沃爾夫獎得主伊藤清：我是如何開始概率論研究的？_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！04-04 14:12
日本數學家伊藤清教授因在概率論方面的奠基性工作而獲得了1987年的沃爾夫獎，並於1998年獲得京都獎，2006年獲得首屆高斯獎。
伊藤清的工作集中於概率論，特別是隨機分析領域，他被譽為“現代隨機分析之父”，因他命名的理論有伊藤引理、伊藤積分、伊藤過程等。他的研究不僅推動了現代數學的發展，還對物理學、經濟學、統計學等學科產生了深遠影響。
在其思想文集《世界是概率的》一書中，伊藤清回顧了自己早年是如何開始研究數學，尤其是深入研究概率論的。
撰文 | 伊藤清
刻骨銘心的話語
那是在我上小學一二年級時候的事情。我的朋友 I 有一個在高等女子中學（相當於現在的初中）讀書的姐姐。她的成績非常優秀，是我崇敬的對象。或許我也曾向她請教過複雜漢字的讀法等學習方面的內容吧，不過我一點印象也沒有。但她對我説過的一句話，在 55 年後的今天，依然清晰地刻在我的心中。有一次她問我哲學是什麼，我自然回答“不曉得”，而後她給我看了字典，説：“哲學是一門研究宇宙的原理與法則的學問。”我不認為當時只有小學一二年級的自己可以讀懂這些字，更不要提理解這句話的意思了，但這些都沒有妨礙它成為我一生都無法忘卻的一句話。進入（舊制）中學之後，雖然我知道了這句話中每個字的寫法，但第一次寫下這句話，卻是在寫這篇文章的時候。
當時的中學課程中並沒有開設哲學這個科目，可上了高中（舊制八高）後，哲學則成為學生們之間的潮流文化。笛卡爾、康德、叔本華、馬克思、唯心論、唯物論、觀念論等哲學之談不絕於耳。文科生中不乏有研讀康德《純粹理性批判》德語原版書的熱忱之士。我也難免捲入這哲學的旋渦中，與別人激烈地進行討論。但坦白講，哲學青年之間的討論太過主觀和注重精神層面，有些形而上。作為理科生，我感覺這類東西無法真正滿足我的內心。我下意識地覺得，I 的姐姐所説的“研究宇宙的原理與法則的學問”，是一種更加客觀的哲學，那樣的哲學才是我想學習的。
我第一次觸碰到類似“研究宇宙的原理、法則的學問”，是我在高中三年級和大學（東京大學理學部數學專業）學習“牛頓力學與微積分的關聯”的時候。落體運動、拋體運動、天體運動，全部可以依據牛頓三大運動定律和萬有引力定律，通過解微分方程確定下來。我感慨萬千，這不就是“研究宇宙的原理與法則的學問”嗎？宇宙雖然是包括自然界、人類世界等森羅萬象的總稱，但直觀上的宇宙總是讓我們想到繁星閃爍的無窮空間。如果説無數星體的運動都遵從牛頓的微分方程，那微分方程就是 “宇宙的原理與法則”吧。後來，當瞭解到流體力學、電磁學也可以用偏微方程來描述，我便確信數學就是我在追尋的“研究宇宙的原理、法則的學問”。
然而，當時數學的主流是抽象的純粹數學，即研究數學概念的邏輯結構。像 18 世紀、19 世紀那樣，去研究宇宙的原理與法則的數學，則是數學界的支流。雖然我對純粹數學也有興趣，但是總覺得純粹數學無法帶給我牛頓力學曾給予我的那種感動。當時的熱力學、統計力學，像理論物理學的其他領域一樣，還沒有從數學上得到系統性整理。這是因為與這些領域密切相關的數學手段——概率論尚未得到充分發展。我大學畢業時，概率論終於具備了大致的數學形態，我也對這方面的研究產生了濃厚的興趣。我隱約感覺，這個領域能夠實現 I 的姐姐所説的“哲學”。就這樣，隨機過程論成了我的研究方向。幸運的是，這一理論後來引起了數學家的普遍關注，在 40 年間獲得飛躍性發展，而我也在這個過程中享受着研究的樂趣。我大學畢業不久後，就走上了隨機微分方程的研究道路，我想這也是 I 的姐姐那句話的指引吧。
數學分為純粹數學與應用數學。純粹數學的着力點在於研究數學概念的邏輯結構。應用數學，我認為是為了描述“宇宙的原理、法則”而構建出的數學。在我的研究過程中，我愈發感受到這一點，並覺得應用數學應該稱為“數理科學”或者“數理解析學”。
仔細想來，“研究宇宙的原理與法則”這種客觀的態度，並不屬於哲學家，而屬於數理解析學研究者。哲學的考察包括主觀、客觀，是一種內面性的東西。我高中時期遇到的那些哲學青年，他們的哲學就是這種意義上的哲學。I 的姐姐告訴我的那種“哲學”，與其説是哲學，不如説是“數理解析學”。我從“哲學”“純粹數學”之間跋涉而來，終於找到了“數理解析學”之路。現在，我在京都大學的數理解析研究所工作，想必這也是 I 的姐姐那句話在我心底生根的結果吧。
與 I 的姐姐的那次對話後，我們就沒有再見過面。根據我的年齡來計算，她應該已近古稀之年。最近，我參加了一次中學的同學會，偶然得知她是同學會會長 W 的妻子。時隔 55 年，我們在電話中再次對話，彼此都產生了一種莫名的懷念之情。那個時候，她給我看的辭典是《言海》。我找來當年那一版《言海》，翻看“哲學”詞條的釋義，結果發現辭典中並沒有“研究宇宙的原理與法則的學問”的描述。如此想來，那應該是她用自己的話給出的解釋，而我就是跟隨那句話的指引，一直在研究的道路上前行，真是令人無限感慨。
數學研究剛剛起步的歲月
1938 年，我從東京大學理學部數學專業畢業。從這一年到我獲得名古屋大學助教職位的 1943 年，我居住在東京，就職於大藏省內閣統計局。我的數學研究正是起步於這 5 年。
乍一看雜亂無章的現象中藴藏着統計法則這一事實，自學生時代就十分吸引我，我有一種模糊的感覺，這類問題要靠概率論這一數學分支來解決。於是，我從大三便開始閲讀概率論相關的論文和著作，在此過程中，漸漸掌握了統計法則中的數學本質。只是當時的研究對於隨機變量這個基本概念只做了直觀説明，並沒有給出明確的定義，難免給人一種不足的感覺。
基於嚴密的定義創建數學體系在現在看來是理所應當的，但這一理念覆蓋整個數學領域還是最近的事。即使是微積分學，也是在 19 世紀末嚴密定義了實數之後，才稱得上是一個現代數學體系。我有幸學習了這一體系下的微積分學課程。但是，當時概率論相關的論文和著作，並不是在這樣的現代數學的角度下完成的。按微積分學的發展來類比的話，這些論文和著作還停留在 19 世紀。
我在煩惱該如何定義隨機變量這一概率論的基礎概念時，發現了蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫所著的《概率論基礎概念》一書。其實，在大一時我就曾在丸善書店看到過這本書，但當時我對它毫無興趣。大學畢業後再次與這本書相遇時，我便知道它能滿足我的求知慾，於是一口氣把它讀完了。書中將隨機變量定義為概率空間中的函數，通過引入測度論嘗試將概率論體系化。站在這個全新的角度後，一直以來朦朧不清的東西就如撥雲見日一般明朗起來，由此我也確信概率論確實是現代數學的一個分支。
打好基礎後，接下來便是概率論的內容了。當時大部分的研究將重點放在了統計法則的數學分析上，研究獨立隨機變量序列的行為。拿微積分學來説，這部分內容就好比級數理論。當然概率論的內容更難，也更豐富，但與當時數學中的其他分支比起來還是略顯單薄，讓人難以全情投入。
我對概率論的內容真正產生興趣是在拜讀了法國數學家保羅·皮埃爾·萊維（Paul Pierre Lévy）在 1937 年提出的關於獨立隨機變量之和的理論之後。該理論是向隨機過程（概率論中的一個概念，相當於微積分學中的函數）的正式研究邁進的一大步，我從中找到了新概率論真正的本質，決定傾盡全部深入研究。
如同大多數開拓者所做的工作那樣，萊維的理論中有很多地方也是憑直覺來敍述的，晦澀難懂。我使用美國數學家杜布（Doob）引入的正則化這個概念，試圖將萊維的理論以柯爾莫哥洛夫式的嚴密的敍述風格來改寫。經過諸多嘗試，我最終實現了這個目標。這就是我最初發表的論文，現在大家已經習慣用我的方法來敍述萊維的理論了。
萊維的理論雖是針對獨立增量過程的研究，但以此為起點，我也開始逐漸研究一般化的馬爾可夫過程。在這些研究中，柯爾莫哥洛夫的研究與偏微分方程有很深的關聯，這一點着實吸引着我。我想將這個研究，按萊維對獨立增量過程的理解，整理成自己可以接受的形式。在思考過程中，我找到了隨機微分方程這一方式。這是我後面研究的出發點，也是我現在仍在研究的內容。論文在最初發表時並未受到太多關注，但從十幾年前開始，不斷有研究者為這個理論的發展做出貢獻，現在它已成為概率論中非常重要的部分。
我一直貫徹着按自己的做法解決自己想研究的問題這樣的態度，只因自己的性格就是如此，所以沒少走彎路，也時常苦於無法很快拿出成果。在摸索的過程中支撐着我的，便是我的恩師彌永昌吉先生。
彌永老師雖致力於數論的研究，但也擁有縱貫數學整體的廣闊視野。在研究還未成型的階段，即使我只將腹案告訴彌永老師，老師也會悉心聽取，並給我很好的啓發。有時他還會勉勵我説：“你有自己想要解決的問題，有自己想創立的體系，這一點非常好。”若是沒有這些飽含温情的話語，我恐怕已然受挫。藉此機會，我也想向恩師表達最誠摯的謝意。
本文經授權轉載自微信公眾號“圖靈教育”。
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