《華爾街日報》：節日彩燈與堅固穹頂的神奇曲線

插圖：托馬斯·瓦倫塔數學家尤金妮亞·程探索數學在課堂之外的用途。閲讀更多專欄請點擊此處。

當我們懸掛聖誕燈串或金屬箔條時，常會彎曲垂掛而非拉直，以增添節日氛圍。數學上，這種自然形成的曲線被稱為懸鏈線，其名稱源自拉丁語“鏈條”——正如鏈條或繩索僅受自身重量懸掛時呈現的弧度。

鏈條呈現這種形狀源於物理原理：重力作用於鏈條的每個節點，但被沿鏈條本身的橫向拉力所抵消，這種拉力源自其固定兩端。需要通過微積分計算才能精確找到重力與橫向力的平衡點，從而形成穩定狀態。但一旦理解這一原理，我們甚至可以將曲線倒置——若以剛性材料構建，曲線上每一點的受力仍會沿曲線橫向抵消重力。

此時我們不再依賴自然形成的曲線，而是能主動構建出最堅固的拱形結構。平衡力沿着拱形曲線作用，而非向內或向外拉扯，從而避免結構坍塌。

人類在知曉解決方案前就已意識到尋找最優拱形曲線的必要性。倫敦聖保羅大教堂的穹頂便是我最鍾愛的例證。1666年倫敦大火後，克里斯托弗·雷恩爵士為這座新教堂設計了統領天際線的宏偉穹頂。他深知如此巨大的穹頂會壓迫內部空間，因此設計了較小的內層穹頂。但雷恩也明白這兩個穹頂均非最優結構，於是匠心獨運地在可見穹頂之間建造了第三層隱蔽穹頂。因其不可見，可完全基於結構力學原理建造，無需考慮美學因素，於是他試圖用數學方法推演出最佳形態。

但懸鏈線的原理尚未被完全理解。以發現彈簧負重行為定律聞名的羅伯特·胡克曾推斷，最堅固的拱形應是倒置懸鏈線的形狀，但如何計算這種形狀仍未解決。雷恩最終得出的形狀接近懸鏈線，但更類似於三次曲線（任意數的立方函數）。

某些傳統文化未經過正式計算卻領先於雷恩。“蜂巢屋"是一種按懸鏈線設計建造的古老人類居所，推測是為了增強結構強度，可追溯至4000多年前的非洲、蘇格蘭和愛爾蘭；冰屋也採用類似結構。這些小型懸鏈線結構或許可以憑感覺而非計算建造。現代一些大型懸鏈線變體包括建築師埃羅·沙裏寧設計的華盛頓杜勒斯機場航站樓屋頂（採用下垂形態），以及聖路易斯拱門——它被建造成加權懸鏈線，彷彿鏈條兩端較粗而中間較細。

懸鏈線另一個有趣的數學特性實用性較低：如果路面由一系列懸鏈線形凸起組成，那麼方形輪子的自行車可以完美平穩地行駛。事實上，你可以在紐約數學博物館嘗試在這樣的路面上騎乘方形輪自行車（實際上是三輪車，所以不必擔心因驚訝而摔倒）。

大自然自動創造着數學構造，當我們理解自然運作的數學原理後，也能為實用目的、裝飾或純粹樂趣建造這些東西。

出現在2022年12月24日的印刷版中，標題為《燈光與圓頂的魔法曲線》。