描繪生活中的非線性事件 - 《華爾街日報》

插圖：托馬斯·瓦倫塔數學家尤金妮亞·程探索數學在課堂之外的用途。閲讀更多專欄請點擊此處。

我們許多人最近都經歷了悲痛，因疫情失去所愛之人或遭遇其他悲劇。人們常説，悲痛不是線性的；它不會沿着可預測的直線緩慢前行，而是會突然出現可怕的曲折，毫無預警地反覆發作。

我很難想到有什麼比悲痛更不符合數學邏輯的事物，但我們卻用這個奇怪的數學術語“線性”來討論它。線性代數本質上是研究沿直線運動事物的數學。這是一個非常嚴格的要求。和悲痛一樣，大多數事物都不是線性的。但我們可以從數學函數和現實生活中尋找其他類型的行為模式。

如果一個函數大致保持相同方向運動，儘管不是直線，它被稱為單調函數。指數函數和對數函數是單調的，但不是線性的。有人認為税率應與收入單調相關，這樣收入較高的人不會支付較低的實際税率；然而，實際情況往往並非如此。想要減肥或增重的人常常因為體重不隨時間單調變化而感到沮喪，而是會因水分滯留等因素上下波動。有時，儘管存在波動，但可以通過計算一段時間（比如一週或一個月）的平均值來推導出單調函數。

函數的行為通過視覺識別比通過公式更容易理解，因此我們繪製圖形來輔助分析。將函數轉化為圖形是一個神奇的過程，它將抽象無形之物轉化為能激發我們視覺直覺的形式。當我們在圖表上繪製函數時，可以立即觀察到線性與單調性之外的其他特徵，例如是否存在間斷點或尖鋭拐角。若函數無間斷則稱為連續函數，若無拐角則稱為平滑函數。

微積分提供了超越簡單描點法的繪圖技術，因為即便繪製數百萬個數據點，仍可能遺漏關鍵特徵。其核心在於理解抽象特徵如何形成視覺特徵（如拐角、間斷等）：這不僅關乎繪製美觀圖像，更是快速把握函數關鍵特性的方法。

我們也可以逆向操作：獲取數據後先繪製圖形，再嘗試擬合函數。隨後便能運用該函數預測未來趨勢。疫情期間的數據處理正是如此——病例數提供了可繪製成圖的數據，通過尋找近似函數進行建模。由於函數可應用於現有數據之外的時間點，這為我們提供了預測未來的途徑。但預測並非精確科學，因為許多初始形態相似的非線性函數後期可能呈現完全不同的發展軌跡。

通過逆向工程為實驗數據擬合函數還能揭示因果關係。函數結構可能暗示着某些基本作用原理，例如物理定律。數學家通過追蹤行星運動軌跡，發現其路徑符合橢圓函數模型，且運動狀態取決於行星與太陽的相對位置。這雖是數學公式，卻暗示了太陽對行星運動的物理影響機制。

説悲傷不是線性的，這是一種嚴重的輕描淡寫，因為它甚至不是單調的、連續的或平滑的。數學為我們提供了仔細區分不同情景和序列的方法，以描繪任何情況。這並不能讓悲傷消失，但能夠描繪其不可預測的軌跡，可以起到宣泄的作用。

出現在2022年5月28日的印刷版中，標題為“描繪生活中的非線性事件”。