《變化率的聲音與感受》——《華爾街日報》

插圖：Tomasz Walenta數學家尤金妮亞·程探索數學在課堂之外的用途。閲讀更多專欄請點擊這裏。

最近我和一位朋友討論鋼琴家，描述了我為何偏愛某些鋼琴家的演奏。除了整體音樂詮釋外，對我而言重要的是鋼琴家所創造的音色。彈奏鋼琴鍵最明顯的不同方式在於演奏的強弱，而樂器在這方面的能力正是其全名“pianoforte”的由來，意大利語意為“弱強”。

音量取決於擊鍵力度，這實際上是一個速度問題——手指位置的變化率。在微積分中，量的變化率稱為導數，如果我們繪製圖表，那麼任意一點的變化率就是該點的斜率。如果一個量迅速增加，它將具有非常陡峭的斜率。

數學家喜歡迭代——如果我們能進行一次操作，通常會着迷於重複嘗試。因此，我們也會關注斜率的變化率。在這種情況下，斜率的變化率代表速度的變化率，即加速度。如果某物以恆定速度運動，其位置隨時間變化的圖表將是一條直線；如果它在加速，圖表將向上彎曲。這就像我們在“拉平曲線”之前的新冠感染圖表。疫情初期，不僅感染人數在增加，感染率也在上升。

一階導數的變化率稱為二階導數。我們可以繼續計算更高階的變化率，但它們沒有特定名稱，因為我們通常不會考慮這些。然而，這些高階導數對設計過山車的工程師至關重要——加速度能帶來刺激感，但若變化過於劇烈則可能造成傷害。加速度的變化率是三階導數，其專業術語稱為"急動度"(jerk)，因為它會讓乘坐體驗產生頓挫感。接下來的三階導數有時被稱為"彈跳"(snap)、“爆裂”(crackle)和"爆破"(pop)，可見數學術語也能充滿幽默感。

所有這些高階變化率共同構成了運動體驗。僅知道汽車在某一時刻的行駛速度，並不等同於理解乘坐感受。若以每小時60英里的恆定速度行駛且無加速，即使速度很快也不會產生明顯體感；但若持續加速突破60英里時速，身體就會產生強烈感知。

加速度的變化率（即三階導數）同樣影響乘坐體驗。數學能捕捉從四階、五階直至無限階的所有導數，儘管人類可能僅能感知前幾階變化。但通過訓練，我們可以提升對高階導數的覺察能力。

同理，鋼琴聲音最顯著的特徵是強弱變化，但通過培養對高階導數微妙差異的敏感度，我們能獲得更豐富的聽覺體驗。對鋼琴家而言，降低演奏中的"急動感"意味着運用更柔韌的觸鍵動作，通過靈活的手腕與手臂緩衝手指對琴鍵的衝擊。

這不僅使音調不那麼刺耳，也減輕了對鋼琴家手臂的衝擊，保護他們免受重複性勞損的傷害，就像減少過山車的急動可以保護乘客免受傷害一樣。我們可能不會有意感知所有高階導數，但我們可以學會去適應它們。

刊登於2022年11月12日印刷版，標題為《變化率的聲音與感覺》。