第一張對數表是怎樣製作出來的_風聞

撰文 | 陳紀修（復旦大學數學科學學院教授）

在400多年前，人類還沒有發明計算機，還只能做加、減、乘、除等簡單運算。但是隨着科學技術的發展，特別是隨着天文學和力學的迅速發展，科學家要面對許多複雜的計算，這就促使他們去尋找簡化複雜計算的方法。對數運算與對數表就是在這樣的背景下產生的。

人們應該把造出第一張對數表歸功於喬伯斯特-別爾基 (Jobst Burgi，1552-1632) 和約翰-納皮爾（John Napier，1550-1617）。他們在製作對數表的過程中所花費的巨大的勞動使人驚訝。法國數學家和天文學家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）説：一個人的壽命如果不拿他在世上的時間長短來計算，而是拿他一生中的工作多少來衡量，那麼可以説，對數的發明等於延長了人類的壽命。

恩格斯曾經將解析幾何、對數及微積分並列為十七世紀三個“最重要的數學方法”，而對數的計算又離不開對數表，由此可知對數表的製作成功對科學發展的重要意義。

喬伯斯特-別爾基出生於瑞士，是一個能幹的鐘表匠和天文儀器技師，他沒有受過高等教育，他取得的成就完全是靠他突出的才能與勤奮的工作。他和發現行星運行三大定律的德國著名科學家開普勒（Kepler，1571-1630）一起工作，因為需要進行大量的計算，這就促使他去尋找快速計算的方法。

約翰-納皮爾是蘇格蘭人，他也不是職業數學家，但是他受過良好的教育，是一個天文學和數學的愛好者。他完全獨立地和別爾基同時開展着類似的研究。他用了20年的時間來製作第一張對數表，在這過程中，他始終懷着一個崇高的目標：減輕未來計算人員的勞動。

下面我們來看看他們是怎樣製作對數表的。

由於對數運算有換底公式

所以只要選擇一個適當的底，關於這個底製作出對數表，則關於其他底的對數表就很容易製作出來了。那麼以什麼數作為底最合適呢？

首先，對數表需要滿足一個基本條件：表中對數的間隔要充分小，而真數的間隔也要充分小（例如為0.0001）。這樣當我們從真數求對數時，很容易在表中找到這個真數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的對數值；而當我們從對數求真數時，也很容易在表中找到這個對數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的真數值。

1

因為我們使用的是10進制，所以先試一下以10作為底是否合適。

這個表的左邊對數部分的間隔很小，是0.0001，但右邊真數部分的計算非常困難，需要對10，100，1000，10000等數求10000次根，這簡直是無法計算的。

2

為了避免求上述的開10000次根的運算，我們應該取某個數的10000次冪為底，那麼我們

現在這個表右邊真數部分的計算不困難了，但這個表不符合我們的要求，雖然對數的間隔比較小（0.0001），但是真數的間隔太大，而且增加太快。

3

底縮小後，真數這一列間隔也縮小了，但是仍然太大，而且增加也很快。

4

從以上幾張表我們可以發現，我們取的底應該是一個指數形式，指數是一個比較大的數，如10000，而底越接近1，真數這一列的間隔就越小。

5

我們發現這張表已經滿足我們前面提出的要求了：真數和對數都按照單調增加的序列排列，而且間隔都非常小。

從以上討論可以得出這樣的結論：為了造第一張對數表時便於計算，必須取形如(1+1/n)^n的數為底，其中n為一個較大的整數，如n=1000，10000等，n越大，所造的表越精確。

別爾基造的對數表就是用數1.0001^10000做底的，這張表在1620年出版，稱為“算術級數和幾何級數表”。別爾基從1603年到1611年共用了八年的時間來造表，為什麼要用這麼多時間呢？你們可以想一下，表中對數的間隔是0.0001，從0到1就要計算10000個真數的值。製作整個對數表，別爾基總共做了230,000,000個以上的數依次乘以1.0001的乘法計算。

別爾基造的對數表沒有得到廣泛的推廣，因為在1620年，納皮爾出版了比別爾基造的表完善得多的對數表，稱為“珍奇對數表”。納皮爾的對數表是以1.0000001^1000000做底的，因此更加精確。為了製作這張表，納皮爾用了20年的時間。

隨着牛頓（Newton，1643-1727）和萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）創立了微積分，柯西（Cauchy，1789-1857）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等人奠定了微積分的基礎，建立了嚴格的極限理論，人們發現當n無限增加時，數列(1+1/n)^n極限存在，這個極限是一個無理數，等於2.71828182845……，數學家把這個數用字母e來表示，是為了紀念偉大的瑞士數學家歐拉（Euler，1707-1783）。但為了紀念納皮爾，這個數也叫作“納皮爾數”。

因此，現在用的對數有兩種，一種叫自然對數，它以數e為底，另一種叫常用對數，它以10為底。

本文轉載自微信公眾號“和樂數學”。

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