一次數學比賽，誕生了數學上至關重要的概念_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！02-24 10:11
撰文 | 埃爾韋·萊寧
翻譯 | 繆伶超
“當立方在某些物旁/等於某個普通的數/在它裏面找兩個不同的數……”讀起來簡直像丹·布朗的小説《達·芬奇密碼》裏的詩句。然而，這可是白紙黑字、有史可查的。它的作者尼科洛·豐塔納（Niccolo Fontana），也被稱為塔爾塔利亞（Niccolo Tartaglia，1499/1500-1557）生活在文藝復興時期的威尼斯。他家境貧寒，全靠自學成才，依靠教授數學課和參加代數競賽來維生！古怪精靈的他寫下這首詩，引導有興趣的人士探尋一個被當時智者爭相破解的數學秘密。
因為塔爾塔利亞是一個文藝復興時期的典型人物，有時候更樂於追尋快樂，而非醉心於學識的精進，那時的人總是對數學謎題充滿了強烈的興趣。不管是安東尼奧·菲奧爾（Antonio Maria del Fiore）還是吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano），要不是他們的嬉戲最終揚帆起航，駛向全新的世界，來到一整片數學的未知之地，這些數學家的名字也早已被歷史遺忘。
直到如今，只要一提到複數，仍能讓一代代初中生哀嚎連連。想想看那些負數的平方根！只有瘋子才會相信這是可能的。巧得很，這些謎題愛好者還真都有一股瘋勁兒。
一個傳統的繼承人
複數誕生於代數方程，是那些以現代形式呈現的方程（見引文《x、＋和=的發明》）：諸如3x^²+5x+2=7，其中x為未知數。但是為什麼叫它代數方程？“代數”一詞並非因為使用了未知數，而是阿拉伯數學家花拉子米為解方程而使用的操作（“代數”的詞源也可以追溯到阿拉伯語）：代數學家是會操縱方程兩邊的人，也可以指會操縱人的四肢的人：在西班牙，土法接骨醫生仍然被如此稱呼。
最簡單的代數方程一次方程，如2x+1=x+5。代數學家將等號右邊的x移到左邊，得出x+1=5，然後將等號左邊的1移到等號右邊，得出結果x=4。而為了解二次方程x^²+6x=7，代數學家發現x^²+6x是平方（x+3）^²的開頭兩項。於是在等號左右分別加上9，得到（x+3）^²=16=4^²。以此類推。
古希臘和古阿拉伯的數學家已經知道如何解二次方程，即以x²+px=q這樣的形式呈現的方程。他們也遇到了三次方程，但是這類方程的一般解法卻要歸功於他們的意大利繼承——文藝復興時期的代數學家。希皮奧內·德爾·費羅者（Scipione del Ferro，1465-1526）第一個解出一個常見三次方程，這種方程被稱為無二次項方程，即x^³+px=q，其中p和q都是自然數。
在詳細介紹費羅前，首先要説明所有代數學家，不管是不是意大利人，都拒絕方程有負數解。這種想法一直持續到19 世紀，拉扎爾·卡諾（Lazare Carnot，1753-1823）還寫道：“為了真正得到一個單獨的負數，就必須在零上切去一個量，或者從無裏去掉一些東西，這是根本不可能辦到的事。那麼如何想象一個獨立的負數呢？”但是遲疑最終讓位，負的符號變得稀鬆平常。從此以後，它改變了數的意義，就好像形容詞改變了一個詞的意義。
x、+和=的發明
方程的現代標記法是從哪裏來的？誰首先想到用x來指稱未知數？誰發明了+、-、=等符號？第一個給未知數命名的是古希臘的丟番圖，我們上文介紹費馬大定理的時候就提到過他。不難想象，要命名一個未知數，即我們不知道的東西，對最早的數學家來説並不是什麼理所當然的事。丟番圖將它稱為arithmos，即希臘語裏的“數”【法語裏的arithmétique（算術）就是由此而來】，並且寫下了包含用各種字母書寫的未知數和數字的問題。題目的已知條件和證明都是用相當累贅的句子來表達的……
丟番圖的傳統隨後由中世紀的阿拉伯數學家繼承，後者改變了用詞。公元9世紀，花拉子米將未知數稱為shay，意為“東西”。文藝復興時期的意大利代數學家也使用了同一個詞——意大利語裏的cosa。當時深受阿拉伯影響的安達盧西亞人把這個詞用拉丁字母寫作xay。勒內·笛卡爾（René Descartes，1596-1650）完成了最終的簡化動作，只保留了xay的首字母。於是，字母x就找到了在數學中的位置，後來又在法律界大展拳腳，並且保留了“被人們尋找的東西（或數字、人）”的意義。
與此同時，從弗朗索瓦·維埃特（François Viète，1540-1603）開始，標記法也逐漸適應了用字母——即用未知字母或甚至已知字母——表示的計算。人們漸漸習慣了最早的x、y、z等，以及接下來的a、b、c等。運算符號（+、-、×等），表示相等的符號（=），還有表示不等的符號（<，>），指數的寫法（x^²、x^³等）也出現了。就這樣，現代標記法在18世紀成形了。為了簡便起見，在這章裏，哪怕談到阿拉伯和意大利代數學家更早的研究時，我們也會使用這些符號。
寫在筆記本上的解法
為什麼我們沒有絕對的證據來證明費羅解開了普遍意義上的三次方程？因為他沒有正式公佈，而是將自己的發現寫在了一本筆記本上，只有身邊的親友才有機會一睹為快。這種做法其實在當時很常見，代數挑戰盛行於世，常常伴隨着經濟或職業上的獎勵，因為比賽的獎勵往往就是在大學任教的教職。但是那個時代有一種提前出現的Dolce Vita之風（意大利語裏的“甜美的生活”，指一種放鬆隨意的生活方式），獎賞也有可能是一場饗宴……
費羅把三次方程的解法告訴了一個有點多嘴的女婿，後者又傳給了他的朋友安東尼奧·瑪利亞·德爾·菲奧爾（Antonio Maria del Fiore）。菲奧爾對此保持緘默，一直等到費羅去世，在參加數學比賽時，使用了費羅的秘密武器，當時的比賽經常會出現由三次方程支配的題目。然而在一次挑戰中，他與尼科洛·塔爾塔利亞對陣，就是我們上文提到的詩歌的作者。其實他真名叫豐塔納，塔爾塔利亞是他的諢號，意為"結巴"，他在1512年法國軍隊圍困佈雷西亞時受了傷，導致口吃。塔爾塔利亞是一個比賽狂人，而與菲奧爾的狹路相逢馬上就有了決戰紫禁之巔的意味。
比 賽
兩位數學家各自在公證人那裏留下30道題目，要求對方在40天內給出解答。列出的題目全部都是以各種面目出現的三次方程。比如説向豐塔納拋出的一個挑戰是：“一個放高利貸的人出借一筆錢款，條件是到年底要還的利息是本金的立方根。到了年底，放高利貸的人收到了800杜卡託，包括本金和利息。那麼本金是多少？”
如果我們把利息記作x杜卡託，本金是x的三次方，那麼這道題目的條件就可以寫作x^3+x=800。既然這道題目是個現實問題，那麼只要注意到103+10=1010>800，而9^3+9=738<800，就能確定x在9到10杜卡託之間。再嘗試幾次，就能得出x=9.24727，那麼本金就是790.75杜卡託。
當然，哪怕這個答案已經完全能説清楚放高利貸者及其顧客之間的往來生意，但是這並非這道題所期待的解。豐塔納必須找到一個能用整數、四則運算和根號來表達的精確解。事實上，這個答案在商業交易中也沒什麼用處，已經進入了純數學的範疇。下面請看用塔爾塔利亞的方法進行繁雜的計算後得到的解：
解法就在詩歌中
塔爾塔利亞一直沒有公開他的解題方法，直到另一個人物吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501-1576）的出現。卡爾達諾是一個複雜的人物，他既是醫生，又是數學家，還是天文學家，他發明了一個以自己名字命名的車輛傳動系統。1539年，他邀請塔爾塔利亞到他位於米蘭的家中做客，説服他將秘密透漏給自己，並承諾絕不外傳。塔爾塔利亞就作了一首詩：
當立方在某些物旁
等於某個普通的數
在它裏面找兩個不同的數
然後你就習慣了
其乘積永遠等於
某些物的立方的三分之一。
第一行似乎捉摸不透。然而，在阿拉伯數學家的傳統裏，“物”就是未知數（用現代標記法來説，就是x），“某些物”就是x的整數倍數（也就是px），而“物的立方”是未知數的三次方（x^3）。第二行（“等於某個普通的數”）引入了一個數，即q，所以產生了方程x^3+px=q。
接下來的詩闡述了方法……卡爾達諾後來在其著作《大術》（Ars magna）裏公佈了【卡爾達諾並不能算是剽竊者，因為他不僅證明了塔爾塔利亞的方法，而且他還探討了所有三次方程的例子，並且補充了其弟子盧多維科·費拉里（Ludovico Ferrari）的四次方程的解法】。在卡爾達諾公佈的方法裏，有一種會在數學史上起到關鍵作用。多虧了一個比其他人更執着的數學家，這一方法引向一個理論上相當離奇的概念：虛數。
沒有實數解法，然而……
生活在博洛尼亞的拉斐爾·邦貝利（Raphael Bombelli，1526-1572）讀了卡爾達諾的著作，試圖用他的方法來解方程x^3=15x+4。正如塔爾塔利亞在詩中建議的那樣（在它裏面找兩個不同的數），邦貝利首先寫下x=u+v，隨後根據塔爾塔利亞的建議，指定附加條件w=5（其乘積永遠等於某些物的立方的三分之一），將方程簡化為u^2+v^3=4。寫下U=u^³和V=v^³之後，就得到一個丟番圖之後的經典系統：兩個數（U和V）的和與乘積是已知的（4和125）。他推斷出，U和V是二次方程X^2-4X+125=0的解。該方程可以寫作(X-2)^2=-121。
i上的點
邦貝利使用的的標記法在法國中學課本里已經不再使用，取而代之的是18世紀歐拉提議的i，i作為虛數（imaginaire）一詞的首字母，堪當重任。“複數”這個名字來自高斯，他認為數學應紮根於物質現實中，所以並不喜歡當時使用的“虛數”一詞。約翰·沃利斯（John Wallis，1616-1703）第一個將這些數用幾何法表現成在平面上的點，由此賦予它們一種物質現實。使用了歐拉標記法後，複數就是以a+ib的形式出現的數，而a和b都是實數。
我們用複數集來指代複數整體，因為複數也可以進行四則運算，而四則運算在複數裏也具有通常的特點，如結合律、交換律和分配律。此話怎講？只需要在常用規則之外增加一條：i^²=-1。威廉·哈密頓（William Hamilton，1805-1865）想出了這個主意，並且將它普遍化，發明了能描述宇宙旋轉的四元數。都柏林有一座布魯姆橋（現稱為金雀花橋）就是見證，因為哈密頓是在此橋上散步時靈光一現的，所以他激動之餘，在橋上刻下了公式（至少他是這樣講的，因為現如今橋上只留下了一塊銘牌以資紀念）。對於懂行的人來説，只要跨過這座橋就能進入一個……“虛”幻的世界。
代數基本定理
發明嚴格包括複數的複數域到底有沒有用？數學家熱衷於思考這類在普通人眼裏毫無意義的問題。如果目的是解開方程，那麼答案是否定的。為什麼？很簡單，因為我們可以證明複數域包含所有復係數方程的根。
我們將這一特點總結為，複數域是代數封閉的。更確切點説，所有實係數或復係數n次代數方程在複數域裏都正好有n 個不同的或混合的解。這一結果被稱為代數基本定理。由阿爾貝特·吉拉爾（Albert Girard，1595-1632）首先設想出來，隨後由高斯證明。令人驚奇的是，雖然這是一個純代數結果，但證明它卻利用瞭解析法。
作者介紹
埃爾韋•萊寧（Hervé Lehning），法國數學研究者。1976畢業於里昂高等師範學院（ENS Lyon），獲得數學學位。同時，他還是一家保險公司的計算機分析員。自1981年以來，他一直在巴黎百年老校詹森•德薩伊（Janson de Sailly）中學教數學，並在巴黎中央理工學院（Ecole Central de Paris）教計算機科學。他寫了幾本關於計算機在數學中的應用及其教學的書和文章。閒暇時候，他特別享受攀巖、登山和平靜的家庭生活。他對密碼學充滿熱情，是一位成功的普及者，著有《密碼的世界：從古代到互聯網》（2012），主編《數學史一千年》（2005）、《代數方程》（2005）、《變形：從幾何到藝術》（2009）等作品。
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