《華爾街日報》——搖鈴的奇妙排列組合

插圖：托馬斯·瓦倫塔數學家尤金妮亞·程探索數學在課堂之外的用途。閲讀更多專欄請點擊此處。

最近温布爾登網球錦標賽期間，我身處倫敦，一邊品嚐着傳統的皮姆斯杯酒，一邊在聖保羅大教堂外的屏幕上觀看比賽，突然教堂的鐘聲開始鳴響。十二口鐘從高音到低音依次敲響，隨後鐘聲模式開始變化；大約半小時後，鐘聲才循環回最初的序列。整個過程讓我着迷，部分是因為這整個場景，部分是因為其中的模式：即排列組合的數學。

排列是指對一組對象的重新排序。例如，我們可以取數字1、2、3，生成一個排列如3、1、2。數學家研究排列之間如何相互作用，以便我們可以重複排列並預測結果。這是抽象代數中稱為羣論的一個分支，研究對稱性。羣論中的一個重要結果是，所有可能的排列都可以通過一系列稱為對換的簡單排列來實現，即兩個對象交換位置。

我在聖保羅大教堂聽到的鐘聲之所以能通過交換實現，是因為鐘的重量和物理限制。

每口鐘懸掛在一個旋轉的橫杆上，不像鐘擺那樣小幅擺動，而是在每次鳴響時旋轉一整圈，然後再擺回。十二名敲鐘人可以通過提前或延遲拉動連接的繩子來調整他們的時間。擺動鐘的動量——最重的鐘超過三噸——意味着它們的時序在每一輪中只能略微改變。當一口鐘被加快，另一口鐘被延遲足夠的時間時，兩口鐘的順序就會在從一個序列到下一個序列時交換。

這種練習被稱為“變換鳴鐘法”，因為排列組合被稱為“變換”。每位敲鐘人必須準確知道何時加快或延遲，以確保調換按計劃進行，這是一項需要出色協作與協調的壯舉。

那天聖保羅大教堂演奏的鐘聲模式採用了一種名為“斯特德曼十一鍾法”的方法——我之所以知道是因為我詢問過——在這種方法中，序列的每一步都會在10口鐘之間進行5次調換，而12口鐘中最低音的那口總是最後敲響。

這種方法以法比安·斯特德曼的名字命名，他在17世紀末撰寫了兩本關於變換鳴鐘法的權威著作，幫助這一方法在英格蘭傳播開來。羣論直到大約200年後才發展起來，但有些人認為它始於斯特德曼。敲鐘人用來表示變換方案的圖表與羣論中的圖表極為相似。

從某種意義上説，這種數學相當直觀，通過逐步交換兩個相鄰事物來產生複雜模式的想法也出現在其他情境中。許多民間舞蹈都涉及一羣人圍成圈或排成行反覆交換位置，這些舞蹈隊形也可以用置換羣來研究。編織是通過一系列移動產生的，你只需將一根線搭到相鄰的線上。頭髮編織通常只用三股線，但麪包編織可以涉及六股或更多。

如果敲鐘人在一個序列中產生所有可能的排列而不重複，傳統上這被稱為“全套鐘樂”。數學上意味着我在聖保羅大教堂聽到的30分鐘序列遠遠達不到這一點：對於12口單獨敲響的鐘來説，有超過4億種可能的排列，因此以每兩秒一次變換的標準速度計算，這將需要超過30年。理解了這一點，敲鐘人現在將包含至少5000次排列的序列稱為“鐘樂”，這大約需要三個小時。

即使你不懂排列組合的數學原理，教堂鐘聲的鳴響也能令人着迷。對我而言，瞭解其中的數學原理更增添了它的魅力。

刊登於2022年8月6日印刷版，標題為《鐘聲鳴響的奇妙排列組合》。