從量子電動力學的創立歷史看物理學思維的特色和價值_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！04-01 10:27
物理學是在人類的技術、語言和思維的極限之處的極限運動。
——作者
撰文 | 廖瑋（華東理工大學物理學院）
來源 | 選自《物理》2023年第3期
人們常説20世紀有兩大成功的物理理論，即相對論和量子力學，而量子場論是狹義相對論和量子力學結合的產物。雖説這樣一個簡單的説法大體上是沒錯的，量子電動力學作為第一個量子場論理論確實是作為狹義相對論和量子力學結合的產物而誕生的，但是這個簡單的説法並不足以揭示量子場論所具有的巨大價值和魅力，反而好像是説可以由相對論和量子力學的原理自然地導出量子場論。這實際上掩蓋了量子場論創立過程中人們所遇到的嚴重困難、物理學家在克服困難過程中展現出的巨大創造力以及物理學發展過程中的戲劇性。
量子場論取得了驚人的成功。一方面，這表現在其成功的廣度，即量子場論被廣泛地運用於粒子物理、核物理以及凝聚態物理的廣泛現象之中併成功解釋了極其廣泛的現象，此外量子場論的思想和理論方法還被推廣運用於臨界現象等統計物理問題和複雜性科學等其他領域。另一方面，這一成功表現在其成功的深度。作為量子電動力學的最終建立者之一，戴森 (Freeman Dyson) 在談及量子電動力學的成功時有一句精彩的總結，他説：“(量子電動力學)似乎是少數幾個緊密地觸及了真實的理論之一(one of the few theories that seems to be very closely in contact with reality)。”量子電動力學在電子反常磁矩(g-2)/2上的成功可以讓人深入體會到這一物理理論如何深入地“觸及真實”：
電子反常磁矩(g-2)/2
實驗值：0.00115965218073(±28)，
理論值：0.00115965218204(±72).
在上述對比中，我們可以看到實驗值和理論預言值一直到小數點之後11位都是吻合的。這是一個驚人的成功！物理學家一般把物理理論當作是描繪現實世界的模型，通常並不預期理論和實驗會取得如此驚人的一致。這樣一個在電子反常磁矩上取得的驚人成功甚至可以使人們懷疑，也許量子電動力學(或量子場論)不僅僅是對現實世界的模型，而是真正觸及了真實。
如果對量子電動力學有更多瞭解之後，人們對其成功的印象將更加深刻。量子電動力學的物理預言是建立在微擾論的基礎之上的。微擾論是處理實際物理問題的一種計算方法。例如，對於絕對值小於1的數x (|x|<1)，1/(1-x)也可以寫成如下級數求和形式：
1/(1-x)=1+x+x2+x3+…，
當|x|<1時，等式右邊的無窮級數求和是收斂的；當|x|=1時，等式右邊的無窮級數求和實際上是不收斂的，等式不成立；當|x|>1時，這一等式也不成立。這是一個很簡單的例子，但是足以説明微擾論的使用範圍一般是有限制的。如果級數求和中級數的係數不再是1，而是其他數，則無窮級數求和成立的區間又會有所不同。特別是，如果係數很大，收斂區間可能很小，甚至沒有。這個時候，我們就説無窮級數求和不成立。量子電動力學的微擾理論計算出的物理量實際上就具有這種級數求和的形式：
量子場論中的這種重正化做法常被人詬病為非法地以無限大加減無限大以及無限大乘除無限大，很難讓人理解，然而正是這種荒唐的數學使量子場論獲得了驚人的成功。可以公允地説，量子場論的這種成功可以説是觸及了自然的真實同時又挑戰了最基本的數學規則。
伽利略曾經説數學是大自然的語言。借用這句話，我們可以説量子場論的這種不可思議的成功是觸及到了人類所擁有的描繪自然的語言的極限。藉助這種在語言的極限之處運作的物理理論，人類可能也達到了思維能力的現有邊界。量子場論在思維和語言的極限之處描繪自然的現象，取得了驚人的成功，這不僅是巨大的科學成就，也是輝煌的智力成就。
考察量子場論的創立過程，特別是考察作為第一個成功的量子場論理論的量子電動力學的創立過程，我們可以品味到物理學前人如何作出極具開創性的貢獻、如何克服困難達到這種不可思議的成功，並可以在其中學到很多。本文將對這一創立過程作較簡略的回顧。
01
量子電動力學的早期歷史
量子電動力學的最終創立者之一施温格(Julian Schwinger)在他1965年諾貝爾物理學獎的獲獎演講中説：“在狄拉克、海森伯、泡利以及其他人的慈父般的努力下，相對論性量子場論誕生於大約35年前。然而，這是一個有點遲鈍的年輕人，17年後才進入青春期成熟。今天，我們聚集在這裏慶祝這一事件。”
實際上在量子場論創立早期發揮過重要作用的物理學家不僅有狄拉克 (Paul Dirac)、海森伯 (Werner Heisenberg) 和泡利 (Wolfgang Pauli)，還有約當 (Pascual Jordan) 、費米 (Enrico Fermi)等人[1]，其中約當創造了把光子場和電子場量子化的方法。經過這批人的持續努力，到1930年初期，形成了以狄拉克的空穴理論為基礎的空穴—量子電動力學 (hole theoretic QED) [2]以及海森伯—泡利的量子場論理論。在空穴—量子電動力學中，光子波函數被當作場算符量子化而電子波函數實際上沒有被場量子化，實際上這是一個半量子場理論 (semi-quantum field theory)。而海森伯—泡利理論的精神是全部使用量子場論的方法處理光子和電子波函數，可以説是純量子場論的理論 (pure quantum field theory) 。
安德森 (Carl David Anderson) 於1932年對正電子的發現使狄拉克的空穴理論獲得了巨大的成功，同時也使空穴—量子電動力學獲得了顯著的地位。正電子的發現以及正負電子成對出現的現象説明電子的產生和湮滅確實在自然界中發生，量子場的概念可能有其必要之處。但是，半場論空穴—量子電動力學不但也可以解釋正負電子對出現的現象，甚至在這方面要成功得多，因為空穴理論可以説是“預言”了正電子。至此可以説，以海森伯—泡利理論為代表的純場論量子電動力學理論已經大體上被建立起來，但是還沒有令人信服的證據表明量子場論引入的概念是完全必要的，量子場論還沒有真正誕生。令人信服的證據來自一個全新的研究領域，即弱相互作用領域。
1930年，泡利提出了中微子假説，用以解釋在β衰變實驗中觀測到的連續電子能譜。用現在的術語説，這一假説認為，原子核或中子在衰變過程中放出一箇中微子和一個正電子或放出一個反中微子和一個電子。1933年，費米根據這一假説構造了成功解釋β衰變現象的弱相互作用理論。這一理論的成功説明了兩點：(1)因為弱相互作用太弱，無法使質子、電子以及反中微子形成束縛態，在衰變發生之前反中微子不可能存在於中子或原子核之內，這説明中微子或反中微子是在衰變過程中被產生出來的；(2)在衰變過程中，只有單獨的電子或者正電子伴隨着反中微子或中微子出現，而沒有正電子和電子的共同出現，狄拉克的空穴理論無法解釋這一現象。這實質上説明了，半場論空穴—量子電動力學實際上是不對的，應該採取純量子場論的觀點。β衰變實驗的現象、泡利的中微子假説以及費米的中微子弱作用理論的成功標誌着量子場論的觀念獲得了勝利，很多人認為這標誌着量子場論的真正誕生。
02
無限大疑難與重正化
量子場論帶來了解決新問題的希望，同時也帶來了嚴重的疑難，這個疑難是使用場的概念帶來的。
在經典電動力學中，一個半徑為R的球形帶電體 (例如金屬球) 中的部分電荷處於帶電體中其他電荷產生的靜電場之中，可以算出整個球形帶電體的總勢能大約為Q2/R，其中Q是帶電體的總電荷。這説明，球形帶電體的電荷產生的電場可以反過來使這些電荷本身獲得勢能。這種效應被稱作為逆作用(back-reaction)。已知電子就是一個帶電體，如果電子是球形的，我們可以預期電子的自身電場的逆作用會使靜止的電子獲得一個大約為e2/R的能量。至今的所有實驗都沒有發現電子的大小，也就是説，即便電子是有大小的，那也是非常小，小到以至於在現有的實驗中都發現不了。這意味着，逆作用對電子能量的修改是非常大的一個量。甚至電子可能是沒有大小的，即R為零，這也就意味着這一修改是無窮大。如果電子有大小但不是球形體，上述論證提供的基本信息仍然是大致成立的，即電子攜帶的場的逆作用會導致極大的自能 (self-energy) 修正。
量子場論繼承了經典電磁場理論的這一問題，在量子場論中這一逆作用效應可以用圖1表示。在圖中，水平的直線代表一個電子，曲線代表一個光子，這個圖相當於説一個電子發射出一個虛光子 (產生一個電場)，然後又把這個虛光子吸收回來 (受到這個電場的作用)。電子無時無刻不受到這種發射和吸收虛光子的作用的影響，以至於在任何量子電動力學的計算中，只要考慮到電子的傳播效應，這種逆作用的效應都會出現。這也就是説，在所有高階計算中都會出現這種嚴重的無窮大自能修正的問題。例如考慮圖2中的康普頓散射，圖中最左邊的圖代表領頭階的效果，即電子吸收一個光子，然後又發射出一個光子，右邊的圖表示的是一部分第一階的修正，很明顯可以看到自能發散會出現在右邊這些圖的貢獻之中。這就造成了本文開頭所説的，量子電動力學中以級數形式表示的物理量中的級數係數都是發散的無窮大量。任何一個受到過基本的數學訓練的人都會立即説，這個理論肯定是不可靠的。這就是量子電動力學在1930年代遇到的嚴重困難。
鑑於量子電動力學遇到的嚴重困難，一些物理學家認為量子電動力學是不夠的，或者根本是錯的，需要引入更具革命性的思想。其後，許多物理學家努力尋求替代量子場論的理論。例如，海森伯建議了具有基本長度的修改量子場論，以避免局域相互作用導致的發散問題；温策爾 (Gregor Wentzel) 建議了他的修改局域相互作用的理論方法；海森伯還建議了一種完全放棄場論概念而直接在物理量上建立關聯的散射矩陣理論；狄拉克建議了一種不定度規量子力學，希望修改量子力學的一些基本假設，重建量子理論；此外，還有一些物理學家認為問題出在經典電動力學，建議修改電動力學的形式，在經典電動力學中就解決或迴避逆作用和自能問題。這些激進的替代理論最後並沒有取得成功，除了少數理論 (例如散射矩陣理論) 之外，這些理論基本被人們所遺忘。其原因是，量子電動力學的困難以十分出人意料的方式獲得瞭解決，激進的方案被摒棄，留下來的是保守的、但是難以令人理解的方案，這就是重正化理論。
1937年，布洛赫 (Felix Bloch) 和諾德西克 (Arnold Nordsieck) 發現量子電動力學中的紅外災難問題是源於電子態的定義不合適所導致的。泡利和菲耳茲 (Markus Fierz) 受此啓發，在1938年重新考慮了電子的電磁場的逆作用。他們在一個非相對論量子理論中計算了電子的電磁場產生的逆效應，發現這個逆效應的結果是對電子產生了一個電磁質量，他們把這個電磁質量與電子的機械質量相加，將兩項之和等同於實驗觀測中得到的物理質量[2]。如果假設機械質量中也有一個無窮大發散並且與電磁質量中的發散抵消，就可以得到有限大的物理質量。這一機制就是質量重正化。與此同時，克拉默斯 (Hendrik Kramers) 也明確提出了類似的質量重正化思想[2]，其不同之處在於克拉默斯試圖修改經典電動力學，先在經典電動力學理論框架上構造重正化理論，而不是直接基於量子理論構造重正化理論。其後克拉默斯還帶領一些學生在非相對論性量子理論中繼續研究這一機制[2]。此外，在1930年代對真空極化的研究中也發現其中會有無窮大發散，狄拉克、海森伯和韋斯科普夫 (Victor Weisskopf) 等人發展出了電荷重正化的方法，發現可以使用這一方法解決這個問題[2]。
奧本海默 (Robert Oppenheimer) 受到這些進展的鼓舞，建議他的學生丹科夫 (Sidney Dancoff) 在相對論性量子理論中計算電子與原子核的庫侖散射的輻射修正。如果丹科夫的計算無誤，他將發現除了被吸收到質量項中的自能修正的發散之外，輻射修正計算中出現的其他發散項將互相抵消，最後得到有限的結果。很不幸的是，他在計算中犯了一個錯誤，最後仍然得到了發散的結果，這使當時仍然對量子電動力學抱有一定希望的一些人非常失望。
總體而言，雖然有正負電子對產生、康普頓散射、電子—電子散射(Møller散射)等實驗對量子電動力學的支持證據，然而紫外災難問題的存在使1930年代末的物理學家們處於巨大的謎團之中，而且這個謎團不侷限於量子電動力學，也同樣出現於描述其他相互作用的量子場論之中。在1930年代末期，朝永振一郎 (Sin-Itiro Tomonaga) 在德國萊比錫訪學，在海森伯的研究組裏研究強相互作用的量子場論。他在此期間的日記中記述了同時代的物理學家共同感受到的這種迷茫，他寫道[3]：
“當我繼續計算時，我發現積分是發散的——是無窮大的。午飯後我去散步。空氣寒冷刺骨，約翰娜公園的池塘半結了冰，鴨子在沒有冰的地方游水。我能看見一羣鳥，花壇上覆蓋着慄樹葉以抵禦霜凍。走在公園裏，我對中子、中微子的存在不再感興趣。”
他還記述與仁科芳雄 (Yoshio Nishina) 的通信，記述自己的沮喪以及仁科芳雄的鼓勵[3]：
“今天早上，我收到了仁科芳雄教授的回信，在去信中我用激動的話語向他抱怨我工作的慘淡。讀完回信，我的眼裏充滿了淚水。——他説：‘只有運氣決定你的成就。我們所有人都站在一條看不到未來的分界線上。我們不必太過焦慮，不必太擔心結果，即使結果可能與你所期望的大不相同。不久以後你就會遇到新的成功機會。’”
03
量子場論的保守革命
在二戰期間有許多傑出的物理學家加入了美國的輻射實驗室 (Radiation Laboratory)，從事與雷達相關的問題研究，其中包括拉比 (Isidor Rabi)、施温格以及蘭姆 (Willis Lamb)。輻射實驗室高強度的研發和投資使實驗物理學家在電磁波的探測技術方面取得了飛速進展，其中就包括與氫原子精細結構研究相關的釐米波段電磁波的探測技術。在二戰結束之後，拉比和蘭姆把這些全新的實驗技術運用於哥倫比亞大學的實驗室中，開啓了一段實驗物理的高峯時代。在1947年，拉比和蘭姆與合作者分別完成了兩個實驗。蘭姆的實驗證實了氫原子的2S1/2能級高於2P1/2能級，他發現兩能級的能量差相當於波長約為30 cm或頻率大約為1000 megacycle/s (megacycle：兆周) 的光的能量[4]。此外，測量精度也一躍達到了百分之十的水準。實際上，實驗設計想要達到的測量精度是千分之一。在蘭姆第一次發佈結果後不久，測量精度很快就被推進到百分之一的量級，並在兩三年內實現了設計的千分之一的設想。使用狄拉克方程可以預言，氫原子的2S1/2和2P1/2能級是簡併的。蘭姆的這一結果毫無爭議地説明了狄拉克方程的預言只是大致正確的，對於更精細的氫原子結構其結果是不對的。
拉比的實驗測量了氫原子和氘原子在磁場中的超精細結構，即由於電子磁矩與原子核磁矩耦合的效應產生的電子能級的劈裂，他們發現超精細結構與理論預言相比有大約千分之二的偏離。在1947年9月，佈雷特 (Gregory Breit) 對拉比建議，這可能是因為電子的實際磁矩與狄拉克方程的預言結果相比有微小的偏離，這個建議很快説服了拉比[2]。庫施 (Polykarp Kusch) 是拉比在哥倫比亞大學的同事，他多年以前就從事過電子磁矩的精確測量實驗，並且得到過非常精確的測量結果。在獲知佈雷特的建議之後，庫施與合作者重做了電子磁矩的精確測量實驗[2]。他們使用鎵和鈉研究在磁場中的原子的能級劈裂結構，測量發現電子磁矩的g因子大約是[5]：
對於鎵，g=2.00229±0.00008；
對於鈉，g=2.00244±0.00006。
拉比和庫施的兩個實驗證實了電子具有反常磁矩，即電子磁矩中的g因子不是使用狄拉克方程所預言的g=2。庫施因為這一貢獻與蘭姆分享了1955年度的諾貝爾物理學獎。但是庫施的這一結果是1947年下半年才得到的。在此之前，對蘭姆的實驗結果的思考佔據了中心位置。
蘭姆的實驗結果是一個關鍵性的突破，它立即在量子電動力學的建立過程中給予物理學家以極大的啓發。多年以後，拉比寫信給蘭姆談起蘭姆的貢獻以及自己作為伯樂的驕傲[5]：
“我奉承我自己是第一個以最實際的方式認識到你的天才的人，即給予你一個職位。這是我無怨無悔的行動之一。你來到哥倫比亞大學是物理學史上最偉大的事件之一。蘭姆移動及其理論對於量子電動力學的發展是決定性的事件。你還使自己成為那一小羣以費米的精神、既能做實驗又能做理論研究的物理學家之一。”
在1947年6月於Shelter Island召開的會議上，蘭姆和拉比分別報告了他們的實驗結果，蘭姆的實驗引起了極大關注。對於蘭姆的實驗結果 (即蘭姆移動) ，韋斯科普夫和施温格認為，量子電動力學的修正可以解釋這一現象，他們在會上大致展示瞭如何使用重正化方法計算出有限的結果。在這次會議上，克拉默斯也介紹了他的對經典理論做重正化的方法。這一會議立即對貝特(Hans Bethe)產生了影響。在會後的旅行中，在一輛火車上，貝特根據韋斯科普夫和施温格演示的對量子電動力學作重正化的方法，在非相對論性理論中對氫原子2S1/2和2P1/2能級的劈裂做了一個簡短的計算，他發現計算結果與實驗結果吻合得很好。他在論文中寫道[6]：
“施温格、韋斯科普夫和奧本海默建議，能級移動的一個可能解釋是因為電子與輻射場的相互作用。這個移動在現有的所有理論中都是發散的，所以一直被忽視。然而，能級移動中最強烈的發散(即線性部分)可以被辨識出是電磁質量的效應，這一項對於束縛態電子會出現，對於自由電子也會出現。這一效應可以認作是已經恰當地包括在電子的觀測質量之中，所以在所有的理論表達式中必須把它減除掉……”
貝特的計算結果表明，氫原子的2S1/2和2P1/2能級的劈裂大約相當於1040 megacycle/s的能量，而蘭姆的初步實驗結果是1000 megacycle/s。貝特最後做出結論説[6]：“這與觀測到的1000 megacycle/s非常一致。”
貝特的這個計算結果顯示了量子電動力學以及重正化方法確實可以解釋氫原子的精細結構，使人們對量子電動力學重新樹立起了信心。但是，貝特的計算是在非相對論性電子和光子相互作用的理論框架內做出的近似計算，而量子電動力學實質上是相對論性理論，需要在相對論性理論框架內做出計算，並檢查其結果是否與實驗一致。此外，靜止質量是一個相對論不變的概念，如果質量重正化方法確實可行，還需要證明自能修正確實是一個相對論不變的結果。在量子電動力學的海森伯—泡利表述形式中，這兩個問題都很難回答。這是因為，海森伯—泡利理論是一個哈密頓形式的理論，十分複雜，而且不具有明顯的相對論協變性，因而這一理論形式在實際計算中很不方便。需要改寫量子電動力學的理論形式，以便克服這些問題。
在Shelter Island會議三個月後，施温格開始思考並攻克這些問題。在1947年11月的一個會議中，他簡短地報告了他對蘭姆移動和電子反常磁矩的一些計算結果。在1948年1月底召開的美國物理學會年會上，他做了更加詳細的報告。他的報告引起了極大的轟動。因為湧入的聽眾太多，主辦方被迫兩次改換報告廳，最後報告被安排在一個劇場中進行，並被要求重複演講一次[2]。戴森當時作為一名學生聽了這個報告，在1948年2月4日寫給家人的信中記述説[2]：
“重大的事件發生在週六的上午，那是施温格的一個小時的報告，他對正在建造中的新理論給了一個卓越的回顧，最後他還戲劇性地宣佈了仍處於胚胎之中的、一個更新的和更強大的理論。這個演講是如此精彩，以至於他被要求在下午的會議上重複講一遍，……當他宣佈關鍵的實驗支持了他的理論時，全場一片歡呼。”
隨後，在1948年3—4月召開的Pocono會議的第一天，施温格宣佈了他的最新理論形式。根據惠勒 (John Wheeler) 的筆記，施温格在開頭説到[2]：
“為了在電動力學的目前形式中得到合理的答案，必須使用規範不變和相對論不變的減除方案。只有這樣，人們才能以一種合理的方式辨識確定無窮大項。下面對量子化的電磁場和電子對的場的處理滿足這個判據。”
根據惠勒的筆記，施温格在報告中間還強調[2]：
“這些方程沒有比海森伯—泡利理論形式包含更多東西。假如有人知道如何自恰地做海森伯—泡利的計算，就不需要這些方程。”
施温格的報告最後成了長達一天時間的馬拉松報告，他的這個報告被認作是標誌着量子電動力學得到了成功建立，標誌着保守的重正化方案獲得了成功。施温格的成功在當時的美國物理學界和美國社會引起了極大的振奮。施温格被視作是美國的愛因斯坦，被視作是美國科學成功的標誌。在1948年4月11日寫給家人的信中，戴森記述了他當時所處的這種氛圍[5]：
“具有遠見卓識的科學家們對美國科學界日益增長的民族主義危險感到擔憂，對資助科學的政治家和實業家的擔憂更是如此。在公眾心目中，至少實驗科學已是隻有美國人知道如何去做的了，而美國不得不從歐洲引進一些理論家這一事實只是相當勉強地得到承認。在這種氛圍下，新的施温格理論被稱讚為一個證明，即即使在理論物理領域美國現在也沒有什麼可學的了，現在第一次美國產生了她自己的愛因斯坦。”
費曼在Pocono會議的第二天做了報告，演講他的另一套具有相對論協變性的量子電動力學理論以及他對蘭姆移動和電子反常磁矩的計算。他的演講沒有取得成功，反而成為了一個徹底的失敗。他後來回憶説[5，7]：
“這些人每個人都有自己的想法，他們的表現就好像我應該知道他們在想什麼。……我有一種可怕的逆來順受的感覺。我對自己説，我必須把它全部寫下來發表，這樣他們就可以閲讀和研究它，因為我知道它是正確的！就是這樣。”
在Pocono會議幾天之後，奧本海默收到朝永振一郎派專人送到其手中的信[2]。在信中，朝永振一郎介紹了他們使用重正化方法和具有相對論協變性的量子電動力學理論對蘭姆移動的研究。朝永振一郎早在1943年就發展出了一個具有相對論協變性的量子電動力學的理論形式，先以日語發表，後於1946年以英語發表在日本的一個期刊之上。在獲知了蘭姆移動的實驗結果和貝特關於蘭姆移動的計算之後，朝永振一郎在相對論協變理論的框架下發展了貝特在其論文中演示的重正化方法，並帶領他的學生做了一系列的研究工作，論證了重正化之後的量子電動力學確實十分有效。在獲知此事後，奧本海默立即拍電報給朝永振一郎，要他寫一個總結論文，並要他提供相關的其他論文。朝永振一郎寫了一篇總結其工作的短文，並在奧本海默的安排下通過駐日美軍空運快速寄給奧本海默，其後這篇短文被髮表在《物理評論》期刊之上。此後，朝永振一郎的工作被廣為人知。朝永振一郎的協變理論與施温格的協變理論十分相似，人們常把這一理論稱作朝永振一郎—施温格理論。朝永振一郎也因為其對量子電動力學的貢獻與施温格和費曼分享了1965年度的諾貝爾物理學獎。
值得一提的是，施温格和費曼的計算在是否有真空極化效應上發生了分歧[5]。隨着對蘭姆移動測量精度的不斷提高，實驗結果表明只有加入真空極化效應的修正之後，理論計算的結果才能與實驗結果精確的吻合，這一分歧最終因此得以解決。在施温格和費曼解決分歧之前，實際上是早已開始該項目研究的韋斯科普夫與其合作者使用老式量子電動力學理論首先得到了對於蘭姆移動的正確理論計算結果[2]。此外，在蘇黎世泡利研究組裏工作的拉廷格(Joaquin Luttinger)獨立於施温格也得到了正確的電子反常磁矩結果[2]。
04
費曼與戴森的理論形式
費曼在大學時代研讀過狄拉克的量子力學教科書，他從其中獲得的一個印象是，這一理論有嚴重的自能發散問題不能解決。費曼因此得到一個結論，即不用關心這些以前的理論在説什麼。費曼認為自能發散的關鍵，即電子自己產生的電磁場會對自身發生影響，是一個愚蠢的想法。這當然是因為引入場的概念所導致的，所以費曼準備放棄場的概念。在他的諾貝爾物理學獎獲獎演講中，他回憶這段歷史時説[8]：
“在我看來，一個粒子作用於它自己的觀點，即電場作用於產生它的同一粒子的觀點，很明顯並不是必要的，事實上這是一種愚蠢的觀點。所以我告訴自己，電子不能作用於自己，它們只能作用於其他電子。這意味着根本沒有場。你看，如果所有的電荷都貢獻形成了一個公共的場，如果公共的場反過來作用於所有的電荷，那麼每個電荷一定會反過來作用於自己。這就是錯誤所在，所以沒有場。”
費曼的這個想法類似於散射矩陣理論的想法。這一思想的思路是，場的概念是通過實驗現象推斷出來的，但是並不是直接可觀測的。例如，我們看見帶電物體在空間中拐彎從而推斷那裏有電場，我們看見磁體互相吸引、磁針在地球上指向南北方向，從而推斷有磁場。人們直接看見的是物體的運動、帶電物體的運動等現象，而不是磁場和電場。正是通過帶電物體和磁體的運動表現，我們推斷有一個瀰漫分佈在空間中的場。費曼在上述引文中想説的實際上是建議拋棄電磁場的概念，直接在物體與物體運動的現象上建立關聯，重新把電磁現象表述為類似於牛頓引力那樣的超距作用形式。
費曼在大學期間就想到了這一思路，並在其後的十多年間一直為實現這一思想奮鬥不已。十分幸運的是，費曼的研究生導師惠勒與他抱有類似的想法。惠勒是散射矩陣概念的提出者之一，他甚至已經研究過如何把經典電動力學重新表述為超距作用的形式，在惠勒之前還有福克爾 (Adriaan Fokker) 等人在這方面開展過研究工作[2]。費曼與惠勒的合作卓有成效，最終他們實現了把經典電動力學改寫為超距作用的形式，並且論證這一理論與常規的電動力學在宏觀上是等價的，雖然在微觀上並不等價。費曼將這一研究收錄在自己的博士學位論文之中。費曼理論的作用量採取了福克爾作用量的形式[8]：
費曼花了很多年完善這一理論，並希望把其成功量子化。在貝特發表關於蘭姆移動的論文之後，問題的關鍵變為在相對論性理論中做出計算。費曼對貝特説他的理論可以勝任這一重任。然而，費曼實際上並不真正知道如何使用他的理論得到電子的量子電動力學。其原因在於，電子是費米子，滿足泡利不相容原理的要求和費米—狄拉克統計，費曼實際上不知道怎麼對費米子使用路徑積分的方法嚴格地推導出結論，他轉而通過半數學推導、半推測的辦法導出一些計算規則，再使用這些計算規則計算一些已經得到了理解的物理量和物理過程，以檢查自己的計算規則是否正確，如此反覆矯正自己的計算規則。在這個過程中，費曼大量使用物理圖像進行猜測，他不但沒有完善的數學形式可以澄清問題，而且實際上引入了不少有待澄清的、容易引起爭議的概念和技巧，例如他和惠勒引入的正電子是在時間方向上逆向行走的電子的概念。這也正是他無法像施温格那樣在Pocono會議上做出優美炫目的演講的真正原因。費曼在其諾貝爾獎獲獎演講中總結了自己的這種直觀的、沒有數學嚴格性的研究方法[8]：
“通常，即使在物理學家的意義上，我也無法演示如何從傳統的電動力學得到所有這些規則和方程。但是我從經驗中知道，從擺弄中知道，事實上一切都是相當於通常的電動力學，同時我對許多片段也有部分證明。儘管如此，我從未真正坐下來，像希臘幾何學家歐幾里得那樣，確保你能從一個簡單的公理集得到所有一切。結果，這個工作受到了批評，我不知道是贊成還是不贊成，這個‘方法’被稱為‘直覺方法’。然而，對於那些沒有意識到這一點的人，我想強調的是，成功地使用這個直覺方法需要做很多工作。由於沒有對公式或思想本身的簡單明確的證明，因此有必要通過與已知的其他類似的例子或極限情況等作比較，進行大量的檢查和再檢查，以確保一致性和正確性。在缺乏直接的數學證明的情況下，人們必須仔細而徹底地確定這一點，並且應該儘可能多地使用公式不斷做出嘗試。儘管如此，通過這種方法獲知的真相要比能被證明的多得多。”
閲讀這段文字，再回想費曼如何使用這種方法猜出了量子電動力學的成功理論形式，可以使我們領悟許多、回味無窮。雖然在猜想過程中費曼也犯了一些錯誤，但是總的來説，費曼還是猜對了。他不但得到了正確的結果，而且得到了成功的理論形式。這種理論形式還被推廣到其他量子場論理論，以費曼傳播子、費曼規則、費曼圖的形式廣泛存在於現在所有量子場論理論之中。費曼的這個成就不僅是一個偉大的科學成就，而且是一個極端了不起的、輝煌的智力成就。
在費曼發展他的理論的時候，戴森作為一名從英國過來遊學的研究生見證了費曼發展其理論的全過程。戴森在大學時候學的是數學，到了研究生階段他轉而研究物理。他先是向在劍橋大學任教的、温策爾和泡利曾經的一個學生學習了量子場論，然後轉而到康奈爾大學找貝特學物理。貝特很高興戴森來到他的研究組，因為他收到的一封推薦信説戴森是英國最好的數學家[2]。在康奈爾大學期間，戴森經常與費曼討論費曼的新理論，對其要點非常熟悉。在1948年夏天，戴森參加了一個美國物理學會舉辦的暑期學校。在該學校裏，施温格作為主講花了三個星期講授了他已經發展出的和還在發展中的量子電動力學的新理論形式。施温格的演講非常眩目，其中有非常多的數學，同時又把其物理圖像隱藏於數學公式之中，戴森很難從中抓到真正的要點。幸運的是，戴森在課後與施温格有很多交談。在課後的交談中，施温格告訴戴森很多他的理論形式所包含的物理圖像，最終使戴森徹底地理解了施温格的工作[2]。
不久之後，在從美國西海岸到東海岸的長途大巴車上，戴森經過長時間的思考撥開了謎團，想清楚了幾乎所有關鍵問題[2]。他使用朝永振一郎—施温格理論計算散射矩陣，把理論改寫為編時乘積的形式，發展出了一套編時微擾理論。使用這套理論，戴森發現可以從朝永振一郎—施温格理論推導得到費曼猜想的使用了費曼傳播子、費曼規則和費曼圖的理論，也就是説朝永振一郎—施温格理論與費曼理論的最終結果是等價的。戴森完成了費曼自己沒有完成的事業，即從一些簡單的原理出發推導得到費曼憑藉猜想得到的所有結果。圖3顯示了這些理論之間的關係。戴森的論文很快就被髮表，甚至在費曼的系列論文和施温格的系列論文全部發表之前就被髮表。還沒有獲得博士學位的戴森立即站到了物理學舞台的最中心，當然在此之後戴森也不再需要獲得博士學位。
戴森的貢獻最終改寫了量子場論教科書的內容，他以演繹的方式把費曼的理論介紹給了大眾，使人們不用再去學習極其複雜的老式量子場論，轉而可以迅速學會這種更加簡潔、更有效率也更加直觀的全新理論形式。這是量子場論在表述形式上的巨大進步。對這一全新理論形式的價值，布約肯 (James Bjorken) 做了一個極其生動的回顧[9]：
“對我和其他許多人來説，理查德·費曼是一個特殊的英雄。當我在斯坦福大學的研究生院學習量子電動力學時，他成為了我的英雄。這門課碰巧是按歷史順序安排的，有幾個月它採用了20世紀30年代的海特勒的經典教材的樣式，使用老式的微擾理論和狄拉克矩陣α和β(而不是γ)。在這個火的考驗之後，出現了一大堆看似無窮無盡、陰鬱而又浮誇的場量化形式。當費曼圖到來時，這就是太陽衝破了雲層，帶來彩虹和金子。輝煌！物理並且深刻！這是轉換為門徒身份的時刻。”
需要説明的一點是，在瑞士的斯圖克爾伯格 (Ernst Stueckelberg) 一直在思考和試圖解決量子電動力學的問題。從1940年代初開始，他使用量子場論計算散射矩陣，初步得到了類似編時微擾理論的微擾理論，也得到了現在被稱作費曼傳播子的傳播子形式[2]。如果他完成這項研究，他就會是獨自完成費曼和戴森兩人完成的理論建構。可惜的是，一方面他的論文不太為人所知，只有同樣在瑞士的泡利等人有所瞭解；另一方面，那個時候的歐洲已經不是實驗科學的中心，他已經處於消息相對閉塞的地區，不能像施温格和費曼那樣迅速抓住機會。
此外，值得注意到的另一要點是，費曼的最終結果雖然是對的，但是費曼的理論起點，即他猜想的原理，並不完全正確。在電子偶素被發現之後，費曼在1951年寫信給惠勒，認為他們以前的猜想至少錯了一個。他寫道[2]：
“我希望知道你關於我們的超距作用理論的觀點。它根據的是以下兩個假設：
(1)電子只作用於其他電子；
(2)它們通過超前勢和推遲勢的平均對其他電子產生作用。
第二個假設可能是對的，但是我要否定第一個的正確性。證據是兩重的。第一個是氫原子中的蘭姆移動，這被認作是來自電子對自身的作用。我們確實沒有一個關於命題(1)的完整的量子理論，所以我們不能完全確定蘭姆移動不能來自周圍牆上的原子對原子的淨作用……
第二個理由涉及正電子是在時間方向上逆行的電子的想法。假如這是真的，根據命題(1)，必定會互相湮滅的一個電子和一個正電子將不會發生相互作用，因為它們實際上是同一個電荷。所以，電子偶素必定不會形成然後又衰變……
最後，……實驗證據顯示電子偶素可以形成為一個穩定的態，然後衰變。所以我認為我們在1941年猜錯了。你同意嗎？”
如果費曼後來的判斷是對的，那他就是從錯誤的假設得到了正確的結論，他的成功看起來是一個奇蹟。然而，這樣的奇蹟正是在物理學的歷史上多次發生的事情，例如卡諾利用熱質説構造卡諾循環導出卡諾定理、麥克斯韋藉助以太推斷電磁波的存在、狄拉克根據狄拉克海假設預言正電子。所以費曼的經歷並不是不可思議的奇蹟，而恰恰是物理學思維的一大特色[10]。值得説明的重要一點是，物理學家之所以能夠採用這樣一種不合邏輯的思維方式獲得正確的知識，不是因為物理學家特別聰明，而是因為物理學家學會了利用實驗幫助思考[10]。實驗可以幫助我們檢驗結論是否正確，從而可以使我們不必侷限於依賴正確的前提和嚴密的邏輯推理獲得知識，而可以憑藉不正確的猜想和不嚴格的推理得到一些正確的結論。
05
後話
對於重正化的成功，不可否認的是物理學家們對此有許多不滿意的。泡利在1930年代末把這種處理方法稱作減除物理 (subtraction physics) [1]，表達了他的不滿。戴森在1948年10月4日寫給其家人的信中解釋量子電動力學理論的思想，他説[2]：
“理論的中心思想是對實驗事實給出正確的解釋，同時有意地忽略當討論無法直接測量的事物時的某些數學上的不一致。”
物理學理論的核心任務是解釋現象，物理學家在解釋現象的過程中發展出描述現象的概念、語言和理論。在量子電動力學的發展過程中，在與實驗的反覆對比中，物理學家不得不接受了這樣一種具有離奇數學的重正化理論。
對於重正化理論的成功，費曼後來評論説[9]：
“我認為重正化理論只是一種把電動力學的發散困難掃到地毯之下隱藏的方法。當然，我對此並不確定。”
施温格更進一步，他認為重正化是當面對無知的時候人們應對現實而不得不採取的手段，但也是真正成功的手段。他説[2]：
“(重正化)明確地把我們所不知道的——但它以非常有限的方式影響我們的實驗——從我們所知道的和我們可以詳細計算的地方分離了出來。事實上，我堅持所有的理論都是這樣的。——人們可能不想面對它，(但是)總是有一個領域，在那個領域裏理論要麼不再成立，要麼出現其他你不知道的現象。它們不會干擾你所能控制的區域的一切，你會把它們與之隔離開來：這就是重正化的真正意義。不是清掃無限大，而是孤立出未知的部分，認識到其有限的影響。”
不論採取哪種觀點，不可懷疑的是，量子場論的重正化理論是工作在已知和未知的邊界、語言的有效與無效的邊界的成功科學理論，是一個科學奇蹟。戴森在1984年的一番話表達了對量子電動力學成功的驚奇[2]：
“我一直覺得這是一個奇蹟，電子實際上表現得正如同理論所説的那樣。這個微擾級數在某種程度上是真實的，而且微擾級數説的一切都是正確的，對我來説這一直是一個令人驚奇的實驗事實。我從來沒有覺得我們真正從哲學的意義上理解了這個理論——我所説的理解是指擁有一個定義良好且一致的數學框架。(儘管如此)我總是覺得這顯然是正確的，甚至是個大寫的正確。對我來説，真理意味着同實驗吻合……一個理論要正確，它就必須準確地描述實驗中實際發生的事情。”
06
總結
許多接受教科書式的科學教育的人把科學當作是完成的系統理論，甚至會以為科學的發展是像教科書裏講授的順序那樣發展出的。實際上，科學很少是按照那些人想象的那樣以教科書上的邏輯演繹的方式發展出來的。相反，在科學的實際發展過程中有大量的猜測和使用多種辦法對猜測的檢查，以及反覆猜測和反覆檢查。科學家主要依靠這種方法積累大量知識，以邏輯演繹的方式把這些知識積累串聯成完整的體系常常是很靠後才發生的事情。現在的量子場論教科書以戴森闡發的理論形式講述量子場論，正是因為戴森的工作在很多人的貢獻之後，所以他才有機會做出這樣的系統性闡發。
科學研究的首要目標是追溯和發現可靠的原理，在已經發現的可靠原理的基礎之上才可能建造起可靠的理論體系。愛因斯坦把科學家比作依靠少量線索就可以找到答案的偵探，説科學家像偵探那樣尋找事件和事件之間的聯繫，然後創造性地運用想象力把它們聯繫起來[11]。費曼也曾經説，最接近於物理學家的職業是偵探。量子電動力學的發展歷史很明顯地展現了科學發現的這種真實過程。在黑體輻射能譜、光的吸收和發射、正電子的發現和正負電子對產生、β衰變、康普頓散射、電子—電子散射、蘭姆移動、電子反常磁矩等諸多實驗線索的指引下，許多物理學家做出了許多不同的猜測，通過反覆與諸多實驗結果進行比較並矯正猜想，物理學家們最終才對許多問題達成了一致，成功建立起了量子電動力學理論。費曼在其諾貝爾物理學獎獲獎演講中對其研究方法的闡明，不能僅僅視作其直觀方法的説明，而應該視作是物理學家們追溯原理和發現原理的核心思維方法。實際上，這種思維方法也正是伽利略在其研究中所展現的思維方法[10]，是物理學自誕生之日起就存在於物理學中的核心思維方法。
物理學家在追溯和發現原理的過程中不僅僅做出了發現。在另一方面，物理學家還需要創造出描述自然的合適概念和語言，並在此基礎上創造出合適的理論形式，或改進理論形式。量子電動力學的發展過程以令人炫目的方式展示了物理學家的這種創造性。在短短的十幾年間，約當、狄拉克、海森伯、泡利、費米、韋斯科普夫、克拉默斯、奧本海默、菲耳茲、貝特、斯圖克爾伯格、朝永振一郎、施温格、費曼和戴森等人發展出了許多描述電子和光子相互作用的概念、語言和理論形式，例如產生和湮滅算符、反對易算符、場量子化、規範固定、真空極化、電荷重正化、質量重正化、正規化、自旋統計關係、相互作用表象、因果傳播子 (費曼傳播子)、費曼規則和費曼圖、半場論形式的空穴—量子電動力學、純場論形式的量子電動力學、非協變形式的理論、協變形式的理論、路徑積分理論等等。此外，在此期間物理學家還發展了很多可能的替代理論，例如海森伯的散射矩陣理論、狄拉克的不定度規量子力學、克拉默斯和惠勒等人的多種版本的修改經典電動力學等等。這些被創造出來的語言和理論不一定都是正確的。在前文中已經提及空穴理論實際上是不對的，費曼後來也認為自己的超距作用電動力學是不對的，但是這些理論是有效的，它們不僅可以啓發人的思維，而且可以在一定範圍內做出一些正確的物理預言。正是在許多這類理論的相互競爭之中，在與實驗結果的反覆比較之中，物理學家最終成功建立起了具有明顯相對論協變性的重正化的量子電動力學理論。
在這個不斷創造和不斷改進的過程中，物理學家獲得了越來越簡明、越來越方便以及威力越來越強大的理論表述形式，同時也獲得了強大的預言能力。費曼圖形式的量子電動力學替代了老式的量子電動力學，正是因為其作為新的語言比舊的語言具有更加強大的能力。這個特色也不是量子電動力學所獨有的。力學從伽利略、惠更斯和牛頓的力學形式發展到達朗貝爾、歐拉和拉格朗日等人的力學形式展現的同樣是這樣一個過程。通過發明新的概念、新的語言和新的數學，達朗貝爾、歐拉和拉格朗日等人把牛頓總結的力學發展成為具有強大能力的分析力學的形式，這是一次巨大的進步。在《科學思維的價值》一書的附錄中，筆者舉例討論了這種力學語言的進步所帶來的價值[10]。
物理學家不斷創造和改進物理學語言的努力正説明物理學家在理解自然的道路上恰恰缺乏合適的語言。這種情況在物理學的誕生之日起就存在於物理學之中。伽利略研究運動學問題，但是他缺乏研究運動學所需的微積分知識，他不得不使用初等幾何學的知識來研究運動現象。正是在運動學研究的需求的驅動下，牛頓與萊布尼茨發明了微積分。後人在牛頓建立的基礎之上，又得以有機會更進一步改進力學的表述語言。量子電動力學的發展歷史是説明物理學中這一常見狀況的另一個很好的例子。
這些例子可以説明的重要一點是，物理學是在人類的語言能力的極限之處工作的科學。物理學一方面不斷做出發現並積累知識，另一方面把發現推進到以人類的語言可以描述的極限之處。古老的運動學問題對伽利略時代的語言提出了挑戰，電子與光子的相互作用的複雜現象對1920—1940年代的物理學家的語言提出了挑戰，量子場論和重正化理論以及其不可思議的成功同樣對當代人的語言提出了挑戰。在回應挑戰的過程中，物理學家依靠不斷創造新的語言來描述自然，應對新的現象，並以這種方式豐富人類的知識和人類的科學語言，擴展人類思維的邊界。正是在回應挑戰的過程中誕生了極其強大的微積分數學，誕生了量子場論這種極其強大的物理學語言。我們不知道量子場論和重正化理論的挑戰會帶來什麼，但是僅僅作為一個挑戰本身它就具有巨大的價值和魅力。
人們常常會感嘆極限運動的魅力，感嘆極限運動中非凡的運動技巧，這是在人類的體能和技巧的極限之處的運動。人們也常常感嘆非同尋常的技術帶給人的體驗，實驗科學常常追求和開發極端的技術以便做出全新的發現，這可以説是在人類技術的極限之處的活動。蘭姆、拉比和庫施等人正是因為開發出和掌握了當時最先進的實驗技術，從而可以測量發現原子能級中極其精細的結構，為物理學的發展提供關鍵性線索。物理學家還需要在缺乏合適概念和語言的情況下工作，做出可靠的發現，並且需要創造出新語言和新理論形式以便描述自然世界。這樣的努力也值得我們的讚歎，可以毫不誇張地説，物理學家的這種努力是在人類的語言和思維的極限之處的極限運動。這樣一種在技術、語言和思維的極限之處工作並創造新技術和新語言的能力是物理學的創造力的表現，是物理學的魅力之所在。這也是物理學家的核心能力，是物理學家是否具有原創力的標誌。
參考文獻
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[7] 廖瑋. 物理，2021，50：703
[8] Feynman R. Nobel lecture in Physics，1965
[9] Bjorken J D. Physics Today，1989，42：2
[10] 廖瑋 . 科學思維的價值：物理學的興起、科學方法與現代社會 . 北京：科學出版社，2021
[11] 愛因斯坦，英費爾德 著，周肇威 譯 . 物理學的進化 . 長沙：湖南教育出版社，1999
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