基本原理之“過程還原、切換視角、轉換表述”（一）・技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘_風聞

**轉按：**在小學數學的習題教學中，我們不能一味地帶着孩子們去“集郵”即認識題型並學習其對應的解題方法和技巧然後通過大量刷題去訓練出“條件反射”，而是還應該、也更應該引導孩子們去領會“思想”即數學的思維方式和思考方法——其具體體現為猶如物理學中的“最小作用量原理”類的“基本原理”。“始於‘集郵’，終於‘思想’”才能“技進乎道“，”技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘”。“過程還原、切換視角、轉換表述”是以我自己的體會為基礎提煉出的“基本原理”之一。限於見識、水平，我提煉出的“基本原理”難免淺陋、偏狹，其表述也未必精當，歡迎高人批評指正。原文參見《“基本原理”之“過程還原、切換視角、轉換表述”（一）・技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘丨以求學問之心講有學問之題論講題之學問》，鑑於原文的字裏行間有很多以小號和低亮度文字所作的註釋，所以建議閲讀原文。

緒論

題型及與其匹配的解法和技巧固然是紛繁的知識尤其是關於如何應對考題的知識的一次歸納，但此一歸納後的所謂“乾貨”仍然數量龐大，需要學生去記憶，且需要通過大量的刷題去重複和熟悉以期形成固定模式的“條件反射”——所謂的“秒懂”、“秒解”。且不説這需要學生耗費大量的精力，更難堪的是其效果或許並不能盡如人意，因為這種訓練最好的效果也只能保證學生可以解決經驗範圍內的問題——所謂的“舉一反三”也仍然是在經驗範圍內。這種“做題家”型的“學霸”之“霸”只不過是一種虛幻的“績優”，此非吾之所欲也。

“吾生也有涯，而知也無涯。以有涯隨無涯，殆已！”題目千變萬化，是為“無涯”，題型及與其匹配的解法和技巧始終只不過是有限的知識，是為“有涯”。

然則，怎麼破？

還得再歸納！歸納提煉出“基本原理”性的“道”，引導學生去領會此“道”，憑此“道”可以衍生出應對千變萬化之題的“技/術”即解題思路和方法技巧，如同庖丁解牛，技進乎道後方能以無厚入有間遊刃有餘。

庖丁為文惠君解牛，……砉然向然，奏刀騞然，莫不中音。合於《桑林》之舞，乃中《經首》之會。

文惠君曰：“嘻，善哉！技蓋至此乎？”

庖丁對曰：“臣之所好者道也，進乎技矣。……臣以神遇而不以目視，官知止而神欲行。依乎天理，……因其固然，……以無厚入有間，恢恢乎其於遊刃必有餘地矣。”

再以物理學為例來説明其中的道理。

物理學追求的目標之一是簡潔。物理學家的任務絕不是把每一個實驗事實編成表格讓人們記住，這是不可能完成的任務。正如皮埃爾·迪昂在《物理學理論的目的與結構》中所述：“人的心智面對不計其數的具體事實，每一個事實因由大量各種各樣的細節構成而錯綜複雜，沒有一個人能夠囊括和保留所有這些事實性知識，也沒有一個人能夠把這些知識傳達給他的同胞”。

物理學家的打開方式是用抽象的方法從大量的實驗事實當中歸納、總結，去尋找普遍、共有的東西，把一大堆複雜的實驗事實“壓縮”成簡單的命題，形成物理定律，從而大大減少對人心智資源的佔用。……

物理學的目標是掌握世間萬物的規律。可自然如此紛繁複雜，即便只關注其中相對不那麼複雜的“非生命體”[4]，面對的情形也足以讓人目眩。僅僅通過一次“壓縮”，從自然事實歸納為物理規律仍然是不夠的。……每一種都還會有一大堆物理定律，對人有限的心智依然是難以承擔的負荷。因此物理學家還要進行第二次“壓縮”，把所有這些定律濃縮成少數“原理”，只要掌握了這些原理，通過有規則和可靠的計算，就可以從原理中提取出需要的定律**。**比如掌握了費馬原理，那麼幾何光學中的各種反射、折射定律大都能夠從中獲得。

這種“壓縮”被恩斯特·馬赫稱為“思維經濟”，是物理學的目標和指導原則。自然界的複雜程度之高和人類認知能力之有限之間的終極矛盾，使得人類的物理學必然是一種“思維經濟”。物理學家的工作，就是從對一個個自然現象和實驗事實進行“集郵”開始，歸納總結為物理定律；再在對物理定律“集郵”的基礎上進一步抽象成為理論體系，最終用少數的幾條原理，通過可靠的規則和計算就能夠描述、解釋或者預測大多數自然現象，到這裏工作才算完成。

……

物理教育的終極目標是讓學生具備解決未知問題的能力，而這個能力的核心就是物理學的思維方式和研究方法。物理教育可以始於“集郵”，但最終應該終於“思想”。

——引自：始於“集郵”，終於“思想”

在小學數學的習題教學中，我們不能一味地帶着孩子們去“集郵”即認識題型並學習其對應的解題方法和技巧然後通過大量刷題去訓練出“條件反射”，而是還應該、也更應該引導孩子們去領會“思想”即數學的思維方式和思考方法——其具體體現為如物理學中的最小作用量原理類的基本原理。

“技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘”這個單元的主旨就是“始於‘集郵’，終於‘思想’”“。

“過程還原、切換視角、轉換表述”是以我自己的體會為基礎提煉出的“基本原理”之一（其它的將另闢專題討論），將作為一個專題安排若干篇文章來討論。

限於見識、水平，我提煉出的“基本原理”難免淺陋、偏狹，其表述也未必精當，歡迎高人批評指正。

練拳不練功，到老一場空。——民間諺語

本文的主要例題（僅選取一頭一尾及中間其二共4道有代表性的習題）如下：

題1-頭

同學們到圖書館借書，如果每人借4本，則最後少2本；如果前2人每人先借8本，餘下的人每人借3本，這些圖書恰好借完。

問：圖書的總數是多少？

題2-尾

某電路大隊檢修供電線路，原計劃36小時完成，實際每小時多檢修180米，結果提前12小時完成。

問：原計劃每小時檢修電路多少米？

題3-中

小明從家裏到學校，如果每分鐘走50米，則正好到上課時間；如果每分鐘走60米，則離上課時間還有2分鐘。

問：小明從家裏到學校要走多遠？

題4-中

用一根繩子測量井深，把繩子折成相等的2段測量時，多1.2米；把繩子折成相等的3段測量時，差1.1米。

問：井深多少米？（折繩處的長度忽略不計）

建議先自己思考一下，然後再閲讀本文會有更深切的體會。

導讀

本文將先從對“盈虧問題”（一類題型，其解題方法被編成了一句口訣叫“多多少少來相加，然後除以分配差”）相關習題的解題思路的探索中（也即緒論中所説的“集郵”）提煉出“過程還原、切換視角、轉換表述”這一“基本原理”——數學的思維方式和思考方法（也即緒論中所説的“思想”），然後將此“‘基本原理’的‘思想’”拓展到“類盈虧問題”、進而推廣到其它類型的問題。

引例

同學們到圖書館借書，如果每人借4本，則最後少2本；如果前2人每人先借8本，餘下的人每人借3本，這些圖書恰好借完。

問：圖書的總數是多少？

這道題先作為思考題放在這，暫時不講。因為以常規經驗即所學習的應對“盈虧問題”這種題型的慣常解題方法解決不了這道題，解決這道題需要我們對“盈虧問題”的本質有所把握和領會，並從中提煉出一些“基本原理”性的思維方式和思考方法。

所以，下面我們先來“集郵”，體會其中的“思想”，並將其提煉出來，然後我們再回過頭來解決這道題。

一、集郵

1、困而知之，初悟妙道

從哪個題目開始呢？按理説，應該由易到難安排例題，但難易也是相對的。思來想去，還是以我自己的實際經歷（以我接觸到各個題目的時間線）來安排吧，或許這樣更合於道。

我們先來討論我經歷的第一個“盈虧問題”的習題，幸虧“無知”（當時真心不知道這道習題屬於“盈虧問題”這個題型，因為壓根不知道“盈虧問題”這個詞兒，我也實在不記得當年上小學時是否曾聽過這個詞兒。可能是我忘了，也可能是當年老師沒教——當年的老師也沒如今這些老師有“水平”且下功夫即歸納總結各類題型及其解法和技巧），所以我自己通過獨立思考得到了這類題的一種解題思路。

手工課上，王老師帶了一些彩紙分給學生。若每組分3張彩紙，則還剩下18張；若每組分7張彩紙，則還差2張。問：王老師一共帶了多少張彩紙？

——題目來源：我娃四上時在我娃的託管看到的託管老師給一個三年級孩子做講解的作業題（當時覺得託管老師講解得不及本質，孩子也似懂非懂，於是一時技癢，思考上了）

其常規（絕大多數老師們就是這樣教的）解題思路如下：

口訣：多多少少來相加，然後除以分配差。

算式：（18+2）÷（7-3）=20÷4=5（人），5×3+18=33（張）

釋義：用剩下的18張彩紙加差的2張彩紙共20張彩紙按每人分配4張（即“分配差”：7-3=4）剛好分完，則可用除法20/4=5求得共有5人，然後按第一次分配或第二次分配的情況用加減法綜合算式算出總的彩紙數量。

猶如猜謎，當我們猜不出來被告知謎底時，我們會“恍然大悟”，覺得也不過如此，應該可以想到的，但問題是，我們就是沒想到。

所以，關鍵問題是，這個解題方法的思路是什麼以及它是怎麼來的呢？

實話説，這道題我當時在託管想了十多分鐘愣是毫無頭緒（上述“口訣”的解題方法我當時是根本不知道的）、就是找不到突破口【這或許説明，我確實不夠聰明——可能還有點笨（與那些現在的拿到這個題就能“秒懂”、“秒解”的小學生來説，我自愧不如），我真是個有待“進修”小學數學的“小學生”。縱然如此，so what？近現代最偉大的數學家之一希爾伯特還沒有他的學生們的理解速度快呢，但希爾伯特一旦理解了，卻比他的學生們把握到的層次更為深廣】，還是在接娃回家後娃寫作業時【不是陪娃寫作業，我也基本從不輔導娃的作業，但她主動來問時，我會視情況看是打回去讓她自己想還是提點她幾句或是做一點講解——但絕不戀戰（因為孩子沒懂而反覆講解時就必然會有“不和諧”，暫時不懂不必急，懂也講究機緣）】，我再次拿出這道題（此前拍照了）琢磨起來，思考了大約五分鐘，突然有了靈感，想通了解題思路。

突然獲得的靈感是：

第一次分發到第二次分發究竟是如何發生的呢？增發（或説“補發”，即“不用重新分發”）！！！

想通的解題思路是：

第二次每組分7張可以在第一次每組已分3張的基礎上用剩下的18彩紙去給每組“增發”4張，發到最後一組時，發現差2張，若補2張則最後一組也能增發4張；也就是説，若剩下的是20張彩紙，為每組平均增發4張，則剛剛好；從這個新的表述中很自然可以想到“將20除以4”的除法，那這個除法得到的結果“5”（20÷4=5）是什麼呢？很明顯，是組數；組數既已求得為5，那總的彩紙數就好求了，無論是按第一次分發還是第二次分發去求都可以。

2、切磋琢磨，初窺堂奧

上述靈感和思路的“成色”與“斤兩”【“‘成色’與‘斤兩’”之説源出明代大哲王陽明的弟子編撰的《傳習錄》——一本記錄王陽明的言行及其與弟子問答的書。“成色”喻指人的內在德性，“斤兩”喻指人的外在事功。陽明認為成色比斤兩更重要，其言曰：“蓋所以為精金者，在足色，而不在分兩。所以為聖者，在純乎天理，而不在才力也。故雖凡人。而肯為學，使此心純乎天理，則亦可為聖人。猶一兩之金，此之萬鎰。分兩雖懸絕，而其到足色處，可以無愧。故曰‘人皆可以為堯舜’者以此。”】究竟幾何？

我們將其應用到一道堪稱範例的習題——這是將一道題不斷變型衍生出的一系列的題——來檢驗一下，並在檢驗中體會其妙用。

1、一位老師給學生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分4粒就多9粒。問：有多少位學生？共多少粒糖果？

2、一位老師給學生髮糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

3、一位老師給學生分糖果，如果每人分5粒就正好，如果每人分6粒，就少9粒，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

4、一位老師給學生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分3粒，還多18粒，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

5、一位老師給學生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分8粒就少27粒。問：有多少位學生？共多少粒糖果？

——題目來源：小學奧數教學是個良心活（次序有調整。查閲資料時無意遇見的，覺得這個系列題目的編排設計相當好，就打印出來給孩子在閒暇時每次安排出一點點的時間去思考一下）

這一道五型的題我均不採用那個“口訣”所示的解題方法——況且有些題也套不了那個“口訣”，而是遵照在破解前例中獲得的靈感和思路去思考並想出解題方法。

**一型：**一位老師給學生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分4粒就多9粒。問：有多少位學生？共多少粒糖果？

【這道題可以套用“口訣”（“多多少少來相加，然後除以分配差”），“分配差”是顯然的，“多多”與“少少”也能對號入座。】

解題思路1

【前後之別是如何發生的：不再是“增發”了，而是“扣減”（只要真懂了“增發”，這個“扣減”就不難想到），但其理則同。】

從每人分6粒到每人分4粒使得可供分發的數量從缺少9粒到多出9粒，是由於每人“扣減”出了2粒且“扣減”出的數量除了彌補缺少的9粒外還多出了9粒也即總計“扣減”出了9+9=18粒，也即每人扣減2粒共計扣減出18粒——從這一表述中即可導出一個可求得學生人數的算式【18÷2】繼而求出糖果數。

答題表述1

從每人分6粒到每人分4粒可視為從每人處“扣減”出6-4=2粒

“扣減”出的總粒數（除了彌補本已缺少的9粒還多出9粒）為9+9=18粒

故，學生人數為：

（9+9）÷（6-4）=18÷2=9（人）

則，糖果數量為：

9×6-9=45（粒）【或：9×4+9=45（粒）】

解題思路2

【倒轉題設兩次分發之次序將“扣減”轉為“增發”】

將每人分4粒時多出的（即“剩餘的”）9粒按每人“增發”2粒分發，結果不夠分（有人分不到或分不滿這2粒），不夠的（即“欠缺的”）數量是9粒，也就是説，若有9+9=18粒則剛好可以給每人分2粒————從這一表述中即可導出一個可求得學生人數的算式【18÷2】繼而求出糖果數。

答題表述2

將題設的分發次序倒轉

從每人4粒到每人6粒需要為每人增發的粒數為6-4=2粒

可供增發的粒數為9粒但尚有欠缺以至於不夠分且欠缺的數量為9粒

故，學生人數為：

（9+9）÷（6-4）=18÷2=9（人）

則，糖果數量為：

9×4+9=45（粒）【或：9×6-9=45（粒）】

**二型：**一位老師給學生髮糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

【這道題如果按“口訣”，腦子稍欠靈活性的孩子就反應不過來了，找不到“多多少少來相加”的那個“少少”（“多多”易知是“9”）——不知道將“正好分完”理解為少“0”粒也即將這個“少少”記/算為“0”。】

解題思路

將每人分4粒時多出的9粒給每人再增發1（5-4=1）粒則可使得每人分到5粒，並且這9粒按每人分1（5-4=1）粒剛剛好不多也不少——從這一表述中即可導出一個可求得學生人數的算式【9÷1】繼而求出糖果數。

答題表述

從每人4粒到每人5粒需要為每人增發的粒數為5-4=1粒

可供增發的粒數為每人分4粒時多出的9粒，且剛好分完

故，學生人數為：

9÷（5-4）=9÷1=9（人）

則，糖果數量為：

9×5=45（粒）【或：9×4+9=45（粒）】

**三型：**一位老師給學生分糖果，如果每人分5粒就正好，如果每人分6粒，就少9粒，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

【這道題生搬硬套“口訣”也不行，其道理與在“二型”中所述類同——這次是找不到“多多”了（其實還是“0”）。】

解題思路

每人分5粒就正好，正好即不多不少，每人分6粒少9粒就相當於再給每人再增發1粒的話就需要再額外找9粒來才行，或者説，每人增發1粒則每增發1人就缺（將“少”理解為“缺”，或“欠”、“差”）1粒且總計缺了9粒——從這一表述中即可導出一個可求得學生人數的算式【9÷1）】繼而求出糖果數。

答題表述

從每人5粒到每人6粒需要為每人增發的粒數為6-5=1粒

可供增發的粒數為0則每增發1人就缺1粒且所缺的粒數共9粒

故，學生人數為：

9÷（6-5）=9÷1=9（人）

則，糖果數量為：

9×5=45（粒）【或：9×6-9=45（粒）】

**四型：**一位老師給學生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分3粒，還多18粒，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

【這道題生搬硬套“口訣”也行不通，將“多多少少來相加”算為18+9=27是錯的，因為兩次分配都有剩餘即多出來的——只有“多多”、沒有“少少”。】

解題思路1

【按題設分發次序，按“扣減”考慮】

從每人分得的4粒中各扣減1粒則每人分得的就是3粒，扣減出的糖果數量為每人分3粒時多出的數量18粒與每人分4粒時多出的數量9粒之差即9粒（或者説，多出的糖果數量中增加的數量，18-9=9），也就是説每人扣減1粒共扣減出9粒——從這一表述中即可導出一個可求得學生人數的算式【9÷1】繼而求出糖果數。

答題表述1

從每人4粒到每人3粒需要從每人扣減的粒數為4-3=1粒

總計扣減出的粒數為扣減後多出的18粒減去扣減前原本多出的9粒

故，學生人數為：

（18-9）÷（4-3）=9÷1=9（人）

則，糖果數量為：

9×4+9=45（粒）【或：9×3+18=45（粒）】

解題思路2

【倒轉題設分發次序，將“扣減”轉為“增發”】

將每人分3粒時多出的18粒給每人再增發1（4-3=1）粒則可使得每人分到4粒，且還剩下9粒，此即：按每人分1（4-3=1）粒則需要9粒（或者説，將18-9=9粒給每人分1粒剛好分完）——從這一表述中即可導出一個可求得學生人數的算式【9÷1】繼而求出糖果數。

答題表述2

從每人3粒到每人4粒需要為每人增發的粒數為4-3=1粒

增發消耗的粒數為增發前多出的18粒減去增發後還剩下的9粒

故，學生人數為：

（18-9）÷（4-3）=9÷1=9（人）

則，糖果數量為：

9×4+9=45（粒）【或：9×3+18=45（粒）】

**五型：**一位老師給學生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分8粒就少27粒。問：有多少位學生？共多少粒糖果？

【這道題生搬硬套“口訣”也不行，將“多多少少來相加”算為9+27=36是錯的，因為兩次分配都有缺數即少了的——只有“少少”、沒有“多多”。】

解題思路

每人分6粒已經缺9粒了，每人分8粒則還要給每人增發2（8-6=2）粒，這樣就缺的更多了，增發造成的缺數為總缺數27粒減去本已缺的9粒即18粒（27-9=18），也就是説，如果要給每人增發2粒則增發所需要的數量是18粒，或者説，18粒按每人分2粒則剛好分完——從這一表述中即可導出一個可求得學生人數的算式【18÷2】繼而求出糖果數。

答題表述

從每人6粒到每人8粒需要為每人增發的粒數為8-6=2粒

可供增發的粒數為0則每增發1人就缺2粒且增發造成的缺數是27-9=18粒

故，學生人數為：

（27-9）÷（8-6）=18÷2=9（人）

則，糖果數量為：

9×6-9=45（粒）【或：9×8-27=45（粒）】

【倒轉次序將“增發”轉為“扣減”也可以，“扣減”就會“多出”一些出來，這樣所缺的數量就會減少，從缺27粒減少到缺9粒，也即“扣減”出了29-9=18粒，這18粒是按每人扣減2粒而得來的，所以人數為18÷2=9人。】

3、浴火重生，初證菩提

現在將前述“靈感”和“思路”應用到一道相對難一點的習題，並在克服其難中“浴火重生”【“浴火重生”是一個成語（源自鳳凰每歷五百年便在烈火中焚身並於死灰中重生的傳説），指經歷烈火的煎熬和痛苦的考驗，獲得重生，並在重生中達到昇華。】，並在這種“浴火重生”中“初證菩提”【“菩提”一詞是梵文Bodhi的音譯，意指“覺悟”、“智慧”。佛家講的“智慧”並非一般意義上的“聰明”甚或“機巧”，而是“般(bō)若(rě)智慧”，是一種以“空”為本體（佛家的一條基本原理是“緣起性空”）的“智慧”。此“空”有兩層境界，第一層是將塵世（佛家對人世間和世界萬事萬物的稱謂）“空”掉，但又不能執“空”——執“空”則易於落入“虛無主義”，還得將此“空”也“空”掉，是謂“空空”——“空空”則塵世又以另一番氣象呈現出來（禪宗六祖惠能講“煩惱即菩提”，又講“佛法在世間，不離世間覺，離世覓菩提，恰如求兔角”）。修得此“菩提智慧”必須得“覺悟”（禪宗南派即六祖惠能倡導的頓教主張“覺悟”必是“頓悟”——而非禪宗北派即神秀倡導漸教主張的“漸悟”），“覺悟”的前提是“明心見性”，“明心見性”即可“開悟”。“開悟”之後還得“證悟”，經過了“證悟”方能真正“明‘空’”。】。

題曰：

小明從家裏到學校，如果每分鐘走50米，則正好到上課時間；如果每分鐘走60米，則離上課時間還有2分鐘。

問：小明從家裏到學校要走多遠？

本題無論在形式上還是實質上仍然是“盈虧問題”或可視為“盈虧問題”的變型。

解題思路1

【仍按常規方式（常規來説，本題或可屬於“路程問題”的題型）來思考並探索出解題思路。但其指導“思想”仍是前述“靈感”和“思路”的創造性轉化。】

每分鐘走60米比每分鐘走50米提前的（或者説“節省出的”）2分鐘是怎麼來的呢？是由於每分鐘多走了10米而“搶出來”的。那每分鐘走60米的全程時間內一共搶走出了多少米呢？提前的2分鐘如果按每分鐘走50米則會走100米，這100米的路是按每分鐘多走10米分散在每分鐘走60米的全程時間內給走完了，那每分鐘走60米的全程時間就是100÷10=10（分鐘）了，那小明家到學校的路程就是60×10=600（米）了【或：50×（10+2）=600（米），每分鐘走50米時要比每分鐘走60米時多走2分鐘】。

【引入幾個代數解釋一下（但仍然是用算術思維）以幫助理解。將每分鐘走50米時從家到學校記為情景甲，每分鐘走50米記為速度A，其所需的時間記為M（單位：分鐘）；將每分鐘走60米時從家到學校記為情景乙，每分鐘走60米記為速度B，其所需的時間記為N（單位：分鐘）；根據題設，M-N=2（分鐘）。情景乙中，若其N分鐘內按情景甲下的速度A來走，則走了N分鐘後，離學校的路程還有50×2=100米（按速度A需時2分鐘所走的路程），所以這100米的路程是在按速度B與速度A的速度差即每分鐘多走10米在N分鐘內走完了（每分鐘多走10米，在N分鐘內多走了N個10米，這N個10米恰為100米），由此可以直接列式算得情景乙下走完全程的時間即N=100÷10=10（分鐘），繼而可算得全程的路程。】

答題表述1

從家到學校的路程按每分鐘走60米比按每分鐘走50米可提前2分鐘到達，也即在按每分鐘走60米從家走到學校的時間內，前者比後者多走了50×2=100米，且後者比前者每分鐘多走10（60-50=10）米，這100米是10個10米，即需要10分鐘才能多走這100米。

故，每分鐘走60米從家到學校需要的時間為：

（50×2）÷（60-50）=10（分鐘）

則，小明的家到學校的路程為：

60×10=600（米）了【或：50×（10+2）=600（米）】

解題思路2

【創造性地運用基於前述“靈感”和“思路”的“思想”按將題設情景轉化為“盈虧問題”情景的方式來思考並探索出解題思路。】

首先，還是得破解“提前2分鐘（到達）”的實質意思：

提前的2分鐘若在路上以走不同線路且每分鐘走60米的方式消耗掉則會與每分鐘50米時同時到校，這個不同線路需要多出的路程是120米。

繼而，就可以將題設情景轉化為“盈虧問題”的情景了：

小明某日早上從家裏走到學校，若不拐道去與小華同行，則每分鐘走50米就可剛好在上課時間趕到教室坐到座位上；若拐道去與小華同行，由於拐道會增加120米的路程，則每分鐘要走60米才能剛好在上課時間趕到教室坐到座位上。

其“盈虧問題”化的表述可類比為：

有一疊彩紙，若每人分50張，則剛剛好；若每人分60張，則少120張。問：這疊彩紙有多少張？

【其中，彩紙總數代指從小明家裏直接到學校的路程，50張、60張代指每分鐘走的距離，少120張代指在與每分鐘50米走到學校所需時間相同的時間內若每分鐘走60米則所走的路程要超過從小明家裏直接到學校的路程120米（或“這段路程還不夠走的，多120米才夠”），所問之彩紙的數量就代指小明家裏直接到學校的路程。】

則該類比表述的解題思路就與“盈虧問題”的變型（同前述“範例”習題中的“三型”之題）相同了，此不贅述。

答題表述2

【轉化為“盈虧問題”及其類比表述是用來輔助理解題意並想出解題思路的，理解了題意並想出瞭解題思路後，答題表述中還得將其還原為原題設情景——如答題表述1類同。】

“離上課時間還有2分鐘”即“提前2分鐘到達”可逆向理解為：

若不提前這2分鐘到達而是與每分鐘50米時的同樣時間到達，則小明以每分鐘走60米走2分鐘還可以在路上多走120米（比如拐道去與同學同行，拐道增加的路程是120米）。

則題設條件可轉換表述為：

若每分鐘走50米，剛好到上課時間；

若每分鐘走60米，則可以拐道多走120米還剛好到上課時間。

則小明按每分鐘50米到達學校所需的時間（也即“小明從家出發然後拐道去與同學同行到達學校所需的時間”——提前的2分鐘被拐道所消耗掉了）為：

（120-0）÷（60-50）=12（分鐘）

則小明家到學校的路長為：

50×12=600（米）

二、思想

從對前述例題的解題思路的探索和思考中，我們可以提煉出一個猶如物理學中的“最小作用量原理”般的“基本原理”（詳參“緒論”中的引文），這種“基本原理”是“思想”性的，表徵了數學的思維方式和研究方法：

第一，過程還原，即將前後兩個靜態情狀之間的動態過程還原出來；

第二，切換視角，即從專注前後兩個靜態情狀轉向審視其發生機理；

第三，轉換表述，即將問題逐步做等價轉換直到可以列算式的表述。

以上三點實為一體三面，相互引發，互為因果：

想要做“過程還原”自會在還原過程的過程中“切換視角”，視角一旦切換，自會隨之“轉換表述”；想到要“切換視角”自然就會想到要去做“過程還原”，過程一旦被還原，自會去表述被還原的過程，“轉換表述”由此而生；想要去“轉換表述”，自會想到得“切換視角”，繼而做“過程還原”。

【我破解初遇“盈虧問題”的那道題時，這三點發生的順序如上所列。】

故而以任何一點為先導，其它兩點自會隨之展開，進而想通解題思路。

三、實踐

現在我們用上述“思想”也即“基本原理”來解決文首的引例那道題。

同學們到圖書館借書，如果每人借4本，則最後少2本；如果前2人每人先借8本，餘下的人每人借3本，這些圖書恰好借完。

問：圖書的總數是多少？

雖然這仍是一道“盈虧問題”類型的習題，但其間的難點在於，題設設計的情景較之一般的習題更復雜了，而且該“複雜”還帶來了“難度”上的升級（有些“複雜”僅僅帶來“難度”上仍在原級別上的稍微提高）。

解題思路

先用“基本原理”中的“過程還原”（即“將前後兩個靜態情狀之間的動態過程還原出來”）：

第一次借書的情景很明確——非常符合“盈虧問題”的經典表述，“每人借4本則少2本”；

第二次借書的情景不明確——不太符合“盈虧問題”的經典表述，“每人借3本剛好借完”是符合的，但問題是，又不是所有人都借3本且剛好借完，而是“前2人每人先借8本”然後餘下的人才是“每人借3本剛好借完”，這個表述不是經典表述式的“每人借M本則多/少N本（N可以為“0”，意即“剛好借完”）”；

所以，前後兩次的情景之間的動態過程無法直接還原。

再用“基本原理”中的“切換視角”（即“從專注前後兩個靜態情狀轉向審視其發生機理”）：

既然前後兩次情景之間的動態過程無法直接還原，那我們就切換一下視角，構造一個可按常規還原的、合理的動態過程；

目標是“每人借3本”，那麼可以將“前兩人每人先借8本”視為“這兩人也是每人借3本但多出了2本”，這“多出的2本”又可視為“所有人都每人借3本”後“則多2本”（原情景表述中的“剛好借完”在此視角下轉變成了“多2本”）。

“切換視角”下的“轉換表述”自然而生：

第二次借書的情景可表述為“每人借3本則多2本”。

故而原題的題設表述的核心內容可轉換為與其“等價”——就以求圖書總數為目標而言——的如下表述：

“每人借4本則少2本，每人借3本則多2本。”

根據這一表述，解題思路就明晰了：

【以下是“倒轉次序”將其理解為“增發”，畢竟“增發”比“扣減”更“親切”】

從每人借3本到每人借4本需要為每人增發1本，可供增發的有2本、增發後發現還缺少2本，也就是説，若再額外找來2本使得可供增發的書達到4本就能剛好給每人增發1本而不多不少——基於此表述就可列算式求得借書人數【4÷1=4（人）】繼而可以根據情景一或情景二求得圖書總數【4×4-2=14（本），或，4×3+2=14（本）】。

答題表述

“前2人每人先借8本，餘下的人每人借3本，則圖書恰好被借完”的情景相當於“每人借3本，則最後多2本”的情景，結合“每人借4本，則最後少2本”的情景，可先求得借書人數：

（2+2）÷（4-3）=4÷1=4（人）

繼而可求得圖書數量：

4×4-2=14（本）【或：4×3+2=14（本）】

從對本題解題思路的思考和探索中，我們可以領略到“思想”的妙用，感受到“基本原理”的威力。

四、推廣

我們現在將前述“‘基本原理’的‘思想’”進行拓展，運用她來解決“類‘盈虧問題’”，或者説，基於前述“‘基本原理’的‘思想’”將問題轉化為“盈虧問題”來解決。

題曰：

用一根繩子測量井深，把繩子折成相等的2段測量時，多1.2米；把繩子折成相等的3段測量時，差1.1米。

問：井深多少米？（折繩處的長度忽略不計）

本題可視為“盈虧問題”的推廣，或者説，在本題上可以推廣上述“思想”——以此“思想”指引探索解題思路或將本題轉化為“經典‘盈虧問題’”。

解題思路1

【該思路將靈活運用前述“基本原理”中的“轉換表述”的“思想”為思考的指引。另外，該思路中要用到分數，但只需瞭解分數的概念以及一點點關於分數運算的知識即可。】

該思路是先求得原繩長度（單段未折前）、繼而求得井深。【直覺如此或許可行，沒什麼道理可講，行不行得試試看。】

名（此處做動詞用）原繩（單段未折前）為甲繩、折成2段則為乙繩（相當於繩長為原繩一半即1/2的單段繩子）、折成3段則為丙繩（相當於繩長為原繩1/3的單段繩子）。乙繩與丙繩長度之差為甲繩的1/6（1/2-1/3=1/6）。

乙繩測量井深時多1.2米（即：將乙繩一端下探並觸及井底而另一端在井沿之上1.2米——超出井沿1.2米，也即：乙繩的長度比井深多1.2米），丙繩測量井深時差1.1米（即：將丙繩一端下探並觸及井底而另一端還在井沿之下1.1米處，也即：丙繩的長度比井深少1.1米），則乙繩與丙繩長度之差為2.3（1.2+1.1=2.3）米。

既知乙繩與丙繩長度之差為2.3米，又知此“差”為甲繩的1/6，則可求得甲繩的長度為2.3÷1/6=2.3×6（米）【暫時不用計算出其結果，因為接下來會發現其結果的數還得除以2，但若算出來也無妨】。

既知甲繩的長度，則按以乙繩測量井深的情境，井深為：

2.3×6×1/2-1.2=5.7（米）

答題表述1

1/2-1/3=1/6

1.2+1.1=2.3

2.3÷1/6=2.3×6

2.3×6×1/2-1.2=6.9-1.2=5.7（米）

答：井深為5.7米

解題思路2

【該思路將靈活運用前述“基本原理”中的“過程還原”的“思想”為思考的指引。】

將兩次測量的情景圖示如下：

圖中左圖記為情景一、右圖記為情景二

情景二中即右圖中，由右至左示意的是繩子如何從折成兩段的形態演變為折成三段的形態的（多種理解中之一種）

【雖然我對其實是基於代數-方程思維的“數形結合”持批判態度，但我並不反對基於幾何直觀的圖示。本題情境有點複雜（其實也要看在何種解題思路下，在本解題思路下確實有點複雜），作出圖示輔助理解是合理的，一定程度上説也是必要的。】

根據圖示，情景一中，折成兩段的繩子有1.2米超出井沿之上，也即以單段計的繩子有2.4（1.2×2=2.4）米超過井沿之上。

在情景二中，繩子折成了三段，從兩段變為三段，我們就審視第三段是怎麼來的即對情景一到情景二之間的動態過程做一個還原（可以是如下這種）：

第三段的第一截可視為是情景一中超出井沿之上的2.4米的繩子被從兩段展開為一段而來的，但這一段2.4米並非原繩折成三段的長度，因此需要繼續從原來與井深齊平的兩段中再借/扯一些過來/下來，扯了多少米過來呢？從原來與井深齊平的兩段最後變為低於井沿1.1米的兩段來看，是被扯了2.2（1.1×2=2.2，兩段中每段都每扯了1.1米下來）米下來，這2.2米與第三段已有的2.4米（原來處於井沿之上的兩段的1.2米）合併即為第三段。

所以，這第三段的長度即為4.6（2.4+2.2=4.6）米，這一長度也是原繩被折成三段之後的長度，以其測井深還少1.1米（即一端觸底的情況下另一端在井沿之下1.1米），所以井深即為5.7（4.6+1.1=5.7）米。

【上述思路可運用前述“基本原理”中的“切換視角”的“思想”換一種理解方式。】

將兩次測量的情景圖示如下（本思路下，其實不用圖示也可以）：

圖中左圖記為情景一、右圖記為情景二

由於原繩長度與井深皆為不變的量，所以可以“切換視角”來理解題設中的相關條件。

題設中的“把繩子折成相等的兩段測量時，多1.2米”可理解為：

將原繩裁剪掉2.4（1.2×2=2.4）米後，則餘下的繩子折成3段後的長度恰與井深相同。

題設中的“把繩子折成相等的3段測量時，少1.1米”可理解為：

為原繩接續上3.3（1.1×3=3.3）米後，則加長的繩子折成3段後的長度恰與井深相同。

繼續“切換視角”來理解：

若再將該加長了3.3米的繩子折成兩段去測量井深，則多（2.4+3.3）÷2=5.7÷2=？（米）【此處無需計算，寫成這樣是表述的需要】；

在此2段的基礎上變為與3段（且其長度均與井深相同），就可理解為在原有的2段的基礎上再增加第3段，這個第三段的來歷可理解為，在原有的2段的與井沿齊平處將多出（即超出井沿）的繩子折下去並使其由2段展開成1段，而這展開得到的第三段繩子的長度即為5.7÷2×2=5.7米，此即井深（前面已有説明，這根加長了3.3米的繩子折成相等的3段後的長度與井深相同）。

【可以看出，前後兩種理解在本質上類同的，只是後者在形式上顯得複雜一些，但此複雜些的形式可能在理解上會容易一點——至少對部分孩子來説或許會是如此。】

答題表述2

求得從兩段變為三段所增加的第三段的長度即為原繩被折成三段的長度，繼而可以求得井深。

第三段可理解為超出井沿的均為1.2米的兩段與低於井沿的均為1.2米的兩段都被恢復為一段繼而合併而來。

故，第三段的長度為：

1.2×2+1.1×2=4.6（米）

則，井深為：

4.6+1.1=5.7（米）

解題思路3

【該思路以“基本原理”的“思想”為指引將題設問題轉化為“盈虧問題”來思考。】

將題設情景圖示如下：

圖中左圖記為情景一、右圖記為情景二

情景一的“把繩子折成相等的2段測量時，多1.2米”相當於“繩長是井深的2倍多2.4米”；

情景二的“把繩子折成相等的3段測量時，差1.1米”相當於“繩長是井深的3倍少3.3米”。

則原題設：

“用一根繩子測量井深，把繩子折成相等的2段測量時，多1.2米；把繩子折成相等的3段測量時，差1.1米。問：井深多少米？”

可轉化為“盈虧問題”來理解：

用一根繩子測量井深，繩長是井深的2倍多2.4米、3倍少3.3米。問：井深多少米？

由“盈虧問題”的解法可知，井深為：

（2.4+3.3）÷（3-2）=5.7÷1=5.7（米）

答題表述3

題設條件可理解為：

繩長是井深的2倍多2.4米、3倍少3.3米。

則井深為：

（2.4+3.3）÷（3-2）=5.7÷1=5.7（米）

五、昇華

現在我們將前述“‘基本原理’的‘思想’”進行推廣，解決非“盈虧問題”類型的其它問題。

題曰：

某電路大隊檢修供電線路，原計劃36小時完成，實際每小時多檢修180米，結果提前12小時完成。

問：原計劃每小時檢修電路多少米？

這道題應該屬於所謂的“工效問題”吧。我們先以與“工效問題”相關的知識和解題方法來思考，然後以前述“‘基本原理’的‘思想’”來思考。

解題思路1

【本思路按“工效問題”的相關模式來思考，並要用到分數的知識，主要是因為要用分數來表示“工效”。】

假定檢修供電線路的工作量為Q（米），則：

在原計劃36小時完成的情況下，電路大隊的工作效率為Q/36（米/小時）；

在實際僅用24小時完成的情況下，電路大隊的工作效率為Q/24（米/小時）。（實際比原計劃的36小時提前了12小時完成，所以實際用了24小時）

則，實際工效與計劃工效的差可表示為：

Q/24-Q/36

又，題設已知此“差”為180米/小時（“實際每小時多檢修180米”），故：

Q/24-Q/36=180

則，“Q”即“工作量”可表示為（通過運算）：

180×72（米）

原計劃36小時完成，則原“計劃工效”為：

180×72÷36=360（米/小時）

答：原計劃每小時檢修360米。

【首先，該思路有“方程”之嫌，因為“Q/24-Q/36=180”這個“含有未知數（用字母表示的）的等式”其實已經是“方程”了，但我在表述中儘量是按照“等式”的概念去表達的，在理解上，孩子們應該不至於感到太“違和”。其次，以上表述中為什麼不用“單位‘1’”呢？第一，我認為“單位‘1’”是個“雞肋”般的概念；第二，在應用題中，既然是應用，那自然是與實踐中的事物相關的；第三，其實將“總量”當作“單位‘1’”在本質上也還仍然是“設定”，只不過是用“1”代替了“字母”，二者都是符號，意義是相同的；第四，用“字母”比用“單位‘1’”更容易理解，因為更自然。所以，在應用題中不如將“總量”直接用設定的字母指代並賦予其“‘量’的‘單位’”。在本題的“工效問題”中，“總量”即檢修電路的工作量，該“量”是所要檢修之電路的長度，所以設定“工作量”為“Q”，單位“米”。在如此設定下，工作效率（也即“工作速度”）就被表示為“工作量”與“工作時間”的商（“工作量”除以“工作時間”），這比用“單位‘1’”與“工作時間”的商（“單位‘1’”除以“工作時間”）來表示“工作效率”顯得更自然，孩子也更容易理解。在運算中，所設定的指代“工作量”的“Q”被消去了，孩子從這個“事實”中也就真正領會了“單位‘1’”，不會再覺得它彆扭了。】

答題表述1

記“工作量”為“單位‘1’”。

原計劃36小時完成“工作量”，則原計劃工效為：1/36

實際提前（了）12小時完成，即實際完成“工作量的時間為：

36-12=24（小時）

則實際工效為：1/24

故，實際工效與計劃工效之差為：1/24-1/36

又，題設已知“實際每小時多檢修180米”，則“單位‘1’”即“工作量”為：

180÷（1/24-1/36）=180÷1/72=180×72（米）

故原計劃工效即每小時檢修的線路長度為：

180×72÷36=360（米）

【該“答題表述”中還是用了“單位‘1’”，因為：其一，用“單位‘1’”符合目前的答題規範；其二，在思路的表述中或已領會了“單位‘1’”，則用起來也就得心應手了。】

解題思路2

【本思路按前述“‘基本原理’的‘思想’”來思考（即不論問題是何種類型的問題）並探索出解題思路。】

由“實際每小時多檢修180米，結果提前12小時完成”可知：

第一，實際完成任務（即做完全部“工作量”，也即將所要檢修的線路全部檢修完）的時間為36-12=24（小時）；

第二，在相等時間24小時內，實際比原計劃多檢修的長度是180×24（米）。

之所以能提前12小時，是由於在原計劃中需要12小時完成的這180×24米的線路在實際上按每小時多檢修180米而分散到實際工作時間的24小時內被完成了。

也就是説，180×24米的線路如按原計劃的工效，需要12小時完成。

故，原計劃工效即原計劃每小時檢修的線路長度為：

180×24÷12=180×2=360（米）

答題表述2

由於原計劃36小時完成、而實際提前12小時完成，則實際完成任務的時間為：

36-12=24（小時）

實際每小時多檢修180米，則在實際完成時間的24小時中總計多檢修：

180×24（米）

這180×24（米）在原計劃中需要12小時完成，則原計劃每小時檢修：

180×24÷12=180×2=360（米）

【從該思路中我們可以體會到“‘基本原理’的‘思想’”——表徵數學的思維方式和研究方法——即“過程還原（即將前後兩個靜態情狀之間的動態過程還原出來）、切換視角（即從專注前後兩個靜態情狀轉向審視其發生機理）、轉換表述（即將問題逐步做等價轉換直到可以列算式的表述）”的“妙用”。在此體會中，我們也更好的領會了“‘基本原理’的‘思想’”即數學的思維方式和研究方法，這就為我們思考和解決任何問題奠定了堅實的基礎並涵養了我們自主思考、獨立探索的勇氣和能力，因為“思想”是普適的。】

六、感想

第一，“做難事必有所得”（金一南將軍語），在攻堅克難中更能深切體會到“做數學”【源自匈牙利裔美國數學家保羅・哈爾莫斯（Paul Halmos，1916.3.3-2006.10.2）的名言：“The best way to learn Mathematics is to do Mathematics.”（學數學的最佳途徑就是做數學）哈爾莫斯的著作中有一本名叫《我要做數學家》】的know-how（訣竅。一般而言這是一種只可意會不可言傳的東西）。

比如如本文所述，我在首次遭遇“盈虧問題”時是茫然無措的，十多分鐘都想不通解題思路讓我感覺我的智商受到了羞辱，但我克服了困難，於是，所得甚豐。

第二，堅持自主思考、獨立探索，這樣想通的解題思路、解題方法才是真正屬於自己的（真正內化到自己的思維方式中的，而不是僅僅存在腦中的記憶——如直接學習和理解解題方法的結果那樣），不必羨慕那些學霸（所謂的“別人家的孩子”）的“秒懂”、“秒解”，一定程度上説，“快”必然意味着“不究竟”（對本質性的東西缺乏深刻的領會，因為“快”則不及深思），因此我們寧願慢一點，不要羞於自己的“笨”，要甘於、善於“慢工出細活”，只要我們在“慢”與“笨”中思有所得，那這個“得”一定優於“快”之所得（科學史上此事多有，最經典的一個案例是關於近現代最偉大的數學家之一希爾伯特的，希爾伯特還沒有他的學生們的理解速度快呢，但希爾伯特一旦理解了，卻比他的學生們把握到的層次更為深廣）。

比如如本文所述，我在對“盈虧問題”的自主思考和獨立探索中，獲得了靈感繼而想通了解題思路，由於是自己想通的，所以體會至深，並在這種深刻的領會中，我從中感悟到了一些數學的思維方式和研究方法，並提煉出了“過程還原、切換視角、轉換表述”的“基本原理”，這一“基本原理”又助我在“複雜‘盈虧問題’”進而“類‘盈虧問題’”乃至於“非‘盈虧問題’”的思考及其解題思路的破解中得心應手、攻無不克。

— 完 —

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