為什麼要證明？_風聞

下文編譯自舊金山大學數學名譽教授 John Stillwell 為其新書 The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics 撰寫的導讀文章，他在文中通過畢達哥拉斯定理展示了“證明”的意義——“證明”是用任何人都能理解的陳述，來讓我們相信本來不相信的東西。

The Story of Proof 講述了一個生動的故事：數學如何發展新的概念和想法，以解決難題。對於任何對當代數學及其發展方式感興趣的人，這本書都將非常有價值。

撰文 | John Stillwell（舊金山大學數學名譽教授）

翻譯 | 下雪

在許多年前的在一堂數學入門課上，一個學生問我：“為什麼你要證明一切；為什麼不直接告知我們呢？”從那以後，我一直在思考這個問題。理查德·戴德金（Richard Dedekind）在其1872年的著作中給出了簡短而明智的答案，該書的英譯本是 The Nature and Meaning of Numbers 。

在科學中，任何可以證明而沒有證明的事情均不應被接受。下面這段關於17世紀哲學家托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes）的軼事，可以更好地解釋證明是如何起作用的，摘自約翰·奧布里（John Aubrey）有趣而古怪的故事集 Brief Lives。

他在40歲的時候才開始研究幾何學，而這始於一次偶然。在一位紳士的圖書館，歐幾里得的《幾何原本》攤開在桌面上，正好是命題47。他讀了這個命題。通過G……，他説這是不可能的！（他有時會以強調的方式鄭重宣誓）於是他讀了證明，這促使他回到了他讀過的一個命題。而那個命題再次促使他去找另一個他讀過的命題。就這樣，他最終以證明的方式確信了那條真理。這也讓他愛上了幾何學。

Brief Lives

因此，數學上的證明就是能讓霍布斯相信最初他認為不可能的事情，通過每個人都可以接受的陳述——現在被稱為公理——達到最終的結果。這就是公理化方法，在公元前300年左右，它由歐幾里得的《幾何原本》首次給出，而現在所有數學家都在使用它。

現在，我必須告訴大家令霍布斯震撼的“命題47”就是畢達哥拉斯定理（即勾股定理），現在高中生都很熟悉它。事實上，早在畢達哥拉斯（和歐幾里得）之前，它就已被一些古老文明所理解了。大部分人都知道，這條定理是説：直角三角形中，斜邊長度的平方等於另外兩條邊長度的平方之和。例如，在下圖中，灰色正方形的面積等於兩個黑色正方形的面積之和。

乍一看，這個等式難以置信——也難怪霍布斯不相信，但有一個非常聰明的方法來讓它看起來變得很顯然，可能在遠古時代人們就已知道了這個方法。注意下面兩張圖，其中每個大正方形內都包含四個三角形。

在左圖中，我們看到黑色正方形的面積，即三角形兩直角邊長度的平方和，等於大正方形的面積減去四個三角形的面積。而右圖中，大正方形面積減去四個三角形面積等於灰色正方形的面積，也就是斜邊長度的平方。

為什麼歐幾里得要費盡心思來證明它呢？我們相信，答案就在於畢達哥拉斯定理的結論，它使畢達哥拉斯的世界陷入混亂：這就是2的平方根的無理性。

當直角三角形的兩條直角邊長度都為1時，2的平方根就出現了。在這種條件下，鄰接兩條直角邊的每個正方形面積都是1。根據畢達哥拉斯定理，斜邊的平方是1+1=2，因此斜邊的長度就是2的平方根，即√2。那麼，√2到底是多少呢？畢達哥拉斯學派被這一發現震驚了，儘管他們可以用3/2、7/15、41/29、99/70等非常接近√2的分數近似表示它，但是沒有一個分數恰好等於√2。這就是為什麼我們説√2是無理數，意思是“不能用整數之比表示”，也暗示這是“不合理”的。似乎幾何的世界——長度、角度和麪積所生活的世界不能與1、2、3、4、5……所生活的的數字世界相協調。這一發現粉碎了畢達哥拉斯學派的世界，他們信奉“萬物皆數”。傳説這一不受歡迎事實的發現者遭到了懲罰，或者説受到了“神的制裁”——他被扔進了海里。

無論如何，數字和幾何之間明顯的不可調和，似乎是導致希臘人用不言而喻的公理而非數字推導出幾何的原因。這確實很難做到。舉個例子，人們必須重新思考正方形（面積）的“和”的意義，以及這個“（面積）和”“等於”另一個正方形的意義。還必須用清晰的語言來表述這一切，以免發生誤解。而歐幾里得為了克服這些困難而發展的公理化方法一直持續到今天。誠然，《幾何原本》中存在一些小漏洞，但公理化方法舉世無雙，是當今數學研究的典範。現在也有更綜合的公理系統，它們成功地統一了幾何世界和數的世界。

雖然公理化方法在原則上無懈可擊，但實際撰寫證明時很容易出現人為的錯誤。像其他人一樣，數學家也會犯錯，而在很長的證明中（這在20世紀變得很普遍），錯誤可能很難被發現。它們往往隱藏在作者跳過的一些冗長或重複的細節中，往往有諸如此類的評註，“這很容易檢查"或"這個證明與以前的情況類似”。不過，避免錯誤是可能的，就像人們避免計算中的錯誤一樣：通過機械化的過程。這可以實現是因為一個完整的證明必須是每個合格的專業讀者都能理解的，相當於不用思考就能檢查，因此證明可以通過機器檢驗。證明過程的機械化與計算的機械化基本相同。

遺憾的是，編寫機器可檢查的證明需要大量的人力，並且他們要對相關數學有深入瞭解。到目前為止，只有少數真正很長的證明被重寫成機器可檢查的形式（而由人們撰寫的原始證明確實是基本正確的）。在那些等待被改寫為可機器檢驗的形式——甚至是隻有數學專家才可以理解的形式而重寫的證明中，最著名的例子就是所謂的abc猜想。這個猜想有一些技術性，它與一個簡單等式a+b=c中的a、b、c的質因數有關。但該猜想對數論學家來説很有意義，因為它會產出許多引人注目的結果。

自2012年以來，一小羣數學家發表了他們所確信的abc猜想的證明。這個“證明”未能説服其他大多數數論專家，他們指出“證明”中似乎有一個漏洞。這兩個羣體之間的爭論已經持續了10年之久，我稱之為（為了避免提及名字）abc-信徒和abc-懷疑者。原則上，他們的爭議可以通過將“證明”轉換為機器可檢查的形式來解決。但是abc-信徒聲稱這是不必要的，唯一的問題是abc-懷疑者的“無知”。

最近幾個月，當abc信徒轉向數學史時，這個本已奇怪的爭論變得更加奇怪了。他們把自己比作不幸的、被迫害的畢達哥拉斯主義者，因為他們發現了無理數√2。他們警告説，如果abc-懷疑者佔了上風，將會有“可怕的後果”。

好吧，我們拭目以待。但歷史告訴我們，如果abc信徒想模仿歐幾里得，重建數學以適應他們的思想，他們必須首先用一種人人都能理解的語言來寫作。

希望不會出現如下場景（Sdiney Harris 的漫畫）：

John Stillwell

本書作者 John Stillwell 是舊金山大學數學名譽教授。他的著作包括 Elements of Mathematics（《數學要素》）和 Reverse Mathematics（《逆向數學》），均由普林斯頓大學出版社出版。

書籍介紹

通過數學史上的關鍵事件，本書研究了“證明”（proof）概念的演變。從畢達哥拉斯定理一直到現代，舊金山大學教授John Stillwell認為，“證明”思維激發了數學創新活力，並在知識生產方面發揮了關鍵作用。

作者從歐幾里德和他對幾何學發展及證明方法的影響開始，談論到後來的代數與幾何學。Stillwell 着手研究數論、非歐幾里得幾何學、拓撲學和邏輯學等領域，並探究自然數算術和實數之間的深層鴻溝。其中，康托爾、哥德爾、圖靈等人發現，證明的概念最終構成了算術的一部分。這一驚人的事實對哪些定理可以被證明、哪些問題可以被解決施加了根本限制。

名家推薦

“這本書完全可以作為一部數學史。……[Stillwell] 在收集和歸類這一領域的許多最重要的思想方面做得很好。”

——Jim Stein, 《數學新書》（New Books in Mathematics）

“我非常欣賞 Stillwell 的寫作，這本書也沒有讓我失望。他在數學史上具有廣泛而權威的影響，能把讀者帶入那些具有創新性，併發揮關鍵作用的地方。”

——David M. Bressoud，Calculus Reordered: A History of the Big Ideas 的作者

“這是一個生動的故事，講述了數學如何發展新的概念和思想，以解決棘手的問題。對於任何感興趣當代數學及其形成的人來説，這本書都是非常有價值的。”

——Jeremy Avigad，卡內基梅隆大學

“The Story of Proof——一本關於作為證明的數學，和作為數學的證明的書，歷久彌新，令人賞心悦目。”

——Anil Nerode，康奈爾大學

本文由“返樸”翻譯，首發“普林斯頓讀書匯”。

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