淺談平方關係_風聞

撰文 | 克里斯·懷特

譯者 | 王磊（中科院理論物理研究所18級博士研究生）、殷一雄（中科院理論物理研究所19級博士研究生）

譯者在徵得克里斯·懷特的同意以後，翻譯了他的一篇論文[1]。由於原文篇幅長，譯者做了一些刪減和整合。

1 導言

我們對大自然的理解是基於基本粒子以及它們之間的相互作用，目前我們已知有四種基本作用力：電磁力、弱力、強力及引力。前三種我們都可以用粒子物理標準模型去描述，而描述引力的理論一般是廣義相對論。然而，廣義相對論在描述諸如黑洞或者大爆炸的奇點處時會失效，此時量子引力效應會變得極為重要。因此，數十年來人們艱難地嘗試將引力量子化，試圖找到一種精確且完備的理論去描述在微觀尺度下引力的表現。

過去幾十年的研究發現了一種有趣的方式來理解引力：引力理論中的物理量是規範理論的平方，這被稱為平方關係（double copy），這種關係最早在散射振幅的研究中被發現。進一步研究發現，廣義相對論中的其他物理量也可以通過“平方”電磁學中對應的物理量得到。儘管電磁場和引力的類比在歷史上已經出現了多次，這種平方關係提供了一種非常系統且精確的方法，讓我們可以從電磁學或者凝聚態系統構造出引力的物理量。此外，這種引力和規範場的平方關係僅僅是這類平方關係中的一種特例。一般地，平方關係構造出了一個十分複雜的關係網，該關係網將一些物理理論和另一些非物理理論聯繫到一起，見圖1 (這裏參考了文獻[24]的圖17)。這同時也表明對量子場論的傳統思考忽視了某些重要的底層結構。

圖 1：各類理論之間的關係網。其中有向線段連接的兩個理論之間規範要素不同；無向線段連接的則相同。（注：DBI代表狄拉克-玻恩-因費爾得理論；NLSM代表非線性 模型。）

近些年不同領域的學者都開始關注這個新興的研究課題，通過從其他領域引入成熟的思想和技術，很可能產生新穎而有深遠影響的研究見解。為給平方關係的討論提供一些鋪墊，我們先簡單地回顧一下規範理論和引力理論。

2 規範理論與引力理論

為了解釋平方關係，我們需要簡單介紹一下理論物理學的兩個重要理論：規範理論與引力理論（廣義相對論）。規範理論中以麥克斯韋理論和楊-米爾斯理論為主要代表，引力理論這裏主要介紹愛因斯坦引力理論。

下面簡述廣義相對論。廣義相對論認為，引力的本質是時空的彎曲。而時空彎曲又源於物質場。愛因斯坦據此建立了著名的“愛因斯坦場方程”。為了更形象地解釋這一思想，我們打個並不是很準確的比方：將蘋果的表面比作彎曲時空，將蘋果上的小蟲子比作時空裏的粒子。假設蟲子始終不離開蘋果，那麼蟲子在蘋果上的運動軌跡只能是曲線。這種曲線軌跡帶來的效應就是蟲子一直認為自己被一種奇怪的力左右了自己的運動，但實際上卻沒有任何力。

在數學上，描述時空彎曲的基本量叫“度規張量”，它可以給出決定時空彎曲程度的重要變量——黎曼曲率張量，只要黎曼曲率張量為0，那麼時空就是平直時空（閔可夫斯基時空），廣義相對論可以自然退化為狹義相對論。在微擾引力論中，對彎曲時空的度規我們用平直時空的度規做近似，而物質場對時空的彎曲看成一個微擾相加項，將這個度規代入愛因斯坦場方程，按耦合常數逐階展開，越高階的修正越接近於真正的度規張量（這與規範場中的微擾方法是類似的）。

3 散射振幅和平方關係

有了前面的鋪墊我們來討論散射振幅的平方關係。2008年，Bern、Carrasco和Johansson (BCJ) 三人提出了最大超對稱規範場論和超引力之間平方關係[2-4]。為此，我們先簡單介紹一下散射振幅的概念。

量子場論在實際中的應用一般是散射實驗。在粒子加速器裏，兩個入射粒子對撞後產生多個末態粒子，這些粒子可以被探測器捕獲到，由此實驗上我們可以得到不同散射過程發生的概率。在量子理論中，這個概率我們可以通過計算散射振幅（取模平方）得到。

傳統計算散射振幅的方法是利用費曼圖和費曼規則。但這個思路有很大瓶頸：因為費曼圖的個數會隨着外線數量以及圈數的增加而呈現爆炸式增加。此外，費曼圖給出的規範場振幅和引力場振幅形式上看起來相差甚遠。例如三膠子頂角的費曼規則只有六項，而三引力子頂角的費曼規則卻超過170項。有趣的是，當我們對振幅的最終結果進行化簡後，發現它們具有相似的結構，

下面我們來簡單總結一下：在規範理論和引力理論中的散射振幅是通過替換對應起來的，即把規範場散射振幅中帶有色荷信息的部分可以替換成帶有運動學信息（動量、極化矢量）的部分從而得到引力理論的散射振幅。對於場本身而言，這表現為將色因子替換為運動學因子。近些年來，越來越多的證據表明很多有趣的理論可以通過平方關係聯繫起來[5]。

我們可以大膽地猜測平方關係將帶來量子場論的一次革命，因為它預示着不同領域物理之間存在着深層次的聯繫。然而有一個問題我們還沒有回答：這僅僅是散射振幅裏的偶然結果，還是普遍存在於任何理論裏的結果？一種研究方案是去考慮每種理論中其他的物理量之間是否依然有類似的對偶關係。一個自然的出發點就是考慮精確的經典解。

4 經典平方關係

勢，我們認為等式(4.7)是點電荷的規範場。因此，平方關係將原點處的簡單點電荷與引力中的點質量聯繫起來。

此外，還有一些例子，它們是：磁單極子[7]，加速粒子[8]，電磁渦流[9]，二維解[10]等。然而，可以放入克爾-席爾德解族的案例仍然是較為特殊的，因此需要進一步擴展經典平方關係的適用範圍。為此，一種稱為外爾平方關係被提出[11]，該方案與場論的旋量理論有關（這一理論可見參考文獻[12,13]）。相較於克爾-席爾德平方關係，該方案的適用性更為普遍[14-16]，相關研究也取得了進展[17]。克爾-席爾德方法的另一個缺陷是，它高度依賴於規範理論的規範選取（或者説，依賴於引力理論的座標系選取）。原則上可以在任意規範下去考慮平方關係，相關工作見文獻[18-23]。

5 展望

目前還不知道是否可以對平方關係做出一個適用於經典和量子的、精確的陳述。為了推廣這一想法，文獻[25-28]研究了一種叫“雙伴隨理論”的非線性解。如果放棄了微擾論中的精確陳述和逐階計算思路，那麼現在有許多不同的方法來計算廣義相對論中的經典可觀測量，可見文獻[24]。由於引力波的應用，這引起了全世界的強烈興趣。LIGO實驗觀察到的一個典型引力波信號來自於兩個天體（如黑洞或中子星）的併合過程，該過程可以分為三個階段：（1）旋近階段，在這一階段，物體之間的軌道逐漸靠近；（2）併合階段，這一階段兩個天體併合為一個更大的天體；（3）自轉減緩階段，在這一階段中，並和後的天體會減緩自轉搖擺並穩定下來。到目前為止，平方關係已經應用於第一階段，並且可能用於第三階段。第二階段的研究需要複雜的數值模擬工作，但如果可以對其他兩個階段的研究做進一步改進，則可以降低在第二階段上的投入。

平方關係作為研究引力理論的一種新思路，目前吸引了國內外高能物理學專家的極大興趣，有理由相信這個新生的、正在蓬勃發展的領域在日後會有更多更有趣的研究成果出現。

參考文獻

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[2] Z. Bern, J. Carrasco, and H. Johansson, “New Relations for Gauge-Theory Amplitudes, Phys.Rev. D78, 085011 (2008).

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[28] N. Bahjat-Abbas, R. Stark-Muchão, and C. D. White, “Monopoles, shockwaves and the classical double copy,”JHEP 04, 102 (2020)

本文經授權轉載自微信公眾號“中國科學院理論物理研究所”。

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