披着工程師外衣的數學家丨紀念若爾當逝世一百年_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-30 09:54
撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）
修過數學基礎課《高等代數》或《線性代數》的大學理工科學生，大概不少都知道矩陣的“若爾當標準型”這個概念。學完複變函數論裏柯西積分定理和廣義柯西積分定理的那些人，知道積分所沿的單連通或多連通區域邊界曲線應當由一條或幾條“若爾當曲線”組成。接觸到測度論的部分同學可能也曉得“若爾當廣義測度分解定理”。用來命名這三個數學術語的人物“若爾當”是一位著名的法國數學家，全名是Marie Ennemond Camille Jordan，生於1838年，今年是他去世一百週年。
若爾當一生中最有名的數學工作並不是上述三項，而是在有限羣論，在這個領域他做出了基礎性的貢獻，並直接指明瞭伽羅瓦理論的前進方向，影響深遠。此外，他撰寫的一本教科書《分析教程》(Cours d’analyse)，是十九世紀末期分析學的標準教材和參考書目。寫出二十世紀卓越教材《代數學》的荷蘭代數學家範·德·瓦爾登 (Bartel Leendert van der Waerden，1903-1996) 説過：“據我所知，這是最早一部把整個經典分析作為一個統一的、完整的邏輯體系來描述的教科書……對於我，閲讀《分析教程》的每一章都是件愉快的事。”
儘管現代數學的發展一日千里，學科林立，但是歷史悠久的微積分和線性代數是科學家和工程師最喜愛並且用得最多的兩門“古典高等數學”。除了抽象代數學家，很少人懂得有限羣論或伽羅瓦理論，但對“矩陣若爾當標準型”至少略知一二的大學畢業生卻多如牛毛。一輩子職業生涯大部分時間為工程師的若爾當，懂得工程師們的需求乃至苦衷，的確為他們簡化了一般方陣的結構，讓它們相似於包含最多可能零元素的“標準型”，既幫助學問家洞察矩陣作為線性算子的作用機制，又方便應用者從事理論分析與實際計算。這立下了奇功，因此，後人在所有的矩陣論教科書中都不吝筆墨地將他的大名寫在“標準型”這一詞組的前面：Jordan canonical (or normal) form of a matrix（矩陣的若爾當標準型）。今天，在他離世一百年之際，有必要回顧他的一生經歷，緬懷他的科學貢獻。
一生經歷
若爾當生於法國名城裏昂一位畢業於巴黎綜合工科學校的工程師之家，他的父親直接將其著名政治家叔叔的全名複製給自己的兒子作為名字，或許是因為他發現初生嬰兒與其叔祖恰好出生在同一個月裏，日期也僅有六天之遙。但兒子長大後卻沒能成為政治家，還是繼承了他的衣缽當了工程師，連17歲時所進的大學也步父親的後塵。若爾當母親的弟弟是個著名的壁畫家，被尊稱為“法國畫家 (The painter for France) ”。可以説，若爾當的父母所屬的兩個家族都是“名門望族”。
若爾當在不到23歲時完成的博士論文有兩個相對獨立的部分。第一部分“關於函數值的個數”本質上講屬於代數學，第二部分“關於代數微分積分反函數的週期”處理的是線積分 ∫ u dz，其中u是由某個代數方程f(u, z) = 0所定義的一個復變量函數。他的博士論文刊登在母校的雜誌《綜合工科學校學報》上。論文成功答辯後，他開始了工程師的生涯，就像當時絕大多數的同校畢業生一樣，包括後來的龐加萊 (Henri Poincaré，1854-1912)。他先後在三個城市任職，最後一個是巴黎。
但是，出於對探索數學未知世界的好奇心，加上工程師職務的工作自由支配，若爾當有充足的時間和精力投身到數學研究中，他一生中發表的120篇數學論文，絕大部分都是以工程師的身份寫出來的。歷史上，以數學作為第二職業甚至副業或餘暇愛好卻成就遠超主業的人舉不勝舉，最著名的當推他的法國前輩、業餘數學家之王費馬 (Pierre de Fermat，1601-1665)，他不僅是微積分、數論、概率論等領域的開拓者之一，而且他提出的“費馬猜想”讓一代代數學家忙碌了358年才最終破解，但是他的終生本行卻是法院議員。比若爾當小了十六歲的龐加萊雖然是十九世紀末法國乃至全世界的領袖級全能數學家，一生卻沒有丟棄其在礦業管理部門的正式職位，而未能百分之百地獻身數學，這是他在物理和工程領域也頗有建樹的原因之一。如此看來，業餘時間研究數學在法國有着幾百年的歷史。
1862年，戴上博士帽不到一年的若爾當與家鄉城市裏昂副市長的女兒結婚，他們一共生了兩個女兒和六個兒子，可惜的是其中三個兒子在第一次世界大戰中陣亡。倖存的三個兒子都很有出息：一個成為政府部長，一個當了巴黎索邦大學的歷史學教授，第三個則繼承了工程師的祖傳職業。
從1873年起，若爾當成為巴黎綜合工科學校的一名考官，三年後他被升遷為本校分析學教授，他擔任這個職位一直到1912年退休為止。1883年，他又成為法蘭西學院的教授，然而在1885年前至少從理論上講他依然是一名工程師。因此這套“工程師”的外衣他至少披了四分之一個世紀未脱。然而，他幾乎所有的創造性數學研究成果都是在這個期間內取得的。
若爾當一生中獲得的學術榮譽包括：1881年被遴選為法蘭西科學院的院士，1895年被選聘為俄國聖彼得堡科學院的院士。1870年的一部創造性數學作品為他贏得法國科學院頒發的彭賽列獎。與他一樣，彭賽列 (Jean-Victor Poncelet，1788-1867) 也身兼工程師和數學家兩職，在法俄戰爭中被俄軍俘虜，但在被囚禁的監獄中由戰俘變為射影幾何學的創始人之一，60歲時擔任了母校巴黎綜合工科學校的校長。1890年，若爾當獲得拿破崙 (Napoleon Bonaparte，1769-1821) 創立的法國榮譽軍團軍官勳位 (Officer of the Légion d’honneur)，這是法蘭西的最高國家榮譽，贈與對國家有功的軍人或平民。他生前的最後一個榮譽是擔任於1920年在法國斯特拉斯堡舉行的第六屆國際數學家大會名譽主席。
一生成就
若爾當在數學的若干領域留給後人豐碩的果實。我們先來介紹本文開頭提到過的三項貢獻，因為知道它們內容的讀者可能最多，尤其是第一項。它們分別是矩陣的若爾當標準型、平面上的若爾當閉曲線定理以及廣義測度的若爾當分解定理。
對於大學理工科學生，線性代數中的“矩陣”和微積分中的“導數”一樣都是各自學科中的最基本概念。因為矩陣給出了線性代數中抽象有限維線性空間之間線性算子的具體模型和給定基底下的具體表示，所以極具實用價值，一門工程師愛不釋手的學科“矩陣論”從十九世紀起迅速蓬勃發展，令其長成參天大樹的辛勤園丁包括兩位英國學者：凱萊 (Arthur Cayley，1821-1895) 和西爾韋斯特 (James Joseph Sylvester，1814-1897)，他們的名字大學生們也認識，因為任何一本線性代數或矩陣理論的教科書裏都包含了“凱萊-哈密頓定理”(n × n矩陣滿足其特徵方程)和“西爾韋斯特矩陣二次型慣性定理”（在實數域中，對稱矩陣的標準型對角矩陣的正對角元個數是一個不變量）。
回到同一尺寸方陣的相似性等價關係，從上面的一般結論得知：所有n x n復矩陣的全體被劃分出一個個的相似等價類，每個類中的所有方陣彼此相似，不在同一類中的矩陣彼此不相似。相似的矩陣具有一模一樣的特徵值，包括每個特徵值有相同的代數重數和幾何重數，這些不變量給出了不同相似類的某些基本特徵。
一個自然的問題是，在每個相似類中，哪個矩陣結構最簡單，因而可以作為這個相似類的代表出現？這名代表就是若爾當於1870年為我們挑選出的。顯然，一般而言，矩陣中的零元素越多，結構就可能越簡單，最簡單的莫過於對角矩陣。我們知道在複數域內，任何非常數的多項式都有零點，因而每個復係數多項式都能分解為線性因子之積。由此可以預測，復矩陣相似類中零元素最多的上三角矩陣應該是最簡單的了。的確，用現代的語言來説，複數域上方陣A的若爾當標準型是A所在的那個相似類中的一個塊對角矩陣，其中每個對角塊方陣都是上三角矩陣，它的對角元素都是同一個複數，它是A的某個特徵值，在對角線上方的“次對角線”上每個元素都是1，而方陣內的其他元素統統為0，這個特殊的方陣稱為若爾當塊。這樣的矩陣是夠簡單的，而且展現出統一的模式。
若爾當標準型給出了將n × n矩陣A所有“廣義特徵子空間”的某個特殊基底放在一起後，在酉空間Cn的這個特殊基底下，A作為線性算子的“矩陣表示”。它是透徹理解一般矩陣代數和幾何性質化繁為簡的強大工具，因此可以想象它在應用學科上用途多多。實際上，它在矩陣論以及其他純粹數學的分支中也常常用到。華羅庚先生是個玩矩陣的高手，他和弟子們在“矩陣幾何”的研究中常用若爾當標準型，以至於代數學家曾肯成 (1927-2004) 曾有一句戲言：“龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的學生會打洞。”我這裏再舉一個小例子，因為它與我有關，藉以表達我對若爾當的感恩之情。
十二年前，有一次我偶然讀到對楊振寧先生的一個採訪，其中他講到了他著名的三大貢獻之一Yang-Baxter equation（楊-巴克斯特方程）。楊先生用女士髮辮的不同梳法形象地説明了為何兩個運算A和B不符合交換律，即AB ≠ BA，卻有可能ABA = BAB。我讀了之後突發好奇：如果只考慮矩陣的情形，假設方陣A已知，能否求出帶有未知方陣X的矩陣方程AXA = XAX的所有解？出於對楊振寧和巴克斯特兩位物理學家的尊敬，我將此二次矩陣方程命名為楊-巴克斯特類矩陣方程 (Yang-Baxter-like matrix equation)。這個方程總有兩個平凡解X = 0和X = A，所以求出非平凡解才有意思。
於是，為了滿足極大的好奇心，我勻出了一半的研究時間，開啓了這項與我主要研究領域——計算遍歷理論沒有關係的一個新問題的探索之旅，並拉上與我長期合作的一位師兄陪我前行。在我們對一類矩陣用了布勞威爾不動點定理找出非平凡解以及運用矩陣的譜分解定理甚至遍歷定理找到幾個有意義的譜解而發表了最早幾篇論文時，我發現找到楊-巴克斯特類矩陣方程的非平凡解之非平凡性。
某日，一個好點子突然冒出了我的腦海：如果方陣A相似於方陣B，那麼只要能解出對應於B的楊-巴克斯特類矩陣方程，那麼對應於A的楊-巴克斯特類矩陣方程的解就能水到渠成。自然，最佳的B就是A的若爾當標準型！這個想法很快讓我和合作者以及其他研究者沉浸其中，導致對應於不同種類矩陣A的楊-巴克斯特類矩陣方程一批又一批解的文物出土。
若爾當在分析學和拓撲學中比較廣為人知的數學貢獻出現在複變函數論中，他的法國前輩柯西 (Augustin-Louis Cauchy，1789-1857) 在這一於工程科學中應用廣泛的領域裏有着根本性的創舉，包括他的幾個閉路積分定理。在這類定理中，解析函數的積分是沿着複平面上的幾條閉曲線進行的，它們組成了一個有界開區域的邊界。在法國大革命那年出生的柯西，長大後也對牛頓 (Isaac Newton，1643-1727) 和萊布尼茨 (Gottfried Leibniz，1646-1716) 發明的微積分來了個徹底革命，即用ε-δ極限語言將直觀性強的初等微積分上升到邏輯性強的高等微積分。但是“智者千慮必有一失”，以嚴格分析學家著稱於世的柯西或許沒有注意到被積函數復變量行走通過的那條閉曲線本身就沒有被嚴格地研究。
這就需要遲他半個世紀的若爾當來仔細檢視曲線了。他給出了平面曲線的“若爾當定義”，第一次引進了有界變差函數，明確了曲線長度的概念。他證明了教科書中的一個標準定理：函數是有界變差的當且僅當它是兩個遞增函數之差。學過《數學分析》或《實變函數論》的大學生都知道，一條由參數方程x = f(t)，y = g(t)且參變量取值範圍為區間[a，b]所表達的曲線之長度為一有限實數，當且僅當這兩個函數f和g都是參變量t的有界變差函數。“曲線”、“曲線長度”和“函數變差”這幾個概念出現在若爾當所撰三卷本著作《分析教程》的第一版中，它們在1882到1887年之間先後問世。若爾當在巴黎綜合工科學校講授《實變函數論》時給出並證明了他那著名的“若爾當曲線定理”，其正式的表述和論證放進了《分析教程》的第三版。該定理説，平面上一條簡單的閉合曲線將平面恰好分成內部和外部兩個開區域，以該曲線為共同邊界，內部區域是有界的，而外部區域則是無界的。閉合曲線指的是將單位圓周映到平面內的連續映射之像，或等價地説是將單位區間[0，1]映到平面內並在區間兩端點取值為同一個點的連續映射之像。如果這條曲線自身不相交，就被稱為是簡單曲線。後人為了紀念他，將這樣的簡單閉合曲線命名為若爾當曲線。
這個定理從直觀上看似乎很顯然，比方説以座標原點為中心的單位圓周將座標平面分成圓的內部和圓的外部。然而，直觀不能代替證明，直觀上對不一定真是對的，它需要嚴格的證明。當閉合曲線是多邊形，定理的證明不難，難的是那些奇形八怪的曲線，比如處處連續卻又處處沒有切線的曲線。一條奇怪的閉曲線就是分形理論裏赫赫有名的科赫雪花，它是有界的，但卻有無窮長，它被分形之父曼德博 (Benoit Mandelbrot，1924-2010) 看成是英國海岸線的數學模型。
若爾當第一個給出了閉曲線定理的證明，然而，他的證明引起了爭論，不少人認為他的證明是不完備的。人們比較認可的嚴格證明是在1905年由美國幾何和拓撲學家維布倫 (Oswald Veblen，1880-1960) 作出的。證明的思想出自代數拓撲，並可以處理該定理的高維推廣。維布倫是普林斯頓高等研究院的六名首批正式教授之一，作為美國數學史上的名人，他對陳省身和華羅庚於上個世紀四十年代赴美訪問高等研究院及其之後在美尋找教書位置都有很大幫助。美國數學會從1964年建立了維布倫幾何獎，我的大學同學田剛於1996年獲得該獎。維布倫曾這樣評價若爾當：“然而，他的證明對許多數學家來説並不令人滿意。它假設定理在簡單多邊形的重要特殊情況下成立而沒有對此證明，並且人們必須承認，從這一點開始的論證至少沒有給出所有細節。”然而，證明了開普勒裝球猜想的當代美國數學家黑爾 (Thomas Hale，1958-) 卻為若爾當辯護：“我發現的幾乎所有現代引文都同意第一個正確的證明歸功於維布倫……鑑於對若爾當證明的嚴厲批評，當我坐下來閲讀他的證明發現沒有任何令人反感的地方時，我感到很驚訝。從那以後，我聯繫了一些批評若爾當的作者，但每位作者都承認並非直接知道若爾當證明中的錯誤。”
若爾當的一個不那麼引入注目的定理屬於測度論。測度論是勒貝格積分論和柯爾莫哥洛夫概率論的基礎。測度是定義在可測空間σ-代數上的一個滿足可數可加性的集函數，其值域包含在非負實數另加正無窮大的集合內，且在空集的值為0。如果去掉值的非負性要求並且不容許取值為正無窮大或負無窮大，則滿足上述其他條件的集函數稱為廣義測度。若爾當廣義測度分解定理是説廣義測度可以表達為兩個取值不為正無窮大的正測度之差。如果沒有學過測度論，可以將這個定理視為如下理工科大學生普遍熟悉的積分分解公式的推廣：記f+和f-分別為可積函數f的正部和負部，即f+(x)取f(x)與0兩數之間的最大值，f-(x)取-f(x)與0兩數之間的最大值，則f在[a，b]上的積分等於f+在[a，b]上的積分減去f-在[a，b]上的積分。
前面提到若爾當首次給出的矩陣標準型，實際上並非是建立在複數域上今日常用的那個形式，他考慮的域是“有限數域”，屬於有限羣論的範疇。事實上，“有限羣論”這個後來一百年間迅猛發展的抽象代數分支是若爾當開創的，這是他在數學史上彪炳千秋的不朽功勳。一切抽象的理論來源自有價值的具體實例，從若爾當起步的有限羣論是以“置換羣”鳴鑼開道的。n個不同對象可用從1到n的自然數代表，1, …, n的所有不同的排列組成了一個置換羣，它有n階乘個元素，其中的羣運算就是通常的“映射覆合”。若爾當是歷史上第一個對置換羣進行系統探索的人。他對至今還未完全搞清楚的有限可解羣及其分類問題進行了開拓性的研究，引進了商羣的符號，1869年他證明的關於有限羣正規子羣合成列的一個基本結果，現在被稱為若爾當-赫爾德定理，兩個人名中的德國數學家赫爾德 (Otto Hölder，1859-1937) 於1889年強化了若爾當二十年前的最早結論。
作為置換羣之父，若爾當對伽羅瓦羣的發展起到了關鍵性的作用。伽羅瓦 (Evariste Galois，1811-1832) 因決鬥而亡十一年後，劉維爾 (Joseph Liouville，1809-1882) 閲讀了他的原始論文，掂出了它的巨大份量，於1846年將之發表在自己十年前創辦的期刊《純粹與應用數學雜誌》上。之後他關於伽羅瓦理論的講座吸引了埃爾米特 (Charles Hermite，1822-1901) 等數學家參加，這些法國數學家對伽羅瓦開天闢地新理論的研究也隨之開始。然而，指出伽羅瓦理論的發展走向應在何方的是若爾當。他關於有限羣的一個主要工作對象是關於含有素數個元素的有限域上的一般線性羣，他獲得的結果可以用於確定代數方程所對應的伽羅瓦羣的結構。他提出了置換羣的解析表示，十九世紀末二十世紀初，德國數學家佛羅貝尼烏斯 (Georg Frobenius，1849-1917) 等人將他的表示理論推廣到任意有限羣。若爾當是代數學分支“羣表示論”當之無愧的一位祖師爺。
這些創造性工作以及與伽羅瓦理論的聯繫被他寫進了於1870年出版的那部科學院獲獎專著《代換與代數方程論》(Traité des substitutions et des équations algebraique)，其篇幅超過650頁，包含了許多近世代數中的新概念，“阿貝爾羣”就是他在書中首次採用的術語。在這有史以來的第一本羣論書中，他對伽羅瓦理論進行了全面的研究。該書還包含了他關於有限域上矩陣的標準型定理，後人將它推廣至複數域上，極大地擴充了應用範圍。最重要的是這部史無前例的著作將置換羣放到了數學的一箇中心位置，在未來的三十年裏為有限羣論提供了基礎。可以毫不誇張地説，若爾當這本書出版後的百年間，羣論不僅已經發展為現代數學的主要研究領域之一，而且也成了理論物理學中有關對稱性研究的重要數學工具，這是我們在楊振寧先生幾十年來的大眾科學演講中經常聽到的。
正因為若爾當對羣論的開創性工作為他贏得了國際聲譽，一些外國的未來數學之星，如德國的克萊因 (Felix Klein，1849-1925) 和挪威的李 (Sophus Lie，1842-1899)，於1870年奔赴巴黎訪問他，向他請教新穎的思想。法國這位老師由於受到礦物學家關於晶體結構研究的啓發而做出的關於三維空間歐幾里得變換羣的分類工作，激發了這兩位國際學生分別對離散羣和連續羣提出並發展了他們各自的理論。克萊因留名數學史的埃爾蘭根綱領，將幾何按照給定變換羣的不變量進行分類，對現代數學有深遠的影響。李的名字出現在“李羣”、“李代數”等數不清的術語中，他是將代數結構與拓撲結構成功嫁接的一位園藝大師。
在其羣論著作發表後的十多年間，若爾當繼續為建造羣論這座大廈添磚加瓦，證明了幾個有基礎重要性的結果，如關於本原置換羣的有限性定理。此外，他在其他數學領域繼續耕耘，一個在分析學領域中的突出工作是他推廣了傅里葉級數的一個收斂準則。四十餘年前我學過這個收斂準則：如果可積函數f在x的一個鄰域內是有界變差的，那麼它的傅里葉級數在x收斂到f在這點的左極限和右極限之算術平均數。在十九世紀的最後十年中，他參與了創建與積分有密切關係的“容量”理論，引進了內容量、外容量及容量等概念，並給出了它們在重積分理論中的應用。這些內容都被加進了1893年出版的《分析教程》第二版中。
劉維爾1836年創辦的《純粹與應用數學雜誌》那時通常被稱作“劉維爾的雜誌”，它是十九世紀的國際領先數學期刊，為數學傳播與發展功不可沒，比如伽羅瓦的偉大手稿就是首發於此的。1882年劉維爾去世後，若爾當於1885年起擔任該雜誌的編輯（那時大概沒有“主編”一説，不像當今期刊的編輯委員會有一大堆成員），歷時35年，這也充分説明了若爾當在法國數學界的地位。一般認為，在十九世紀下半葉的法國，若爾當的數學歷史地位介於龐加萊和埃爾米特之間。
若爾當雖然已經離世一百年，但他的數學不僅沒有離世，而且繼續茁壯成長，惠及全世界的數學家、科學家及工程師。每當我們用到若爾當的矩陣標準型，應當想起他在32歲時就為我們打造出這把極好使的數學工具。在2022年快要結束的時刻，謹以此文紀念這位傑出的法國數學家，展示對他的崇敬之心。
寫於2022年12月11日星期日
美國哈蒂斯堡夏日山莊
出品：科普中國