示範一・戒除“數形結合”、迴歸純正算術方法或許更能培養孩子抽象思維的意識及其能力_風聞

按：在小學數學的教學中，無論老師還是學生，大家都普遍滿足於甚至是沉溺於用“數形結合”去解題，亟需撥亂反正。在下不才，欲戰大風車。另外，訂正一個筆誤或説表述不當之處：在《數學玩的就是抽象，數形結合有害於抽象思維的培養-例1》一文的第“二”節的小標題中我用了“運用抽象思維思考並僅僅在腦子裏想並想出解題思路”的表述，這個表述是不確切的，“僅僅在腦子裏想”的表述由於急切想強調“抽象思維”而用力過猛了；當然，雖然“僅僅在腦子裏想”也不是不可以，但要腦子特別清楚、特別好使才行，反正我是不行，我得將我寫的那個思路在稿紙上用簡潔的語言寫出來才能理得清；所以，這個表述應該修改為“運用抽象思維思考並探索出解題思路”。

引言

在“雜談篇”談“小學數學取消方程的內容是否合理”的文章中，筆者鮮明地指出，“數形結合”的本質及其背後的基礎其實就是代數思維下的方程，而有意或無意地忽視這一點並假裝其為算術思維的行為其實是掩耳盜鈴、自欺欺人。

在“題海拾貝篇：以求學問之心講有學問之題論講題之學問”篇的“數學玩的就是抽象，數形結合有害於抽象思維的培養”這一單元的首篇文章中，筆者談到，“數學的最大特點之一就是抽象，而且近現代發展起來的數學越來越抽象，……，學好數學尤其是近現代數學不僅是進行數學研究也是進行科學和技術研究的基礎與關鍵”，並簡要論述了“‘數形結合’有害於抽象思維的培養”的道理，並舉一道題為例做了如何不用“數形結合”而僅僅運用抽象思維思考出解題思路的示範。

筆者雖然認為代數和方程的內容應該在小學階段就教學（而不應該如2022版新課標那樣將其推延到初中，因為：其一，孩子們完全有能力接受和學習這方面的知識；其二，需要學習的數學知識太多了，不能浪費寶貴的學習時光），但在此之前的算術是數學的基礎因而非常有必要認真地學。何謂認真的學算術？那就是以算術的思維方式去學算術，反應在習題上，就是以純正的算術思維的方法去解題，而不是如“數形結合”那樣其實是用形象思維+代數-方程思維的方法去解題。

以算術方法解決算術問題能很好地培養抽象思維的意識和能力，因為純正的算術方法的基礎就是運用抽象思維去思考。

鑑於“題海拾貝篇：以求學問之心講有學問之題論講題之學問”篇的文章中計劃收錄和討論的習題是有學問的題或者説是筆者能講出一些學問的題，而這種題其實不多或筆者所見不多，但大量的算術習題又值得講一講，因為大家普遍都滿足於甚至是沉溺於用“數形結合”去解題，故而需要撥亂反正。

因此，特另闢一個名為“戒除‘數形結合’、迴歸“抽象思維””的系列（就不叫專題了吧），對用純正的算術方法破解算術習題以培養抽象思維做一些探討性的示範。

一個人把在學校學到的東西全都忘掉之後，剩下來的才是素質（教育）。

——阿爾伯特・愛因斯坦

（Albert Einstein，1879年3月14日-1955年4月18日）

本文要講解的例題如下，各位可以先行自己思考一下（試試不用“數形結合”的方法能否有解題思路），這樣閲讀本文時感受會更深切。

例1

若：32 +（）= 46 -（），問：“（）”內填幾。

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一個“名校+學霸+資深”型的教者（“KK”）

其“數形結合”解法中的代數-方程思維若有意識去看則非常明顯（若無此意識，則請參見“將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才？兼論現實教學中的掩耳盜鈴”一文第“二”節“現實版‘掩耳盜鈴’”中的論述），在學習了代數-方程及其解法（“方程”關鍵的是其中的代數思維，其解法相對簡單，無非“移項”和“合併同類項”——其本質是依據等式的性質對方程等式兩邊進行同一運算的操作比如等式兩邊同時加上或減去一個數或代數後等式依然成立或者説前後兩個等式是“等價”的）後根本用不着這種實為畸變怪胎的“數形結合”法。

二、“算術思維”示範****

以下是運用“算術思維”（其基礎是“抽象思維”）思考出該題的解題思路及其答案的詳細思考過程，以及答題表述（可省略其中的“∵”、“∴”。另：由於題設中已經用了代數，故而在答題表述即列算式時不得不帶着這些代數符號，形式上看確實與代數運算或方程解法中的“移項與合併同類項”無異，但其中的思維卻仍然是貨真價實的算術思維）。

題設：32 +（）= 46 -（），問：“（）”內填幾。

思考過程

【最笨也相當有效的方法是，以數（shǔ）數（shù）的方式去試算，其過程：46-1=45，32+1=33；46-2=44，32+2=34；46-3=43，32+3=35；……；46-6=40，32+6=38；46-7=39，32+7=39。】

等式“32 +（）= 46 -（）”可理解為：若甲有32顆糖果，乙有46顆糖果，那麼，乙拿出幾個糖果給甲後，甲、乙就有一樣多的糖果即甲、乙的糖果數相等。

甲、乙糖果數相等時二人的糖果數是多少呢？或者説，這個相等的數是多少呢？

一共是78（32+46=78）顆糖果在甲、乙之間分配，兩人數量相等時，則各有39（78÷2=39）顆。

故：32 +（）= 39，46 -（）=39。

取：32 +（）= 39

則：“（）”內填的數為7（32+7=39，或39-32=7）。

答題表述

∵32 +（）= 46 -（）

∴32 +（）=[32 +（）+46 -（）]÷2

∴32 +（）=78÷2

∴32 +（）=39

∵32+7=39，或，39-32=7

∴“（）”內填的數是：7。

                               

例2

若：（8-◯）/（12+◯）=1/3，問：“◯”是幾（或裏面填幾）？

【原題寫為分數/分式的形式，受限於編輯問題，無法呈現】

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一個“資深”型的教者（“梁姐”）

其“數形結合”解法中內涵的代數-方程思維若有意識則一看便知（若無此意識，則請參見“將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才？兼論現實教學中的掩耳盜鈴”一文第“二”節“現實版‘掩耳盜鈴’”中的論述），在學習了代數-方程及其解法（“方程”關鍵的是其中的代數思維，其解法相對簡單，無非“移項”和“合併同類項”——其本質是依據等式的性質對方程等式兩邊進行同一運算的操作比如等式兩邊同時加上或減去一個數或代數後等式依然成立或者説前後兩個等式是“等價”的）後根本用不着這種實為畸變怪胎的“數形結合”法。

二、“算術思維”示範

以下是運用“算術思維”（其基礎是“抽象思維”）思考出該題的解題思路及其答案的詳細思考過程——若干種，以及答題表述（可省略其中的“∵”、“∴”。另：由於題設中已經用了代數，故而在答題表述即列算式時不得不帶着這些代數符號，形式上看確實與代數運算或方程解法中的“移項與合併同類項”無異，但其中的思維卻仍然是貨真價實的算術思維）。

第一種

題設：（8-◯）/（12+◯）=1/3，問“◯”是幾？

思考過程

【“8-◯”是8減去◯的結果也即8與◯之差，此差（值）是一個數，故而可將“8-◯”視為一個數（或者可理解為將“8-◯”看作一個整體視為一個數）；同理，可將“12+◯”視為一個數。因此，原式可理解為：以這兩個數分別為分子和分母的分數經過運算即約分後的結果是1/3。】

等式“（8-◯）/（12+◯）=1/3”可理解為：等式左邊分數的分母是分子的3倍，也即“12+◯”為“8-◯”的3倍。

【根據倍為乘法及乘法的本質是加法的簡便運算的道理，我們可知：若甲數為乙數的3倍，則甲數為乙數乘以3的積，也即甲數為3個乙數的和，則有甲數與乙數之和（即“甲數+乙數”）為4個乙數的和，也即甲數與乙數之和（即“甲數+乙數”）為乙數的4倍。】

“‘12+◯’為‘8-◯’的3倍”可轉換為“‘（12+◯）+（8-◯）’為‘8-◯’的4倍”。

又（12+◯）+（8-◯）=20，故20即為“8-◯”的4倍。

則8-◯=20÷4=5，即8-◯=5。

那8減幾等於5呢？減3。

故：◯=3。

答題表述

∵（8-◯）/（12+◯）=1/3

∴（12+◯）+（8-◯）=（8-◯）×4

∴（12+8）+（◯-◯）=（8-◯）×4

∴20=（8-◯）×4，即：4×（8-◯）=20

∴（8-◯)=20÷4=5

∴◯=8-5=3

第二種

題設：（8-◯）/（12+◯）=1/3，問“◯”是幾？

思考過程

等式“（8-◯）/（12+◯）=1/3”可理解為：等式左邊分數的分母是分子的3倍，也即“12+◯”為“8-◯”的3倍。

【根據倍數關係，我們可知：若甲數為乙數的3倍，則從甲數中減去乙數後的差與乙數加乙數的和（也即乙數的2倍）是相等的（即“甲數-乙數=乙數+乙數=2乙數”，比如：甲的糖果數是乙的3倍，則甲再給乙一個乙的糖果數，那甲、乙二者就有相同的糖果數了；例如，6是2的3倍即6=2×3，則6-2=4，2+2=4，故6-2=2+2）。】

“‘12+◯’為‘8-◯’的3倍”可轉換為“（12+◯）-（8-◯）=（8-◯）+（8-◯）”，化簡（去括號，“合併同類項”——沒辦法，雖然我批判其中的代數思維，但題目已經用符號指代數了，只能這麼運算了）得：4+2◯=16-2◯。

【將“2◯”視為一個數（或者説視為一個整體）。】

等式“4+2◯=16-2◯”可理解為：16減“幾”（即“2◯”）的差與4加“幾”（同一個“幾”，也即“2◯”）的和相等。

16減“幾”的差與4加“幾”的和相等，即此“差（值）”與此“和（值）”相等，這個相等的數為“16與4之和的一半（或“1/2”）”即“（16+4）/2=10”。

則4+2◯=10，16-2◯=10，二者等價。

取4+2◯=10來計算，則2◯=6。

故：◯=3。

答題表述

∵（8-◯）/（12+◯）=1/3

∴（12+◯）-（8-◯）=（8-◯）+（8-◯）

∴4+2◯=16-2◯

∴4+2◯=（16+4）÷2

∴4+2◯=10

∴2◯=10-4=6

∴◯=6÷2=3

例2的拓展題型

原題變換為如下形式：

若：（23-◯）/（12+◯）=2/5，問：“◯”是幾（或裏面填幾）？

【與原題類同應寫為分數/分式的形式，受限於編輯問題無法呈現】

分母已經不是分子的整數倍了【這意味着“若A÷B=M，則（A-B）÷B=M-1或（A+B）÷B=M+1”這個方法/知識不能直接用了】，怎麼辦呢？

還是要在分數的分子與分母之間的關係上想辦法、做文章。

思考過程

題設：（23-◯）/（12+◯）=2/5，問：“◯”是幾？

等式“（23-◯）/（12+◯）=2/5”可理解為：

將“12+◯”平均分為5份，且“23-◯”為其中的2份。

進一步可轉換理解為：

若將“（12+◯）+（23-◯）”平均分為7份，則“23-◯”為其中的2份。

而（12+◯）+（23-◯）=12+23+◯-◯=35

則“（12+◯）+（23-◯）”平均分為7份後的每份為：

35÷7=5

“23-◯”為其中的2份，則：

23-◯=2×5=10

23減幾等於10呢？減13（23-10=13）。

故：◯=13

答題表述

∵（23-◯）/（12+◯）=2/5

∴（23-◯）/[（12+◯）+（23-◯）]=2/7

即（23-◯）/35=2/7

∵35÷7=5

∴23-◯=5×2

∴23-◯=10

∴◯=23-10=13

例1+例2之小結

1、萬變不離其宗，此“宗”即：

根據基本概念、定義、性質/本質來構思、設計解題思路。

2、思路/方法的核心是：

構造一個等式，等式一邊為含待求之數的算式（即“含未知數的代數式”），等式另一邊為一個具體的數（值）——如何得到這個數（一般是將題設中幾個含待求之數的算式通過一定的運算轉化為一個具體的數）是思路/方法之核心中的核心。

                               

例3

某班有男、女生共計30人，男生的1/2和女生的1/3共13人。

問：該班女生有多少人？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一個“資深+名師”型的教者（“聶老師”）

其中的代數思維不值得浪費筆墨去批了，評論略過吧。

但其中的關於分數應用的講解值得討論一下：

她過分關注於以至於糾結於分數問題中的“單位‘1’”，故而在不同的“單位‘1’”之間反覆倒騰，將一個本來簡單的問題弄得過於複雜。

“單位‘1’”或許是個“雞肋”（食之無味，棄之可惜），雖不若“計數單位”那麼荒謬（參見：……計數單位，一個胡編亂造出來的多餘且荒謬的偽概念？兼談數位與數級兩個概念……），但也好不了多少，我可能會專門寫一篇來討論。

二、“算術思維”示範

以下是運用“算術思維”（其基礎是“抽象思維”）思考出該題的解題思路及其答案的詳細思考過程，以及答題表述。

題設：

某班有男、女生共計30人，男生的1/2和女生的1/3共13人。

問：該班女生有多少人？

思考過程

【這30人實則是分為了兩部分：其一為，男生的1/2和女生的1/3共13人；其二為，男生的1/2和女生的2/3共17人（30-13=17）。】

已知：男生的1/2和女生的1/3共13人，記為“A組”

則有：男生的1/2和女生的2/3共17人，記為“B組”

由於：B組比A組多4（17-13=4）人

並且：多出的4人全部為女生

並且：這4名女生對應全部女生的分率為1/3（2/3-1/3=1/3）

因此，全部女生人數為：4÷1/3=12人

故，該班女生有12人。

答題表述——詳細版

∵    男、女生共計30人

且：男生的1/2和女生的1/3共13人，記為“A組”

則：男生的1/2和女生的2/3共30-13=17人，記為“B組”

故：“A組”比“B組”多出的人數為：17-13=4人

且：“A組”比“B組”多出了女生的2/3-1/3=1/3

∴    該班女生人數為：4÷1/3=12人

答題表述——簡練版

解：

30-13=17

17-13=4

2/3-1/3=1/3

4÷1/3=12

答：該班有女生12人。

                               

例4

今年，媽媽的年齡是女兒年齡的4倍。16年後，媽媽的年齡是女兒年齡的2倍。問：女兒今年幾歲？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一個“學霸+示弱（揣着明白裝糊塗）型家長”型的教者（“思維訓練”）

就本題來説，其中的數量關係相對比較複雜，用一用“數形結合”（本質是其中的“代數思維”）尚算情有可原。

但本題即使是用“數形結合”也不是那麼容易的，關鍵是線段圖不好畫，視頻中小朋友沒有交代清楚為什麼要加畫兩段（以女兒今年年齡為一段作基準）而且這兩段就恰好就是16，不知道是小朋友“不屑於”講這麼“簡單”的“轉化”還是對此“轉化”其實“懵懂”（我幫小朋友補充説明一下：女兒今年年齡為1段，則媽媽今年年齡為4段，16年後媽媽年齡是女兒年齡的2倍，不要藉助“16”來畫線段圖——其實也畫不了因為“16”在這裏沒有指導意義，而是要從線段自身的長度關係來考慮，即：倒推來看，媽媽與女兒各自原有4段和1段，16年後媽媽的線段總長是女兒的線段總長的2倍，那各自都增加幾段才能滿足2倍的關係呢？1+2=3，4+2=6，6÷3=2，所以，二人都增加2段即能滿足，而此增加的2段表示的時長即為16年，故1段表示的是8年，此即女兒今年年齡）。

運用形象思維的“數形結合”法尚且如此不易，那運用抽象思維憑算術方法來思解此題當然就更不容易了，但“做難事必有所得”（金一南將軍語），還是應該按高標準、嚴要求去嘗試一下。

二、“算術思維”示範

以下是運用“算術思維”（其基礎是“抽象思維”）思考出該題的解題思路及其答案的詳細思考過程，以及答題表述。

題設：

今年，媽媽的年齡是女兒年齡的4倍。16年後，媽媽的年齡是女兒年齡的2倍。

問：女兒今年幾歲？

思考過程

為表述簡便，將女兒今年的年齡表述為甲數。

【可將題設中的各種年齡之間的關係抽象為不同數量之間的關係即數與數之間的關係。若將女兒今年的年齡表述為甲數，則甲數的4倍即為媽媽今年的年齡，而16年後，女兒的年齡可表述為“甲數與16之和”，媽媽的年齡可表述為“甲數的4倍與16之和”。】

今年

女兒的年齡為某數，不妨名之為“甲數”

則媽媽的年齡為：“甲數的4倍”

16年後

女兒的年齡為：“甲數與16之和”

媽媽的年齡為：“甲數的4倍與16之和”

已知：16年後，媽媽的年齡是女兒年齡的2倍

則有：“甲數的4倍與16之和”是“甲數與16之和”的2倍

可轉換理解為：“甲數的4倍與16之和”與“甲數與16之和”的差等於“甲數與16之和”

也即：“甲數的3倍”等於“甲數與16之和”（“甲數的4倍”可根據乘法本質視為“4個甲數之和”；二者做差即相減後，“甲數的4倍”即“4個甲數之和”減去“甲數”即“1個甲數”得“3個甲數之和”即“甲數的3倍”，“16”在二者相減中“被消去”即“16-16=0”）

又可轉換理解為：“甲數的2倍”等於“16”（3×甲數=甲數+16，即：甲數+甲數+甲數=甲數+16，則：甲數+甲數=16，即：2×甲數=16）

則：甲數為16÷2=8

故：女兒今年的年齡為8歲。

驗算：

16年後女兒的年齡為：8+16=24

16年後媽媽的年齡為：8×4+16=48

48÷24=2

無誤。

答題表述

解：

已知：16年後媽媽年齡是女兒年齡的2倍

並且：今年時媽媽年齡是女兒年齡的4倍

則有：女兒今年年齡的4倍與16之和是女兒今年年齡與16之和的2倍

易知：“女兒今年年齡的4倍與16之和”與“女兒今年年齡與16之和”的差等於“女兒今年年齡與16之和”

則有：“女兒今年年齡的3倍”等於“女兒今年年齡與16之和”

易知：“女兒今年年齡的2倍”等於16

因此，女兒今年年齡為：16÷2=8

答：女兒今年8歲。

——“示範一”完——

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