要正確準備樣品，因為無法通過測量過程檢測到任何有用的東西。只有在樣品和顯微鏡之間的適當相互作用已經設置好之後，測量才能產生最低限度的足夠結果。換句話説，樣品製備是必不可少的步驟，它為整個測量過程提供信息。這包括將一塊被研究的材料切割成適當的尺寸，將其粘在玻璃板上，研磨和拋光樣品，最後將其放入樣品架中。觀察者在過程的每個階段所做的選擇和恰當的行動，清楚地説明了自上而下的因果關係在測量過程中所起的作用。如果選擇不同（與研究材料不同的部分；如樣品架上放錯了樣品），測量結果（相應的顯微照片）也會相應不同。觀察者清楚地啓用和實施樣品製備。
同樣，確定“測量結果的情境”也是電子顯微鏡的核心。畢竟，樣品中材料的切割方式可能會產生顯着不同的結果，最終通過不同的顯微照片表現出來。根據顯微照片中提供的信息，人們可能會認為給定細胞結構的形狀是長方形的，而如果考慮到它的三維結構，則相關形狀更接近於圓柱形。因此，測量結果的背景對於正確確定相關測量結果至關重要，以便人們能夠正確理解所獲得結果的重要性。例如，考慮根據合適的顯微照片確定線粒體的形狀。注意測量結果的適當情境對於避免從測量結果中得出不正確的推論至關重要。
但是，使用電子顯微鏡的結果是否應該被視為測量結果？我認為答案是肯定的，但這當然取決於測量的基本概念。這樣的概念應該足夠廣泛，以便人們理解測量如何涉及不同的實踐，不僅在物理、化學和生物學中，而且在其他幾個代表性活動中，例如考古學中的石刻插圖（Lopes 2018, Chapter 10）和美術中的透視繪畫（van Fraassen 2008, Chapters 1–3）。
在最一般的形式中，測量具有兩個特徵（van Fraassen 2008，p. 91）：（a）它是一種特殊的物理相互作用，（b）它是一個收集相關信息的過程，適合於相互作用。條件（a）保證測量是物理過程，因此，原則上是能夠提供有關物理世界信息的那種東西。條件（b）規定測量的目的是獲取相關信息的過程。當然，什麼是相關的是一個高度情境敏感的問題，原則上，這允許測量在各種領域上運行 - 事實上，在任何可以獲得物理信息（廣泛理解）的地方都可以。
正如 Bas van Fraassen 所強調的：
測量同時是一種物理交互和有意義的信息收集過程。（van Fraassen 2008, p. 91）
根據這一概念，從所討論的測量裝置或技術的角度來看，獲得測量值是以某種方式表示相關現象。van Fraassen 繼續説道：
測量完全屬於表示的標題，而測量輸出在某個階段被設想為以觀察性描繪的方式在選擇性相似性上進行交易。（van Fraassen 2008, p. 91）
透視繪圖提供了一種將三維場景轉換或轉移為二維表面的特定技術。該技術涉及一個過程，實現正確結果所涉及的步驟，以及產品，最終圖紙，實現到透視。兩者都與測量密切相關。根據 van Fraassen 的説法：
透視繪圖為我們提供了一個測量的範例。繪製過程產生繪製對象的表示，該表示有選擇地仿造該對象；這種相似性立即處於相當高的抽象水平，但卻湧現在人們的眼睛裏。雖然有關空間配置的信息以一種固定關係捕獲，很難用單詞或方程式來表示，但它以用户友好的方式傳達給我們。這個例子也是典型的，因為它顯示得如此清晰，以至於表示（測量結果）顯示的不是物體“本身”的樣子，而是它在測量設置中的“樣子”。所用測量儀器的用户必須以“從這裏開始”的形式判斷結果。最後，硬幣還有另一面：正是通過一個過程產生了這種形式的判斷——也就是説，通過一種測量！——任何模型才變得可用。（van Fraassen 2008, pp. 91–92）
有趣的是，透視圖中的觀察者選擇描繪場景的角度，測量結果，即繪圖本身，將顯示從該角度看場景的樣子：“這就是從這裏開始的樣子”。該角度的選擇（場景的取景）對應於測量的準備形式，並且由此產生的選擇性（僅從觀察者的角度可以看到的內容顯示在繪圖上）為測量結果提供了情境。通過這種方式，埃利斯在測量中確定的兩種形式的自上而下的因果關係（2016, pp. 273–274）似乎都存在於透視圖中。
繼續討論量子力學中的測量，埃利斯指出：
在這裏，我們所説的測量，我們指的是一個過程，在這個過程中，量子不確定性被改變成一個確定的經典結果，可以作為所發生事情的證據進行記錄和檢查。（Ellis 2016, p. 247）
顯然，正如埃利斯通過將討論置於量子力學中所指出的那樣，如果用這些術語來理解測量，它就成為量子理論特有的概念，因為它涉及從量子不確定性到經典結果的確定性的轉變。但鑑於上述討論，儘管測量在量子理論中發揮了關鍵作用，但其他科學領域以及自然科學以外的許多其他領域，包括透視繪圖和石刻插圖，也提供並依賴於測量，這是關於世界信息的關鍵來源。因此，還需要一個不完全與量子力學相關的測量概念，或者不以量子力學為範例的測量概念。
埃利斯確實強調了測量的一個方面，通過消除觀察者的需求來擴大概念：他指出，測量主要是一個物理過程，實際上可以獨立於觀察者進行。在他看來：
觀察者沒有必要實際進行任何測量。例如，當光子落在物理物體（如屏幕，照相板或植物的葉子）上，並在特定時間和地點將能量沉積在物體上的特定點上時，就會發生這種情況。用更專業的術語來説，當一般波函數的某個分量坍縮為算子的特徵狀態時，它通常發生[ . . . ]。（Ellis 2016, p. 247）
毫無疑問，為了使測量產生相關信息，它們必須是合適的物理過程。如果沒有適當的物理相互作用，尚不清楚是否可以進行測量。但是，在觀察者解碼相關信息之前，測量將無法產生任何此類結果。如果測量涉及“有意義的信息收集過程”（van Fraassen 2008, p. 91），那麼似乎需要有意的觀察者。否則，只會發生物理交互，而不是測量。埃利斯明確強調了自上而下的因果關係在測量中發揮的作用，鑑於上文討論的觀察者在測量中可以產生的兩種影響，似乎要求觀察者在測量過程中發揮作用：它們使狀態矢量準備成為可能，併為測量結果提供背景（Ellis 2016, pp. 273–274）。
在一定程度上，這一點是埃利斯本人所強調的。正如他所指出的那樣：
我們無法對測量過程本身發表意見，因為量子物理學仍然無法解釋這是如何發生的。這也可能取決於具體情境。顯而易見的是，局部環境（例如使用哪種類型的實驗設備）會影響量子測量結果[ . . . ]例如，如果我們測量自旋，則最終狀態與我們測量動量時不同。較低級別的物理學不能免受更高層次的影響。（Ellis 2016, p. 239）
在這段話中，有一個正確的認識，即要執行的測量類型通過選擇要測量的量級來影響測量結果。同樣突出的是各種測量的差異：自旋測量與動量測量明顯不同。總而言之，這些考慮似乎再次支持了觀察者在測量過程中的重要性。畢竟，選擇進行不同種類的測量是觀察者的選擇。
值得注意的是，在量子力學的背景下，測量，以及觀察者，都參與了量子理論的另一個關鍵特徵：測量結果的不確定性。根據埃利斯：
量子理論的一個基本方面是測量結果的不確定性是無法解決的：原則上甚至不可能獲得足夠的數據來確定量子事件的獨特結果[…]。這種不可預測性不是缺乏信息的結果：它是基礎物理學的本質。這種不確定性在測量發生時表現出來，而且只有到那時。沒有測量，量子過程就沒有不確定性。（Ellis 2016, p. 247）
埃利斯在這裏回應了安東尼·萊格特強調的一點：
[ . . . ]測量行為是微觀世界與宏觀世界之間的橋樑，微觀世界本身並不具有確定的屬性。（Leggett 1991, p. 87；引自 Ellis 2016, p. 247）
鑑於測量在量子理論中的中心地位以及觀察者在自上而下的因果關係中的作用，似乎觀察者最終在測量過程中是必需的。
4 結論
正如上面的考慮因素應該清楚地表明的那樣，埃利斯對自上而下的因果關係的深刻見解有很多我欽佩的地方，並且有很多東西可以學習。雖然我對數學背景下的因果關係表示了一些擔憂，並試圖對埃利斯在這種背景下的考慮提出友好的修正，但我完全同意他更普遍地強調測量中的自上而下的因果關係。在我看來，觀察者應該是整個測量過程的關鍵組成部分。
自下而上和自上而下的影響自下而上和自上而下的因果關係都發生在結構和因果關係的層次結構中。自下而上的因果關係是物理學家的基本思維方式：較低層次的行為是較高層次行為的基礎，例如物理學是化學的基礎，生物化學是細胞生物學的基礎，等等。隨着較低能級動力學的進行，例如分子通過氣體的擴散，相應的粗粒度較高能級變量將隨着較低能級的變化而改變，例如，不均勻的温度將變為單形式温度。然而，雖然較低層次通常滿足較高層次所發生情況的必要條件，但它們只是有時（在複雜系統中很少）提供足夠的條件。正是自下而上和自上而下的因果關係的結合，使同級行為能夠在更高層次上出現， 因為較高級別的實體為較低級別的行為設置具體情境，使得在較高級別上出現一致的同級別行為。
參考文獻
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