例1-唯有真實不虛的示範才能讓孩子領會猜想這一探索問題解決思路的常用且有效的方式_風聞
末那识-学以养识，以识统学。（心迷法华转，心悟转法华）04-01 09:21
導讀：用一條直線平分圖形面積。
按：原文標題為”科學家常玩且善玩的猜想究竟是怎麼玩的之示範與猜想-例1“，鑑於原文的字裏行間有很多以小號和低亮度文字所作的註釋，所以建議閲讀原文。
緒論
猜想之於科學和科學家的重要性毋庸贅述，小學數學的課標中也提到了要創造機會讓孩子去猜想，但在實際實施過程中，往往流於形式或過於淺薄。孩子們在其中鮮有收穫。
老師們總是正確地、符合邏輯的講解題目的解法，而或無意或有意地隱藏了其探索過程的痕跡。
這可能還真是具有某種數學“傳統”的意味：
在數學中，要講述真理是極其困難的，數學理論的形式化的陳述並沒有講清全部的真理。數學理論的真理更象是當我們在聽一些專家所做的漫不經心的隨口評述時，我們去捕捉專家評述的動因後才會感觸到的體味，當我們最終搞清楚典型的例子時，或是當我們發現了隱藏在表面化諸問題之後的實質問題時，我們才品嚐到數學之真。哲學家和精神分析學要解釋，為什麼我們的數學家習慣於系統地擦去我們走過的足跡。科學家們總是不理解地看待數學家的這種怪異的習慣，而這種習慣自畢達哥拉斯以來直至今天幾乎沒有改變。
——J. L. Casti
數學有一個本性的趨向——利用抽象和一般化——由此而將廣泛領域中的素材加以綜合與提煉，形成簡單而又統一的概念與方法，去處理各種各樣複雜的情況。這個過程有時被稱為‘壓縮’，有意思的是，這種很有效的知識形成過程卻對進行教學的數學家來説是一個障礙，他在這時必須擔當起‘解開壓縮’的角色，這樣才能讓那些自主研究學習能力不強的學生來逐漸理解數學。
——H. Bass
——以上兩段均轉引自：從歷史角度講現代數學
“猜想”可能也就是如此被隱藏了的。
“科學家常玩且善玩的猜想究竟是怎麼玩的之示範與猜想”這個單元，就是要揭開“猜想”的面紗，以我自己的“猜想”經驗現身説法並介紹我所知道的科學史上某些科學家如何猜想的經驗，當然，這仍然只是我的“猜想”。
想象力比知識更重要。——愛因斯坦
例題1
你能用一條直線將兩個長方形組合而成的圖形（如下圖）的面積分成2等份嗎？畫一畫。
孩子（四上）老師發的“每日一思”（學有餘力則做，不強求）
一、我自己獨立思考得出答案及其解題思路的詳情
剛開始我想了十幾分鍾，毫無頭緒，茫然無措。後來在吃晚飯時拿出手機消遣時又想起這道題，於是又找出來邊吃邊“看”，真的就只是純然地“看”，因為漫無頭緒也無法思考啊，如果非要説“思緒亂飛”也是思考，那就是在邊“看”邊“思考”。“思緒亂飛”了大概三五分鐘後，一個“貌似不相干的東西”突然閃現於腦海，正是這個“貌似不相干的東西”激發了我破解這道題的靈感，並在這一靈感的“加持”下“照見”了這道題的答案及其解題思路（此處借用了佛學的用語“加持”和“照見”。“加持”的意思易於理解，就不做解釋了。“照見”的意思不太好理解，大致講，就是無須經過邏輯分析繼而行判斷就那麼直接“把握”/“感悟”/“領會”到了本質性的東西。《心經》：“觀自在菩薩，行深般若波羅密多時，照見五藴皆空，度一切苦厄。”）。
那個“貌似不相干的東西”是個物理學中的知識點，關於“重心”的，具體地説，是“如何測定一個不規則物體的重心的方法”：
隨便在物體的邊緣處找兩個點，以此兩點先後兩次懸線將物體懸置，並分別在物體上畫出懸線的延長線，物體上畫出的兩條延長線的交點即為該物體的重心所在處。
這個知識點讓我產生了靈感即找到“中心點”的意識，隨即“照見”（一下子就悟到了）了答案及其解題思路。
為圖省事，直接借用一下孩子老師手繪的答案
看到這個答案，是否有恍然大悟之感，並有原來如斯簡單、我怎麼就想不到、我應該可以想到的之感概？如同猜謎，猜不到就是猜不到，一聽謎底就是這種感覺。所謂“難者不會、會者不難”誠如是乎？（我經常以猜謎為例激勵孩子自己獨立思考，因為在她小時候我們經常玩猜字謎的遊戲，而且謎面都是我親自構思設計的。）
其實如果是按邏輯推理的話，知道找中心點離將兩個長方形的中心點連起來即為所求直線的答案還差得比較遠，也即那個解題思路從知道找中心點這一步出發要經過好幾步邏輯推理的過程才能達到答案。
但此一“照見”其實是“猜想”！而“猜想”就是這麼不講道理，講道理那是做出“猜想”以後的事情。
下面就來講講其中的道理：
由測不規則物體的重心的方法可自然生髮去找所給圖形的重心的意識，這是個平面圖形，“處處均勻”（類比物理中的物體的密度處處均勻），則其重心也就是圖形的中心點；
但這是兩個長方形組合而成的不規則的圖形，沒有中心點；
雖然組合圖形的整體沒有中心，但組合單元的兩個長方形似乎是有中心點的，即兩條對角線的交點；
雖然這個交點又不是中心點（正多邊形才有“中心點”吧，比如正方形），但是是重點所在點啊；
兩個長方形的重心所在點分別是各自對角線的交點，那自然可以聯想到，組合圖形整體的重心在不在兩個交點的連線上呢；
連起兩個交點得一條直線，剛開始想“重心”的事兒，突然感覺不對啊，我不是找重心啊，我是找平分面積的直線啊；
連起兩個交點得到的這條直線是不是可以將組合圖形的面積平均分成兩等份呢，應該可以；
得到答案，所求直線為兩個長方形的各自兩條對角線的交點的連線。
這個道理似乎很長，但實際上也就一閃念的事兒，這可能也是其表現出來是“照見”的原因，或者説，這個“照見”可能是連我們自己都意識不到的自己的腦子裏的“一閃念”（這讓我想起禪宗的“頓悟”，“頓悟”之“頓”大概就是“一下子就……”的意思，或者“剎那”、“一瞬間”的意思。但“頓悟”了的人若要解釋説明他究竟是如何才“悟”了的話，或者後世學者看禪宗燈錄為某個和尚的“頓悟”進行解説的話，那估計得説好多好多話）。
從上述所講“道理”的表述中，可以看出，我得到答案其實是以物理的觀念為基礎的，而這也是我得到答案的真實過程。
而得到了答案就可以將其中的物理觀念拋棄（隱藏）了，重新給其找一個數學化的表述——也即解題思路——即可。
在答案的“引領”下，這個數學化表述——也即解題思路——就很容易找到了，而且一下子還能找出至少兩個——只要先找到一個就能“一理通百理明”地衍生出另一個。
在“導論”中我提到：
教者就要意識到，自己現在能獨立思考出來，是不是比小學生多出了某些能力，這時就要學習周伯通忘掉“九陰真經”將這些“額外的能力”放棄而模擬小學生的知識背景和思維水平去重新思考，再以“同情之理解”的原則去教孩子。
我想出這道題的答案並進而洞悉其解題思路其實就是用了超出小學生知識背景的“超能力”。我不知道我如果不用這個“額外的能力”而單憑小學生的知識背景和思維水平能否獨立思考出這道題的答案及其解題思路（給我答案及其解題思路讓我理解則應該不是問題），雖然以我下面對解題思路的表述來看，我似乎能做到，但是由於我失去了初始的模擬小學生獨立思考的時機，所以以下所述解題思路恐怕仍然只不過是“事後諸葛亮”式的“馬後炮”。因此，“同情之理解”自然而生，故而以下所述解題思路應該説是比較親近、契合於小學生的。
二、為孩子講解的解題思路以及其中的關鍵訣竅
為表述方便和嚴謹，儘量用了書面用語，如要借鑑給孩子講，還需將其轉換為口頭語言為好。
解題思路之一
1、所求為平分兩個長方形組合而成的圖形的面積的一條直線，但直接看似乎怎麼也看不出這條直線應該畫在哪兒。
2、為什麼我們直接看不出來呢？是因為它不規則。
3、我們學過的關於圖形的規則都有什麼呢？或者説，我們學過哪些規則圖形，其特點是什麼呢？長方形、正方形、圓形、……都是規則圖形，它們共同的規則是什麼呢？對，我們學過“軸對稱”的知識，長方形、正方形、圓形都是軸對稱圖形，有對稱軸的。對稱軸所在的直線就可以將圖形面積平分。
4、如果這個圖形是個有對稱軸的規則圖形該多好啊！那我們不如試試將它變成有對稱軸的規則圖形看看有什麼發現吧。
5、如何將這個圖形變成有對稱軸的規則圖形呢？對，將上面那個小長方形平移到下面那個大長方形上面那條邊的正中間處（圖略）。
6、這個新圖形的對稱軸我們可以直接看出它的位置，就是縱向的正中間的一條直線——長方形的長邊的中點的連線，這條對稱軸所在的直線將新圖形的面積平分為2等份。
7、易於想到，題目所給的沒有對稱軸的（非軸對稱）圖形可以通過平移上述有對稱軸的（軸對稱）新圖形而得到。
8、我們現在來思考，平移過程中，原先的這條對稱軸會如何變化呢？傾斜了，上端和下端分別往相反的兩側逐漸傾斜，傾斜到不確定原對稱軸這條直線所在的位置究竟是什麼位置了。那怎麼辦呢？白忙活一場了嗎？
9、再想想。這變化中有什麼不變的東西嗎？似乎這麼空想也想不到，因為沒有比較。那拿什麼跟什麼比較呢？我們已經有了假設的那個特例，那個有對稱軸的規則圖形，以及上面的小長方形平移後得到的N個圖形，我們不妨從這N箇中選擇任意（隨便）選擇一個。
10、特例的那個圖形，面積平分線就是圖形的對稱軸所在那條直線；另一個圖形就是如題設所給的圖形，我們權且隨便大致（即按特例圖形中的小長方形平移後帶動的原對稱軸移動到的大致位置）畫條線代表這個圖形的面積平分線。然後，我們將這兩條平分線做對比，觀察、思考二者有什麼共通之處。
11、這兩條平分線能做到同樣一件事即將圖形的面積均分為2等份，那麼這兩條線應該肯定有相同的東西。這個相同的東西有可能是什麼呢？
12、從隨意畫的那條平分線中是看不出端倪（苗頭，有價值的線索）的，那只有從原對稱軸那條平分線中看看有什麼線索了。
13、從原對稱軸那條線隨着上面小長方形平移而移動的軌跡中，我們能依稀感覺到變化中有不變的東西。這個東西是什麼呢？再仔細對比兩條平分線，發現兩條線似乎都同時經過兩個長方形的中心位置。
14、中心位置是什麼位置？中心位置的中心，對，就是長方形兩條對角線的交點。
15、好！似乎有門兒了。先分別將兩個長方形的各自兩條對角線畫出來，然後將兩個長方形中的對角線的兩個交點連接起來並延長將圖形分為兩部分。那現在就要判斷這條線到底能不能將圖形面積均分為2等份。
16、從原對稱軸那條線——現在意識到這條線其實也是同時經過兩個長方形的對角線的兩個交點的——的移動軌跡中，我們能大致看出，兩個交點連線的左右兩邊的上部和下部的面積變化一增一減且增減的量似乎是一樣的。
17、由此，我們可以下判斷：兩個長方形的對角線的兩個交點的連線所在的直線就是題目要找的能將圖形的面積平均分為2等份的那條直線。
猜畢。
證明：
……
證畢。
該解題思路中有幾點關節處需要説明一下：
第一，“死地即生門！”，彆扭處（不正常處、反常處）或許就是突破口。
第二，“從特殊到一般”（從個別特例到一般情況）是一種普遍的有效的思維方式，從特例中可以更容易得發現規律，然後再去考察這個規律在一般情況下的適用情況。
第三，特例中的平分線即對稱軸所在直線與一般情況下的代擬的平分線之間的共同點的發現，每走一步都需要敏鋭的眼光和大膽的猜想。不做猜想則無法推進到下一步。所以，要大膽猜想，不怕走錯，就怕原地踏步不敢越雷池。
解題思路之二
這個解題思路請容我表述得簡化一些，如果想要借鑑，可參考“解題思路之一”進行細化。
1、所求為平分兩個長方形組合而成的圖形的面積的一條直線，但這個圖形是個不規則圖形，無法依其規則直接得知這條直線的位置。
2、雖然組合圖形的整體不規則，但其組成單元的兩個長方形都是規則圖形，平分它們的直線很容易得知，顯而易見的各有4條（圖略，4條線呈“米”字形），其中2條是對稱軸（“對稱”即是規則圖形之“規則”）、另外2條是對角線。
3、畫出將長方形面積平分的4條直線後，自然就會發現4條直線相交於一點，也即是説，將長方形面積平分的這4條直線都過這一點，而這一點其實就是長方形對角線的交點。
4、進一步推想，是否過這一交點的所有直線中能將長方形面積平分的不止這4條呢？是否是隻要過長方形兩條對角線之交點的所有直線都能將長方形的面積平分兩半呢？經過觀察、判斷，這一點應該可以確認。
5、既然單個長方形的面積平分線是經過長方形兩條對角線交點的直線，那麼在兩個長方形的組合圖形中，我們可以試着去想，將其中一個長方形的經過對角線交點A的面積平分線繞着這個交點A進行旋轉，旋轉到這條直線剛好也經過另一個長方形的兩條對角線的交點B，那這條直線也可以將另一個長方形的面積平分。既然這條直線能同時將組合圖形中的兩個長方形的面積平分，那也就意味着這條直線將這個組合圖形的面積平分了。
6、於是可以做出判斷（猜想）：組合圖形中兩個長方形的各自對角線交點的連線即為能將組合圖形面積平均分成2等份的直線。
猜畢。
證明：
……
證畢。
其中關節處與解題思路一類同，不再贅述。
其它解題思路
……
（不再贅述。其實就是以不同的思路去表述對“對角線交點”的“發現”以及給“連接兩個長方形的兩個對角線交點”的“行為”以一個合理的“動機”，或者給此一“行為”的“結果”以一個“可同時平分兩個長方形”的“解釋”。）
最後，必須跟孩子説明並強調一點：
上述解題思路獲得的這個“答案”其實還不是最終的答案，而只是個“猜想”，要想使其成為最終的答案，還必須對所做出的這個“猜想”進行證明；
但考慮到以小學的知識還不足以做出這個證明，所以不要求證明，但自己心裏一定要清楚，獲得的這個“答案”其實還只是個“猜想”。
三、另一道類似的題及其解題思路
其實在想通上面這道題之前，我曾看到過一個類似的題目：
僅用一條直線將下圖半徑均相同的5個圓分成面積相等的兩部分。
微信小視頻中刷到的題目
老實説，當時這道題我嘗試思考了好幾次都沒想出來。
但是在想通了上面那道題（一線平分兩個長方形的組合圖形）的基礎上，我也想到了這道題（一線平分5圓）的解題思路，二者有共通之處。
（我的習慣是，凡是沒見過的類型的題，第一次看到的那個題目，我非得自己獨立思考將其破解不可，一時想不出來時我寧願將題目截圖保留而以後再去想、也不會急於往下看人家的解題方法和答案，直到我自己想出瞭解題思路才會在再遇此類題時看看人家講得怎麼樣。我的手機圖庫裏現在還有不少我還沒想通透的題目，不過是中學的題目佔絕大多數，小學的題目只有三五個。這一經驗希望其他家長予以借鑑，因為只有你自己獨立思考了，無論是否想到了答案及其解題思路，你才能對孩子有“同情之理解”，也才能更精準地體察孩子在思考時可能在什麼地方會卡頓，然後給予針對性的引導或提示，如此才能更好地培養孩子自主思考的勇氣、信心和能力。）
這道題的第一種的幾個解題思路是按照上述“解題思路一”——核心是“對稱軸”——想到的，之後又受其啓發而想到了其它種的解題思路。
以下簡述之。
解題思路一
以“對稱軸”為核心可以得到一種解題思路。
1、將原圖形想象為上面兩個圓挪動到落在下面三個圓的中間那個圓的上面的特例，在這個特例圖形中，有一條對稱軸即縱向居中的一條直線，準確地説，是上面兩個圓相切的點（跟孩子可以説成是兩個圓剛剛好捱上也即有且僅有有一個點捱上的那唯一一個點）與下面三個圓中中間那個圓的圓心點的連線所在的直線。
2、再想象將上面兩個圓挪動回原來位置，“觀察”、思考對稱軸的移動軌跡，發現其中不變的“點”還是上述兩個點。
3、判斷（猜想）：能將圖中5個相同的圓的面積平分兩半的直線就是上面一行兩圓的切點與下面一行中間圓的圓心的連線所在的直線。
這種解題思路還有其它幾個，比如：將最右邊那個圓上移到兩行圓的中間，然後也得到一條對稱軸，繼而如法炮製即可，得到另一條能平分5個圓的面積的直線。
解題思路二
以“中心點”為核心，可以得到另一種解題思路，也是可以有好幾個。以下試述其中一個。
1、以左側4個圓為一個整體——稱為圖形左部，其“中心點”——即過該點的任意一條直線均能將這個整體圖形的面積平均分為2等份——記為A點（4個圓圍成的中間“海星”形區域的中心位置）；以右側的單個圓為圖形右部，其“中心點”——過該點的所有直線都能將圓的面積均分兩半——為圓心記為B點。
2、將過A點的一條直線進行旋轉，使其也經過B點，則這條直線——同時過A、B兩點也即A、B兩點的連線——同時均分圖形左部和圖形右部，這即是説，直線AB能將5個圓的面積均分兩半。
3、判斷（猜想）：能將圖中5個圓的面積平均分為2等份的直線是A、B兩點連線所在的直線。
其它解題思路
……
另需説明：上述解題思路得到的直線仍然不能稱為真正的答案，而還只是個猜想，需要經過證明後方才是真正的答案。
四、一時想不出解題思路無需氣餒，或許靈感會在另一時間另一情境下不期而遇地閃現
所謂“他山之石，可以攻玉”，誠如是也，古人誠不我欺也。
通過我解決上述第二道題的經歷，我們可以得到一個認識：
有時候我們解決不了某個問題不是我們的能力不行，而是暫時沒有解決思路，而獲得解決思路是需要靈感的，只要不放棄思考，這個靈感説不定什麼時候在其它的情境下就突然閃現了。
進一步講，科學史那些偉大科學家一生研究的問題肯定很多，但其取得的重大研究成果往往就那麼一個或幾個，而ta做不出的一些大問題被同時代或其後的其他科學家做出了重大研究成果，這是前者比後者笨嗎？並不能這麼説，因為後者也可能做不出前者獲得重大研究成果的那個大問題。
即使是愛因斯坦，在其從事科學研究的初期，他所做的幾個問題都不算重大，然而他卻沒有得出什麼有價值的成果，發表的幾篇論文中，有些結論還是不太正確的。但他後來研究電動力學的問題，卻做出了劃時代的狹義相對論，隨後又用十餘年的時間將狹義相對論發展為廣義相對論。
我的意思是説，某些人對某些問題就是敏感且能得到解決問題的靈感，不能解決某些問題只能説明對這類問題不敏感而沒有靈感，説明不了什麼問題，尤其是不能説明ta笨。
我之前研究科學史和科學哲學時寫過一篇小文章（隨想），也談到了類似的問題。
觀察者網風聞社區貼文截圖
“後人證明了某個猜想，是由於提出猜想的人比後來給其證明的人的演繹推理能力差嗎？”（演繹是邏輯中的一種，演繹推理能力大概是所謂智商/聰明的一大表現）
我問問題的方式其實已經表明了我的觀點。
帖文中提到的我女兒二年級時的一個“發現”，其實就是兒童對問題的敏感激發了靈感而得到的（參見：以二年級女兒的一個獨立發現為指引得到可推導出九九乘法表的一組公式），我們大人對“九九乘法表”早就見慣不怪甚至麻木了，哪有什麼心思去關注其中有什麼奧妙呢。
我在一篇討論《幾何原本》的文章中也討論了有關猜想的問題，在該文的“導讀”中我説道：
對於“演繹”的祛魅，本文從一個鮮有人想到過的視角提出了一個貌似愚蠢的問題，即《幾何原本》的書寫結構為什麼是“命題+證明（演繹+公理）=命題”而不是“公理+演繹=命題”呢——也即：為什麼並非從公理出發直接演繹推導出命題，而是先給出命題然後才用演繹推導去證明呢？繼而引入“命題的‘確立’”、“命題的‘獲得’”、“命題的‘證明’”、“命題的‘正確性保證’”、“證明方法的‘獲得’”五個概念/表述，並從文本證據和論理兩方面試着證明如下觀點：第一，《幾何原本》中“命題的‘確立’”並非直接從公理出發經過演繹推導得出命題來完成的——即同步完成“命題的‘獲得’”（從公理直接推導而來）和“命題的‘正確性保證’”（由演繹邏輯的保真性推理特性來保證），而是“命題的‘獲得’”在先——即已先有了命題，然後再給出“命題的‘證明’”，也即是説，命題並非演繹的方式得來，而是以“其它方式”“獲得”的，這個“其它方式”是（在與事物打交道——實踐或研究——過程中的）“發現”或“歸納”或“直覺、靈感、想象力”；第二，在“命題的‘證明’”階段，也並非直接從公理出發按照演繹邏輯進行推導就完成了“命題的‘證明’”，而是“證明方法的‘獲得’”在先——即先有了證明方法，然後才能根據證明方法展開演繹推導的過程完成“命題的‘證明’”，也即是説，“命題的‘證明’”也並非完全的演繹，而是先有以“其它方式”實現“證明方法的‘獲得’”，然後才有以演繹的方式完成證明過程，這個“其它方式”是“直覺、靈感、想象力”；第三，類比説明，給定已知（公理、公設、定義及由其得到的定理）——不妨比喻為一個個不同種類的珠子，你怎麼知道要擇取哪些珠子並用什麼樣的線索——即演繹邏輯鏈路——串起來就一定能得到一個事前還不知道是什麼的命題呢，猶如射箭，無的放矢顯然不靠譜，只能有的放矢，“的”就是命題，“放矢”就是證明，“放”就是證明方法——如何“放”是靠感覺的，“矢”在空間中行進的軌跡就是演繹邏輯鏈路，且在你感覺到如何“放”時就已經決定了；第四，總結前三點，演繹在命題的確立中雖然至關重要、必不可少，但其重要性和發揮作用的次序只能排在第三位。理解這些觀點可用中國象棋類比，車走直線、馬走斜日、炮需炮架等規則相當於公理、公設、定義，各種將死對方的招數就是命題，命題的證明就是按照規則一步步走棋直到將死對方，這個一步步走棋的過程就是演繹推導，招數是無數象棋高手從下棋實戰中“發現”的，所謂的證明，一般簡單的一眼就能看明白的我們不會要求去演示——即非得證明一下，只有一些複雜的棋局我們才會去演示——即證明。對於“公理化”的祛魅，本文指出，所謂“公理化體系”只是整理已知的一種寫作方式或者説行文架構，而並非是獲取新知的（主要）方法，並以門捷列夫《元素週期表》作類比，其將各元素進行排列的方式猶如《原本》將各個命題組織起來的行文架構即所謂的“公理化體系”。
五、小結
總之，我要表達的意思是：
第一，遇到難題需要大膽地去猜想；
第二，猜想大多依賴於靈感，雖然靈感可遇不可求，但要耐心等待其閃現，而其前提是不要放棄思考，有可能在其它時間其它情境中就不期而至了；
第三，總有一些題目是我們想不到解題思路的，不必灰心沮喪，這不能説明我們笨，那些大科學家也有搞不定的問題且這些問題反而被與其相比沒那麼大牌的科學家所解決了，正所謂“尺有所短、寸有所長”；
第四，對於我們獨立思考想不到解題思路的題，不能僅僅滿足於“知道”其解題方法，也不能滿足於“理解”該解題方法，而要深入地去搞清楚人家的解題思路到底是怎麼來的。
這些道理需要講給孩子聽，然後在實踐中去一點點領會。
— 完 —
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之前創作過《小學數學“教-學”探索・習題篇：習題的思考與作答》的小冊子（主要是為畢業班即將面臨小升初考試或初中入學分班考試的孩子們所寫的一個主要用於救急的專題），其全部文章在其“結語”一文中有附超鏈接：