另類三體：如果月球軌道換個方向，就會撞上地球_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-31 10:38
牛頓因為疫情的原因，躲在鄉下思考天地日月星辰，終於領悟了萬有引力的原理。他把這個天地大道藏在心裏，直到有一天，哈雷來看望他。
牛頓看見哈雷，就上了山，既已坐下，哈雷到他跟前來。他就開口教訓他，説：
枝頭的蘋果落地了，因為地球是吸引它的。
扔出去的石子會落地，也是因為地球吸引它。
站在山上扔出去的石子，落地的位置更遠，因為地球吸引它下落的距離變大了。
站在山上扔出去的石子，出手時的速度越快，落地的位置就越遠，因為地球吸引它落地的這段時間裏，石子飛躍的距離變大了。
只要石子出手的速度足夠快，就不會落到地面上，因為地球是圓的，石子在地球的吸引下不停地下落，而地面也在不停地向下彎曲。所以，石子永遠不會落到地面上，這就是人造衞星。
地球對石子的引力符合平方反比定律，球體的引力就像所有質量集中在地心一樣。只要石子的速度不是特別快，它就會回到我這裏，因為石子的運行軌道是橢圓。
月亮繞着地球轉，地球繞着太陽轉，都是這個原因。世間的萬物相互之間都有引力作用，都符合平方反比定律。由此可以揭示宇宙的奧秘。
牛頓講完了這些話，哈雷很稀奇他的教訓。因為他教訓他，正像有權威的真科，不像偽科學的網紅。
哈雷擔心飛回來的石子會砸到牛頓，就請求牛頓趕快下山，下山以後一定把他的話寫下來。牛頓耐不住他的熱情，就一起下山去了。當然他們也知道，這個石子肯定不會砸到牛頓的：大氣有阻力，地球不是完美的球體，質量的分佈也不是那麼均勻，地球外面還有月亮、太陽、幾大行星乃至整個宇宙——這些因素都導致人造衞星的軌道不是閉合的橢圓。
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那天他們在山上待的時間太短，回家後牛頓忙着寫《自然哲學的數學原理》，哈雷也惦記着計算彗星軌道的事情，所以他們並沒有討論這麼一個看似顯然的問題：
如果地球是完美的球體，周圍沒有大氣的阻礙，只考慮月亮的影響，那麼，牛頓在山頂高速扔出去的那個石子，真的會變成一顆人造衞星，永遠地繞着地球轉動嗎？
乍一看，答案似乎是肯定的。畢竟我們周圍就有這樣一個系統，太陽、地球和月亮。月亮繞着地球轉，地球繞着太陽轉，這樣一個系統，已經存在了幾十億年，還將繼續存在幾十億年，直到太陽等得不耐煩了自爆為止。説什麼三體問題非常困難不可預測，都是網紅們的瞎科普，只要他們走出信息繭房，抬頭看看“雙懸日月照乾坤”，就不會有什麼疑問的了。
真的是這樣嗎？當然不是的——看到這裏，你當然知道情況肯定不是這樣的，否則我不會閒着寫這篇文章了。但是，為什麼呢？可能就不是每一個讀者都知道的了。實際上，這個問題以及它的答案，也只是在60多年前才提出來的——在蘇聯發射第一顆人造衞星“斯普特尼克”之後，在牛頓逃到鄉下躲避疫情大約300年以後。
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重複一遍問題：只考慮地球和月亮的吸引作用，不考慮其他因素（包括大氣、太陽、行星和其他）的影響，牛頓扔出去的這個石子會繞着地球“永遠地不停轉”嗎？
答案是：這依賴於牛頓選擇朝哪個方向扔石子！朝着東西方向扔，就會一直轉下去；如果朝着南北方向扔，那麼，過不了幾天，這個石子就會在西方科學主義和東方神秘主義的共同作用下，一頭撞在大地母親的懷抱裏！
這個答案很出乎意料吧。我學物理有三十多年了，還教過三年的力學，可是直到去年偶然讀了一本書，俄國著名數學家阿諾德的回憶錄《昨日和往昔》（Vladimir I. Arnold, Yesterday and long ago, Translated by Leonora P. Kotova and Owen L. deLange, Springer, 2007），我才知道竟然還有這麼一件事。
下面借用阿諾德的描述。蘇聯科學家利多夫（Michail L’vovich Lidov, 1926–1993）在1960年提出並回答了這樣的問題：我們知道，太陽、地球和月亮基本上是在一個平面上，地球繞太陽公轉的軌道平面（黃道面）和月亮繞地球公轉的軌道平面（白道面）的夾角只有大約5度，這是一個相當穩定的三體系統。然而，如果我們把月亮豎起來，也就是説，讓白道面和黃道面垂直，日地月這個三體系統還會這麼穩定嗎？這個三體系統會持續多長時間呢？它的結局又是什麼呢？
利多夫的問題是：如果我們把月亮豎起來，也就是説，讓桔色的這個小圓變得跟屏幕垂直（這就是下文所説的90度的情況）。日地月這個三體系統還會這麼穩定嗎？前文提到的牛頓扔石子的結果依賴於扔出去的方向，講的就是，朝東西方向扔出去的石子，成為黃道面內的人造衞星，而南北方向扔出去的石子，運動的軌道將垂直於黃道面。
當然，利多夫的問題比這個簡單描述要普遍得多，這就是所謂的圓形限制性三體問題（Circular Restricted Three Body Problem, CR3BP），用到了很多數學技術（久期近似的雙週期平均）以及當時剛出現不久的高速計算機，得到了相當普適的結果，這就是所謂的Kozai-Lidov 機制。Yoshihide Kozai是日本科學家古在由秀（1928–2018），他當時在美國史密斯天文台工作，知道Lidov的工作，隨後也發表了自己的工作。
這個問題如果用解微分方程的辦法來處理是很困難的，列出適當的微分方程就不容易，而且最終也要求助於數值解法。但幸運的是，託半導體科技按照“摩爾定律”發展的福，我們現在的計算能力空前強大，隨便一個台式機都比當年的超級計算機強大得多，還有很多科學計算軟件幫助我們做數值運算。下面我用一個簡單的模型以及Scilab給出的計算結果，説明這個問題。
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考慮日地月這個三體系統。因為太陽質量遠大於地球遠大於月亮，可以簡單認為，太陽不受地球和月亮的影響，地球繞太陽的軌道不受月亮的影響。所以只需要考慮月亮繞地球的轉動，在地月引力的作用下，以及日月引力（扣除月亮繞太陽公轉所需的向心力部分以後）的殘餘影響。我們選擇地球作為參考系，地球的公轉決定了一個平面也就是黃道面，選擇月球的初始速度（大小和方向），可以確定其初始的軌道面以及相對於黃道面的夾角。下面選擇月亮的初始軌道略為偏離正圓形（一個不太扁的橢圓，偏心率百分之幾吧，類似於真實世界裏的月亮），只考慮這個夾角為0度和90度的情況。（見前面那張示意圖和説明文字）
0度的情況。這個軌道保持在黃道面內，是進動的橢圓，因為所有的力都在這個平面內，太陽的擾動引起了進動。左上圖給出月地距離隨着時間的變化關係（右上圖是局部的放大圖），不容易看出進動，但是月地距離變化不大是顯然的，相鄰兩個近地點的時間就是一個月。200多個月的軌道疊在一起，看着就像一個圓（左下），在50-60個月之間選了幾個月的軌道，疊在一起仍然像一個圓（右下）。
90度的情況。下面的左上圖給出月地距離隨着時間的變化關係（右上圖是局部的放大圖），很容易看出，月地距離變化得很快，在50多個月的時間裏（具體時間依賴於初始參數，但是差別並不太大），就從正常距離（38萬公里，記為1）變化到這個值的1-2%左右（小於地球的半徑6400公里與月球半徑1700公里之和）。在這種情況下，200多個月的軌道疊在一起，完全是亂七八糟的一團麻（左下），雖然每個月的軌道大致還接近於橢圓，但是偏心率、傾角和近地點高度都在變化，在50-60個月之間選了幾個月的軌道，可以看出它們有顯著的變化，而且近地點已經非常接近引力中心也就是地球了（右下）。注意：這些橢圓軌道不在同一個平面，只是為了看起來方便，我選擇把它們畫在同一個平面上，但不是投影（單獨看每個月的軌道，大致還是在一個平面上的）。
在90度的情況（白道面垂直於黃道面），只用50多個月的時間裏，地月距離就從正常值（38萬公里，記為1）這個值的1-2%左右（小於地球的半徑6400公里與月球半徑1700公里之和），所以肯定會一頭撞在地球上。也就是説，用不了5年，我們這些地球上的蟲子們就可以看到世界的末日了。儘管從圖上看，這個距離還會變回到正常值去，然後開始下一輪循環，但是這些都不重要了，因為這裏採用的是質點模型，但是在真實的世界裏，地球和月亮都不是質點。
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僅僅把月球公轉軌道面與地球公轉軌道面的夾角從0度變成90度，就導致了人類世界在5年內徹底毀滅。這是什麼樣的悲劇啊！痛定思痛，痛何如哉。可是，為什麼呢？是的，上面演示了數值計算的結果，可是為什麼會有這樣的結果呢？這麼可怕的結果，牛頓怎麼沒有預料到呢？
首先回答最後一個問題。牛頓沒有預見到這個結果，僅僅是因為他沒有計算機。這個問題裏只涉及經典力學，如果我們通過時空門給牛頓傳遞一個華為平板、一台ENIAC、甚至幾個手搖計算器（還有幾個會用這種計算器的大姑娘小夥子），牛頓肯定可以得到這些結果的——現在的每個普通人都可以做到，更別説偉大的牛頓了。
而且我相信，如果牛頓知道有這樣的問題，以他執著的精神和強大的解題能力，他肯定也能得到正確的答案——這就體現了在科學中提出正確問題的重要性了。牛頓的時代不存在這樣的自然現象，當時的天文觀測只能看到很有限的星空。現在我們知道，這種圓形限制性三體問題（CR3BP）在宇宙中是非常普遍的，在許多場合都可以出現。但是我們不能苛求偉大的牛頓也能過超越時代的限制。利多夫提出這個問題，是因為蘇聯發射了人造衞星，精確確定衞星軌道隨時間的變化是非常重要的科學問題，而且計算機的發展提供瞭解決這個問題的機會。
當然，如果牛頓遇到並解決了這個問題，他也同樣能夠指出0度和90度兩種情況差別顯著的原因，可以用下面這個圖來説明：
地球（黑點）繞着太陽（紅點）的公轉軌道是圓形的細黑線，月亮繞地球公轉的軌道是誇張的橢圓（粗黑線），太陽對月亮的微擾力（扣除了萬有引力中讓月亮繞太陽公轉的那部分貢獻）的方向在地球公轉軌道也就是細黑線以內是朝向太陽的，在地球公轉軌道以外是遠離太陽的，這個微擾讓月球軌道（粗黑線）變形併發生進動。
在0度的情況，月亮軌道與地球軌道在同一個平面內，地球繞太陽的轉動和月亮軌道的進動使得這個橢圓的變形不會累加起來，太陽微擾導致的變形是隨時間變化地揉搓這個橢圓，整體的效果是讓月亮軌道大致保持初始的形狀。
在90度的情況，月亮軌道垂直於地球軌道，地球繞太陽的轉動只能改變太陽的微擾在月亮軌道上的投影大小，但是方向不變，變形的效果就可以逐漸累加起來，最後讓這個軌道越來越扁，最終撞到地球上。至於説很扁的軌道又能恢復到正常值，這是因為變形依賴於初始條件，並不一定總是讓胖子變瘦，也可以讓瘦子變胖的。
當然，這個解釋還太粗糙，比如説，沒有考慮我們剛才的計算模型裏因為地球座標系是非慣性系（因為它繞着太陽轉動）。而且這個三體系統理還有很複雜的行為，但是這就遠遠超出本文的範圍了。如果牛頓能來給我們講講，肯定會把我們講糊塗的——就像他撰寫《自然哲學的數學原理》時故意讓普通人讀不懂一樣。
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那麼，這篇文章嘮嘮叨叨地講了這許多又是為了什麼呢？除了想告訴大家這麼一個有趣的三體問題以外，我還想説，在我們所處的這個時代裏，計算機對於我們發現和解決問題起到了越來越大的作用，我們現在擁有的能力甚至連偉大的牛頓也只能瞠乎其後，但是我們還遠遠沒有能夠自覺地使用這些能力，因為我們現在的教學遠遠跟不上時代的要求，我們花了太多的時間去琢磨那些無聊的技巧。
我們必須改變現行的教學方式，因為我們每個人都知道，也都應該大聲地説出來：大人，時代變了。
「大人，時代變了」是什麼梗？https://www.zhihu.com/question/334850317
本文經授權轉載自微信公眾號“風雲之聲”。
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