陳省身：微積術的發現與發展（為紀念牛頓誕生三百週年而作）_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-28 12:42
引言
微積術的發現是人類文化史上一件劃時代的大事。假使沒有微積，我們不能想象近代的科成何景象。現在我們學習微積，一箇中材的人，便可於短期內明瞭其原理。然而在發現的時候，即使極大的天才，亦須苦心孤詣，暗中摸索，才能獲得門徑。在我們已經利用了微積方法二百餘年後的今日，追溯既往，考察一下它的發現的經過，便知前賢締造的艱難，遠非想像所及。
微積術的發現者，一般公認為牛頓（1642-1727）與萊布尼茲（1646-1716）二人。但照意大利數學史家Castelnuovo的研究[指Guido Castelnuovo的Le origini del calcolo infinitesimale nell’era moderna——小編注]，微積術的發展，從希臘時代一直到近代，是一個綿續的整體，牛頓與萊布尼茲二氏不過在其中走了最重要的一步。這話並沒有估低了他們的功績。在他們以前，所有的微積觀念，是零星的。有了他們的工作，微積術才成為一個系統，才能應用到天文、物理、和一切其他科學。
一 牛頓以前的微積觀念
用近代的説法，微積的對象，是討論兩個變數間的函數關係。如果採取幾何表示，則微分學的基本問題，是作曲線的切線，而積分學的基本問題，是求曲線所包的面積。
要求曲線所包的面積，最容易想到的一個方法，是把面積分成小塊，將每小塊用一直線形代替，而求各該直線形面積之和。塊數愈多，則此和數與所求面積相差愈小。這方法叫做逼盡法（Method of exhaustions），古代的希臘人已經知道，用圓周的內接與外切多邊形的面積來求圓周率，和亞幾默德[即阿基米德——小編注]之求拋物線的面積，都是著名的例子。
一個與微分學有關而為古代希臘人所知道的觀念，是所謂無公約數（Incommensurable quantities）。從有公約數到無公約數，需要一個無窮的手續，即有極限的觀念在內。對這觀念給一個可靠的基礎的是Eudoxus，約在紀元前四百年。
微積術在近代的先驅者，最主要的，當推意人B. Caralieri（1598-1647），法人P. Fermat（1601-1665），英人J. Wallis（1616-1703），與I. Barrow（1630-1677）。
Caralieri是Galileo的學生。他於1635年首創不可分量的方法（Method of indivisibles），他假定線由點組成，體與面則各由面與線組成。點、線、面即分別為線、面、體的不可分量。將此類不可分量相加，所得就是長度、面積、與體積。應用此法，他解決了若干簡單問題，並證明關於旋轉曲面的的Pappus定理。這是一個粗淺的積分法，較逼盡法為有力。我們現在看他的理論，自然覺得很不嚴密。但是，我們從下文可以知道，微積分在最初的階段，也是一個很粗疏的系統。
Fermat，（1636）的貢獻，主要在於微分方面，他創一個求函數的極大值與極小值的方法；用近代的説法，此法相當於使函數的微分為零，此法他並推廣以求曲線的切線。所以若干法國的數學家，包括J. L. Lagrange，認他是微積術的首創者。
離微積術的發現愈近，相類的例子就愈多。Wallis於1655年出版一書，其中解決了若干長度，面積與體積的問題。他的方法很受Caralieri的影響，他的書中也屢屢表示對於Caralieri的謝意。Barrow是牛頓的先生，數學史家都稱讚他是一個天才的數學家。他於1669年出版一書，其中論及由兩變數的微分及曲線所成的三角形，即所謂“Barraw的微分三角形”。他並且知道積分與微分是相反的手續，但未利用此結果來解決任何問題。他的工作自然會對牛頓發生重大的影響。
除了以上所舉者外，其他如J. Napier，J. Kepler，G. P. Roberral，Torricelli，都有相類的結果。在此不再列舉了。
從以上所説，我們不禁要問：牛頓以前已有這許多結果，然則牛頓與萊布尼茲的工作是些什麼呢？關於此問，一個英國的科學史家有一個很好的答案，他説:“他們的工作，正是使我們問這個問題。在他們以前，這些結果是零星的。他們最先認出，這些觀念的組合，可以成一個巨大的系統，來解決科學上許多重要的問題。”
二 微積術的發現的經過
牛頓發現微積術的時間，大約在1665年左右，當他二十四歲的時候。那年英國發生大疫，劍橋大學臨時停課，他就回到故鄉Woolsthorpe去，直到1667年才返劍橋。微積的觀念大概是在他鄉居的時候萌芽的。在他的一篇稿子中，日期是1665年十一月十三日，他解決了以下的問題：“已知若干個動體所經路線的關係，求其速度間的關係”。在此稿件中尚解決了若干個相關的問題，如求曲線的切線等。這些觀念，在他1666年十月的一篇稿子中更為成熟。此時氏已能解決十二個問題，其中最重要的是下列的幾個：
求曲線的切線。求曲線的曲率。已知曲線的面積，求其性質。求曲線的面積。求曲線的長度。
從這兩篇稿子，可見1665與1666兩年中牛頓已有了微積分的基本觀念。
但是這些結果牛頓當時並沒有告訴其他的人。直到1669年六月，他把他的一篇論文，題目叫做：“包含無窮多項的方程式的分析”的，交給他的先生Barrow，他的方法方才為人所知道。Barrow看了此文，自然大為讚賞，就轉告皇家學會的秘書Collins，Collins又通知了一些別的人。但這篇文章到了1711年才發表。
在萊氏有了微積分觀念的九年以後，牛頓發現流數術的十九年後，1684年，萊氏發表第一篇關於微積術的論文。那論文載在一種雜誌叫做Acta Eruditorum上，全文只六頁。文中的名詞與符號即是現在所用者。萊氏不願意別人懂得他的方法，所以寫得極難懂。文中包含微分學的若干個基本運算定則，並解決了一個光學的問題。
這個時期的微積只是一組有系統的方法。對於它的基本觀念，還沒有一個嚴格的基礎。所以在萊氏的論文中，關於一個變數的微分，究竟是無窮小抑是有限數，他並無確定的見解。
許多現在覺得簡單的問題，在當時都是經過一番苦心才得到的。比方説，兩個變數之積的微分，是否等於它們的微分之積：這樣一個問題，萊氏須經過多日的思索，才能答覆。對於現在學微積分而覺得困難的人，這故事或者是一個安慰。
三 關於微積術發現的爭論
微積術的發現在科學史上是一件不磨的偉績。適巧兩個特出的天才，並世降生，同時開了這秘鑰，應該是值得欣幸的。無奈發現者的榮譽太大了，一個科學家到了這個關頭，往往也難抱着謙讓的態度，再加上了國家的偏見和幾個胸襟狹隘的朋友的挑搧，牛頓和萊布尼茲二人對於發現的權利，遂起了一場爭論。吾人今日緬懷前哲，猶有遺憾，試略言其經過。
萊氏發表他的微積術論文以後，自然大受讚賞，歐洲大陸上的人都公認他為微積術的發現者。牛頓的友人就很抱不平，一場爭端已不可免。直到1699年，一個住在英國的瑞士人，叫做Fatio de Duillier的，在英國皇家學會發表的一篇數學論文裏面應用了微積的方法，並且加上了這樣一段話：
“著名的萊布尼茲或者會問，我如何知道這些方法的。在1687年左右，我發現了它的基本原則。即使天地間未生萊氏，對於我的應用這些方法，並無影響。……由事實的證據，我認為牛頓是微積術的第一個發明者，至於第二個發明者萊布尼茲是否因襲了牛頓的若干結果，請俟看過牛頓的信件與稿件的人的評判。……”
這種公然的挑戰，自然會引起一場爭論的。
對於此我們須指出，牛頓和萊布尼茲的關係，一向是很友善的。為了微積術的問題，兩人會於1676年左右通過兩次信。所以他們互相都知對方的結果，大約是沒有問題的。在牛頓的名著Principia (1687) 中，他提到了萊氏的微積術，並説明與他的流數術大致相同。
認為萊氏有抄襲牛頓的嫌疑的根據，大約有兩點：第一、萊氏會於1673與1676到過倫敦兩次，認識了若干英國學術界人士，連Collins在內，所以有看到牛頓的原稿的可能。第二、萊氏在他的第一篇關於微積術的論文中，當解決了若干問題以後，會説：“這只是一種超絕的數學的開端。這種數學可用到最困難與最美麗的問題上。如果沒有微分學，或者一種類似的方法，這種問題的解決不能有如此的容易”。這段話中所謂類似的方法，若干人以為就是指牛頓的“流數術”。
我們事後加以判斷：以上兩個理由都不足證明萊氏的微積術是抄襲牛頓的。
萊氏讀了Fatio de Duillier的論文後，自然認為侮辱。便寫信向牛頓申訴。信中並指出牛頓會在Principia中承認他亦為微積術的發現者。這信牛頓沒有答覆。Fatio de Duillier寫了一封覆信，Acta雜誌未給發表，爭論遂暫時中止。
到了1704年牛頓出版他的光學，書中包含兩節數學，其一關於流數術，其一關於三次曲線的分類。次年一月Leipzig Acta登載此書的一個書評，其中有這樣一段：
“……這種微積分的原理，創始者萊布尼茲氏會在本雜誌發表。……萊氏的“差數”牛頓用“流數”來替代。這種流數牛頓在其Principia及其他著作中用得很巧妙。恰如Fabri在他的幾何學書中用進步運動來替代Caralieri的方法一樣。”
我們須要指出，Fabri是一著名的抄襲家，所以這段話很有隱諷牛頓為抄襲者的用意。牛頓自然也這樣想，並且疑心萊布尼茲即是該書評的作者。為保全他的榮譽就作文反駁。恰巧此時，牛頓得到一個數學家叫做Keill的幫助。Keill筆鋒犀利，對於爭辯，很能給牛頓一些裨助。1710年Keill作一文，説牛頓發現了微積術，後來萊氏發表時將符號改了。萊氏讀後大憤，把這問題提到英國皇家學會，要求Keill道歉。該會派Keill作一報告，報告中所説對萊氏仍極不利。萊氏遂益怒，再函皇家學會，請求制止這類“卑鄙的言論”。
從此事態益見擴大，到了1712年三月六日皇家學會委派一委員會調查此事。次年一月委員會的報告發表。同一切正式的報告一樣，報告中保持一模稜的態度。報告中的結論有二：一、萊氏的微積術與牛頓的流數術本質上是一樣的；二、牛頓是第一個發現的人。至於最重要的問題，即萊氏是否抄襲牛頓，報告中避而不談。
這報告自然解決不了爭端。一場激烈的論爭，從此展開。狹隘的國家意識，不正確的榮譽觀念，使得雙方都採取不甚正當的手段，例如，出挑戰式的數學問題，發表匿名信等。這場意氣之爭，直到1716年萊氏死後，才漸告平息。
這論爭是科學史上十分不幸的事，其影響對於英國極不利。因為在此時期英國人憤而不讀大陸上的數學作品。同時de l’Hospital，Bernoulli兄弟，Euler等正努力發展這門學問，他們的結果，英國未能立刻接受。所以這門學問在英國的發展，一度是相當遲緩的。
四 微積術的發展
在微積分術發展中最有功績的，當推L. Euler（1707-1783），J. L. Lagrange（1736-1813），A. Cauchy（1789-1857），K. Weierstrass（1815-1897）四人。
我們已經講過，在牛頓與萊布尼茲手中的微積術，不過是一組有系統的方法，可用來解決一些問題的。這個時期可稱為微積的直覺時期。要為微積術立一可靠的基礎，須對它的三個基本概念——實數、函數與極限——下一個明確的定義。這種努力，德國的數學家F. Klein稱之為數學的算術化。
Euler對於上説的基本概念是很表懷疑的。他只把命分數稱為“數”，非命分數他叫做“量”，兩種數他並不一體看待。函數在他的書中有時是算式，有時是因變數，至與(-1)x代表什麼函數，在他是一個問題。對於極限觀念，他也同樣的不一致。我們可以説，他只有此名詞，並無觀念。所以當他求得1+2+2^2+2^3+…=-1時，他覺得很奇怪。
Lagrange開始了微積術的算術化工作。數對於他仍舊是一個所謂“明顯”的觀念。函數亦仍是算式，但系可以展成冪級數（Power Series）的算式。這是初步的分析函數的觀念。他採用級數的目的，大概是想避免困難的極限觀念。用了級數，則微商可定為級數中一次項的係數。在他的手中，級數的運算亦較嚴格，所以他時常不用無窮多項，而用一個餘式（Remainder）來替代。
微積術的算術化，在Cauchy手裏才有了長足的進展。有了Cauchy以後，函數才不是算式，而是因變數，極限的觀念，才有了可靠的基礎。由是積分乃為和數的極限，函數的連續性，無窮級數的收斂，都可利用極限，下一個嚴格的定義。他的工作，可總括為一個變數的函數論。他所未會解決的問題，是實數的定義與一致收斂性的觀念。因為缺乏後一觀念，他將一無窮級數逐項求積分，而得到了謬誤的結果。
Cauchy手中留待解決的問題，經Weierstrass而有了圓滿的答案。從此數學上的一大門類所謂分析數學才告樹立，而微積術的算術化問題，才約略告一段落。
於此我們需要認清兩點：第一、Weierstrass不過是此時期一學派的代表人物，同時的數學家，如Dirichlet，Dedekind等亦有極重要的貢獻。Dedekind的實數論，尤其是一件不朽的貢獻。第二、若干問題雖然解決了，因此而引起的新問題卻更多而更困難。由G. Cantor的集合論，到近代數學基礎論者的Brouwer學派，正顯示着一種綿續的進展，其前途發展，當無止境。這些理論的導源，自然是微積術。
民國三十二年一月廿六日
昆明西南聯合大學
本文原載於《宇宙》。