格物論(十) 致知(一)大哉數學_風聞
付延明-03-25 09:28
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科學的最大特徵是體系的自洽與兼容,彷彿世間萬物呈現在陽光之下,視野中再無神秘、扭曲和異象。如果説科學時代之前人類只能秉燭夜行,那麼科學時代已是陽光普照。從此,人們的遠行只受時間和速度限制(周遊銀河系、光速的百分之一,都是人類當前技術遙不可及的),不會再因視野模糊而原地繞圈(鬼打牆);視野中所見之物立體地呈現,人們從不同角度和路徑靠近、觀測,所得結論一致。就像打開了一張精確的三維地圖:世間萬物(包括它的組成成分)已在圖中,並精確標註了三維座標。(視野中仍有尚未標註之物,只是因為暫時未能標註,而不是永遠不能標註。)
科學,在日常用語中已經是“正確”的同義詞,而且有走向“終極正確”的趨勢…。值得警惕的是,一個嶄新的“科學神教”可能正在形成。科學之所以稱為科學,首在一個“誠”字,所謂科學精神:知之為知之,不知為不知。
哲學不替代或限制科學,但要守護其誠:科學不能用於新的形而上。本章從認識世界的角度來看科學,並從科學的角度來看哲學,嘗試大致明確科學現有的邊界,並且依據其可靠程度做一個分層。這既是對科學體系本身的格物,也是為下一步的全面格物做準備。
大哉數學
怎樣的辭藻都不足以描述人類數學知識的華美、壯觀、博大。
百度學科:數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段,可以應用於現實世界的任何問題,所有的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上,數學屬於形式科學,而不是自然科學。以學科分,數學包括:數論、代數學、幾何學、拓撲學、數學分析、常微分方程、偏微分方程、概率論…等26個分支。
如果只是想目測一下數學的深廣,可以瀏覽“數學的深淵”科普文章。如果想走馬觀花,可以閲讀丘成桐先生的《數學史大綱》,丘先生給出了“高山仰止,景行行止”評語(對歐拉)。想想數學史上那些不朽的名字:畢達格拉斯、歐拉、高斯、黎曼、歐幾里德、笛卡爾、牛頓、萊布尼茲、伽羅瓦、拉馬努金、圖靈、龐加萊…。
數學研究,領先這個世界其他領域百年。已經揭開的數學之尺,足以容納人類的任何想象,遑論實踐之需。當然,社會領域研究的難點不僅在數學。
數學的深淵,小心深海恐懼症!
雖然最深的海底又出乎意料地回到了我們的身邊:最難解的數學問題,是“股票走勢預測”!
數字大小
莊子《逍遙遊》:鵬之徙於南冥也,水擊三千里,扶搖而上者九萬里,去以六月息者也…。
佛經:1會=10800年,1元=12會=129600年,1量劫=64.8億年,1無量量劫=4億8千萬量劫=311.04億億年…。
IPV6的128位地址,號稱可以為地球上的每一粒砂子賦址,2128大約是1038,平均到每個人約1028個,每個細胞可以分配百萬億個…。
區塊鏈用到的密鑰是256位,大約是10 77,這是一個大到無法枚舉的數字。
已知宇宙的原子個數不超過10100,更嚴謹的是不超過1090。
圍棋的可能走法(排除了禁招)是10170。
已知的最大素數是第50號梅森數,約為102000000。
歐幾里得2300年前已證明素數無限。
大到難以描述的數:葛立恆數、Tree3、SCG3、SSCG3、Rayo、BigFoot、Sasquatch…,請自行百度。無論怎樣大,它們都在阿列夫零級的自然數之內。感興趣的可以搜一下《超越無窮大數比較》視頻。
圓周率π的計算:小數點後的數萬億位。所謂無理數,就是有理數尺子的分度永遠不夠小,以使得這個數的長度剛好落在刻度上(循環小數是尺子分度造成的)。直觀地:兩個幾何線段,如果存在一個第三線段(無論多麼短)能同時量盡它們,就稱這兩個線段是可通約的,否則稱為不可通約的。
在數軸上隨機取點,正好是有理數的可能性是0。同理,在π中搜索任意長度的“數字符串”,都可以找到多個。與之相似的,還有無限猴子悖論:如果讓一隻猴子在打字機上隨機地進行按鍵,只要時間不限,這隻猴子就幾乎必然可以打出任何文字(猴子並不識字),甚至是莎士比亞的全套著作也可以打出來。如果我們覺得猴子動作過快,換成樹懶也一樣。
“無限”是一個數學概念,可以定義,但不在現實中。
“無限”也可以比較,比如實數就比自然數集合更大(阿列夫1)。康托爾的對角論證法非常精巧,不需要高等數學基礎也可以掌握(數學原來如此簡單)。
身邊的數
光速C=299792458 m/s,即約30萬公里每秒。當前人類達到的最高速度約為70公里每秒,不到光速的千分之一。
(可觀測)宇宙直徑:930億光年,約1027米;電子顯微鏡分辨率:10-10米,夸克直徑(如果還能稱為直徑的話)約10-18米。
如果以“米”作為人關於長度的“中心尺度”,那麼“宏觀”與“微觀”當前可及的兩端為:1027-10-18米。如果取“指數”值放置在數軸上,那麼“中心尺度”在原點,人類關於長度的取值範圍在-18到27之間(如果換成普朗克長度,則是-33至27),超出這一範圍,暫無現實意義,只是數學。
地球質量=5.965×1024kg。空氣總重量5千萬億噸,人均60萬噸。
Ⅰ級文明(行星能源):1016瓦,約10萬億千瓦。
Ⅱ級文明(恆星能源):1026瓦。
Ⅲ級文明(星系能源):1036瓦。
三峽電站裝機1820萬千瓦。中國發電總裝機容量約20億千瓦。
地球接收的能量佔太陽總輻射能的22億分之一。太陽對地球的照射功率約17億億瓦,是人類文明現在的總功率的數千倍。其中地球直接反射約30%,地球熱輻射約近47%,水循環約23%,大氣循環約2‰,地球生物圈利用(主要是生物光合作用)不到1‰。太陽大約40分鐘照射在地球上的輻射能量,足以供全球人類使用一年。
每千克物質完全轉化為能量= 9億億焦耳(9*1016焦耳)= 250億度電(1度電3.6×106焦耳,三峽電站一年發電量約1000億度)= 214萬噸石油 (1噸石油4.2*1010焦耳)= 430萬噸原煤= 2000萬噸TNT炸藥。2018年全球總能源消耗約138億噸標準油,大約對應6.5噸物質完全轉化為能量。
太陽核聚變一秒鐘大約要損失426萬噸的質量,照這個速度,燒上一百億年,對應的質量損失是1.34×1024噸,太陽的質量大約是1.99×1027噸。一百億年的質量損失佔太陽質量不到1‰(太陽的壽命還有50億年,不是‘燒’光了)。
以上數據都是可靠性極高的(假使作者使用的數據有誤,也只是個人水平不足),原因在於其中的系統性自洽,某個數值可以通過多種科學方法測算而結果一致。我們可以對太陽系外的觀測結果多少存疑,但不必對上述數據存疑。
能量瀑布
單位質量的核能與化學能相差約9個數量級,考慮核聚變材料的轉化率約為略大於1%,單位質量核材料聚變與化學能之差也有7個數量級(千萬倍)。以核聚變為支撐的恆星得以持續穩定(以10億年計)地輻射巨大能量,使得適當距離的行星上出現生命成為可能。碳基生命的生存要求,定義了“宜居”。恰好出現的宜居環境,讓這個世界充滿了設計感。
相對論和量子力學所規定的核能與化學能之間的巨大落差,就像一座高大的山脈。能量持續地如瀑布般的落下,在下面的水潭中濺起浪花。儘管翻湧向上的浪花的數量不足瀑布總水量的千分之一,但它得以在這種亙古不變的瀑布下長久存在,並持續演化出屬於生命(熵減)的精彩!某一時刻,不知從何處照下一束光,浪花折射出了智能的彩虹!
根據科學家的推斷,如果把地球誕生至今的時間(約46億年)看作是1天,那麼,人類出現的時間點是23:56。今天的你我或許應當慶幸:生而為人,可以思考和閲讀。有興趣的讀者可以看看《宇宙盡頭》的科普視頻,其中的時間跨度已經超過了任何的想象…。
世界並非因我而存,生命中總會見到長者和師者的永遠離去,而世界還在。但作為個體的我,認識世界卻是從我的生命開始的。想象一下,當我思考時,世界萬物已經如此,此前如何驚險或者如何曲折,於我而言,只是“此前”;當個體生命終將落幕,世間萬物不知去向何方,無論如何絢爛或悲壯,於我而言,只是“此後”。“此前”和“此後”,各是多長的時間?是一瞬還是永恆?
也許如《宇宙盡頭》所描述的那樣,一切終將寂滅。也許會有“下一個”宇宙從虛無中創生,再次演化出生命和智能(‘下一個’和我們之間有‘先後’嗎?)。也許“下一個宇宙”中的思考者會思考同樣的關於“此前”和“此後”的問題…。那人或許會偶爾有所感慨,但起身後,也一定會負起演出智能之精彩的責任:認識世界。
上下前後,之所以打上引號,是因為引號中的概念已被更換。上下前後,都是此世界之中的概念,不能用於世界之外。這些打上引號的概念,我們並非不曾觸及,只是確信它們沒有意義。
小結
數學世界無限高遠,人類掌握的數學夠用(於認識世界)。
理解自然,是人之幸;人,是自然的幸運。