數學和物理的再婚_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！01-16 10:18
撰文 | James Propp
翻譯 | 蔣迅
我一直是再婚喜劇的粉絲（比如“它發生在一個晚上”、“費城故事”、“他的女孩星期五”等電影中），而最偉大的再婚喜劇之一是數學（“Math”）和物理的故事 （或者叫“Phyz”，數學喜歡這樣稱呼她）。
你可以説他們最終分手的根源從一開始就存在，當時他們在婚禮上組裝了一個宇宙模型。這是一個甜蜜但事後看來很天真的姿態。你看，Math發現恰好有五種方法可以將相同的正多邊形粘在一起形成完美對稱的立體（我們人類將這些規則形狀命名為“柏拉圖立體”，以紀念主持婚禮的哲學家，儘管他沒有發現其中任何一個）；對這個發現感到高興的Math把這五種立體帶到了婚禮上，作為送給她準新娘的禮物。與此同時，Phyz帶來了她自己的禮物：地球、空氣、火、水和“精髓”（天堂的東西），她説宇宙是由五種元素構成的。（見尾註#1。）五種規則立體？五要素？這段婚姻是命理註定的！（見尾註#2。）Math和Phyz交換了禮物並宣佈了他們的關係，發誓他們永遠不會分開。如果有旁觀者認為禮物之間的對應是被迫的，他們有禮貌地保持沉默。
但幾千年後，這種關係中潛在的緊張局勢浮出水面。物理學不斷發展和變化，修改了她的核心原理，例如羞怯地決定地球、空氣、火和水畢竟不是真正的元素。但Math不禁注意到，即使Phyz發現了新元素，Math也不必更新她的正則體的庫存。事實上，即使Phyz不斷修改她自己的基本原則，數學已經找到了一個不可能再有新的正則體的證據，而且這個證據在幾個世紀以來仍然有效。對了，還有另一個例子：物理學説彈球在沿曲線下降之前先直線上升，直到她説哎呀，不，它們也沿曲線上升。Math對Phyz的輕率和不可靠感到尷尬，正如物理對數學的呆板感到尷尬一樣。
隨着時間的推移，Math變得更加挑剔和模稜兩可。她開始對自己的陳述不置可否，拒絕説出什麼是真實的，而只是做出如下形式的條件斷言：“好吧，如果假設 , 和 為真，那麼結論 , 和 也為真。或者：在假設 , 和 近似正確的情況下，在相同程度上，結論 , 和 也應該作為近似值成立。” 雖然她不喜歡她聽起來在説這種話時的聲音。
但你不應該認為Math只是退回到空想或無精打采的完美主義中。數學和物理學一樣在增長，但方式不同。並不是説數學對她與物理學的關係缺乏承諾。她只是覺得太被Phyz住的地方侷限了。最終，大約在1900年左右，她説“我需要看到不同的宇宙”，然後她搬走了。
更高的維度
突出數學和物理之間鴻溝的一個問題是更高維度的問題。它們存在嗎？數學和物理有非常不同的答案。在物理學中，最天真的（而且大部分是正確的）答案是“不”：你不能用四條相互垂直的線來構造一個物體。（當然，你可以更改問題，然後答案變為“是”，然後你可以再次更改問題，答案變為“也許”，但我很快就會回到這個問題上。）另一方面，在數學上，我們可以為n維歐幾里得幾何制定公理，不僅適用於 n=2和n=3 ，而且適用於任何正整數n。從這些公理可以推導出結果，每個數學家都會得到相同的結果，因此高維空間與任何其他數學構造一樣真實：它們是人類思維的一致創造，具有所有邏輯思維都會同意的屬性不是因為公理是正確的（不管那是什麼意思！），而是因為所討論的實體根據定義滿足公理。現在的數學是一種描述可能宇宙的語言，我們碰巧居住的宇宙只是其中一個例子。
擺脱我對數學和物理學作為人格化存在的自負並轉向對人類歷史的考慮，考慮一下數學家路德維希·施萊夫利（Ludwig Schlafli，1814-1895）和物理學家阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）的職業生涯。施萊夫利想知道 n大於 3 的 n維歐幾里得空間中存在什麼樣的高維規則固體（“正圖形”是技術上更正確的短語）。他證明了在 4-維歐幾里得空間，但當n 為 5 或 6 或任何更高的整數時，n 維歐幾里得空間中只有三個正則實體。另一方面，阿爾伯特·愛因斯坦追求的物理學觀點認為，我們的3維空間需要被視為“時空”的 4 維幾何的一部分，其中空間和時間的屬性交織在一起。（見尾註#3。）儘管這兩位思想家的生活是重疊的——事實上，愛因斯坦關於騎一束光的早熟思考發生在施萊弗利去世前後 —— 在一個重要的意義上，他們的工作根本沒有重疊。部分原因是愛因斯坦提出的兩個偉大的相對論不是歐幾里得的；狹義相對論使用我們現在所説的閔可夫斯基空間（時間扮演了將其與其他三個維度區分開來的特權角色；見尾註#4），而廣義相對論通過允許閔可夫斯基空間扭曲和彎曲，使遊戲更加深入。但更重要的是，愛因斯坦關注的是我們的世界，而施萊弗利關注的是理想化的數學世界。
現在有人猜測我們的物理宇宙可能有額外的維度太小而無法看到。存在額外維度的可能性很誘人（這是我之前提到的“也許”），但在數學中，額外維度不僅僅是一種可能性：它們成為現實，儘管只是許多共存的現實之一，因為數學（ 正如我們現在所理解的那樣）不是關於現實，而是關於可能性。
諾斯底物理學與諾斯底數學
為了幫助我進一步澄清數學和物理之間的鴻溝，我將借用幾個（類似於諾斯替派假設的造物主，但更像書呆子的）虛擬造物主來幫助我。
所以，想象一下，如果全世界突然聽到一個洪亮的聲音説：“你好，你好！大家好。（能聽到嗎？哦，很好。）我是一個強大的造物主，我決定承認：我一直在招惹你們。你們大多數人都知道，你們星球上的一些宗教原教旨主義者相信我或像我這樣的人在地裏種下了恐龍骨頭作為對你們信仰的考驗。好吧，我一直在招惹你們。但不使用恐龍骨頭。相反，幾個世紀以來，我一直在干擾你們星球上的電、磁和光的行為。歸根結底，牛頓物理學是正確的，狹義相對論是錯誤的。實際上，觀察者有一個首選的參考框架；發光的以太是真實的；麥克斯韋方程是錯誤的；等等等等。意外！”
這樣的聲明將使我們有理由重新考慮愛因斯坦的理論，而不是施萊夫利的。在四個維度中恰好存在六個規則多面體是純粹理性的事實，而不是實驗觀察。如果我們生活在一個四維歐幾里得空間中，那麼將有六種不同的方法將規則的三維多面體粘在一起形成正則的四維多面體。造物主的宣言不會改變這一點。
相比之下，我們可能會想象一個不同的造物主，他會説“這沒什麼！我弄亂了路德維希·施萊夫利的腦袋，以及所有讀過他的著作或自己重構了它的那些人的腦袋，這樣沒人會注意到他證明中的邏輯謬誤並發現隱藏的第七個正則多面體；每次你們人類讀到為什麼它不存在的論據時，我都會在關鍵時刻讓你們的大腦一片空白，而你們卻錯過了這個錯誤！”這是一種完全不同的惡作劇。我們懷疑我們的觀察誤導了我們是一回事。懷疑我們的推理過程本身存在缺陷是一件更令人不安的事情，這種懷疑很快導致我們產生更進一步的懷疑，不僅破壞了施萊夫利或愛因斯坦的工作，而且破壞了整個科學事業和我們的整個自我意識。
（例如，我不認為我只是容器中的一個大腦。但請等等：如果我對自己的想法可能有誤解，我有什麼權利説出我認為的想法或不認為的想法。但是請再等一下：“我有什麼資格説”這句話只有在我能説的時候才有意義，而且我是容器裏的大腦，我只會認為我在説着什麼。再説一遍，即使時間本身是一種幻覺，“等一下”又是什麼意思？而且……）
為了強調物理和數學之間的區別，我將借用古生物學家斯蒂芬·傑伊·古爾德（Stephen Jay Gould）介紹的一句話，試圖促成科學與宗教之間的友好離婚。古爾德稱這些學科為“不重疊的權威”，並辯稱它們並不衝突，因為科學的問題是“什麼/何時/何地？”問題，而宗教的問題是“為什麼？”問題，並且在是和應該是之間不可能有矛盾。古爾德試圖解決現代的關鍵緊張局勢存在一些問題，其中最重要的是不同信仰的原教旨主義者堅持認為他們的宗教經典清楚地陳述了宇宙的創造者（大概是在一個位置知道）。但我的觀點是，以類似的方式，數學和物理無法碰撞，因為它們無法連接。數學是推導假設的非顯而易見後果的引擎，但它不能告訴我們要做出哪些假設。我們可以將數學的預測與對現實世界的觀察進行比較，並使用由此產生的一致性或差異來確定導致這些預測的假設是否有助於解釋世界，但是當我們這樣做時，我們是在做物理學，而不是數學。
PI 的三個方面
再説一次，也許我們應該將數學和物理視為重疊的學府，並將諸如著名的數量 pi （3.14159...）之類的事物想象為生活在重疊中。一方面，pi 是一個物理量，用於測量實際物理圓的周長和直徑之間的比率；另一方面，它是一個數學量，例如等於無限和 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …的極限的 4 倍。我們稱前者為物理 pi，後者為公式 pi。事實上，我想要第三個 pi，我稱之為幾何 pi。幾何 pi 是理想的數學圓的周長和直徑之間的比率，無論我們的世界中是否存在這樣的圓。數學推理可以引導我們走一條美麗而複雜的道路，從幾何 pi（“周長除以直徑”）到程式化的 pi（4 倍的 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …，或其他一些你喜歡的 pi 的公式）。但它並沒有告訴我們歐幾里得公理是否是對我們世界的真實描述。如果不是，那麼幾何 pi 和公式 pi 雖然彼此完全相等，但與我們生活的世界無關，除非是近似值。
讓我們把這個想法更進一步。物理 pi 涉及測量事物，並且只能以有限的精度知道。如果我們只能畫出直徑1020米的圓，並且只能測量到10-20米的精度，那麼我們只能知道40位有效數字的圓的直徑或周長，當我們取兩個這樣的測量值（周長和直徑）的比率，我們再次得到只有 40 個有效數字。在這種情況下，如果無法測量該比率的百分位是否具有確定值，是否有意義？事實上，量子物理學告訴我們，測量長度的整個遊戲在亞原子尺度上變得有問題。同樣，廣義相對論説，一旦你開始建造東西（比如在一塊超大的黑板上畫一個超大的圓圈），你建造的東西就會扭曲空間，導致與歐幾里得公理的偏差（它只適用於平面空間，不是彎曲的空間）。因此，當我們談論計算 pi 的數百位數字時，我們不會 —— 不能 ——意味着 pi 是物理常數；我們必須指的是數學量，由 4 倍的 (1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) 等表達式定義。
造物主或許能夠扭曲空間來改變我們的測量值，但它必須扭曲我們的大腦才能讓我們認為，比如説，4(1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) 等於 5。
順便説一句，我不想給你留下錯誤的印象，即公式 pi 表示的是特定公式 4(1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) 給出的值。有數千個已知的圓周率公式，它們的總和構成了我所説的公式 pi，而不是其中任何一個。我們知道它們是相等的，不是通過測量物體，而是通過推理數學表達式，在數學所在的地方。
數學去了哪裏
當數學離開我們的宇宙時，很難説她去了哪裏。柏拉圖為她的新家指明瞭方向，他寫道：“你知道幾何學家們抓住那些可見的圖形並加以爭論，但這樣做時他們考慮的不是這些圖形，而是它們所代表的事物；因此，他們爭論的對象是絕對平方和絕對直徑，而不是他們畫出的直徑。”也就是説，人類幾何學家可能會畫圖，但當我們畫這些圖時，我們正在考慮一些絕對的東西，即使它在我們無法到達的領域。
在她的新家中，數學不必在歐幾里得幾何定理的每個陳述的末尾模稜兩可並添加“……（假設歐幾里得公理是正確的）”；她可以假定理想正方形、直徑、圓等，這些都完美地滿足歐幾里得的公理。就是這樣。做出一個歐幾里得正方形，其底邊是某個給定歐幾里得正方形的對角線，新正方形的面積正好是舊正方形面積的兩倍。在數學去過的地方，無需擔心黑洞會扭曲圖像，或者量子泡沫會破壞亞納米尺度的圖。遍佈數學新家的結構正是它們的構造。在某些方面，這是一個孤獨的地方，但如果你想與完美的真理聯繫起來，並且知道你可以絕對、肯定地確定的事情，那就是你需要去的地方。
由於我們人類無法到達數學去過的地方，我們在爭論這個地方是否存在，而數學很酷。而且她甚至都不孤單，因為猜猜誰一直在那兒拜訪她，有時甚至過夜？物理！Phyz想討論 n維的量子場論，以及它與n+1維的廣義相對論的關係，對於所有n值！
在最好的再婚喜劇中，婚姻的兩方在分居期間都有了一些成長。也許他們每個人都發展了對方的特點，在這個過程中成為更全面的人。或許他們對自己和他人變得更加寬容。無論哪種方式，他們發展的新關係與以前的關係不同。
回到我們的天上的那對夫婦，物理學開始接受數學的輕浮，她無法滿足於一個宇宙（甚至是一些龐大但有限的宇宙！），不僅僅是不成熟的標誌；她的輕浮是她天性的關鍵組成部分。Phyz意識到，即使她 (Phyz) 滿足於 4 個維度，或 11 或 26，Math 也永遠不會停在那裏，Phyz 也不會真的希望她這樣做。更高的維度、曲率和奇異的拓撲結構，甚至是關於空間可能是什麼主題的更奇怪的變化——Phyz 現在明白所有這些都是讓數學變得如此美妙的一部分。
但是數學也學到了一些東西。一直以來，她都認為自己是一個富有想象力、自由奔放的人，而物理學則是一個沒有創造力的人。但隨後出現了弦理論，以及弦理論的一種特殊預測，稱為規範重力對應。它受到物理世界的啓發，最終可能對現實世界做出預測，但除了可能的應用之外，它還產生了美麗的新定理。誰能想到物理學會為代數幾何提供靈感？代數幾何是最純粹的數學領域之一。當然，如果學科之間有任何交流，數學會激發物理學，而不是相反！然而，近幾十年來，關於基本粒子的想法可能會或可能不會很好地描述我們所生活的世界，這些想法為純數學家提供了靈感，為數學家試圖建造的一些最崇高的空中城堡提供了藍圖。
從物理學引入數學的思想遊行並沒有破壞我關於數學和物理學是獨立的權威的説法，但它確實使它複雜化了！
有些人可能正確地指出，數學和物理之間的交流已經有一段時間是雙向的了。他們會指出理查德·費曼的非嚴格路徑積分，或者奧利弗·亥維賽的更早的非嚴格狄拉克δ函數，它們在最初被表述時並不適合數學，並且其成功迫使數學擴展。但弦理論是迄今為止最好的例子。目前尚不清楚，如果沒有物理學的啓發，數學家是否會實現導致數學弦理論的想象力飛躍——儘管標準的刻板印象是數學家是創造性飛躍的不受約束的創造者，而物理學家則受限於描述物理世界的需要的限制。
無論如何，回到我們的兩個擬人化，以及我想象中關於他們離婚和再婚的電影：在電影的最後一個場景中，物理和數學回到了他們最初發誓的地方，我們看到 Phyz 給Math了一個新的禮物：arXiv預印本，討論鏡像對稱和幾何朗蘭茲綱領之間的新聯繫。Math的臉上浮現出震驚的神色，取而代之的是逐漸浮現的喜悦。我們這些電影觀眾不知道他們兩個未來會有什麼樣的新關係，我們也不確定他們是否知道。但我們可以從Math臉上的表情看出，剛剛賜予她的東西絕對是完美的禮物。
感謝Sandi Gubin。
尾註
#1. 以下是柏拉圖（在對話蒂邁歐斯中）所説的關於五種規則固體中的四種（立方體、八面體、四面體和二十面體）與根據希臘思想構成物理世界的四種元素（地球、空氣、火）之間的對應關係，和水):
“那麼，讓我們將立方體形式分配給地球；因為地球是四種物體中最不可動的，也是所有物體中最可塑性的，具有最穩定基礎的物體必然具有這種性質。現在，在我們最初假設的三角形中，具有兩條相等邊的三角形在本質上比具有不相等邊的三角形更牢固。在由任何一個組成的複合圖形中，平面等邊四邊形無論在整體上還是在部分上都必然比等邊三角形具有更穩定的基礎。因此，在將這個數字分配給地球時，我們堅持概率；我們將剩餘的最不易移動的形式之一分配給水；其中最容易開火的；並宣揚中間的東西。此外，我們將最小的物體歸於火，將最大的物體歸於水，將中等大小歸於空氣。再一次，對火最敏感的物體，其次是空氣，第三個是水。在所有這些元素中，具有最少基數的必然是最可移動的，因為它必須在各方面都最敏鋭和最有穿透力，而且由於由最少數量的相似粒子組成，所以它也最輕：第二個物體在二級有類似的性質，在三級有第三體。那麼，根據嚴格的理由和概率，讓我們同意金字塔是固體，它是火的原始元素和種子；讓我們將按生成順序排在第二位的元素分配給空氣，第三位分配給水。我們必須想象所有這些都非常小，以至於我們看不到四種粒子中的任何一種，因為它們很小：但是當它們中的許多聚集在一起時，它們的集合體就會被看到。”
至於第五個規則立體，十二面體，柏拉圖決定它必須對應於某個第五元素（或“精髓”），並且由於它的邊數（十二）是希臘十二生肖中的符號數，所以它一定是構成諸天的元素。
應該強調的是，柏拉圖將這種宇宙學作為一個可行的假設，而不是我們現在所説的“確定的科學”（settled science）。
#2. 作為我這個比喻的旁註，我忍不住要提到，對於畢達哥拉斯學派來説，數字 5 象徵着婚姻，因為它是第一個“男性”數字（3）和第一個“女性”數字的總和（ 2）。大概畢達哥拉斯學派會認為用數字 4 來象徵兩位女性的婚姻更合適。
#3. 當細長的物體旋轉時，我們有時可能會看到它又高又瘦（當它的軸垂直時），有時又又低又長（當它的軸是水平時），但我們認為它沒有任何本質已經改變。如果物體是靜止的，而我們，觀察者，是旋轉的對象，則更是如此。那是因為空間的三個維度是交織在一起的。在愛因斯坦的狹義相對論中，時間以不同的方式加入了編織。一個以接近光速運動的圓形鐘面的時鐘會顯得跑得很慢，而且它的鐘面看起來也不是圓形的。如果時鐘靜止不動而我們是移動的人，情況也是如此。但是時鐘的速度和形狀並沒有改變——只是它和觀察者之間的關係。
譯者注：另一篇類似文章：https://thatsmaths.com/2022/12/15/convergence-of-mathematics-and-physics/
本文經授權轉載自微信公眾號“遇見數學”。
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