例2-唯有真實不虛的示範才能讓孩子領會猜想這一探索問題解決思路的常用且有效的方式_風聞

導讀：如圖，請證明“AQ+QB＜AP+PB”。

緒論

猜想之於科學和科學家的重要性毋庸贅述，小學數學的課標中也提到了要創造機會讓孩子去猜想，但在實際實施過程中，往往流於形式或過於淺薄。孩子們在其中鮮有收穫。

老師們總是正確地、符合邏輯的講解題目的解法，而或無意或有意地隱藏了其探索過程的痕跡。

這可能還真是具有某種數學“傳統”的意味：

在數學中，要講述真理是極其困難的，數學理論的形式化的陳述並沒有講清全部的真理。數學理論的真理更象是當我們在聽一些專家所做的漫不經心的隨口評述時，我們去捕捉專家評述的動因後才會感觸到的體味，當我們最終搞清楚典型的例子時，或是當我們發現了隱藏在表面化諸問題之後的實質問題時，我們才品嚐到數學之真。哲學家和精神分析學要解釋，為什麼我們的數學家習慣於系統地擦去我們走過的足跡。科學家們總是不理解地看待數學家的這種怪異的習慣，而這種習慣自畢達哥拉斯以來直至今天幾乎沒有改變。

——J. L. Casti

數學有一個本性的趨向——利用抽象和一般化——由此而將廣泛領域中的素材加以綜合與提煉，形成簡單而又統一的概念與方法，去處理各種各樣複雜的情況。這個過程有時被稱為‘壓縮’，有意思的是，這種很有效的知識形成過程卻對進行教學的數學家來説是一個障礙，他在這時必須擔當起‘解開壓縮’的角色，這樣才能讓那些自主研究學習能力不強的學生來逐漸理解數學。

——H. Bass

——以上兩段均轉引自：從歷史角度講現代數學

“猜想”可能也就是如此被隱藏了的。

“科學家常玩且善玩的猜想究竟是怎麼玩的之示範與猜想”這個單元，就是要揭開“猜想”的面紗，以我自己的“猜想”經驗現身説法並介紹我所知道的科學史上某些科學家如何猜想的經驗——當然，其中更多的仍然只是我的“猜想”。

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按：原文標題為”科學家常玩且善玩的猜想究竟是怎麼玩的之示範與猜想-例1“，鑑於原文的字裏行間有很多以小號和低亮度文字所作的註釋，所以建議閲讀原文。

想象力比知識更重要。

——愛因斯坦

例題2

孩子（四上）老師發的“每日一思”（學有餘力則做，不強求）

注

本文請容我假公濟私一下，要討論的這道題是孩子數學老師佈置的“每日一思”，孩子沒思考出來。原因之一當然可能是就是想不出來——破解這道題最關節處的靈思暫時不在她的敏鋭性所及範圍內，原因之二是沒來得及（作業太多了！！！）好好思考。有時間再想也不行，因為往往第二天或稍後老師就會講解，因而就失去了獨立思考的機會。所以，與其孩子老師蜻蜓點水般地講，不如我給孩子好好講解一下——通過讓孩子閲讀本文的方式，以引導孩子領會一番其中的學問。

本題指向的學問不僅在於“猜想”——且側重其中的“猜”即對於可能走得通的路徑的試錯性探索，還在於“表述”——如何用數學語言去論述（哪怕是顯而易見的東西，如本題所要説明/論證的）是一件需要閲讀、模仿進而自創的事情。

一、我自己獨立思考得出答案及其解題思路的詳情

剛開始看到這道題目，老實説，我有點生氣，因為這不明擺着的事情嘛（因為AP+PB＞AQ+QB，所以走Q村比走P村路程更近啊），為啥還要問為什麼並且還要用數學知識説明其中的道理，説明啥道理？老百姓都知道，走近道的話就要走弓弦路而不要走弓背路。

稍後一想，這個題目還是挺有意義的，可以讓孩子們初步接觸到“證明”這一數學上非常重要的一門功夫，即使是簡單到顯而易見的東西也需要通過數學證明來為其確定性奠定基礎。

那就想想怎麼來解答這道題吧。

題目所問的“為什麼”很好回答：

因為AQ+QB＜AP+PB，所以從A村到B村走Q村比走P村路程更近。

題目接下來的要求是：用所學的數學知識説明其中的道理。

要説明道理的就是為什麼“AQ+QB＜AP+PB”了。

其中的數學知識無非是“三角形兩邊之和大於第三邊”（我孩子知道要運用這個知識點，相信這也是絕大多數孩子都有的直覺）。

現在我們來對“AQ+QB＜AP+PB”做出證明——也就是題目所説的“説明其中的道理”。

首先我想到的是連接AB（圖略），然後根據“三角形兩邊之和大於第三邊”的知識點列出一組“不等式”（符號語言表達的數量關係，是“代數式”的形式，雖是“代數”，但由於有幾何直觀，孩子是能明白的），繼而發現這組不等式沒用，從中得不出我們想要的結果即“AQ+QB＜AP+PB”（因下文將詳述，故此處略）。

然後我想到的是連接PQ，然後同樣操作，繼而發現還是不行。

連續兩次碰壁，不免有點小小的沮喪。到底怎麼來證明呢？還有什麼辦法呢？繼續好好想想。

想着想着就想到了延長AQ並與PB相交，在圖上一畫出這條線（發現題目有“提示”，提示的也是這個路子。愚見以為不該提示，因為一提示就讓孩子們失去了在迷茫中探索、最後發現出路的機會了，也就失去了領略“山重水複疑無路，柳暗花明又一村”的那種“高峯體驗”的機會了），馬上就覺得有門兒了：

延長AQ（正如題目所提示的）交於PB，記其交點為M

看到這個輔助線一作出來，是否就恍然大悟了呢？但別急，後面如何表述仍需考究

因為作為中介、輔助的QM將在列出的一組不等式中呈現出交錯的狀態，而有此“交錯”，則對兩個不等式（分別對應構造出的兩個三角形）進行加法運算時就能消掉，進而得到“AQ+QB＜AP+PB”這一不等式。

試着列出不等式後，發現這條路走通了（因下文將詳述，故此處略）。

二、為孩子講解的解題思路以及其中的關鍵訣竅

為表述方便和嚴謹，儘量用了書面用語，且仿照了《幾何原本》中證明的格式【《幾何原本》這本書，之前為了寫《祛魅《幾何原本》｜《幾何原本》的“演繹”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中國象棋+元素週期表》這篇文章，我買了，張卜天的譯本，超厚的一大本。計劃帶孩子一起研讀的，可是我孩子現在還不夠“上道”——不喜歡數學、不愛思考數學問題（可能是被學校的數學教育折騰得興趣大減了）。“強按牛頭不喝水”，還是耐心等待她“覺悟”吧。我建議孩子還在一二年級的家長朋友們可以帶孩子一起研讀一下《幾何原本》，開卷有益。】。

解題思路

讀題、看圖：

1、郵遞員從A村送信到B村，總是走經過Q村的道路，不走經過P村的道路，這是為什麼呢？

這個“為什麼”顯而易見，因為從圖中可以直觀看出——也符號生活經驗常識即“弓弦路比弓背路更近”（其中的道理就是“三角形的兩邊之和大於第三邊”）：

從A村到B村走Q村比走P村的路程更短，因為線路AQB的路程比線路APB的路程要短，也即，線段AQ（從A村到Q村的距離/路程的長度）與線段QB（從Q村到B村的距離/路程的長度）的長度之和比線段AP（從A村到P村的距離/路程的長度）與線段PB（從P村到B村的距離/路程的長度）的長度之和要小；

用幾何語言來表述/表示就是：

AQ+QB＜AP+PB。

【這道題的問題屬於“幾何”問題。“幾何學”是數學中的一個分支學科，它是一門主要研究對象為“形”及其關係的學問（我們現在學的數學屬於屬於數學中的另一個分支學科或者説初步階段叫“算術”，“算術”是一門主要研究對象為“數”及其運算的學問）。每一門學問都有其獨具特色的語言，在幾何語言中，如AQ這樣的符號既表示/指代以A、Q為兩個端點的線段也表示/指代線段AQ的長度即端點A與端點Q之間的距離，且AQ與QA是“等價”的——在表示線段長度時則有AQ=QA。】

2、題目接着的要求是讓“用所學的數學知識説明其中的道理”。

説明其中的道理？説明什麼的道理呢？AQ+QB＜AP+PB。

説明“AQ+QB＜AP+PB”中的什麼道理？這其中的道理不是顯而易見的麼，還要説明？是的，雖然直觀可知，但為了驗證這一直觀認知究竟正確與否或者讓這一認知變得確鑿無疑，就需要講清楚其中的道理。講道理這個事情在幾何學中被稱為“證明”，“證明”是幾何學的一大特點。

【幾何學的特點，就是但凡不是公理或公設（所謂“公理”或“公設”就是最簡單、最基本、人所共知且接受並認可的道理），所有認知都要講清楚其中的道理，幾何學中稱之為“證明”，得到了證明的認知就成為“定理”，這些“定理”與公理和公設一起就成為證明其它更多認知的前提和基礎，也就是我們説的“知識”。】

那用什麼數學知識來證明“AQ+QB＜AP+PB”呢？直覺告訴我們，這個數學知識就是“三角形兩邊之和大於第三邊”（孩子們能想到也一定能直覺到的就是這一條知識，因為剛剛學過或才學過不久）。

【其實“三角形兩邊之和大於第三邊”這條知識就屬於前面提到的“定理”，這一“定理”其實也是需要用公理和公設去證明的，只不過它要被經常用到，而且是初學者就要學習它的證明的，所以以後再用它就不用再重複其證明了——因為但凡學過一點幾何的人都知道它是確鑿無疑的了。其證明方法之一（有多種證明方法）的核心是：運用“兩點之間線段最短”的“公理”去構造證明。“構造”這種表徵數學乃至於科學中的一個重要理念——具有方法論的意味——的詞彙一定要多多跟孩子表達，孩子當下懂不懂不要緊，要緊的是要讓這一詞彙早早地進入他們的腦子裏，以後機緣到時，孩子自會有所領悟。猶如先播種然後靜待其發芽。】

3、現在我們就來用“三角形兩邊之和大於第三邊”這個知識/這條定理來證明“AQ+QB＜AP+PB”。

（1）要用這個知識，就要先找三角形，且三角形中有我們要證明的目標即“AQ+QB＜AP+PB”中的元素即“邊AQ、QB、AP、PB”。

（2）最易於發現的含有“邊AQ、QB、AP、PB”的三角形就是連接A、B兩點後得到兩個三角形即三角形APB和三角形AQB，且這兩個三角形共一條邊AB。

運用“三角形兩邊之和大於第三邊”這條定理寫出分別對應於兩個三角形的兩組（每組三個）不等式：

【兩個/組數量——各個/組數量用一個數或一個算式表示——的關係是相等時用“＝”連接兩個/組數量關係而建立的式子叫等式，不相等時用非等號如≠或＞或＜或≥或≤或……連接而建立的式子叫不等式。】

在三角形APB中

AP＋PB＞AB

AP＋AB＞PB

AB＋PB＞AP

在三角形AQB中

AQ＋QB＞AB

AQ＋AB＞QB

AB＋QB＞AQ

【根據前文已作之説明，AP這樣的符號在不等式中表示的是線段AP的長度即端點A與端點P之間的距離，PB、AQ、QB、AB同理。後文同。】

接着要對這兩組不等式進行運算，運算方式有：

運算方式之一：基於“加法”的運算。

【即：將兩個不等式的左右兩邊加起來，或者説，將一個不等式的左右兩邊分別加到另一個不等式的左右兩邊，不等式仍然成立——其中的“＞”關係不變。】

運算方式之二：基於“傳遞性”的運算。

【所謂“傳遞性”即如：若a＞b，b＞c，則a＞c，其中的“＞”可替換為“＜”、“=”、“≥”、“≤”】

運算方式之三：似乎沒有了。

經過審查和運算（可眼觀心算，也可以稿紙上筆算），我們發現從中得不到我們想要的不等式，即：

AQ+QB＜AP+PB，或，AP+PB＞AQ+QB。（兩個不等式是“等價”的）

這説明連接A、B得到的兩個三角形的這條路走不通。

此路不通，我們就另尋別的路。

（３）易於發現，連接PQ也能獲得含有“邊AQ、QB、AP、PB”的兩個三角形即三角形APQ和三角形BPQ，且這兩個三角形共一條邊PQ。

運用“三角形兩邊之和大於第三邊”這條定理寫出分別對應於兩個三角形的兩組（每組三個）不等式：

在三角形APQ中

AQ＋PQ＞AP

AP＋PQ＞AQ

AP＋AQ＞PQ

在三角形BPQ中

BQ＋PQ＞BP

BP＋PQ＞BQ

BP＋BQ＞PQ

接着要對這兩組不等式進行運算，運算方式與前述相同。

經過審查和運算（可眼觀心算，也可以稿紙上筆算），我們發現從中也得不到我們想要的不等式，即：

AQ+QB＜AP+PB，或，AP+PB＞AQ+QB。（兩個不等式是“等價”的）

這説明連接P、Q得到的兩個三角形的這條路也走不通。

此路也不通，那我們就得再次另尋別的路。

（4）還有什麼別的路呢？前兩次嘗試雖然沒有成功，但其中的構建三角形的思路是沒問題的，接下來還得構造三角形。

還能構造怎樣的三角形呢？

我們再認真審一下圖。

連接A、B與連接P、Q分別構造出的兩個三角形都試過了，不行。

那還能如何構造出另外兩個三角形呢？

想啊想，想啊想，突然"想到"（或：發現、“直觀”到）延長AQ與PB相交也能得到兩個三角形。

終於又找到一條路了，雖然不知能不能走通，但通不通只有走了才知道。那我們就來試試看這條路能否走通。

（5）延長AQ使其與PB相交，記交點為M，如下圖。

這就構造出了兩個三角形，即：三角形APM，三角形BMQ。

運用“三角形兩邊之和大於第三邊”這條定理寫出分別對應於兩個三角形的兩組（每組三個）不等式：

在三角形APM中

AM＋PM＞AP

AP＋PM＞AM

AP＋AM＞PM

在三角形BMQ中

BQ＋MQ＞BM

BM＋MQ＞BQ

BM＋BQ＞MQ

接着要對這兩組不等式進行運算，運算方式與前述相同。

我們先分別在兩個三角形得到的不等式中各取一個，對照圖示按直覺取這一對：

AP＋PM＞AM    …………(1)

BM＋MQ＞BQ    …………(2)

【為何偏偏取這一對？直覺。但直覺也必然有一定依據的，此依據為：這兩個不等式相對來説更自然，即，兩個相對短的邊的和大於最長的邊的和。其實，我自己在探索解題思路時，在第（2）、（3）步中，並沒有列出所有的不等式，而也是隻對”更自然“的那一對不等式進行了運算驗證。當然，如果當前這第三條路能通還則罷了，算是撿了個便宜、偷到了懶；如果當前這第三條路也走不通，並且一時又實在找不到其它的可走的路，那還得回到第（2）、（3）步中（當然也包括正在走的這條路的這一步），去將未列出的不等式列出來，並對其進行運算驗證，如果它們確實還是不能達到目標即得出所要的不等式，那就説明，我們的確應該還要另尋出路。】

對這一對不等式進行運算。

先對其做加法，得：

【將（2）式的左右兩邊分別加到（1）式的左右兩邊，不等式仍然成立即其中的“＞”不變。】

AP＋PM+BM＋MQ＞AM+BQ  …………(3)

由圖可知：

AM-MQ=AQ    …………(4)

則將式(3)左右兩邊同時減去MQ，不等式依然成立

BM+MQ+AP+PM-MQ＞QB+AM-MQ  ……(5)

將式(4)代入式(5)並運算化簡得：

BM+AP+PM＞QB+AQ  …………(6)

又由圖可知：

BM+PM=PB    …………(7)

將式(7)代入式(6)並運算得：

AP+PB＞QB+AQ    …………(8)

也即：

AP+PB＞AQ+QB    …………(9)

也即：

AQ+QB＜AP+PB    …………(10)

其意為：

從A村到B村走Q村比走P村路程更短。

故：

郵遞員走Q村而不走P村。

證畢（或：QED）。

【證明結束以“證畢”一詞表示，或者説，在證明的末尾加“證畢”兩個字，是數學證明中的習慣用法，是表示證明結束的符號。與中文“證畢”對應的西文是“QED”或“Q.E.D.”。QED是拉丁文（注意，不是英文）“quod erat demonstrandum ”的縮寫形式，其直譯：“這（就）是要被證明的。”】

（6）延長AQ與BP相交而構造出兩個三角形的路子終於走通了，耶！

答題表述

答：

1、為什麼郵遞員從A村送信到B村總是走經過Q村的路線而不走經過P村的路線呢？

因為：由圖直觀可知，走Q村比走P村更近即總路程更短。

其幾何表示為：AQ+QB＜AP+PB

2、以下將説明其中的道理，即對“AQ+QB＜AP+PB”進行證明。

證明：AQ+QB＜AP+PB

延長AQ並使其與BP相交，記交點為M，如下圖：

∵  三角形兩邊之和大於第三邊

∴  在三角形APM中，如下不等式成立：

    AP＋PM＞AM    ……(1)

    在三角形BMQ中，如下不等式成立：

    BM＋MQ＞QB    ……(2)

令(1)式+(2)式，得如下不等式：

    AP＋PM+BM＋MQ＞AM+QB  ……(3)

又，由圖可知：

    AM-MQ=AQ    …………(4)

    BM+PM=PB    …………(5)

將式(3)兩邊同時減去MQ並運算、化簡為：

    AP＋PM+BM＞AM-MQ+QB  ……(6)

將式(4)、(5)分別代入式(6)，得：

    AP+PB＞AQ+QB    …………(7)

也即：

    AQ+QB＜AP+PB    …………(8)

證畢。

三、感想與體會

前兩次的“失敗”（準確的説，應該是“挫折”；即使是“失敗”，也敗得有意義、有價值，因為她至少告訴我們“此路不通”了，更重要的是，她以“約束”/“限制”的方式“激發”、“指引”我們尋求到了導向成功的道路）難免有點令人沮喪，但大可不必氣餒，只要再堅持努力思考了一下，就發現了第三條道路，這條道路通向了成功，成功的欣悦如此令人陶醉。

“山重水複疑無路，柳暗花明又一村。”古人誠不我欺也！

科學家的研究成果比如某某理論寫出論文來也就那麼幾頁或幾十頁，但他們研究得到其理論的時間可是以周計、以月計、以年計甚至是以十數年計的，大家可想而知，科學家們在研究思考的過程中，會遇到多少困難、挫折，會經受多少委屈、沮喪，但他們克服了，最後，他們想通了問題的關節處，成功地創造出他們的理論。

我們現在解答習題就相當於科學家研究課題吧，一定要盡力地去堅持獨立探索、自主思考，不要倚賴於老師直接教解題方法，這樣只能解決經驗範圍內的問題，而實際問題是千變萬化的，並非都能有時間、有機會去經驗的（即：直接從某處學到其解決方法的）。

“山重水複疑無路，柳暗花明又一村”的這種“高峯體驗”尤其需要多經歷一些，其中所得，無比重要，那是比可以言傳的知識（現成的解題方法和技巧也不過是已知的知識）更重要的且“只可意會不可言傳”的know-how，這是“‘如何創造知識’的知識”，是秘中之秘，是獨屬個人的“知識”。

另外，科學家創造理論——其核心是各種“公式”（即“方程式”）——的方式，有時候並不必然、不純然是邏輯推導的結果，其中發揮更重大作用的是“構造”，而“構造”是需要直覺和想象力的。這種直覺和想象力需要我們有意識地去保護和滋養，在習題的解答上，就要求我們要主動積極地去面對困境，這種困境下的思考能激發我們本有的直覺和想象力，並在不斷的修習中逐漸讓我們的直覺更敏鋭、想象力更豐富。

— 完 —

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