拉馬努金：“與神對話”的數學天才_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-22 10:19
翻譯 | 柏華元
當哈代和利特爾伍德步履維艱地穿越陌生的黎曼圖景時，在5000英里外的印度馬德拉斯港務局內，一個名叫斯里尼瓦瑟·拉馬努金的年輕辦事員被素數的神秘莫測吸引住了。
他沒有把時間花在他本應負責的無聊的記賬工作上，而是把所有醒着的時間都用來記錄觀察到的或者計算出的關於這些奇怪數字的規律。拉馬努金在研究素數時，對於西方世界開闢出的獨特複雜的視角還一無所知。
他沒有接受過正規教育，因此不像利特爾伍德和哈代那樣，對數論這門學科，特別是素數，心懷敬畏。
哈代認為，素數是“純數學所有分支當中最難的部分”。
不受任何傳統數學的束縛，拉馬努金帶着一種近乎孩子般的熱情，一頭扎進了素數的世界裏。他的無所畏懼以及超凡的數學天賦，日後都成了他有力的武器。
在劍橋大學，哈代和利特爾伍德仔細研讀了蘭道在書中講述的關於素數的精彩故事。在印度，拉馬努金對素數的研究興趣源於一本數學基礎書，但是此書對他的影響同樣是深遠的。
對於年輕科學家來説，人生中的幾個轉折點通常是決定他們未來發展的關鍵。
對黎曼來説，那本他在孩童時期收到的來自拉格朗日的著作，在他年幼的心裏播下了一顆種子，這顆種子在他日後的生命中破土而出，發芽生長。
對哈代和利特爾伍德來説，蘭道的那部作品同樣意義重大。
15歲的拉馬努金，在1903年偶然間得到喬治·卡爾的《純數學和應用數學的基本結果概述》一書，從此對素數的研究熱情便一發不可收拾。
要是沒有拉馬努金的話，該書及其作者可能會默默無聞。這本書結構簡單，它羅列了差不多4400個經典結果——只有結論，沒有證明過程。
拉馬努金敢於直面挑戰，在接下來的幾年裏，對書裏的每一項結論都進行了證明。他對於西方式的證明方式並不熟悉，於是開闢了自己的數學道路。不受固有思維模式的束縛，他可以自由地發揮想象。
沒過多久，他就在筆記本里密密麻麻寫下了各種新的結論和觀點，這遠遠超出 了卡爾在書中提到的內容。從費馬許多未經證明的命題中，歐拉獲得了靈感。從拉馬努金處理問題的方式上，可以看到歐拉的影子。
拉馬努金有一種異於常人的直覺，他能靠直覺導出公式。當發現虛數能將指數函數和描述聲波的方程聯繫起來時，他興奮極了。
幾天後，當這個年輕的印度小職員得知歐拉早在150年前就發現了這一問題時，原先的喜悦之情一掃而空。
一時間，失望和沮喪籠罩在他的心頭，揮之不去。拉馬努金從此閉門不出， 獨自沉浸在數學計算的世界裏。
對拉馬努金來説，夢中世界是進行數學探索的最佳場所。拉馬努金似乎能夠在 醒着的時候進入這種夢境般的狀態。這種恍惚狀態近似於一種心理狀態，它是很多數學家夢寐以求的。
也許正因為拉馬努金無須為“證明”所累，所以他才能在穿越數學蠻荒之地時自由開闢出新的路徑來。他以直覺見長，這與西方世界宣揚的科學傳統大相徑庭。
利特爾伍德後來這樣寫道：“他根本就不瞭解所謂證明為何意；如果證明再加上直覺讓他對某觀點確認無疑的話，他就會停滯不前，找不到奮鬥的方向了。”
印度的學校教育深受英國文化的影響。然而，英國的教育體系培養出了利特爾伍德和哈代這樣的大師，卻沒能培養出印度好青年拉馬努金。
1907年，當利特爾伍德發表的論文在劍橋大學備受追捧時，拉馬努金卻在第三次也是最後一次考試中失利。如果僅僅是數學的話，那麼他肯定能通過考試。但是他還需要學習英語、歷史、梵語，甚至還有生理學。
由於他正統的婆羅門出身，拉馬努金是個嚴格的素食主義者。解剖青蛙和兔子對他來説是超出底線的行為。這意味着他無法進入馬德拉斯大學繼續深造。但是，這並沒有撲滅他心中熊熊燃燒着的數學之火。
到了1910年，拉馬努金迫不及待地想要將他的觀點呈現在世人面前。對於自己發現的一個似乎能精確統計素數個數的公式，他興奮不已。
和大多數人一樣，在試圖發現這些雜亂無章的數字背後的規律時，他也經歷過深深的挫敗感。但是，拉馬努金深知素數對數學來説至關重要。因此，他並不氣餒，一直堅持尋找揭示素數規律的某一公式。
他依然天真地認為，所有的數學規律都可以精確地用公式和方程來表示。
利特爾伍德後來解釋道：“如果生在100或150年前，拉馬努金會是一位怎樣偉大的數學家呢？如果他正好能遇上歐拉又會如何？……但是偉大的公式時代似乎已經結束了。”
但是，拉馬努金並沒有受到黎曼引發的19～20世紀數學變革的影響。
他依然特立獨行地想要找到一個能生成素數的公式。花了無數個小時在素數表的計算上，他終於發現了一條規律。他迫切地想要找個能欣賞他的人，向其描述他的初步發現。
由於筆記字跡工整、頁面整潔，再加上強大的婆羅門人脈，拉馬努金在馬德拉斯港務局謀得會計一職。他開始在Journal of the Indian Mathematical Society 上發表一些自己的觀點，從而逐漸為人所知，並引起了英國當局的注意。
C.L.T. 格里菲斯當時在馬德拉斯工程學院任教，他看到拉馬努金有成為一名“卓越數學家”的潛力。但是他自身水平有限，無法理解或者評價拉馬努金的觀點。於是他決定諮詢在英國求學時的一位恩師的意見。
從未接受過正規訓練的拉馬努金，形成了一種獨具個性的數學風格。拉馬努金在論文中聲稱自己證明出了 1+2+3+…+∞ = -1/12。
當倫敦大學的希爾教授收到這些論文時，他露出鄙夷的神色，認為其毫無意義。這或許是在人們意料之中的事情。即使從非專業的眼光來看，這個公式也是荒謬的。將所有的數字求和得到一個負分數，這真是瘋子才會做的工作！
“拉馬努金先生已經陷入了發散級數這門複雜學科的陷阱當中了。”他在給格里菲斯的回信中這樣寫道。然而，希爾教授並沒有全盤否定拉馬努金的觀點。他所做的批註使拉馬努金大受鼓舞。
他終於決定去碰碰運氣，就提筆給劍橋大學的數學家們寫了封信。兩位收件人面對拉馬努金的奇怪算術一頭霧水，因此便拒絕了他的求助。但是之後拉馬努金的信件放在了哈代的桌子上。數學似乎就是由怪人譜寫的，或許費馬也脱不了干係。
蘭道的標準據信控訴着以下事實：他收到了各種怪人的來信，他們都聲稱自己證明出了費馬大定理，從而可以順理成章地拿到沃爾夫凱勒獎。對於莫名收到帶有瘋狂的數字命理學理論的信件，數學家們早已習以為常了。
哈代的朋友 C.P. 斯諾回憶道，哈代常常被大量的手稿淹沒，在這些手稿中， 常常可看到這樣的言論，比如宣稱已經解決了胡夫金字塔預言之謎，或者破譯了弗朗西斯·培根在莎士比亞戲劇中所設定的密碼。
不久前，拉馬努金從加納帕蒂·耶爾那裏收到了哈代的Orders of Infinity一書。耶爾時任馬德拉斯大學的數學教授。
夜幕降臨時，拉馬努金喜歡和他漫步在海灘上，一起談論數學問題。讀到此書時，拉馬努金一定欣喜若狂，因為終於有個人能欣賞他的數學才華，讀懂他的理論了。但是欣喜之餘，他就開始擔心，自己的無窮級數求和可能會使哈代 誤認為自己是個瘋子。
哈代可能會説：“精神病院才是你最終的出路。”哈代曾聲明：“比任何給定數小的素數個數，目前還沒有發現任何確切的表達式。”拉馬努金對此激動不已。
拉馬努金髮現了一種公式，他堅信通過該公式可得到一個非常接近實際數值的結果。他急切地想要把該公式呈現在哈代面前，聽一聽他的意見。
哈代一大早就收到了拉馬努金寄來的一個貼着印度郵票的包裹。這個包裹乍一看很不起眼。打開包裹後，映入哈代眼簾的是一份手稿，上面記載了一些關於素數統計的理論，論證不夠嚴謹，卻又令人讚歎其奇思妙想；還有一些拉馬努金似乎還沒意識到已經眾所周知的結論。
在附信中，拉馬努金宣稱自己“發現了可以精確統計素數個數的方程”。哈代知道，這份聲明非同一般。然而令他失望的是，他並沒有如願看到拉馬努金所聲稱的公式。最糟糕的是，什麼證明過程也沒有！
對哈代來説，證明就是一切。他曾經在三一學院的高桌邊對羅素説：“如果我能靠邏輯證明你五分鐘後死去，我將會為你的死感到悲傷，但這種悲傷將很快轉為證明的喜悦。”
據斯諾説，哈代很快就看完了拉馬努金的手稿。哈代評價道：“它不僅讀起來無趣，而且令人心裏窩火，就像被一個會忽悠的騙子當猴耍了一樣。”但是到了晚上，這些看似不夠嚴謹的理論開始施展起魔法了。
晚飯過後，哈代叫來了利特爾伍德，一起來討論拉馬努金的公式。午夜時分，他們破譯了它。哈代和利特爾伍德具有真知灼見，能夠破譯拉馬努金的非專業語言，也能夠慧眼識英才，意識到這並不是一個瘋子的胡言亂語，而是來自一個未經雕琢的天才的偉大論述。
他們都意識到，拉馬努金那個瘋狂的無窮級數求和公式恰恰是又一個新發現，利用它可以定義黎曼 ζ 函數圖景上丟失的那部分區域。
破解拉馬努金公式的關鍵，就是將數字2重寫成 1/(2-1)（2-1是 1/2 的另一種寫法）。這種方法適用於所有的數字串求和。哈代和利特爾伍德將拉馬努金的公式重寫為：
拉馬努金的信件來得恰逢其時。從蘭道的著作中，利特爾伍德和哈代讀到黎曼的 ζ 函數，都對其精妙之處讚不絕口，紛紛沉浸在其與素數的關係研究中。
現在，拉馬努金聲稱，有個公式能精確統計出確定範圍之內的素數個數。那天早晨，哈代還對此言論嗤之以鼻，認定拉馬努金就是個數學瘋子。可到了晚上，一番研究之後，這個來自印度的包裹便開始閃閃發光起來。
拉馬努金還宣稱，他的公式能精確統計1億以內的素數個數（通常情況下是零誤差，只有在某些情況下會出現一兩個誤差）。哈代和利特爾伍德一定震驚不已吧！可問題是，拉馬努金並沒有給出公式。對於兩位“證明就是一切”的數學家來説，整封信件都給了他們一種深深的挫敗感。它遍佈公式和結論，卻絲毫不見相關的證明過程或者相關出處的只語片言。
哈代立馬積極地給拉馬努金回了封信，並以一種近乎祈求的語氣，請他提供素數公式的證明過程以及更多相關細節。利特爾伍德還在信中加了一句，請他儘快寄來素數統計公式和儘可能多的證明細節。兩位數學家都情緒高漲，滿心期待着拉馬努金的回信。兩人常常在高桌上邊吃飯邊討論拉馬努金的第一封來信，以便能破解更多東西。
羅素在信中向一位朋友講述道：“環視整個大廳，我就看到哈代和利特爾伍德處於一種近乎癲狂的狀態，因為他們相信又一個牛頓出現了，他就是那位在馬德拉斯年薪20英磅的印度職員。”
拉馬努金的第二封信如期而至。在信中，若干關於素數的公式清晰可見，卻依舊難覓相關證明的身影。“這種情況下，他的信件是多麼令人抓狂啊。”利特爾伍德寫道。
他猜測，拉馬努金可能是擔心哈代會竊取他的勞動成果。哈代和利特爾伍德認真研究着拉馬努金寄來的第二封信。他們突然發現，拉馬努金又有了新進展，這與黎曼之前的發現有關。在高斯素數統計公式的改進上，黎曼實現了精益求精；同時，他也發現瞭如何用 ζ 函數圖景上的零點來消除方程中不斷產生的誤差。
拉馬努金重建了黎曼50年前的發現。拉馬努金的公式包括黎曼對於高斯素數猜想所做的改進，但是不包括黎曼基於圖景上的零點所做的修正。拉馬努金是在説零點的誤差在以一種奇怪的方式相互抵消嗎？
傅里葉從音樂的角度詮釋了這些誤差。每個零點就像一個音叉。當音叉同時 響起時，就能奏起素數的音樂。有時候，當這些聲波組合在一起相互抵消時，就會陷入一片沉寂。一架飛機可以通過在機艙內生成聲波實現相互抵消，從而降低發動機的噪聲。
因此，拉馬努金是不是在説，來自黎曼零點的波也能產生靜音？復活節假期期間，利特爾伍德陪同愛人以及家人前往康沃爾度假，隨身攜帶着拉馬努金來信的複印件。“親愛的哈代，”他在回信中如此寫道，“這個關於素數的觀點是錯的。”
利特爾伍德已經證明，那些波產生的誤差無法相互抵消。因此，拉馬努金重新構建的黎曼公式不會如他宣稱的那般精確。無論數值有多大，總是會出現一些噪聲的。值得一提的是，在拉馬努金來信的激勵下，利特爾伍德進行了大量的分析研究工作。這給黎曼假設的研究注入了新的活力，開闢了一種有趣的新視角。
黎曼假設之所以對數學界來説舉足輕重，是因為它意味着，利用高斯猜想統計出以內的素數個數與實際素數個數存在的差會非常小。如果大小N，與之相比的話，其誤差基本不會超過N平方根。但是如果有任一零點不在黎曼的假想線上，其誤差就會比這個大得多。現在，拉馬努金在信中宣稱自己可以比黎曼做得更好。或許，當統計值更大的時候，誤差會小於N的平方根。利特爾伍德在康沃爾進行的研究使這一希望落空了。
利特爾伍德證實，無論計算多少次，零點導致的誤差也不會小於N的平方根。黎曼假設給出的就是最優解了。拉馬努金在這個問題上大錯特錯，但他仍然給哈代留下了深刻的印象。
很明顯，儘管拉馬努金才華橫溢，卻急需學習、掌握當下的前沿知識，形成堅實的知識儲備。只有這樣，他才能跟上時代的步伐。
到了 1914 年，拉馬努金已經身在劍橋大學了。從此之後，便開了數學史上最偉大的合作之一。每次提到和拉馬努金合作的那段歲月，哈代總是難以抑制內心的興奮。他們縱情交談着各自的數學思想，都深深折服於彼此的數學觀點，也都為找到一個熱愛數字的志趣相投之人而欣喜不已。
哈代的目光也逐漸被拉馬努金那些散發着迷人光芒的定理吸引住了。
哈代發現，很難讓拉馬努金做到兼顧直覺和證明。他擔心，如果自己過於強調讓拉馬努金證明他的結論，可能會打擊他的自信心，或者使他的靈感之源枯竭。他給利特爾伍德佈置了一個任務，就是讓拉馬努金熟悉現代的嚴謹數學。
但利特爾伍德發現，這是一個不可能完成的任務。無論利特爾伍德費了多少唇舌，向拉馬努金介紹所謂嚴謹數學為何物，拉馬努金都會插入一些新觀點，使利特爾伍德偏離原有的軌道，不能按計劃進行下去。
儘管提出精確的素數統計公式使拉馬努金開啓了英國之旅，最終使他留名於世的卻是他在相關領域做出的貢獻。從哈代和利特爾伍德那裏，他聽到了“素數天生帶有惡意”這類悲觀的論調。因此，在素數的探索上，他放慢了腳步。
人們只能猜測，拉馬努金一定是發現了什麼，才使他不像西方人那樣對素數充滿恐懼。他繼續和哈代一起探索素數的相關性質。他和哈代提出的觀點，將有助於推動哥德巴赫猜想研究取得突破性進展。哥德巴赫猜想就是每個偶數都能寫成兩個素數之和。
他們歷經一番曲折，才首次取得這一進展。但這源於拉馬努金秉承的天真想 法：必定有精確的公式來描述諸如素數個數這樣重要的數列。
在他宣佈素數公式的信件中，他寫道，他相信自己知道如何生成另一個先前未被研究的數列，即劃分數（partition number）。如果要把 5 塊石頭分成幾組，共有幾種可能的方法呢？組數範圍是 1～5。這稱作數字 5 的劃分。如下圖所示，共有 7 種可能的劃分方法。
例如，通過降低給定量子系統的能級密度，來理解劃分數的變化。這些數字看起來並不像素數那樣是隨機分佈的。
但是哈代時期的數學家們都不約而同地放棄了尋找能生成列表中的這些數字的精確公式。他們認為可能有這樣一個公式，它能生成一個近似值，與 N 的實際劃分數偏差不大。這和利用高斯的公式得出 N 以內素數個數的近似值如出一轍。
但是，拉馬努金從不畏懼這類序列。他就是要站出來找到這樣一個公式，利用該公式就能輕鬆得出，給 4 塊石頭分組有 5 種方法，或者給 200 塊石頭分數有 3 972 999 029 388 種方法。
儘管在素數問題上馬失前蹄，但拉馬努金成功地解決了劃分數問題。哈代對複雜問題有着強大的證明能力，而拉馬努金則具有天馬行空的想象力，堅信必然存在這樣一個公式。二者珠聯璧合、相得益彰，這促使他們發現了這個公式。
拉馬努金為什麼就那麼堅信存在這樣一個精確公式呢？任憑利特爾伍德抓耳撓腮、絞盡腦汁，也找不到該問題的答案。看到這個包含2的平方根、π、微分、三角函數和虛數的公式時，人們總忍不住想知道這個公式到底是從哪裏冒出來的呢！
這個故事歷盡曲折。利用哈代和拉馬努金的這個複雜公式，得到的不是一個精確的數字，而是一個經過四捨五入後最接近的整數。
儘管拉馬努金的這種直覺在素數問題上失效了，他和哈代在配分函數（partition function）上的工作卻推動了哥德巴赫猜想的解決。面對這個最偉大的數論未解之謎之一，多數數學家早已放棄了破解的念頭。多年來，該領域一直毫無進展。早在很多年前，蘭道就宣佈這是個高不可攀的山峯。哈代和拉馬努金在配分函數上的工作，使他們建立了一種現在稱之為哈代 - 利特爾伍德圓法（Hardy -Littlewood Circle Method）的技術。
這個名字源於他們在計算中使用的所有小圖表。這些圖表描述了虛數地圖上的那些圓，而哈代和拉馬努金則試圖求這些圓的積分。這個方法沒有以拉馬努金的名字命名，是因為利特爾伍德和哈代首次使用該方法來證明哥德巴赫猜想。他們無法證明所有的偶數都能表示為兩個素數之和。
但到了1923年，他們成功證明了所有足夠大的奇數都能寫成三個素數之和。這對數學界來説可是個重磅消息。但要想讓該結論成立，就必須滿足一個條件，那就是黎曼假設是正確的。推測出這一結果，同樣是相信黎曼假設會成為黎曼定理的產物。拉馬努金對這一方法的發展可謂功不可沒。遺憾的是，他沒能活着見證該方法在數學上發揮舉足輕重的作用。
1917年，拉馬努金的心情愈發黯淡，身體也每況愈下。他失魂落魄地來到倫敦地鐵，衝到一列緩緩駛來的列車前，想要以此結束自己的生命。這時，一名警衞衝過來，擋在他身前，叫停了列車，才使他逃過死神的魔爪。在1917 年，自殺未遂是一種犯罪行為。在哈代的斡旋下，警方撤銷了對他的指控。但條件是，他不得不入住位於馬特洛克（德比郡的首府）的一家療養院，接受長達 12 個月的全面醫療監護。
拉馬努金終於時來運轉，當選為英國皇家學會（英國最負盛名的科研機構）的會士，隨即獲得了三一學院的研究員職位，走向人生巔峯。哈代在這些選舉上享有極大的話語權。這是他向拉馬努金致敬的最好方式。
但拉馬努金的身體健康每況愈下。第一次世界大戰結束後，哈代建議拉馬努金回家休養一段時間。1920年4月26日，拉馬努金在馬德拉斯逝世，年僅 33 歲。
多年之後，到了1978年，皮埃爾·德利涅因證明了拉馬努金現今為人所熟知的 τ 猜想而獲得菲爾茲獎。這時人們才意識到拉馬努金猜想的重要性。
本文經授權轉載自微信公眾號“圖靈教育”，摘自人民郵電出版社圖靈文化出版的圖書《悠揚的素數：二百年數學絕唱黎曼假設》。
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。