這麼説迭代，你一定能懂_風聞

編者按

科學傳播當中有個有意思的現象，就是越為基礎和艱深的學問，其相關的科普著作就越為豐富和繁多，很明顯的例證就是數學、物理方面的科普讀本遠超其他學科，有關數學中著名的猜想和悖論、物理學中相對論和量子力學等的通俗解讀可以用汗牛充棟來形容。這起碼説明一點，艱澀的學問，也可以有淺顯易懂的切入點。高明的科普作者可以經由作者在闡述上下的功夫降低讀者理解的難度。本文就想從初等數學出發，來深入地談談“迭代”這一數理學問中極重要的概念。

撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）

迭代一詞對一些人或許生疏，但在數學上它歷史悠久。大約三千五百年前，古巴比倫人就想出了一個聰明的辦法來逐次近似給定正數A的平方根，以今日的標準説法，它就是用眾所周知的牛頓迭代法解方程x^2 – A = 0。當今，在數學天地的幾乎所有園區，迭代都留下活躍的身影，而求解方程各式各樣的迭代法，則是計算數學家和工程學家們從不離手的利器。

為了形象地説明什麼是迭代，讓我們拿出一隻假設誤差為零的理想計算器，輸進一個數，比方説0.5，然後按一下標有“x^2”的那個平方鍵，小屏幕上就能看到結果：0.25，如果再按一次平方鍵，看到的結果是0.0625，再按一次，就有0.00390625，如此一次次地按下去，依次出現的是以“初始數”0.5開頭的一系列數：

0.5, 0.25, 0.0625, 0.00390625, 0.0000152587890625, …

儘管算了這幾步後我們或許會失去耐心，不想再按下去，但我們至少可以從上面幾個數的變化趨勢知道，這些越來越小的數最終會趨向於0。

這樣的計算確實足夠簡單，似乎連幼兒園的孩子也能操作。即便丟掉計算器，小學生也可以用紙和筆一個接着一個地算出這樣的“平方”。如果用初中學過的數學概念表達，那麼計算器上的平方鍵就代表了“x平方”這個函數。

上述數列中的第一個數0.5是我們所選定的一個初始值，第二個數0.25是x平方函數在x = 0.5時的函數值，第三個數0.0625是x平方函數在x = 0.25時的函數值，而第四個數0.00390625是x平方函數在x = 0.0625時的函數值，第五個數0.0000152587890625則是x平方函數在x = 0.00390625時的函數值，等等。

如果把x平方函數看成是一隻“黑箱”，那麼輸入x的值，這隻黑箱就會輸出x2這個函數值。上面的計算器操作實際上就是選取一個初始值輸進黑箱，然後再一次次地將黑箱吐出的函數值輸入同一個黑箱，週而復始，直至無窮。這種“黑箱操作”的整個過程在數學上叫作函數迭代，簡稱迭代。

一般地，假定我們有定義在某個實數區間上的一個函數y = f(x)，它把定義域區間映到自身內——也就是説，這個函數的自變量x以及因變量y都取值於該定義域中。

考察迭代，就會不可避免地碰到“不動點”和“週期點”這兩個重要術語。如果在函數f的定義域中有個點x*，它滿足等式f(x*) = x*，即x*在f下的迭代結果還是它本身，這個點就被稱為是函數f的一個不動點。

不動點在代數上的意義就是方程f(x) = x的一個解x = x*，而在幾何上的意義是函數f在平面上xy-直角座標系中的圖象與座標系的對角線y= x之交點的座標，因為這個交點既在函數f的圖象上，又在座標系的對角線上，它的兩個直角座標(x*, y*)同時滿足y* = f(x*)和y* = x*這兩個等式 。

由上可知，當初始點是週期點時，給定的函數迭代到某一步就會首次返回到初始點，然後再重複地無限循環下去，就像一個體格健壯的學生每天早晨繞着學校的橢圓形跑道一圈又一圈地跑個不停。當初始點不是週期點時，由此點出發後的所有迭代點自然永遠不會回到初始點。既然永遠不會回到初始點，這些迭代點的最終性態一定會是不可預知的嗎？

還有一種情形，初始點既不是週期點，也不是最終週期點，即它對應的所有迭代點都互不相同，但我們依然可以預測迭代點數列的最終走向，比如説這個數列最終收斂到一個固定的數，或與一個固定的週期軌道越來越靠近，或發散到正無窮大，或發散到負無窮大，或其絕對值的數列發散到正無窮大。對這些不同狀況下可預測性的分析求解，初等代數的數學工具則顯得不夠用了，需要一點初等微分學的知識。這就是為什麼高等數學是一門很有用途的學問。具體來説，微分學中的“中值定理”或“單調收斂定理”常常是這個解析過程的數學後盾。既然本文是“淺説迭代”，我在後面將依然用淺顯的語言解釋其中一個定理的應用，但如果輔之以圖象的視覺效應，則會幫助理解。為此，我們先介紹關於函數迭代眼睛看得更清楚的“圖象表示法”，相對於前述依賴於函數賦值的“代數表示法”。

在檢查迭代點數列的最終走向時，如果覺得一次又一次地用手或計算器算出函數值來得到一個又一個的迭代點太費時間，我們也可以借函數的圖象來做與代數方法等價的事，只要圖象曲線能夠足夠精確地畫出。該幾何方法讓我們從初始點出發沿着一條上下和左右方向交替轉彎的快捷路徑急速地向前移動，這樣就能直觀地觀察到迭代點列的“運動軌跡”，進而很方便地看出軌道的最終目標。

更一般地，用上述的“圖象迭代法”就能快速地證明：對於線性函數f(x) = ax + b，只要x項的係數a的絕對值嚴格小於1，即|a| < 1，則以任意實數作為初始點的迭代點數列最終都將趨向於f 唯一的不動點x* = b/(1-a)，而若|a| > 1，則從任意不等於b/(1-a)的實數出發的迭代點數列最終都將發散到無窮遠處。相比之下，這兩個事實的分析證明則要多花一點時間了。

對於上述其直線圖象相當平坦以至於斜率絕對值小於1的線性函數，因為不動點x* = b/(1-a)像美麗的姑娘吸引周圍的男孩一樣將其周圍的各點吸引到自己，令從這些附近點出發的所有迭代點軌道統統最終將趨向於它，所以這個不動點被形象化地稱為是吸引的。其實，不動點x*不光吸引了它附近的所有點，而且也吸引了實數軸上所有的點，因而它是一個全局吸引的不動點。

另一方面，當線性函數的直線圖象看上去相當陡峭，以至於其斜率絕對值大於1時，由於不動點x* = b/(1-a)像戰爭狂人遠離周圍的和平主義者那樣“排斥”了其周圍與之相異的各點，令從這些點出發的迭代點數列統統最終將對它“敬而遠之”而不願與之靠近，這個不動點被稱之為是排斥的，更進一步它還是全局排斥的。

由上可知，對於滿足條件|a| ≠ 1的任意線性函數，其唯一的不動點不是全局吸引的就是全局排斥的。一個直接的推論是該函數沒有其他週期點。理由很簡單，因為如果有一個週期大於1的週期點，比方説其週期為三，那麼從這個週期點出發的所有迭代點總是在同一個週期-3軌道的三個點中間“輪流坐莊”，它們怎麼可能會趨向於不動點或發散到無窮大？

讀到這裏，我相信讀者們不僅讀懂了其中的數學，而且還會將獲得的知識用到不符合上述條件的兩個剩餘的線性函數f(x) = x + b和g(x) = -x + b上，看一看它們各自的迭代軌道最終將走向何方。

再一次地，上面這兩個非線性函數都展示出其迭代點軌道的正規性態：對所有的初始點，迭代點數列的最終走向都是可以預測的，並且，除了唯一的不動點和兩個週期為2的週期點外，它們都沒有其他的週期點。我將在下一篇的科普文章中討論既有不動點又有周期為2的更高次方的週期點的那些簡單函數，並追溯它們與自然科學的一些歷史因緣。

到目前為止，我還沒有正式地運用過高等數學，全是用初等數學談論迭代問題，引進基本概念，可能一部分擁有博士、碩士甚至學士學位的理工科讀者感到“內容太淺”，然而正如數學寫作與演講大師、匈牙利裔的美國數學家哈爾莫斯(Paul Halmos，1916-2006)在生前一直強調的那樣，越是初等的公眾報告越能俘獲人心。現在，我試圖用一個二次多項式來示範一下初等微分學在函數迭代中的一個妙用，即便讀者沒有接觸過微積分，那也無妨，因為我知道她或他至少懂得中學代數並具有一定的幾何直覺力，而且我在之前已經保證過用淺顯的語言解釋數學，否則我就愧對標題中保證的“你一定能懂”五字。

我所給出的函數是f(x) = 2x(1-x)，但將它的定義域限制在閉區間[0, 1]上。顯然f的圖象是經過兩點(0, 0)和(1, 0)、開口朝下、對稱軸為x = 1/2、最高點為(1/2, 1/2)的一段拋物線，它位於座標平面上的單位正方形內，故f的值域是[0, 1/2]，因而f將[0, 1]映到自身內。所以，從定義域區間中的任意一點出發，我們可以無限地將f迭代下去。

這時，我們不得不從初等數學一躍跳上高等數學，需要的就是上文提及過的“單調收斂定理”：單調有界數列一定有極限。它的證明需要關於實數全體的“完備性公理”，此公理在美國是《高等微積分》教材的起點，在中國屬於數學系的《數學分析》課程。但是我們可以用如下形象化的例子來幫助理解上述定理：設想一列有上萬名士兵組成的隊伍步行前進，這相當於一個單調遞增的數列，如果前方永遠沒有障礙，這隊士兵將一直走向遠方，然而如果前面有一座爬不過去的城牆擋住他們，則這羣保持向前走的士兵最終只能聚集在城牆腳下，這就相當於有上界的遞增數列一定收斂到一點。

事實上，我們在上面順便證明了一個一般性的斷言。我們將它作為本文的最後禮品：

命題. 若函數f的一個迭代點數列收斂到x*，且f在x*連續，則x*是f的不動點。

“函數迭代”是一個內容豐富、用途寬廣的數學話題，鑑於篇幅，我在本文中僅僅普及了“可以預見未來”的某些有序迭代過程。然而，從有序到無序——即混沌，更為神奇的情景還在前頭，用淺顯的初等語言解釋背後的數學操作，將是繼續講述迭代的指導思想。

寫於2023年3月27日星期一

美國哈蒂斯堡夏日山莊

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