為什麼數學是創造力的源泉：一位數學家的思考與信仰_風聞
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數學的魅力在於哪裏？除了學生時代惱人的習題之外，相信大部分人在教育階段之外，對於數學是敬而遠之的態度。然而當我們以一種業餘與放鬆的心態進入數學的世界之後，我們會發現數學的魅力不僅在於它的實用性，而在於一種屬於數字的浪漫與美感，它徹底改變了我們看待世界的方式與思考自身與世界的關係。
日本數學家、菲爾茲獎得主廣中平祐在專業的數學研究之外，熱衷於以隨筆的方式向讀者介紹數學的魅力，並積極投身於基礎教育中對數學的普及。在他的自傳《數學與創造》中，他詮釋了數學的獨特魅力——數學超越語言與國界，對真相的執着追求。正是這種執着，使得數學成為了所有自然科學的基礎。
撰文 | 廣中平祐
01 數學是所有自然科學的基礎
實事求是為什麼本心在創造中至關重要呢？在思考這個問題之前，我 想先談談關於數學這門學問的特徵。另外，我還想分享一下我作為一個數學研究人員在不斷創造的過程中經常對自己説的那些話。這是一個數學家的學術態度，也是一個人的生活態度。
首先，我認為數學這門學問有四個特徵。第一個特徵是準確性。無論是方程、微積分，還是幾何，如果不能正確解決問題， 數學這門學問就無從談起。
第二個特徵是思想性。雖説數學是所有科學的基礎，但是世界觀、自然觀對數學也有很深的影響。例如以農耕為主的埃及文明促進了幾何學和數的運算法則的發展，海洋民族希臘人構建了科學之源。
第三個特徵是抽象性，這也與數學的本質息息相關。以抽象的方式思考各種各樣的現象中是否具有共同的邏輯或觀點，也是 數學的一大特徵。也正因為如此，和諧與有序的美感在數學中不 可或缺。第四個特徵是國際性。正如康托爾（Cantor）所説的“ 數學的本質在於它的自由”一樣，歸根結底，數學世界是一個與利害關係、國體等因素毫無關係的自由開放的世界。
以上就是數學的四個特徵，即準確性、思想性、抽象性和國際性。在理解了這些特徵後，我來講講自己採取了怎樣的學術態度。我要講的東西不僅對做學術非常重要，對思考普通人的生活 方式也很重要。首先，分清什麼是事實，什麼是臆測。對於事實，必須原原本本地接受。所謂事實，是指不可改變的、不容動搖的真實情形。這是一個嚴肅的問題。聽到這裏，你可能覺得接受事實本就是理所當然 的事情，但是在很多情況下，原原本本地接受事實並沒有説起來 那麼簡單。
我發現最近出版的書中，非虛構作品非常受歡迎。前一些日子，我有幸與非虛構作家柳田邦男進行過一次交談，我們針對 “事實”這個話題交換了彼此的想法和意見。柳田先生在其著作《觀察事實的眼睛》中寫過這樣一段話。我們常説非虛構作品的精髓在於“敍述事實”，這句話巧妙地表達了形成非虛構作品的兩個條件。第一個條件是必須發掘應 該敍述的“事實”。第二個條件是必須把“事實”以引起讀者共 鳴的形式進行“敍述”，也就是使其成為一部作品。難以發掘“事實”總是寫出優秀非虛構作品道路上的攔路虎。但是，如果發掘出從普通採訪中無法獲取的“事實”，就能 充分彰顯非虛構作品的妙趣所在。柳田先生指出了原原本本地接受事實有多難。
再舉一個例子。前面提到過，與計算機和機器人不同，人腦具有靈活性。這個特質會讓人產生“智慧”，但是反過來，有時它也會使人犯下意想不到的錯誤，令人看不清真相。假設有個年輕男子喜歡上一個人。當然，他希望對方也會喜歡自己。於是，這種願望不知什麼時候變成了“對方可能也喜歡“我”的期待。隨着期待的不斷膨脹，最終會發展到確信“對方也喜歡我”的地步。人之所以會產生這種想法，是因為人腦的靈活性能讓人一點一點地思考，聯想和推測又會讓想象不斷膨脹，進而讓人以為想象的東西就是事實。
現在我們假設事實與這名男子的想象完全相反，其實對方對他完全沒有好感。那麼，如果這名男子向她求婚，她可能會立即 表示拒絕，就算沒有拒絕，未來也會投向其他人的懷抱。如此一來，這名男子就會認為自己被騙了。於是他就想責問對方為什麼要這麼對他，甚至會給第三人帶來危害。
每天，報紙和電視等媒體都會報道各種事件，小到民事糾紛，大到國際衝突，這些事件發生的直接或間接原因往往是混淆了事實與臆測。
據説美國前總統尼克松被迫下台的那一天，曾蹲下來哭着説 自己何罪之有。如果他能原原本本地向國民揭露水門事件和相關 的一些實情，處置得當並承擔相應責任的話，也不會陷入被迫下台的境地。他試圖掩蓋事實，在工作中歪曲真相，錯誤地認為總 統的權威足以將隱瞞的事情掩蓋過去，最終釀成大禍。
我們再來聊一聊成見這個詞。無論是在解決數學問題的態度方面，還是在評價對方的為人或體察對方的心緒方面，成見常常會妨礙我們做出正確的判斷。
在解答數學問題的時候，與其一開始就想着問題有一個確定的答案，不如抱着問題不知會朝着哪個方向發展的心態。另外， 在評價一個人時也是如此，如果單憑一個人的外表和周圍人的意見就妄下結論，那麼對該人的評價就不夠客觀。總之，成見太深會喪失客觀性。
杞人憂天有時也會讓我們看不清實際情況，從而出現麻煩。例如，對自己的病情過度不安，又引發了其他疾病；對工作的憂慮太重，結果自己的實力無法得到充分發揮。這種例子不勝 枚舉。
綜上所述，想象、成見和杞人憂天會讓我們分不清事實與臆 測，將並非事實的事情當成事實來對待，這本來就是不對的。換句話説，就是不接受事實，把事實與想象混為一談。
話雖如此，但做到實事求是非常難。正因為困難，我才經常告訴自己要實事求是。不然的話，無論是在生活方面，還是在學習方面，都可能會犯下意想不到的錯誤。
最關鍵的是要分清什麼是事實，什麼是想象或臆測。
2 分析與大局觀
在承認事實的基礎上設立假説（目標），然後不斷向目標奮 進。在此過程中，我們需要一個具體的方法論作為指導，這個方 法論就是徹底分析現象。
那麼，什麼是分析呢？我用攻城的例子來對此加以解釋。
假設有一座堅不可摧的名城，現在有一位武將決定攻城。在這種情況下，如果他認為不管是什麼名城，只要率領一個營就能一舉拿下，於是草率下達攻城命令，那麼他就是一個二流、三流的武將。一流的武將會詳細研究城的結構、周圍的地形、敵方的 兵力等攻城條件。這就是分析。
人在一生中會遇到很多意想不到的難題。如果一遇到問題就想着天上掉餡餅，那麼無異於攻城例子中試圖包圍城堡後強攻一舉拿下的武將。採取這種態度和方法肯定無法解決難題，就像無法攻破堅不可摧的城池一樣。
這就需要用到分析的方法了。我們需要把問題分解成若干部分，然後進行深入思考，就像武將攻城時尋找小小的突破口一 樣，找到解決問題的線索。
在過去的五百年間，歐美之所以在自然科學方面取得舉世矚目的成就，就是因為他們擁有優秀的分析能力。可以説數學界也 是如此。
例如，日本江户時期有一位叫關孝和的數學家。從他的個人成就來看，在構思層面上他與同時代的西歐數學家不分伯仲，然 而在分析能力上就相去甚遠了。
有一位哲學家指出，歐美人在遇到一個問題時會將其分割成各種要素，然後從所有角度進行調查研究。與之相反，東方人在遇到一個問題時會不斷收集與之類似的問題。可以説東方人擁有一個巨大的錦囊，他們不斷向錦囊中塞入類似的問題。錦囊最終會膨脹到宇宙那麼大，其中與問題內容相關的爭論也隨之擴展到非常大的層面，最終，一開始的問題不知消失在何處。從我的經歷來看，這也是一個非常有意思的觀點。
我認為，分析的方法可大致分為象徵性分析和邏輯性分析。象徵性分析是把分析對象視為一種象徵去思考的分析方法。比如在研究人時把肉體與靈魂視為人的象徵去分析。這種分析方法雖然有模糊的一面，但分析到某種程度就能掌握問題的全貌。一般來説，東方人更擅長使用這種分析方法。
邏輯性分析是先確定邏輯上能夠解釋清楚的要素，然後將這些要素組合起來的分析方法。這種分析方法的缺點是必須忽略或 放棄邏輯上無法解釋的部分，所以在使用這種分析方法的情況下，有時我們最終無法掌握問題的全貌。
除了以上兩種分析方法，還有一種叫作“極限分析”的分析方法。
意大利在 14 世紀左右掀起了文藝復興的浪潮，進入15 世紀、16 世紀後，這股浪潮蔓延至整個歐洲，伽利略、開普勒、牛頓等偉大的科學家相繼登上歷史舞台。我們從這些偉人的研究中 可以發現，他們都採用了極限分析這種分析方法。
顧名思義，極限分析就是對一個問題徹底研究，然後推導出 非常簡單明瞭的結論。例如，自由落體定律是伽利略提出來的理論，它闡述了在真空條件下任何物體都以相同的加速度下落的原理，物體下落的快慢與它的形狀、性質、大小、重量等具體特徵 無關。
那麼，對分析來説重要的是什麼呢？
我在前面講過，數學這門學問具有抽象性。抽象性與現在所講的象徵性分析、極限分析有很大的關係。
例如，地球這顆行星的表面是凹凸不平的，既有高山也有低谷。但我們在研究地球時會忽略其表面不平坦的特徵，把它視為一個光滑的“球面”。如此一來，我們能夠更加輕鬆地理解地球 自轉和公轉的相關計算。
抽象是相對於具象而言的，一般來説，這種方法論旨在不斷忽略具體的條件、要素和現象，最終找出具有普遍性的根本原 理。“把地球視為球體”的象徵性分析中抽取了地球整體的特徵， 這也體現了抽象這個詞語的含義。
不管怎樣，在分析的過程中要把具體的現象進行抽象化處 理。在很多情況下，沒有進行抽象的分析是無法解決問題的。
我們數學家在創立理論時也需要做分析工作，此時需要使用 抽象的思考方法。在推動理論發展的過程中，我們會盡量忽略具 體的因素，逐個擊破限制條件，不斷增強理論的普遍性。數學可以説是一門“抽象的學問”，抽象的思考方法對數學家來説至關重要。
另外，數學還具有“表達性”。數學中的“表達”是指用十分形象具體的情況再現通過抽象化處理產生的概念。為什麼需要 再現呢？這是因為很多過於抽象的概念儘管在邏輯上準確無誤， 但很難讓人理解。當通過具體問題來表述相關概念時，人們就會恍然大悟。
表達概念的方式分為忠實地進行表達和通過象徵的方式進行表達。也就是説，我認為後者依附於帶有抽象含義的“象徵”。在近代數學史上，這種表達方式取得了長足的發展。
不管怎樣，我認為，數學的抽象性與表達性這兩個側面也存在於藝術領域，尤其是音樂領域。我想數學家裏有很多音樂愛好者也是出於這個原因，對數學家而言，數學和音樂在感情上能夠自然地融為一體。我認為，所謂音樂的美，除了聲音的美，還包括音樂結構的美。在近代數學中，結構也是至關重要的。音樂結構的選擇依賴於美感。數學結構的選擇過程也與之類似，美感會 在其中發揮巨大作用。
然而，人類的創造中包含各種要素，只有將它們全部彙集在一起才叫創造。因此，我們不是學習了某些知識就能有所創造。基礎訓練必不可少。我認為，在創造的態度上，音樂與數學非常相似。
前面提到過，我曾在中學時期對音樂着迷。正是出於以上原 因，我認為那段經歷是有意義的。
為了便於理解分析的真諦，我還是希望各位讀者能參考上述內容。雖然我在前面介紹了分析有多麼重要，但我們也不能忘記 分析是有侷限性的。
例如，最近 X 射線斷層攝影技術取得很大進步，能夠分析人腦結構和血流方式等的細微變化。儘管目前的技術已經能夠分析 如此細微的地方，並積累了大量的醫學數據，但人腦中依然存在 很多未解之謎。
神經細胞具有非常有趣的特性，它只會對超出某個限度的刺 激做出明確的反應。如果神經細胞在任何程度的刺激下都處於興 奮的狀態，那麼大腦非破裂不可。一旦刺激超過某一限度，神經 細胞就會立即做出反應，刺激停止以後，興奮逐漸消退。
那麼，對於綜合性更強的精神活動，比如愛情或熱情等，我 們能不能將其解釋為各個神經細胞的刺激與反應的交叉組合呢？這種分析方法難道沒有侷限性嗎？單憑分析大腦的細微之處是無法弄清大多數高級神經活動的。
也就是説，無論分析做得多麼細緻縝密，世上還是會有很多解決不了的問題，因為分析有侷限性。
從另外一個角度來看，我們需要認識到所有事物都具有整體 的特性，具有整體的結構。拿棒球比賽來説，即使把眾多非常優秀的運動員集中起來組建一支豪華隊伍，也不能確保比賽勝利。一支隊伍的實力不能通過累加每名隊員的能力來推斷。團體活動 僅停留在加法效應上是沒有什麼價值的，只有產生乘法效應才有意義。這就是整體的特性。
3 “目標”與“假説”
此外，在學習方面，制定目標是非常重要的。
之所以説它重要，是因為人如果不制定目標，就很難產生前進的動力。可以説，是否有明確的目標會對人的成長產生截然不同的影響。這是因為目標會成為一種引力，促使人積極工作，發展進 步，這比實現目標更重要。
在年輕讀者中，或許有人會説以高考為目標的學習也是有意義的。如果把高考視為年輕時的一個挑戰，那麼它確實是有意義的。雖然這只是一定時期內的挑戰目標，但我認為也是一個難得的經歷。高中棒球運動員即便將來不走職業體育的道路，為了家鄉和母校的榮譽在甲子園 A 的賽場上揮汗如雨的運動經歷也能成 為他們勇闖社會的精神食糧。
同理，如果把應試學習視為一種特殊的智力運動，視為一項培育精神力量與智慧的挑戰，那麼應試學習也能成為一個寶貴的經歷。
不過，這畢竟是短期目標，考上大學後，這個目標就煙消雲散了。因此，我們應該從更大的角度，例如從人生目標這個角度出發來思考學習。
話雖如此，但不能因為高考不是人生目標就將其捨棄。我想説的是，相較於考上大學就失去目標的應試學習，我們應該制定一個進入大學後，乃至踏入社會後都不會消失的學習目標。學習不應該在我們進入大學後就停止。
就我自身的經歷而言，應試學習也是彌足珍貴的。在高考前的三個月裏，我竭盡全力拼命學習。為此，我制定了一個在有限的時間內能使效果最大化的學習計劃。我的社會科目較弱，所以計劃多分配一些時間來學習這門課程；雖然對數學和英語很有信 心，但還是要複習一遍。對物理和語文這兩個科目也做好了學習安排，以在有限的時間內達到最好的學習效果。
完全沒有必要與他人進行比較，每個人都要有自己的目標。我完全不在意朋友在某門學科上的學習進度。雖然知道有幾個朋友的學習進度比我快，但我深知即使在意這些也無濟於事。後來成為數學家後，這種經歷和體會讓我在與明顯比自己聰明的數學 家交往的過程中絲毫不感到自卑和氣餒，也對我堅定不移地鑽研 自己的研究課題的這種治學態度起到了相當積極的作用。
如此看來，目標本身固然重要，但為目標付出的努力具有更為重要的意義。無論是學術界還是藝術界，這個道理都是相通的。
諾貝爾物理學獎得主江崎玲於奈（美國 IBM 沃森研究中心主任研究員）曾對我説，在物理學和工學的研究領域，雖然一些科研成果會按照科學家預測的那樣實現，但在很多情況下，科學 家會在研究過程中獲得意想不到的重大發現，或者因偏離最初的預設目標而實現了一項偉大的發明。當然，這種幸福的發現也是制定一個目標後不懈努力的結果。例如，青黴素就是在黴菌的基礎研究過程中被意外發現的。
我在前面重點講述了關於“目標”的話題，接下來談談意思 相似的“假説”。
對於“假説”，歐美人與日本人持有截然不同的觀點。歐美人主張先設立假説，再進行演繹。
我經常問美國學生現在在研究什麼，他們在作答的時候會先 説明自己的假説。然而，如果問日本學生同樣的問題，得到的答案多半是“我在學習代數”“我在學習幾何”。
總而言之，美國學生的思維方式是先設立假説，然後嘗試各種演繹，如果行不通就調整或更改假説。而日本學生則是先學點什麼，然後以此為階梯嘗試撰寫論文。而且，很多人的研究態度是碰壁後就調整研究方向，或者改進此前的研究方法。
時運也會對整體產生影響。在某種契機下，整體有時會爆發出意想不到的力量，取得出乎意料的進步。時運或狀態是無法用 一般標準來衡量的，它也具有整體的特性。不過，這個特性非常複雜，我們必須考慮各種各樣的立場、五花八門的問題、百花齊放的研究課題、形形色色的人等因素。但是，我們必須知道這種 特性是真實存在的，必須瞭解它會產生的意外可能。
這種整體的特性並不僅僅與圍棋或將棋中所説的“大局觀” 有關，它在任何領域都是不可或缺的東西。特別是當我們遇到問題，無論怎麼分析都找不到解決問題的線索時，縱觀全局是非常重要的。當我們掌握問題的總體局勢時，解決問題的線索也常常會浮出水面。
本文經授權轉載自微信公眾號“遇見數學”，節選自人郵圖靈《數學與創造》。
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