做事的順序重要嗎？ - 華爾街日報

插圖：托馬斯·瓦倫塔數學家尤金妮亞·程探索數學在課堂之外的用途。閲讀更多專欄請點擊此處。

我經常揹着雙肩包到處走，但夏天還會額外挎個小巧的斜挎包以便隨時取用東西，因為女裝口袋總是不夠用。但我的大腦還沒適應這個新習慣，總在雙肩包和斜挎包之間手忙腳亂——必須記得先挎斜挎包再背雙肩包，取下時又要按相反順序操作。

這種組合方式缺乏數學中所謂的"交換律"。若操作順序不影響結果，則稱其具有交換性。例如2+3=3+2，順序無關緊要。普通數字的加法和乘法都滿足交換律，這極大簡化了計算。但當我們研究更復雜的概念時，操作可能不再可交換。以烹飪為例：撒鹽和胡椒的順序通常無關緊要，但製作蛋黃醬這類精細食材時順序就至關重要。

交換性問題看似基礎，卻在抽象數學中極為深奧。通過觀察空間內操作的交換性，我們能探測空間形狀。這就是代數拓撲學的研究領域——通過將空間轉化為代數結構來研究形狀。數學家想象在空間中繞行（就像我挎包和揹包的帶子形成的環），用代數驗證繞行順序是否影響結果。環路交換性成為我們判斷空間形狀本質的重要檢測手段。

想象一下，就像忒修斯在迷宮中那樣，你將一根繩子系在起點以記錄你的旅程。如果你進入一個8字形空間，先繞一個環再繞另一個環，這兩個動作是不可交換的。就像我的錢包和揹包一樣，你必須按相反的順序退出環才能解開繩子。然而，在一些更復雜的空間中，你的繩子根本不會打結。

看起來我們可以通過觀察來檢測空間的形狀，但數學家研究的是不可見的抽象空間，比如機械臂移動所經過的空間環路。如果它有多個只能以特定方式移動的鉸鏈，那麼實際上它是在一個比我們所能看到的更復雜和受限的空間中移動。

這就像你試圖在背上塗防曬霜，但只能伸手到肩膀的某個距離，因此你必須扭曲身體才能觸及背部下方。這兩塊皮膚在真實空間中很近，但在由手臂可能移動方式定義的空間中卻相距甚遠。這些空間的限制可以通過檢查在其中移動的順序是否重要來測試。

關於交換性的更微妙考慮定義了不同的編織方式。為此，我們不僅要問事物是否可以交換，還要問它們以何種不同的方式相互移動。這就是法式編髮和瑞典編髮的區別，前者將頭髮編入並交叉，後者則交叉在下方。理解編織也有助於我們理解某些自然形成的編織結構，如肌肉纖維。甚至DNA也會自然打結。分析交叉和穿繞的方法還可以幫助科學家創造新材料，比如用於手術的可生物降解編織材料，以及所謂的分子結，其特性源於它們的編織結構。

像交換性這樣的基本概念可能看起來顯而易見或只是常識，但它們可以引發複雜的想法——這得益於它們與我們生活中其他部分的聯繫。

出現在2022年7月2日的印刷版中，標題為“做事情的順序重要嗎？”。