《華爾街日報》：甜甜圈和咖啡杯何時相似？

插圖：Tomasz Walenta數學家尤金妮亞·程探索數學在課堂之外的用途。閲讀更多專欄請點擊這裏。

女性數學家協會製作了一套卡片，每張卡片上印有一位女性數學家及其簡短傳記。我饒有興趣地發現，我的卡片上寫着出生於“20世紀末”，而一位僅比我年長几歲的朋友則標註為“20世紀中葉”。我原以為我們年齡相仿，但這些描述讓我們聽起來像是隔了一代人。

這讓我開始思考“大致相同”的含義。在日常生活中，兩位長途飛行的朋友可能會説，如果他們的飛機降落時間相差不到一小時，就算是“差不多同時到達”。對於成年人，五歲左右的年齡差或許可稱為“同齡”，但對孩子而言這個差距就很大。或許我們潛意識裏是用百分比差異而非絕對差異來判斷“大致相同”。

數學需要更精確的定義，但定義“大致相同”會產生一些奇怪的異常現象。再以年齡為例：如果比我小不到五歲的人算與我同齡，而這個人又與更年輕幾歲的人算同齡，如此遞推下去，最終會導致數十年的年齡差也被視為“同齡”。

這涉及到數學中的傳遞性問題：若對象A與B存在某種關係，B與C也存在同樣關係，那麼A與C是否必然具有該關係？在完全等同的情況下成立，但在“大致相同”時可能失效，這給方程式運算帶來困難。類似問題也出現在政黨共識構建中——A與B觀點大致相同，B與C觀點相似，但推演到最後可能出現嚴重分歧。

我們還可以通過四捨五入的概念來表達數學上的大致相等。但這會導致不同的異常情況。例如，2.4向下舍入為2，而2.5向上舍入為3，儘管它們實際上非常接近，就像我和我那位世紀中葉的朋友一樣。我們甚至可能得到奇怪的結果，比如2+2=5，如果這兩個2實際上是2.4向下舍入的結果，但當它們相加時，4.8被向上舍入為5。

當我們試圖將連續數字的一部分聚集在一起，將它們歸類為大致相等時，不可能完全避免某種異常。問題在於我們需要哪種類型的相同性，以及在特定情況下我們將接受哪些異常。在高等數學中，這個問題變得更加重要，目前抽象數學前沿研究的很大一部分是關於如何組織和推理更細微的相同性版本。

拓撲學研究空間的形狀，其中一種相同性的形式表示，如果你通過一個形狀追蹤一條路徑，並且可以稍微向一個方向或另一個方向推動它以形成一條新路徑，那麼它們大致相同。通過傳遞性，輕微的變形可以被推動成大的變形，就像將橡皮泥從一種形狀塑造成另一種形狀，只要不遇到障礙。從這個意義上説，咖啡杯和甜甜圈是“大致相同的”，如果你可以通過將甜甜圈的孔變成手柄的孔，併為杯子製作一個凹痕來盛放咖啡，將甜甜圈形狀重新塑造成咖啡杯。這兩個物體在許多數學情況下可以扮演相同的角色，儘管在早餐桌上它們不能。

許多高等數學的核心在於判斷哪些事物能在不同情境下扮演相同角色。這與數學具有固定正確答案的傳統觀念截然不同——絕非大致相同。

該觀點發表於2022年10月15日印刷版，標題為《甜甜圈何時與咖啡杯相似？》