週期模式的發現者——紀念烏克蘭數學家沙可夫斯基_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-18 09:48
撰文 | 丁玖（南密西西比大學數學系教授）
11月23日清晨，我收到好友兼筆友、香港城市大學的陳關榮教授微信發來的一條關於烏克蘭數學家沙可夫斯基（Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky，1936年12月7日-2022年11月21日）的信息，信息是沙可夫斯基女兒寫的一份簡短訃告：“我的父親亞歷山大·沙可夫斯基於2022年11月21日上午10時40分離世。過去的十天他在基輔費法尼亞醫院接受心臟復甦術。他在六個月內兩次感染新冠病毒。”同時還有一張逝者的照片。我看到後心情難受，馬上回復：“沉痛哀悼！”
沙可夫斯基是何許人也？在美國，地方報紙每天都刊登許多訃告，為何陳教授在第一時間轉發這則信息通知同仁，表達哀悼之情？
週期模式
沙可夫斯基生於烏克蘭第一大城市基輔，那時俄羅斯與烏克蘭是蘇聯的兩大加盟共和國。他五歲時，烏克蘭和俄羅斯的紅軍將士一道浴血奮戰，在“基輔戰役”中與閃電式入侵蘇聯的德軍進行殊死搏鬥。然而在他人生的最後階段，他卻在自己的國土上目睹了俄烏基輔之戰。
沙可夫斯基的一生是數學的一生，不到15週歲時他就拿到了基輔數學奧林匹克競賽一等獎。大學畢業後，他進入烏克蘭科學院數學研究所讀研究生，開始了對動力系統的畢生研究。從1961年博士畢業到2017年退休為止，他一直待在數學研究所工作，期間曾分別長期擔任微分方程研究室和動力系統理論研究室的主任。
1964年，《烏克蘭數學雜誌》(Ukrainian Mathematical Journal) 第16卷中刊登了一篇俄語文章，標題的英文翻譯是Coexistence of Cycles of a Continuous Map of the Line into Itself（實數軸上到自身的連續映射循環之共存性）。在該文中，作者沙可夫斯基破天荒地給所有自然數重新排了序。
我們從小到大所學的全部數學知識是從幼兒起掰小手指數數開始的：1、2、3、4、5等等，所以我們早已習慣於全體自然數按照“自然大小”的次序排成無窮的一列：1, 2, 3, …,
在上述的論文裏，沙可夫斯基證明了如下的定理：
如果將實數軸映到自身的一個連續映射有周期為m的週期點，則對任何滿足關係m ᶘ n的自然數n，該映射也有周期為n的週期點。
這個在文章發表後十年內沒有多少人注意到的漂亮數學結果，今天被稱為“沙可夫斯基定理”。為了方便一般讀者理解定理的涵義，我們需要先解釋一下映射的週期點及週期的概念。首先，這裏的“映射”就是我們從中學就熟悉的數學概念“函數”。對於給定的將定義域區間映到自身的映射f，如果存在定義域中的一點x使得f從x開始迭代n次後才第一次回到初始
下面我們來解釋為何f不可能有周期為3的週期點。為節省漢字，對於m < n，用f(m，n)表示開區間(m，n)在f下的像，即f(m，n) = {f(x)：m < x < n} 。首先指出，映射f的週期為3的週期點是映射f3的不動點，而f的不動點也是f3的不動點。如果您畫了f的圖像，就會容易發現
f(1，2) = (3，5)， f(3，5) = (1，4)， f(1，4) = (2，5)。
這樣，f3(1，2) = (2，5)。類似可知f3(2，3) = (3，5)，f3(3，4) = (1，5)，f3(4，5) = (1，4)。由上面可見，f3在開區間(1，2)，(2，3)，(4，5)內沒有不動點，因此f在這三個區間內都沒有周期為3的週期點。上一段中通過幾何作圖可以看到f在開區間(3，4)內有唯一的不動點p。此斷言的嚴格分析證明來自事實：區間(3，4)包含在區間f(3，4)之中，然後運用關於連續函數的介值定理可得之。再通過圖像，我們就看到：f在(3，4)上遞減，其像為 (2，4)；f在(2，4)上遞減，像為 (2，5)；f在(2，5)上遞減，像為(1，5)。因為兩個遞減映射的複合映射是遞增映射，遞增映射與遞減映射的複合映射是遞減映射，我們得到結論：f3在(3，4)上遞減。這樣f3的圖像在(3，4)上方只能穿過對角線y = x一次，而交點就是f的圖像與對角線的那個交點(p，p)。所以，映射f在(3，4)內也沒有周期為3的週期點。
上面給出的“反例”及其初等證明，除了用到大學微積分中的介值定理那一句外，學過中學代數的讀者都應該能夠看懂。更進一步可以證明，任給一個自然數n，存在一個連續映射，它有周期為n的週期點，但對滿足沙可夫斯基序關係m ᶘ n的所有自然數m，該映射沒有周期為m的週期點。
約克“發現”沙可夫斯基
沙可夫斯基定理這個關於連續映射週期點之週期範式好得不能再改善的精緻結果，像許許多多淹沒在茫茫數學期刊內的其他數學命題一樣，默默無聞了一些年，原因是沒人看出它的價值。不過，它比那些默默無聞了一輩子的數學定理幸運多了，因為在它問世十一年後，由於李天巖 (1945-2020) 與他的博士論文指導老師約克 (James A. Yorke，1941-) 發表了一篇歷史上第一次明確給出數學名詞“混沌(Chaos) ”的文章《週期三則意味着混沌》(Period Three Implies Chaos)，沙可夫斯基的論文從沾滿灰塵的故紙堆裏雄赳赳地站立了起來，出現在與混沌概念密切相關的“離散動力系統”這一欣欣向榮的數學分支中而廣受研究人士追捧。
從李天巖和約克上述論文的標題似乎可見，他們所證的定理——後來被稱為“李-約克定理”或內涵更具體些的“李-約克混沌定理”——的條件是給定連續映射週期三點的存在性。我們還記得在沙可夫斯基的自然數序列中，這個3排在第一位，因此從沙可夫斯基定理直接得知，所給映射有周期為任何自然數的週期點。這表明沙可夫斯基一看到李-約克文章的標題就會脱口而出：“有任意週期的週期點存在！”
李-約克論文確實研究了週期點問題，不過那時這兩位作者卻不知道沙可夫斯基對此早有結論在先，十年前就發表了。在美蘇冷戰時期的西方，幾乎沒人去翻開蘇聯大家庭裏一個加盟共和國境內出版的俄語數學期刊，大概連雜誌的封面照片都從未見到過，更不要説懂得論文所用的語言。李-約克定理假設條件的一個特殊情形是：給定將一定義域區間映到自身的連續映射有一個週期為3的週期點。定理有兩個結論，第一個是該映射有周期為任意自然數的週期點。這個結論恰恰是沙可夫斯基定理更一般結論的一個特別例子。
如果李-約克定理就只有這一個結論，那他們的文章即便能被髮表，也僅僅是浩瀚論文大海里的“滄海一粟”罷了。然而，李-約克定理的第二個結論是劃時代的，它與沙可夫斯基定理的交集為空，其內容是：在映射的定義域內存在不可數個非週期點，從其中任意兩個不同的點出發無窮次迭代該映射而得到的兩個不同的迭代點序列，當迭代次數趨於無窮大時，彼此之間的距離無窮次地“越來越靠近”0，又無窮次地與0“保持一定的距離”，此外，每一條這樣的迭代點軌道都不趨向於一條由週期點組成的週期軌道。用更加形象的語言來説就是，從那個由不可數個點組成的集合中任何一點出發，其迭代點序列的最終走向是“不可預測的”，這無窮個點的最後行為用李天巖教授自己的話説，是“亂七八糟的”。
李天巖和約克獲得他們定理的初衷與沙可夫斯基完全不一樣。蘇聯時代的數學研究與數學教育一樣，系統性非常之強。上世紀五十年代，中國翻譯了一大批蘇聯的大學數學系教科書，內容全面而深入。就拿我們數學系同學當年幾乎人人課後都在讀的蘇聯名著教學參考書《微積分學教程》來説吧，其中譯本共有三大卷八分冊，從第一冊的實數完備性性質的戴德金分割法推導，到傅里葉級數的詳細論述，嚴謹細緻，洋洋大觀，讀後有效提高了我們的數學分析能力，武裝了我們一輩子受益無窮的推理大腦。與其數學教育的哲學理念相一致的是，蘇聯時代的數學研究範圍是全方位的，以至於有時會落入“脱離應用”的境地。沙可夫斯基那時所研究的函數迭代週期點問題是一個純粹的數學問題，他通過繁瑣證明獲得的定理結論相當美妙，但並沒有任何應用的背景促使他更進一步探索這個棘手的難題，因此他與混沌概念的數學發現失之交臂。
約克教授就不一樣了。他是法國大數學科學家龐加萊 (Henri Poincare，1854-1912) 數學哲學思想的追隨者，“用數學語言對自然界精闢刻畫”這條信念一直貯存在他的大腦裏。1972年底到1973年初的那段時間，他仔細閲讀了他所任教的馬里蘭大學一個流體力學家同事遞給他的幾篇“混沌之父”洛倫茨 (Edward Lorenz，1917-2008) 在六十年代初發表的氣象學論文，其中在最重要的那一篇《確定性非週期流》(Deterministic Nonperiodic Flow)中 洛倫茨發現的關於氣象預報簡化模型二次常微分方程系統對初始條件的敏感依賴性啓發了約克，經過深入的思考，他從中提煉出一個關於映射迭代的數學思想，猜測出週期三引起的後果，這就是後來以李-約克冠名的那個定理的內容。
李天巖和約克的這篇八頁長的文章在歷經一系列戲劇性事件後，最終刊登在1975年12月期的《美國數學月刊》上。這些有啓發性的故事被我寫進了高等教育出版社2013年出版的拙書《智者的困惑：混沌分形漫談》的第七章《週期三則亂七八糟》中。
其實，斷言李-約克定理第一個結論僅僅是沙可夫斯基定理特例的人，大概只讀了李-約克文章的標題而已，而沒有細讀文章主要定理從頭到尾的陳述。在原始論文中，定理的假設遠比“週期三”更廣：存在一個點a，該點被映射接連迭代兩次後都變大，但第三次迭代的結果卻小於或等於a，或a在映射接連迭代兩次後都變小，但第三次迭代的結果卻大於或等於a。如用不等式表示，就是
f3(a) ≤ a < f(a) < f2(a) 或 f3(a) ≥ a > f(a) > f2(a)，
而“週期三點存在”的假定只是適合這些條件的一個特例而已。
十年前，李天巖教授在給我的信件中這樣説道：“我們定理的更一般假設和沙可夫斯基的序列有一個很大的不同，可是這在應用上卻有極大的差距。好比説在種羣動力學上，種羣的第一代和第二代都是在增長，但是在第三代卻突然大降，於是乎什麼‘鬼現象’都可能發生，但是第三代的種羣數要降到和第一代一模一樣（意指週期三點存在）恐怕不大可能。從這個角度來看，沙可夫斯基序列也許比較適合放在象牙塔裏。”
好一個“象牙塔”的形象描繪！這道出了蘇聯數學觀與美國數學觀的一個不同：在蘇聯，“為了數學研究數學”的現象比比皆是，而在美國，“帶着問題研究數學”卻蔚然成風。在蘇聯，不少數學定理在美國人之前問世，卻只被供養在象牙塔裏孤芳自賞，而在美國，眼前就可用得上的數學定理生逢其時。沙可夫斯基為離散動力系統的大廈建造添磚加瓦而發現了一個極其美觀的週期模式，載入這個數學分支的史冊，而約克和他的弟子李天巖則為了解釋洛倫茨發現的長期天氣預報之不可行，挖掘出“數學文獻中一顆不朽的珍品”（語出戴森(Freeman Dyson，1923-2020)美文《鳥與蛙》）。
《週期三則意味着混沌》這篇文章第一次在數學上嚴格地引入了混沌的定義，因而首創了混沌這一數學名詞。由於普林斯頓大學著名的動物學教授羅伯特·梅 (Robert May，1936-2020) 在文章發表前一年的5月應邀在馬里蘭大學數學系做演講，介紹了他對生態學中邏輯斯蒂模型的數值模擬，並對簡單模型迭代的複雜行為困惑不解，因此當約克教授在送他去機場的路上給他看了他們的文章，他充當了李-約克定理的第一個受惠人，並且也自願擔當了宣傳員。他那年夏天去歐洲講演時到處傳播李-約克定理，讓混沌的概念很快四處散開，使得概念的提出者聲名遠播，一篇並非刊登在頂尖數學期刊，而是發表在主要面向大學生的闡述性數學雜誌上的短文成了掀起數學界、科學界和工程界對混沌動力系統理論和應用研究新熱潮的開路先鋒之作。
根據美國科學記者格萊克 (James Gleick，1954-) 在其科普名著 Chaos：Making a New Science（第二版中譯本《混沌：開創一門新科學》，2021年出版）中的敍述，1975年，約克參加了在東柏林舉辦的一個非線性振盪國際會議，做完關於“李-約克混沌”的報告後，他和同行出去逛了逛。在一條遊艇上，一個蘇聯參會者突然走近了他，急切地想與之交談。但他們一個不會俄語，另一個英文不佳，幸好在一位既懂英文、又通俄文的波蘭朋友（我猜測他是約克長期的合作者、波蘭科學院院士洛速達 (Andrzej Lasota，1932-2006)）的幫助下，約克才聽懂對方向他宣稱自己已經證明了同樣的結果，但是拒絕給出更多的細節，説他會寄上文章。四個月以後，約克收到了那位蘇聯人——正是沙可夫斯基寄來的論文複印件。果然如此，沙可夫斯基的結果較李-約克定理中關於週期點的結論更為一般。
正如前述，蘇聯時代的數學研究系統而又深入，雖然有時與應用脱鈎，但蘇聯數學家們經常走在西方同行的前面，這樣的例子舉不勝舉。比如説，當在美國貝爾實驗室工作的印度人卡瑪卡（Narendra Karmarkar，1956-) 於1984年發表了一篇開創性論文，提出了求解線性規劃的“投影變換內點算法”後，蜂擁而上的研究者們很快發現其原始想法類似於蘇聯人大約早十年之前提出過的“仿射尺度變換法”。求解線性規劃問題的經典單純形方法，在經過二戰實踐的丹齊克 (George Dantzig，1914-2005) 於1947年發明它之前，其基本思路就已經包含在蘇聯傑出數學家和經濟學家康託諾維奇 (Leonid Kantorovich，1912-1986) 在1939年所寫的一本書《生產組織與計劃中的數學方法》中，後者因此而和美國經濟學家庫普曼斯 (Tjalling Koopmans，1910-1985) 分享了1975年的諾貝爾經濟學獎。
傑出的俄羅斯數學家阿諾德 (Vladimir Arnold，1937-2010)，很有民族自尊心，也富有底氣地冷嘲熱諷過美國同行：你們美國人搞的東西，我們蘇聯人早就搞過了。在蘇聯解體後俄國經濟大滑坡、人民生活水準大倒退的上世紀九十年代初那幾年，他甚至抨擊過學術道德品行欠佳的個別美國數學教授以提供經濟資助為誘餌趁火打劫，試圖偷竊俄羅斯數學家的科研成果。
自然，約克和他的博士生李天巖沒有偷窺過沙可夫斯基的成果，反過來，後者可能要感謝前者幫助自己“出大名”。就像1972年約克給包括菲爾茲獎得主斯梅爾 (Stephen Smale，1930-) 在內的同行到處寄送洛倫茨論文複印件而導致坊間流傳“約克發現了洛倫茨”，他和沙可夫斯基在歐洲的“不期而遇”也可視為“約克發現了沙可夫斯基”。沙可夫斯基的俄語文章入境美國後，很快他的定理被翻譯成西方人能看懂的文字發表，1977年《數學物理通訊》刊登了一篇文章A Theorem of Sharkovsky on the Existence of Periodic Orbits of Continuous Endomorphisms of the Real Line（關於實數軸上連續自同態週期軌道存在性的沙可夫斯基定理），兩年後“沙可夫斯基排序 (Sharkovsky ordering) ”的數學術語也首次出現在文獻中。由於沙可夫斯基定理的原始證明頗為繁瑣，不易看懂，好幾個基於圖論等組合思想的新證明應運而生，其中的兩個於1981年和2004年分別由兩位華人數學家 (美國南伊利諾伊大學的何崇武 (Chung-Wu Ho) 和台灣“中央研究院”數學研究所的杜寶生 (Bau-Sen Du)) 發表。
很快，沙可夫斯基的大名像“李-約克”一樣傳遍了五湖四海，尤其在離散動力系統這一隨即快速發展的領域。這個數學分支的通俗説法就是“函數迭代”，就像在計算器上輸進一個數，比方説0.5，然後一次次地按x^2平方鍵後可依次看到結果0.5，0.25，0.0625，……。早先，一部分“高大上”的數學家以為離散動力系統就像只用計算機加減乘除的計算數學一樣，幾乎是門簡單的“玩具數學”，可是一看到沙可夫斯基的奇妙定理，以及李-約克定理中的驚人結論“週期三將導致亂七八糟”，才恍然大悟原來“看似簡單的函數可以呈現出複雜無比的動力學行為”，而這一觀察現已成為“複雜性理論”這一熱門學科的基本前提了。1993年，斯普林格出版了兩位荷蘭數學家的600頁專著One Dimensional Dynamics（一維動力學），將複雜多變需要眾多現代數學理論相助的離散動力系統蔚然大觀地展現在讀者面前。
正因為沙可夫斯基定理在離散動力系統中的基礎性和重要性，許多這門學科的教科書只講這個定理，而對李-約克定理隻字不提，因為就週期點而言，當週期三點存在時，後者只是前者的一個特例。然而，週期點表達的只是函數迭代過程的那部分“正規性態”，像月亮每月圍繞地球轉一圈那樣的週而復始無窮下去，沒有任何混沌行為。而揭示出混沌重大意義的李-約克定理之第二結論才深刻地反映出自然界的一個本質現象：混沌映射的逐次迭代點列關於初始點的敏感依賴性，以及由此產生的混沌軌道最終走向的不可預測性。它向科學界給出了一個超乎於數學結果的信息：混沌無處不在。根據統計，李天巖與約克的這篇論文可能是數學界及物理學界被引述次數最多的當代重要論文之一，至今已被引用了5495次 (來自谷歌學術) 。
永存的烏克蘭數學家
沙可夫斯基並非靠他大腦靈光一閃憑空而出地想到他那絕妙的“自然數排序”而獲得優美的週期點週期模式，而是從研究生階段起他就開啓了對離散動力系統的研究，他的傳世定理是他所花時間蒸餾而成的結晶。他1961年答辯的博士論文是Some Problems of the Theory of One-dimensional Iterative Processes (一維迭代過程理論的幾個問題)，六年後他以論文On ω -limit Sets of the Discrete Dynamical Systems (關於離散動力系統的 ω-極限集) 拿到國家科學博士學位證書。他是離散動力系統領域的先驅之一，一生髮表了大約250篇研究論文，並出版了七本學術著作，它們分佈在動力系統、微分及差分方程、數學物理和拓撲學等領域。他獲得過幾個重要的獎項，包括2010年的國家科學技術獎。他於1978年成為烏克蘭科學院的通訊院士，2006年被選為正式院士。三十年前，他曾在約克所在的馬里蘭大學數學系擔任過兩年的訪問教授，相信那時的他英文已經足夠好到無需翻譯就可以同幽默的約克互開玩笑了。他也應邀訪問過十多個國家和地區，包括中國大陸和台灣地區。
新冠疫情暴發前後的三年半內，僅混沌領域我所知道的就有四位先驅離開了人世。他們當中，費根鮑姆普適常數的發現人、沃爾夫物理學獎獲得者費根鮑姆(Mitchell Feigenbaum，1944-2019) 於2019年6月30日在74週歲時去世；2020年4月28日，羅伯特·梅爵士也以74週歲去世；同年6月25日，我的博士論文導師李天巖教授離開人間，享年75週歲；而十多天前的2022年11月21日, 沙可夫斯基教授在85週歲的高齡上逝世，如果不是因為半年內兩次感染新冠病毒而傷害了他的身體，如果不是因為他的祖國正在遭受外來炮火的摧殘而傷害了他的民族自尊心，他本應該活得更久一些。
烏克蘭不僅曾是蘇聯的糧倉，而且也一直是盛產名人的沃土。蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903-1987) 著名的弟子、沃爾夫數學獎獲得者蓋爾範德 (Israel Moiseevich Gelfand，1913-2009) 和阿諾德都出生在烏克蘭，今年獲得菲爾茲獎的女數學家維亞佐夫斯卡 (Maryna Sergiivn Viazovska，1984-) 也是烏克蘭人，而且是第二個獲得此獎的同胞，第一個是1990年得獎的德林費爾德 (Vladamir Drinfeld，1954-)。在“萬神殿”網頁 (pantheon.world) 上列出了有史以來最傳奇的十位烏克蘭數學家，阿諾德和蓋爾範德分別排在第三和第七，而我最崇拜的數學科學家之一、美國“氫彈之父”烏拉姆 (Stanislaw Ulam，1909-1984) 則排在第一。烏拉姆出生於奧匈帝國統治下的波蘭城市利沃夫，它現在位於烏克蘭的西部。所以波蘭裔美國數學家烏拉姆也被説成是烏克蘭數學家。他與馮·諾伊曼 (John von Neumann，1903-1957) 及費米 (Enrico Fermi，1901-1954) 被視為離散動力系統的近親甚至代名詞“非線性分析”這一跨學科領域的共同創始人。或許沙可夫斯基從未見到過烏拉姆，但烏克蘭肥沃土地養育出的這兩代數學家，應該是心有靈犀一點通的，因為他們終其一生都對“映射迭代”這一整個數學的重要問題而傾注熱情。
寫於2022年12月3日
（先母94週歲冥誕日）
美國哈蒂斯堡夏日山莊
出品：科普中國