兩本關於數學樂趣的書 - 《華爾街日報》

圖片來源：蓋蒂圖片社當《紐約客》雜誌的亞歷克·威爾金森在派對上偶遇同事卡爾文·特里林，並提及自己正在撰寫一本關於數學的書籍時，特里林問道：“是支持還是反對數學？”

這個問題確實複雜。

在《神聖語言：遲暮之年學習代數、幾何與微積分》一書中，威爾金森試圖糾正半個世紀前學生時代遭遇的不公。他坦承若非作弊，自己高中數學根本不可能及格。於是65歲這年，他開啓了一場知識狂歡式的補習之旅，帶着臨終自我提升的緊迫感展開探索。

然而他很快發現，自己的"數學過敏症"並未隨時間消退。儘管持續處於高度數學焦慮中（他研究了這種真實病症及相關科學理論），威爾金森仍以貝克特式的固執與特權階級的任性堅持着。“我做代數題時總帶着揭露其荒謬性的破壞心態，“他坦言，“我態度惡劣，活像個數學混混。”

他聘請了兩位數學教授（芝加哥大學的侄女艾米·威爾金森和紐約大學的楊迪恩）擔任指導——但拒絕正式授課，因為家教違反他的原則。這位自學者在摸索中不斷經歷失敗與挫折。不過正如他沿途請教專家們所得知的——這也是許多數學家會認同的——這恰恰是真正的數學體驗。

威爾金森先生以典型的《紐約客》式超級專題手法記錄了他的數學探索之旅。儘管他在學習數學時屢屢受挫，但廣博的好奇心驅使他縱橫馳騁於數學史與哲學領域。開篇"數學是什麼"的追問便引發了一場發人深省的探討，答案五花八門：“形式模式的理論”、“邏輯思維的詩篇”、“人類最綿延不斷的思考"以及"不過是一場形式遊戲”。在這個領域裏，威爾金森如魚得水，以信手拈來的優雅學識講述故事——尤其是當他走出書齋拜訪數學家們時。

隨後筆鋒轉回"學習與煎熬”。他懷疑數學這個"高級騙術"處處與他作對，那些方程式彷彿"暗設陷阱”。有時問題出在傳播媒介——即教科書上，他以令人莞爾的傲慢口吻評點道：“當某本教材讓我困惑時，我換另一本，但幾乎都寫得糟糕透頂”，他抱怨道，“除了內容缺漏，這些書語言粗劣，句子雜亂無章，思維經常漏洞百出，還總帶着種歡快又莫名其妙的急躁語氣。”

若是威爾金森先生早讀過新墨西哥州聖胡安學院數學教授G·阿內爾·威廉姆斯的《美麗的代數：獻給最不受歡迎數學科目的頌歌》，或許境況會好些。威廉姆斯教授開宗明義指出，正是學生們對數學的懷疑態度以及在情感與概念上的掙扎，促使他提筆著述。

在符號代數學革命之前——用x、y、z等字母常來自拉丁或希臘字母表表示未知數和方程——存在的是修辭代數學，問題和解決方案用詞語或語言縮寫來表達。次大陸的中世紀印度人設計了一種顏色方案來處理多個未知數。正如12世紀印度數學家婆什迦羅二世所解釋的：一個未知數“是黑色，另一個是藍色、黃色和紅色。[顏色]從這些開始，由最優秀的教師想象出來，作為未知數度量的名稱，以完成它們的計算。”

《美麗的代數》是一本工作手冊（某種意義上的）中豐富的讚歌，或者可能是一首讚歌中的工作手冊。教育哲學家約翰·杜威和他的著作《作為經驗的藝術》多次被提及，威廉姆斯先生闡述並確認了他的目標，誠然“崇高、虛幻”——但他認為是可以實現的：通過充實的經驗和統一的思想來教授代數。

他的書中包含大量文字問題及其類似問題，屬於普通代數課程中教授的類型。（例如：一架飛機以每小時450英里的速度飛行。如果……它能飛多遠？）然而，在威廉姆斯先生的處理下，這些代數實體被巧妙地解構為“數字交響曲”和“定量雞尾酒”。如果你願意面對一些挫折和掙扎，積極拆解變量、未知數和參數確實能帶來令人滿足的“啊哈！”時刻。

但他問道，當大多數人不太可能在日常生活中使用其人為且常常不切實際的文字問題時，為什麼還要費心教授代數呢？威廉姆斯先生旨在傳達代數的變革力量——無論是在處理文字問題中的未知數還是科學公式中的未知數——以揭示模式、關係、類比和隱喻，從一個場景到另一個場景的變化和共性。

他將數學比作語言，並寫道：“語言通常能讓我們用相對少量的詞彙描述眾多對象和思想。將這些詞彙組合成句子——即語言表達——賦予我們驚人的能力，可以描述生活中經歷的幾乎一切，或是思考周遭世界的任何事物。我們在數值變化的世界裏也追求同樣的能力。”

當發現某種內在聯繫時，威爾金森先生經歷了一種“頓悟”時刻。“我盯着一頁方程式，突然意識到數學本身就是一種語言，而方程式就是句子……這個深刻甚至富有詩意的洞見讓我欣喜不已。它沖淡了我此前遭遇的挫折感，更堅定了我的目標感。”

他在書中穿插致敬了眾多文學巨匠，包括古斯塔夫·福樓拜、歐內斯特·海明威、埃德娜·聖文森特·米萊和安妮·卡森，以及科學界的常客——庫爾特·哥德爾、喬治·波利亞、伯特蘭·羅素、尤金·維格納。可惜沒有提及埃米·諾特。（同樣遺憾的是書中未附索引。）

當探討宏大主題時，威爾金森先生總是個絕佳的對話者。他對素數深深着迷：迴文素數正讀反讀相同；頑皮素數主要由零組成；空心素數只含帶孔數字；性感素數彼此相差6；野獸素數中間包含“666”。他沉思無限的概念：借德國數學家赫爾曼·外爾之言，他闡述道“數學的目標是以人類有限的手段，實現對無限的符號化理解。”威爾金森補充道：“這使得最精密的科學成為探索存在中最不可知部分的一種途徑。”

他還深入探討了數學是被髮明還是被發現的辯論。“一旦我接觸到柏拉圖主義”——它以各種形式主張後者——“我就無法自拔了。“他着迷了。“數學大多拒絕了我，因為我通常只能表現得很差，但思考數學我可以做到，因為任何人都可以。”

羅伯茨女士是《天才的遊戲：約翰·霍頓·康威的好奇心》一書的作者。

刊登於2022年8月20日的印刷版，標題為《一切都歸結為數字》。