將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才？兼論現實教學中的掩耳盜鈴_風聞

末那识-学以养识，以识统学。（心迷法华转，心悟转法华）03-29 19:55

2023-03-29

【本文來自《數學玩的就是抽象，數形結合有害於抽象思維的培養-例1》評論區，標題為小編添加】

silentstorm
樓主你不會用未知數解方程嗎？小學就學解方程了，一元一次方程

(6+x)*5=31+35+2x

方程的內容到5年級才學（現行人教版）。我娃才四年級。

2022版新課標要將代數和方程的內容從小學去除而推延到初中再學了。

我雖然不認同這個騷操作，認為小學六年沒必要在算術上反覆折騰，而應該珍惜寶貴的學習時光早點學習代數和方程，學了代數和方程後，很多問題就容易解決多了——不用像用算術思維去解決時那麼燒腦了。

但是呢，第一，算術是基礎，應該好好學；第二，用算術思維去解決問題還是很能鍛鍊抽象思維的能力的。

所以，我認為既然學算術，那就好好學。所謂好好學，就是真正用算術思維去解決問題，而不能濫用數形結合這種形象思維，且數形結合方法在本質上還是基於代數-方程思維的。假裝數形結合是算術思維有點掩耳盜鈴的意思。

以上是小編推送的評論部分。

以下才是該評論的根據——一篇完整的文章

將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才？兼論現實教學中的掩耳盜鈴丨對2022版新課標的思考丨小學數學“教-學”探索・雜談篇

義務教育數學課程標準（2022年版）將方程內容的教學從小學推延到了初中。

此推延或許真得沒必要而且可能會耽誤少年學子的成才。

而在小學數學的實際教學中，代數及方程的無論是其實質還是其形式其實都早已（在學習“用字母表示數”和隨後的“方程”的內容之前）無處不在，但老師們卻都假裝那只是算術，上演了現實版的“掩耳盜鈴”。

以下試做論述。

一、將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才

早在約3600多年前（公元前約1600年）古埃及人就已經開始運用方程（寫在草紙上的數學問題中的含有未知數的等式）。

早在約2000多年前的中國古人就已經發明瞭“方程術”（初見於成書於公元1世紀左後的《九章算術》中的第八章“方程”“”——“方”意為並列、“程”意為用算籌表示豎式，其中例題18個，立術19條。用現代數學眼光看：“方程術”是三/多元一次方程組及其解法；它採用分離係數的方法表示線性方程組，相當於現在的矩陣；解線性方程組時所使用的遍乘直除法，與矩陣的初等變換一致；這是世界上最早的完整的線性方程組的解法，在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程組的解法法則。“方程”這一章還引進和使用了負數，並提出了正負術——正負數的加減法則，與現今代數中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法。這是世界數學史上一項重大的成就，第一次突破了正數的範圍，擴展了數系。外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數。引自百度百科）並在其後不斷發展完善（魏晉時期的大數學家劉徽在公元263年前後為《九章算術》作了大量註釋，介紹了方程組：二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。他還創立了比“遍乘直除”法更簡便的“互乘相消”法來解方程組。引自百度百科）。

早在約1600多年前古希臘的丟番圖（Diophantus，推斷約在公元246-330年，古希臘亞歷山大大帝后期的重要學者和數學家，代數學的創始人之一，對算術理論有深入研究，他完全脱離了幾何形式，以代數學聞名於世）就創立了（初級）代數學並研究了代數方程（其墓誌銘其實就是一道典型的應用“一元一次方程”求解未知數的題目。其曰：“墳中安葬着丟番圖，多麼令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。上帝給予的童年佔六分之一，又過了十二分之一，兩頰長鬍，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。五年之後天賜貴子，可憐遲來的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過了四年，他也走完了人生的旅途。終於告別數學，離開了人世。”與之相關的待求解的問題：1、丟番圖的壽命；2、丟番圖開始當爸爸的年齡；3、兒子死時丟番圖的年齡）。

早在約1200年前（公元825年左右）阿拉伯數學家阿爾・花拉子米就曾寫過一本名叫《對消與還原》的書討論方程的解法（所謂“對消”就是將方程中各項成對消除的意思，相當於現代解方程中的“合併同類項”；所謂“還原”就是把方程轉換成左邊各項都含有未知數、右邊各項都不含未知數的形式，相當於現代解方程中的“移項”）。

……

上千年前乃至於數千年前的中外古人就已經創立了方程並在學習、使用、研究方程及其解法了，這相當於人類在數學上的兒童期所創造繼而學習、使用的知識，我們現今的兒童從小就接受了大量的相關信息的刺激使得其大腦可能已然具備了接受和理解這些知識的能力【“數學教育領域有一個共識，就是一個現代人學習數學的歷程大體上沿着數學發展史的歷程，類似於一個胎兒成長的過程大體上沿着生物進化的歷程。”參見：如何理解數學？從糾正對數學的偏見開始——得數學者得天下】。其實有一個典型的例子或可對此進行佐證：

早在150多年前的洋務運動時期（19世紀60-90年代）的福州船政局所設的船政學堂裏那些剛進學堂時也才十三、四歲的福建少年在一兩年後就開始用法文、英文原版教材學習機械、數學和航海知識了（多元和/或高次方程什麼的應該是基本的吧，因為現代科學技術知識的核心就是各式各樣的含有多個變量/參數的動力學方程啊。那代數尤其是初等代數中的線性方程（組）應該在用外語原版教材學習機械、數學和航海知識前也就是十一二歲時就該用母語中文學了個初步的基礎吧）且其內容比當今大學裏學的相應課程都深【轉引自曹則賢：嫌高考物理難？你就不怕娃兒成廢柴？| 賢説八道。“（）”內為筆者加入的分析/註釋】。

我們如今的少年（小學五、六年級）難道不如150多年前的同齡少年、連個初等代數中的方程都不敢學、學不會嗎？

因此，將初等代數如方程等推延到初中是否有必要呢？是否嚴重低估甚至辱沒了我們當今少年的智力水平和學習能力呢？

更值得深思的問題是，現代科學技術尤其是如數學、物理的基礎學科和高精尖技術的基礎都是現代發展起來的真正高等而且艱深的數學知識，更別説科學史上那麼多科學家在年紀輕輕的二十五六歲甚至是不到二十歲時就做出科學研究成果乃至於創立一門學問的前提和基礎還不就是因為人家早早就學習到了充足且真正的知識/學問尤其是數學知識/學問嗎【“天才不過是受到了合格教育的普通人。在這個世界上，合格的老師比天才還少。天才是因為早早地遇到了合格的老師才得以脱離普通人的命運的。”引自：《磅礴為一》序：Polymath型學者禮讚 | 賢説八道。“科學史上留下姓名的那些大科學家之所以能做出重大成果，除了自己確實有些天分外，還因為人家遇到了好老師（並受到高明的點撥），更重要的是人家從小就讀了正經的書（知識創造者的著作或其它高質量的著作），學到了真正的學問。”引自：曹則賢講座《學問不分專業，只分會與不會》，大意之概述】？

但我們的數學教育呢？即使是大學畢業也才學了當今人類的整個數學知識的一鱗半爪【即使是學到大學裏的高等數學（其實“既不高等、更談不上艱深”。參見：如何理解數學？從糾正對數學的偏見開始——得數學者得天下）如微積分和線性代數等也才僅僅學了現今人類整個數學知識的恐怕5%都不到（“人類全部數學知識的90%都是在20世紀中被創造出來的。”參見：從歷史角度講現代數學）且這些所謂的高等數學知識還是幾百年前——微積分是300多年前、線性代數是200多年前——就已被創造出來的數學知識，連我們在大學裏一般專業不學而僅僅數學或物理專業或其它有特殊要求的專業如電工專業要學的拉普拉斯變換和傅里葉變換以及羣論都分別是200多年前、180多年前就已被創造出來的】且其深度僅及皮毛，而高階的科學和技術創新是需要以廣博而堅實的數學知識為基礎的，但我們由於在小學、中學乃至於大學學習得太慢、太少以至於在最年富力強和最富於創造力的年紀由於知識短板而不能發揮其創造力專注於創新，反而要將大量精力放在惡補本該早已準備好的數學基礎知識上從而嚴重影響到創造力的發揮，而等到知識補得差不多時卻已錯過了創造力的黃金期；再者，人類在數學上的發展和進步，其實猶如攀登一個又一個的階梯，攀上每一個階梯都依賴於數學概念/理念/思維的提升，用高階的概念/理念/思維去理解低階的數學知識就容易得多——比如用代數概念/理念/思維/思想去處理算術中極難的問題都很容易，所以學習現代數學更重要的是學習和領會這逐級進階的數學概念/理念/思維/思想【“其實數學的發展方向，是老的數學越來越成熟，越成熟就越簡單，越容易，越接近普通人。這個過程，主要是通過理念的提升來實現的。”“將大部分時間和精力耗費在學習初等“題型”和技巧上，是很大的浪費，有那功夫，數學分析、高等代數等更高的台階都能上去了。”“理念的提升，遠比技巧的提高重要。”“數學的發展不僅是內容的豐富，而且有理念的提升。每個重要的新理念會促進數學的整體發展，影響到很多數學分支甚至數學以外的學科。”“學習數學不應僅僅是知識的積累，還應逐步提高哲學理念，如一個一個地上台階。”參見：如何理解數學？從糾正對數學的偏見開始——得數學者得天下】。

因此，小學階段放棄初等代數如方程而用六年時間在算術這一最低的原始層級上反覆折騰（且還不是在對“數學概念/理念”這一本質或者説“道”的理解和領會上折騰而是在“術”即技巧上做重複訓練）是否有必要呢（算術和初等代數如方程的這些數學知識佔現今人類整個數學知識的比例恐怕還不到3%）？是否是荒廢少年的大好時光、旺盛的學習精力和本已較強的學習能力呢？

中科院物理所曹則賢老師（16歲就考入中科大，留學德國凱澤斯勞滕工業大學並獲物理學博士學位——第一屆中德聯合培養實驗物理博士，中科大去了8個人，只有他考上了。我心目中致力於真正科普——將科學中的“科”的主要內容也即其中最基礎也最核心的數學以及科學家”‘創造知識’的知識“也即激發和引導科學家進行知識創造的那個”靈感“或用曹老師的話説叫“一念非凡”的那個“念”進行普及教育——的科普達人和學問廣博而精深的科學家兼真讀書、讀真書的讀書人）曾在著文中感概：

“在我當了物理研究員和教過不少名牌大學的教授多年以後，有一天猛然發現目前這個世界上可能99.99%的數學和物理知識都是我聞所未聞、見所未見的，我甚至有崩潰的感覺。今天中國的中學、大學裏所教的物理不僅不難，而是淺得離譜，淺得讓人無地自容，淺得有辱祖宗，淺得讓人不由得為民族的未來擔心。”

另據曹老師自己估計，他現在所知——曹老師的“知”標準很高（不僅學過還要真學懂了）——的數學和物理知識中的90%（？具體不確切，總之是一個絕對大的比例）都是博士畢業參加工作後自己在工作之餘自學的，也就是説，他學到博士畢業也才學了他現今所知的數學和物理知識的10%（？），而自學的90%中的一部分對於真正理解和弄懂在上學期間所學的那10%又是必需的、關鍵的——言下之意是由於上學期間所學的數學、物理太少而且淺薄所以其實也沒能真正學懂所學的那些數學和物理。

有鑑於曹則賢老師的學習經歷和他的“多麼痛的領悟”，應該可以説，我們在小學、中學乃至於大學所學的數學都太少而且過於淺薄。

因此，小學階段放棄初等代數如方程而用六年時間在算術這一低階層級上反覆折騰是否會耽誤我們的少年成才呢？

二、現實版“掩耳盜鈴”

那邊課程標準中要將初等代數如方程從小學教學中去除而推移到初中，而這邊實際教學中卻上演了現實版的“掩耳盜鈴”：明明方程的形式及代數思維在各種習題的題設表述及其解題方法中無處不在，卻還要假裝那不是代數和方程而是算術。

典型的如下題及其解法：

題設：甲 ÷ 乙 = 7 …… 5，甲 - 乙 = 53。甲 = ？，乙 = ？。

解法：數形結合-線段圖（用1段線段表示乙，則甲用7段線段加一截代表5的線段來表示，然後通過觀察直觀得知8段線段之和是53-5=48，由此得一段線段是48 ÷ 8 = 6，則乙 = 6，甲 = 6 × 7 + 5 = 47或甲 = 53 - 6 = 47）。

還有很多用各式各樣的符號比如三角、圈圈、方框等寫出的等式的題目，然後求三角、圈圈、方框是什麼數或者裏面應該填的數是幾。比如：

（8-◯）/（12+◯）=1/3，問：“◯”是幾或裏面填幾？

（原題是以分數/分式的形式呈現的，這裏不方便編輯而用了上面的形式）

你都已經用符號（代數中的未知數可不僅限於用教材“用字母表示數”之表述中的“字母”來表示/指代）表示數並已經寫出了含有符號的等式了，而這樣的等式無論在本質上還是形式上難道不就是方程嗎？或者説，沒有代數/方程的思想你能寫得出這樣的含有表示/指代數的符號的等式嗎？

你用的解法中的數形結合法（線段圖解法或其它形式的圖解法）無論在本質上還是形式上難道不就是方程解法（數形結合法中所用的“圖形”的本質其實就是代數中用於表示/指代未知數的符號，對這些本質是代數符號的“圖形”所做的加減乘除的運算其本質也仍然是解方程方法中的“移項和合並同類項”的操作/運算。可參考《九章算術》中的“方程術”對方程——其實是現在所稱的三/多元一次方程組——解法的描述，其分離係數的解法還與近世所創立的線性代數中的矩陣運算差可彷彿呢。所謂的“數形結合”不過是一元一次方程解法中“對消與還原”之術——1200多年前阿拉伯的的阿爾・花拉子米在其所著《對消與還原》的書中描述的解方程的方法——的幾何表達）嗎？或者説，沒有代數/方程的思想你能“發明”出“數形結合”這樣的解題方法嗎？

並且，“數形結合”或許都已經融合代數與幾何了（將“數”賦予“形”在數學發展史上可是有重大突破意義的一件大事，不簡單着呢），其本質或者説其內涵的思想——這意味着“數形結合”的方法以此思想為前提和基礎（這個道理就是我常引用的托馬斯・阿奎那的那句話“對‘存在者’的某種理解以對‘存在者之存在’的某種領會為前提”的意思）——可能根植於笛卡爾所創立的解析幾何或者説其它的什麼將代數與幾何融合的數學。

所以，小學的實際教學中，代數和方程的本質和形式早都已經無處不在了，卻還要假裝那是算術。這不是掩耳盜鈴是什麼呢？

從這一即使是“掩耳盜鈴”的事實中，我們也發現，小學生對代數和方程的接受和理解其實已相當“絲滑”，不存在什麼有何較大“滯澀”的問題。這是否進一步説明了：將初等代數如方程推延到初中是不必要的且是耽誤了少年的成才的呢？

三、課標修訂組的解釋是否科學、合理

那2022版課標修訂組的專家對將方程的內容從小學教學中清除（推延到七年級即初一再學）的解釋是否科學、合理呢？

課標修訂專家組組長“義務教育數學課程標準（2022年版）解讀”講座的視頻截圖

其解釋中的關鍵是如下幾點（可參照B站該講座視頻核查）：

1、真正的代數是韋達創造的代數，或者説代數要到韋達用字母表示方程的係數時才體現出本質，簡易方程中的未知數用字母來表示還停留在古希臘丟番圖的表達——言下之意是丟番圖的代數是比較低級粗疏的或者説初級的、不及本質的（？）；

2、簡易方程沒有體現出引入方程的必要性，方程應當至少從“雞兔同籠”講起——言下之意是算術思維求解複雜且有難度於是古人“不得已”發明了方程術；

3、方程的定義在教學中不方便或者説很難跟孩子闡述清楚，比如方程中“=”的意義並非是運算符號而是表示“=”兩邊由代數式表示的兩個（數）量的相等。

我試着對上述三點做一個分析，僅供參考。

關於第1點

第一，我想起了微積分。微積分在其發明之初甚至有點“基礎不牢，地動山搖”的意味，後世才對其理論基礎不斷地夯實、完善使其成為一個完備的理論。但如果真要真正理解微積分的基礎及其本質而不是僅僅是學會用它的話，那也絕非易事，甚至可以説對絕大部分學習了所謂“高等數學”中的微積分課程的大學生都不太可能，因為其理論基礎涉及到的集合論等對數學專業的學生恐怕也是一個夢魘。那難道不能真正理解微積分的本質及其理論基礎就不學微積分了嗎？現實並非如此，也不必如此。

第二，前文引述的數學教育領域的“一個共識”值得深思：

數學教育領域有一個共識，就是一個現代人學習數學的歷程大體上沿着數學發展史的歷程，類似於一個胎兒成長的過程大體上沿着生物進化的歷程。

——引自“返樸”公眾號的文章，作者“其故”：

如何理解數學？從糾正對數學的偏見開始——得數學者得天下

第三，丟番圖的代數不算代數或者説是不及代數本質的代數？我不知道組長同志的觀點的背後有怎樣的理論支撐，我只知道據我查閲的資料，丟番圖被公認為代數——至少是初等或説初級代數——的創始人（之一）。

理論上的討論，非我們所能。但我們可以想想，丟番圖的墓誌銘究竟想表達什麼呢？

數學墳中安葬着丟番圖，多麼令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。上帝給予的童年佔六分之一，又過了十二分之一，兩頰長鬍，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。五年之後天賜貴子，可憐遲來的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過了四年，他也走完了人生的旅途。終於告別數學，離開了人世。”

——丟番圖的墓誌銘

與之相關的待求解的問題：

1、丟番圖的壽命；

2、丟番圖開始當爸爸的年齡；

3、兒子死時丟番圖的年齡。

我們知道西方文化傳統中的墓誌銘，所刻的一般是其人一生最大的成就。

如果丟番圖的此一墓誌銘僅僅是一道算術題（雖然也算很複雜，對即使對於今日之少年也不算太難，何況對於當時古希臘羣星閃耀的數學家們），它有何資格可以成為墓誌銘呢？

那麼丟番圖的此一墓誌銘就必是一道代數題，而從算術到代數是數學概念/理念/思維/思想的突破、飛躍，其偉大足以有資格成為墓誌銘。

第四，從用字母（或其它符號）表示“未知數”（即“有確定數值但是未知的數”）到用字母（或其它符號）表示“變量”（即“一般的、任意的數”）是一個很自然的數學思想的發展過程。沒有第一步的突破，如何有後面的進步？所以對這第一步的學習是符合上文引述之“數學教育領域的共識”的，而跳過第一步直接從後面完備形態學起，是不符合人的認知規律的。

關於第2點

第一，如“5-X=2”這樣的簡易方程當然體現不出引入方程的必要性，甚至有點——用句粗鄙的話——“脱褲子放屁”的意味，或至少是有點“為賦新詩強説愁”的意思。但這是教學設計（教材編寫）的不合理啊。另外，要體現出引入方程的必要性也沒有必要非得從所謂“雞兔同籠”開始啊，丟番圖的墓誌銘不就是一個現成的極好的可作為導入方程概念/理念/思維/思想的引例嗎？！所謂對於向孩子呈現的（加這個修飾語另有深意，見下文）必要性不就是向其展現對於一個複雜的問題用算術思維求解很難而用代數-方程思維就相對容易的“事實”嗎？！

第二，用“雞兔同籠”的例子就能體現引入方程的必要性了嗎？或許非也！你看看當今的小學生用算術思維解這個問題（據説有多達13種算術解法）的熟練老辣（堪稱“絲滑”）之程度的事實就明白了。

然則，如何向孩子們闡述或傳達（並非刻意強調而是潛移默化的）引入方程的必要性呢？我的看法如下。

上策：不必闡述和刻意強調（其實恐怕也説不清楚，因為這個問題本身恐怕沒有定論或共識，即使有，恐怕也只是我們的“數學教育專家”們的一廂情願的一偏之見），學生在用方程時自然而然就能（潛移默化的）領會到方程思維之於算術思維的優越性，並從這種領會中自己去把握引入方程的必要性。

下策：如果非要闡述和強調，我認為首先應該向學生説明這是一個沒有定論的開放性問題，也就是説，古人究竟是在什麼樣的情境下生髮了什麼樣的靈感從而創造出了方程（術），古人沒有交代，後人只能憑自己的理解和認識去猜想，然後向學生們介紹各種猜想，讓孩子們自己去理解和判斷（有心的孩子會帶着這個問題在今後的學習中隨着知識的擴展和深入而重新思考）。

在此，我也闡述一個我自己的猜想（專家組組長借“雞兔同籠”表達的方程是算術思維求解有難度從而所做出的“不得已”的發明的意思，還是很有道理的，納之）——內含些許“暴論”：

我的猜想的關鍵在於將中國方程術（實則是“三元一次方程組”）的發明與西方代數方程（實則是“一元一次方程”，如古希臘丟番圖的墓誌銘的那道題的一元一次方程解法）的發明區別開來，分別闡述其發明的必要性。

中國方程術的發明：對於同時有三個“相互獨立的”（其中任何一個不能用另外兩個或兩者之一去表示，即：三個未知數之間沒有可供相互換算的數量關係）待求解其數值之對象（即同時有三個“獨立”的未知數）的問題（如《九章算術》第八章“方程”中作為引例的問題，其要同時求解的是三個獨立對象的數值，即：上、中、下三等禾其各自之一秉分別各實多少鬥），算術思維已經極難求解（是否是“不可能”呢？因為有點“三體問題沒有解析解”的意味啊，三即多、多則惑。即使能用算術思維求解，這恐怕也並非正常智商能駕馭的了），不得不另創新術，於是中國古代數學家以其無上智慧創造/發明了“方程術”；“方程術”用現代數學的語言表述即“三元一次方程組及其解法”，準確的説，“方程術”並未如現代數學那樣用符號語言（即使是“甲、乙、丙”或“天、地、人”這樣的文字其本質也是符號，也可以作為代數或者説方程中未知數的表示/指代符號）去寫出這一組三個“三元一次方程”（含待求解之三個對象即三個未知數的等式）然後對三個等式根據等式性質進行逐個消元、移項和合並同類項諸運算得到其中之一元的數值繼而利用第一元的數值算出第二元的數值最後再利用第一元和第二元的數值算出第三元的數值，而是其解法即“其籌算方式中的‘置籌法式’和求解運算中的‘遍乘直除’法式”內涵了三元一次方程組的概念/理念/思維/思想，其“置籌法式”採用了分離係數的方法表示線性方程組，相當於現在的矩陣，其“‘遍乘直除’法式”，與矩陣的初等變換一致。

西方代數方程的發明：由於西方是字母文字，加上其有發達的將數學做形式化表述的傳統（如古希臘的生活於公元前330年-公元前275年的歐幾里得著述的《幾何原本》，其中已有符號參與的運算——圖形之間的關係的比較其本質可能就是符號表示的量之間的運算），以及其演繹思維的方式（正向推理），在遇到的算術問題雖然僅有一個待求解其數值的對象（即“一個未知數”）但卻也相當複雜困難（逆向思維的特點）時，或許就會被迫轉向其擅長的正向思維的方式並自然而然地引入字母表示數並將找出的問題中各數量之間的等量關係寫成含有以字母表示的未知數的等式，也就是一元一次方程——簡易的一元的代數方程（古希臘的生活於據推測約公元246—330年的丟番圖所創立）。

為什麼中國的“方程術”是從“三元一次方程組”開始的而西方的“代數方程”卻是從“一元一次方程”開始的呢？我有兩種堪稱暴論的猜想——真的是僅供參考（絕非謙虛之語）：

第一種。中國古人的算術思維和計算能力（有籌算術、珠算術等計算工具及其方法的加持）太過強大，再難的一元的算術問題都不是事兒，連極難的二元的“雞兔同籠”問題也不在話下，只有遇到三元的問題算術思維失效時，才想着要創造、發明新的方法——計算之術（從“方程”所在的《九章算術》的書名中的“算術”——計算之術——一詞即可見一斑），於是才創立了“方程術”。所以中國的“方程術”起步就是“三元一次方程組”。有了“方程”的概念/理念/思維/思想之後，再去求解二元和一元的算術問題就自然而然可以用（實際上也可能不會去用，關鍵在於各自的計算方式的簡繁與否，若思維上簡單，但計算麻煩——解方程組的計算要用籌算的，則或會棄之不用）二元一次方程和一元一次方程了（這從魏晉時期的大數學家劉徽在公元263年前後為《九章算術》所作的註釋——如”二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程“——中可知。他還創立了比“遍乘直除”法更簡便的“互乘相消”法來解方程組）。西方古人的算術思維和計算能力可能會稍差點，且其記數法表示的數本來就不便於、不利於計算（參見：……作為概念的（自然）數是如何被認識到——發明和/或發現——的？一個猜想……），加之其記數法表示出來的數本來就是用字母符號表示的數以及其崇尚以演繹思維為基礎的正向推理方式，故而其在遇到一元一次方程形式的很難的算術問題時，就可能自然發明、創造出一元一次方程。而西方在創造出一元一次方程後，並未在二元、三元等多元一次方程組方面有所建樹（直到17世紀才由德國的萊布尼茲提出完整的線性方程組的解法法則），卻在一元二次、三次乃至於多次方程的研究上成果頗豐，其中原因或許就在於其方程的發明背景。

第二種。西方的”代數方程“是在學習、借鑑了東方/中國的”方程術“後結合自身的數學特點而改造、發展起來的，但由於其在學習、借鑑”籌算術“（”籌算術“以中國的”十進位值制“記數法為基礎，西方/古希臘的記數法與其格格不入）上的困難，故而學習不了或學不會中國”方程術“中”多元一次方程組“的”籌算“方式的解法，所以，西方/古希臘人學不了”多元一次方程組“而只能取中國”方程術“的思想並結合自身的數學特點發展出一元的代數方程（一元一次方程，繼而一元二次方程、一元三次方程及一元高次方程並研究其解法）。當然，這個猜想涉及到”中學西漸“，很難説得清也缺乏文獻史料的佐證；更有可能與”古希臘和/或古羅馬偽史論“有所牽涉，那就非我所願了（相比於”古希臘和/或古羅馬偽史論“，我更傾向於在公元前後的古代就有規模不小的”中學西漸“——或”中學“通過歐亞大陸的自然交流逐漸傳到西方並引起了西方/古希臘人的學習、研究、借鑑和二次創造的興趣和行為、或西方有意識地通過歐亞大陸的交流着力學習、研究東方大國的”中學“並在理解、吸收其思想後二次創造）。

關於第3點

第一，方程的定義難以闡述清楚難道可以成為不教方程的正當理由嗎？

自然數的定義還更難以向小學生們闡釋清楚呢，即使能闡釋清楚小學生們也未必理解得了啊，因為那涉及到更高階的知識了，並且，就算是學到大學畢業的大人，恐怕絕大多數都還不知道自然數究竟是如何定義的。但不知道自然數的定義不妨礙我們從小學就開始學自然數啊——而且小學來來去去學的不都是自然數嗎。

與自然數的定義相比，方程的定義——如果有一個有共識的定義的話（如果沒有，那就更沒什麼可説的了）——要簡單多了。即使不用定義法的表述，也可以用描述法的表述啊，比如：

雖然不能説“含有未知數的等式是方程”，但是可以説“方程是含有未知數的等式”啊，當然還可以追加一句，“其中的未知數一般用符號如字母來表示”。

關於這一點更深入的的辨析，可參閲如下文章：

張奠宙：“含有字母的等式叫方程”為什麼是錯的？

第二，方程中的“=”難道僅僅表示的是等量關係而沒有運算的意義？

恐怕未必如此吧。應該説，所有情形下的“=”不僅是表示等量關係的符號，而且也是表示運算結果的符號。

比如“1+1=2”中的“=”，既表示“1+1”與“2”之間的等量關係（“1+1”也算個或類似於多項式吧——雖然不是代數式，但嚴格説來，“1”也仍然是個“符號”吧，只不過是一個代表確切數值“1”的符號），又表示“1+1”經過運算後的結果是“2”。

代數式表示的量不仍然是個要經過運算或其內涵了運算的量嗎（“用字母表示數”的本義不就是讓表示數的字母參與運算嗎，而正是讓表示數的字母參與運算了才能寫得出代數式啊）？既是運算的量，那“=”自然可以表示運算的結果啊，無非是“=”一邊的代數式經過運算之後的結果也是另一邊的代數式經過運算之後的結果或者説可以用另一邊的代數式經過運算之後的結果來表示。

第三，真正理解一個東西要在與其打交道的過程中去領會其本質。

領會“方程”思想及其本質並不能依賴於對方程的定義的知曉和理解，而要在學習並使用它的過程中去領會其本質。

第四，大多數的學生包括大學畢業生其實恐怕也並清晰於——可能也沒必要知曉——方程的定義中的那些難點，但並不妨礙其學習和運用方程。

鑑於職普分流的大勢，近半的學生要走職業技術路線，而現代製造業中的高質量、高層次的職業技術是需要比較廣博的關於方程的知識的（恐怕所有的技術都涉及到“動力學方程”，因為這是機器運行和控制的基礎）——紮實與否其實相對都不那麼重要（知道有那些知識並知道哪裏和如何去學，以後需要時就會去自學，而如果連知道都不知道，那就會因為無知而茫然），而如果不充分利用九年義務教育的時間給孩子們教授足夠的方程的知識，那孩子們以後大概率會落入近於以前的文盲的境地。

因此，小學數學不教方程是浪費寶貴的學習時光（況且上世紀八九十年代以來的小學生也沒見學方程有啥大的“滯澀”的，當今的小學生更沒問題了吧）。

四、問題的根源無非“不得其師”、“不得其法”而已

小學數學教育中的問題，歸根結底都是“不得其師”、“不得其法”而已。

我們的數學家們應該挺身而出，分些精力投身到小學數學教育的實踐中來，而不是光在那表達自己的觀點和對於現實數學教學中的“瑕疵”甚至“胡來”的鞭撻和批判（雖然我從中大受啓發和裨益並將其付諸實踐，但我們作為家長或編外之教者畢竟不是教學的主力軍）。與其坐而論道，不如起而行之。

“一個國家的強盛，是在小學教師的講台上完成的。”（轉引自華為創始人任正非的講話，據任講此話原為普魯士元帥毛奇於1870年所説）

【正文完】

跋

1、本文淵源

本文的很多感想和觀點是受到了曹則賢老師的講座《從一元二次方程到規範場論》的刺激和啓發才有的。強烈推薦研習一下。

曹則賢：從一元二次方程到規範場論 | 中國科學院2022跨年科學演講

2、美帝如何

或問：美國的小學數學教不教方程呢？據我查詢所知，應該是教的。