混沌理論背後的影子數學家_風聞

撰文 | 陳關榮

混沌理論背後有個影子數學家——諾曼·萊文森（Norman Levinson，1912年8月11日–1975年10月10日）。

圖1 諾曼·萊文森（1912–1975）

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萊文森於1912年8月11日出生在美國麻省Lynn鎮一個貧窮的俄羅斯猶太移民家庭。他父親是個鞋廠工人，靠每週3美金的工資養活全家，母親是個文盲。萊文森有個妹妹Pauline。後來，隨着父親轉換工作，全家搬到了不遠的Revere鎮，在那裏一家人住的小房子連浴室都沒有，冬天靠廚房裏的油爐取暖。萊文森就讀於Revere高中。他白天上課，晚上在雜貨店做工以幫補家庭。有一次，他因發燒被診斷出患有風濕病。後來，風濕病越來越嚴重，致使他無法參加任何體育活動。這疾病導致他患上終生疑病症（Hypochondriasis）。

1929年，萊文森中學畢業後進入麻省理工學院（MIT）電機工程系。1934年，他完成了學士和碩士學位。萊文森在讀書期間還修完了數學系提供的幾乎所有研究生課程，其中有諾伯特·維納（1894–1964）講授的Fourier級數和Fourier積分。1933 年，維納讓萊文森參考一份未發表的手稿“複平面上的Fourier變換”，署名作者是雷蒙德·佩利（Raymond E. A. C. Paley）和維納。萊文森發現證明中存在漏洞並修改了主要引理。維納隨即作了更正，並親自用打字機加上萊文森的名字作為合作者，隨後正式投稿發表。這篇文章留下了一條著名的“Paley–Wiener–Levinson Theorem”。1934年，萊文森轉到了數學系，正式師從維納攻讀博士學位。萊文森後來回憶説，“維納教授説服了我，讓我把專業從電機工程改為數學。然後，他還去看望了我的父母——生活在破敗的貧民窟社區裏沒受過教育的移民工人——向他們保證我在數學方面一定會有好的未來。”事實表明，維納慧眼識人，研究生萊文森的數學學得很好，研究也做得很好。時任數學系主任亨利·菲利普斯（Henry B. Phillips）教授説，萊文森提交給維納的論文報告“足夠一篇異常優秀的博士論文”（“sufficient for a doctor’s thesis of unusual excellence”）。

圖2 學生時代的萊文森

菲利普斯和維納認為萊文森的學問已經達到博士水平，便為他爭取到了MIT的 Redfield Proctor 外訪資金，讓他前往英國劍橋大學訪學，師從數學家戈弗雷·哈代（Godfrey H. Hardy）。1934–1935年，萊文森在劍橋期間，頭四個月就發表了兩篇論文。1935年，萊文森回到MIT，以題為“Non-vanishing of a function”的博士論文獲得博士學位並隨即獲得國家研究委員會（National Research Council）資助到普林斯頓高等研究院從事博士後研究，師從馮·諾依曼（John von Neumann），至1937年正式入職MIT。

説到萊文森入職MIT，還有一段傳奇軼事。

20 世紀 30 年代中期，美國遭遇經濟大蕭條，到處是大批的失業者。這段時期，美國本土還興起了反猶太主義風潮。這局勢讓猶太裔的萊文森無法找到合適的教學工作。1936 年，MIT數學系的菲爾茲獎獲得者傑西·道格拉斯（Jesse Douglas）重病無法正常授課，於是維納建議學校聘請萊文森來接替他的教學。但MIT的反猶太主義讓行政部門拒絕了維納的推薦。這一年，適逢哈代到美國參加普林斯頓大學校慶時順道訪問了MIT，由時為MIT副校長兼工學院院長的萬尼瓦爾·布什（Vannevar Bush）陪同。據萊文森妻子Fagi回憶，當時哈代對布什展示的MIT各種先進機械科研成果表示讚賞，説“多麼奇妙的神機構！”布什笑着回應道：“這裏可不是神學院。”哈代便問：“那麼你們為什麼不僱用萊文森？”於是萊文森獲得了MIT的一個講師職位。

1938年，萊文森與 Zipporah（Fagi）Wallman結了婚。她是拓撲學家亨利·沃爾曼（Henry Wallman）的妹妹。夫婦倆有兩個女兒，Sylvia（1939）和 Joan（Zorza，1941）。

之後，萊文森一直在MIT工作。他於1944年晉升副教授，1949年成為正教授，1971年出任講座教授（Institute Professor）。1975 年10月10日，萊文森因腦瘤不治在波士頓的麻省公立醫院去世，享年63歲。他的遺孀於 2009 年去世，享年 93 歲。

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萊文森的主要數學貢獻在複分析、非線性微分方程、數論、Fourier 變換和信號過程等領域。

1935–1940 年間，萊文森致力於調和分析與複分析研究。他的工作深受佩利和維納“複平面上的Fourier變換”的影響。初出道這幾年是萊文森研究成果累累的時期。他發表了 15 篇文章，其中許多結果連同其它一些主要成果都收集在他 1940 年由美國數學學會出版的《間隙和密度定理》（Gap and Density Theorems）一書中。該書包括了他關於復變量指數序列的完備性、在一個區間內消失的Fourier變換，解析函數以及Dirichlet級數的許多特性分析，在最後部分還給出了Hardy–Littlewood 關於 Tauberian 定理的一個漂亮總結。

之後，萊文森轉向了線性和非線性常微分方程及偏微分方程的研究。這是一個非常廣闊的研究領域，其中萊文森的主要貢獻要從荷蘭電氣工程師巴爾塔薩·範德波爾（Balthasar van der Pol）的電器研究説起。

1927年9月，範德波爾在《Nature》雜誌上發表了一篇短文，其中寫下了一個張弛振盪器（relaxation oscillator）的微分方程：

式中k，b，λ，α 為參數。後來知道，這個方程和瑞利勳爵（Lord Rayleigh）的方程是等價的，它還可以看作是阿爾弗雷德–瑪麗·李納德（Alfred-Marie Liénard）方程的一種特別情形。不過，這個方程極限環的存在性是範德波爾在k＞0 和b=0 條件下從實驗中證實的。在k＞0 和 b≠0 以及λ ≠0 即有驅動信號輸入時，在某種自然頻率下他聽到了來自這個確定性系統內部的“毫無規律的噪聲”。後來科學家們認識到，這是最早在實驗中觀察到物理混沌現象的報告。

1945年，英國數學家瑪麗·卡特賴特（Mary L. Cartwright）和約翰·李特爾伍德（John E. Littlewood）仔細地研究了範德波爾方程，從分析中發現了一些意想不到的複雜動力學現象，包括不連續週期運動的存在。他們的工作引起了萊文森的濃厚興趣。萊文森考慮了較為一般的微分方程

其中 α 是一個小常數，p(x) 是分段線性函數，滿足|x|＞1時p(x)=1,|x|＜1時p（x）=-1而常數 b 從定義區間中取值。萊文森的這個方程和範德波爾方程在感興趣的範圍內具有相同的動力學現象。萊文森證明了，這個方程的龐加萊映射有一個奇異吸引子（singular attractor），它是一個並不組成Jordan曲線的點集，包含無窮多個週期軌道和不連續的遞歸（recurrence）運動。

多年以後，動力系統領域著名數學家于爾根·莫塞爾（Jürgen Moser）評論説：“必須強調的是，萊文森的論文不僅僅是驗證了一個已知結果。卡特賴特和李特爾伍德的原始工作以及他們隨後的論文是較為粗略的……而且非常晦澀，像是李特爾伍德隨意寫下的。當我在 1977 年 6 月詢問他時，他回答説：‘呵呵，你説[我們]那篇怪誕文章嗎，它在世界上只有三個人看過：兩位作者和 [Peter] Swinnerton-Dyer。’所以，萊文森的一項重大成就是為該理論提供了一個明確的證明。”換句話説，萊文森事實上為混沌理論提供了最早期的嚴格數學論證。

另一件同樣至關緊要的事件是萊文森對數學大師史蒂夫·斯梅爾（Steve Smale）混沌馬蹄理論的貢獻。

1959 年，斯梅爾在巴西里約熱內盧著名的純粹和應用數學研究院（IMPA）做博士後研究。年輕的斯梅爾在一篇自我得意的文章中提及了他的一個猜想：“混沌不存在！”（“chaos doesn’t exist!”）。他推測三維以上的微分動力系統不可能有無限多個週期軌道。如果這個猜測是對的話，人們就會放棄對混沌吸引子的進一步探究。但是，讓斯梅爾大吃一驚的是，萊文森給他發信提供了一個反例，證明他的想法是錯誤的，並建議他去看卡特賴特和李特爾伍德的文章。後來，斯梅爾在1998年為《數學信使》（Mathematical Intelligencer）寫的一篇題為“在里約熱內盧海灘上發現馬蹄”的文章中回憶道:“[當時]我夜以繼日地工作，試圖解決這個挑戰。……我最後説服了自己，萊文森是對的而我的猜想是錯了。混沌已經隱含在卡特賴特-李特爾伍德的分析之中！現在迷團已經解開，是我作出了錯誤的猜測。但是在這個學習的過程中，我發現了馬蹄！”此後，斯梅爾的數學馬蹄理論對現代幾何動力學理論的發展產生了極其重大的影響。

正如莫塞爾後來指出的那樣，當年“萊文森站在了動力系統早期的經典理論和後期的幾何理論發展的交叉路口上。”他促成了該學科向現代數學方向發展的重要轉折。

圖3 萊文森著作選介

此外，萊文森在非線性 Volterra積分方程方面也有一系列的開創性研究成果。

萊文森在微分方程領域的多項研究成果讓他贏得了1954年美國數學會的Bôcher Memorial Prize（此前，該獎曾授予George Birkhoff、Solomon Lefschetz、Marston Morse、Norbert Wiener、John von Neumann、Jesse Douglas等數學家）。

1967年，萊文森被選為美國國家科學院院士。1968–1971年間，萊文森擔任MIT數學系主任。這段時期，萊文森引領MIT數學系從教學型轉變為研究型，逐步走到了世界前列。

圖4 萊文森在講課

萊文森的後半生在解析數論方向開展了很深入的研究。哈代在1921年一次講座上説：“目前沒有見到關於素數定理（prime number theorem）的任何初等證明，因此人們不禁要問是否可能有這樣的證明。這樣一種不依賴於函數理論的證明依我看來是不太可能的。”但是，1948年保羅·埃爾德什（ Paul Erdös）和阿爾特·塞爾伯格（Alte Selberg）分別獨立地給出了初等證明，儘管不太好懂。1969年，基於塞爾伯格的思路，萊文森在《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上發表了“A motivated account of an elementary proof of the prime number theorem”一文。萊文森因之獲得了美國數學協會頒發的1971 年Chauvenet Prize（此前，該獎曾授予G. H. Hardy、Dunham Jackson、Paul Halmos、Mark Kac、Philip J. Davis、Jack K. Hale、Joseph P. LaSalle、陳省身等數學家）。此前，在1970年萊文森還獲得過美國數學協會頒發的Lester Ford Award。1974 年，萊文森在一篇著名論文中證明了，黎曼zeta函數的無窮多個非退化零點是單零點並且有超過1/3這樣的零點位於臨界線上。該結果後來被約翰·康利（John B. Conrey，1955–）提高到2/5。

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萊文森畢竟擁有電機工程學士和碩士學位，他對應用數學情有獨鍾。

萊文森早期的研究是在導師維納特別專長的數據預測和濾波理論方面。萊文森在他的一篇關鍵文章中説，他的研究是“定量地確定訊息和噪音可以分離到某種程度的方法，並提供設計濾波器以執行該分離的方法，還將同時考慮濾波和預測的問題。所使用的均方根誤差方法是諾伯特·維納開創的先驗方法的近似和簡化”。

萊文森還通過建立波的散射數據和光譜數據之間的聯繫，用Gel’fand–Levitan 方法對薛定諤方程的逆向散射譜求解勢能。他是第一個具體分析並明確使用今天在散射理論中稱為Jost 函數的人。

圖5 數學家萊文森也有出色的物理學和工程學研究

本文經授權轉載自微信公眾號“華院計算”。

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