將“數感”僅僅理解為對“數”之“感”怕是過於淺薄了吧？！丨義務教育數學新課標芻議_風聞

**導讀：**將“數感”僅僅理解為或者説認識為“對錶示數的符號的符號意識以及對於用符號表示的數之大小的辨識的敏鋭性”，格局和境界實在是有點low了。以此理解和認識去教學，怎能將孩子們引導到數學這門學問——或者説“作為一門學問的數學”——的學問中去呢？怎能引領孩子們領略到數學這門學問的精深奧義呢？怎能啓發孩子們領會到理解數學尤其是“做數學”的“know-how”呢？

引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）修訂組組長對“數感”的闡釋如下圖：

《“義務教育數學課程標準（2022年版）”解讀》講座的視頻截圖

《為什麼要強調量感》講座的視頻截圖

其闡釋可總結為（B站有這兩個講座的視頻，可對照核查）：

“數感”與對“量”的“感”之“量感”類似（其將“數感”與“量感”並列在一起討論，其視為同一層級性的東西）是對“數”的“感”【“數”是什麼？用其自己的表述就是：“數是對數量的抽象”（對這個表述我在“……計數單位，一個胡編亂造出來的多餘且荒謬的偽概念？兼談數位與數級兩個概念……”一文中作了批判性分析，指出這個表述“是一句邏輯不通——即使在文理上也不通——的謬論”）；用我的表述則是：“‘數’是表示事物的‘多少’這一屬性的概念及其符號”（詳參：……作為概念的（自然）數是如何被認識到——發明和/或發現——的？一個猜想……）】，此“感”是對於“數”用符號表示的符號意識以及對於用符號所表示的“數”的大小關係的辨識的敏感性。

對“數感”的如此理解和認識恐怕源於“望文生義”式的想當然（也可能另有原因，詳見下文“三節），格局和境界實在是不夠高，甚至可以説有點太low了。

一、正本清源

那究竟什麼是“數感”呢？

我認為，“數感”是個具有方法論意味的概念，她是一種關於“如何‘做數學’”的“know-how”【“做數學”的表述源自匈牙利裔美國數學家保羅・哈爾莫斯（Paul Halmos，1916.3.3-2006.10.2）的名言：“The best way to learn Mathematics is to do Mathematics.”（學數學的最佳途徑就是做數學。）“know-how”的字面意思是“知道如何（做）”，漢語中與之匹配的詞是——也即用漢語可理解為——“訣竅”（“秘訣”、“竅門”）、“堂奧”，一般而言這是一種只可意會不可言傳的東西）】。

我的這種理解自然有其源頭，而此源頭恐怕也正是“數感”這一概念的濫觴（注意，“濫觴”這個詞兒是個中性詞，不是貶義詞，意思是“比喻事物的起源和發端”），這就是日本數學家小平邦彥的一篇著名的數學科普文章《數學是什麼？》（見：小平邦彥：數學是什麼？丨展卷）。

在這篇文章的引言中，小平邦彥先闡述了一個觀點，即：不能“將數學歸為邏輯”。他説：

人們通常認為數學是一門由嚴密邏輯所構建的學問，即便不是與邏輯完全一致，也大致相同。實際上，數學與邏輯並沒有多大關係。當然，數學必須遵循邏輯。不過，邏輯對於數學的作用類似於語法對於文學。書寫符合語法的文章與用語法編織語言、創作小説是截然不同的。同樣，依照邏輯進行推論與使用邏輯構築數學理論也並非同一層面上的事情。

任何人都能理解一般邏輯，如果將數學歸為邏輯，那麼任何人都能理解數學。然而眾所周知，無法理解數學的初中生或高中生大有人在，語言能力優異、數學能力不足的學生十分常見。因此我認為，數學在本質上與邏輯不同。

在這篇文章引言之後的第一節所用的小標題就是“數感”，並在這一節十分謹慎的論述了何謂“數感”，他説：

我們試着思考數學之外的自然科學，比如説物理學。物理學研究的是自然現象中的物理現象，同理可得，數學研究的是自然現象中的數學現象。那麼，理解數學相當於“觀察”數學現象。這裏所説的“觀察”不是指“用眼觀看”，而是通過一定感覺所形成的感知。雖然很難用言語去描述這種感覺，不過這是一種明顯不同於邏輯推理能力的純粹的感覺，在我看來這種感知幾乎接近於視覺。或許我們可以稱之為直覺，不過為了凸顯其純粹性，在接下來的表述中，我將其稱為**“數感”。直覺一詞含有“瞬間領悟真相”的意思，所以不太合適。數感的敏鋭性類似於聽覺的敏鋭性，也就是説基本上與是否聰明無關（本質上無關，但不意味着沒有統計關聯）。不過數學的理解需要憑藉數感**，正如樂感不好的人無法理解音樂，數感不好的人同樣無法理解數學（給不擅長數學的孩子當家教時，就能明白這種感覺。對你來説已經顯而易見的問題，在不擅長數學的孩子看來卻怎麼也無法理解，因此你會苦於不知如何解釋）。

在證明定理時，數學家並沒有察覺自己的數感發揮了作用，因此會以為是按照縝密的邏輯進行了證明。其實，只要用形式邏輯符號去解析證明，數學家就會發現事實並非如此。因為這樣最終只會得到一串冗長的邏輯符號，實際上完全不可能證明定理（當然我的重點並不在於指責證明過程的邏輯不夠嚴密，而是在於指出數感能幫助我們省略邏輯推理這個過程，直接引導我們走向前方）。近來經常聽到人們在討論數學感覺，可以説數學感覺的基礎正是數感。所有數學家天生都具有敏鋭的數感，只是自己沒有察覺而已。

小平邦彥在這篇文章中作出“數感”這一表述可能是“數感”作為一個認識論上的具有方法論意味的概念的首次提出（我沒有做全面的文獻調研因此不敢有定論），從上述引文中我們可以得出如下認識：

第一，小平邦彥提出的“數感”是與“邏輯”對舉的，並且他認為，在數學中，“數感”是比“邏輯”更重要的東西（這又讓我不免得瑟起來，因為我在這方面的認知上竟然與大數學家小平邦彥有那麼一點點不謀而合，參見：1、祛魅演繹｜演繹不過是個小三而已：演繹雖然在命題的確立（科技創新）中必不可少，但其重要性和次序只能排老三；2、祛魅《幾何原本》｜《幾何原本》的“演繹”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中國象棋+元素週期表）；

第二，小平邦彥將“數感”描述為“一種明顯不同於邏輯推理能力的純粹的感覺”或者叫“感知”，這種“感知”“幾乎接近於視覺”，也類似於“聽覺”和“樂感”，甚至“或許可以稱之為直覺”（雖然他退了一步説“直覺一詞含有‘瞬間領悟真相’的意思，所以不太合適”，不過我認為用“直覺”甚是恰切，再者説，）；

第三，“數感”“好”的重點不僅在“能‘感’”，而更在於“感”——其實表述為“直覺”更恰切——的敏鋭性（類似於説“聽覺好”強調的不是“能聽”而是“聽覺”的“敏鋭性”），數感不好的人同樣無法理解數學——正如樂感不好的人無法理解音樂；

第四，“‘數感’的敏鋭性類似於聽覺的敏鋭性”，“基本上與是否聰明無關（本質上無關，但不意味着沒有統計關聯）”。

可見，小平邦彥所描述的“數感”其實指的是一種理解數學和“做數學”的方法，也可以説是“素養”——一種“know-how”意義上的能力。

所以説，將“數感”僅僅理解為或者説認識為“對錶示數的符號的符號意識以及對於用符號表示的數之大小的辨識的敏鋭性”，格局和境界實在是有點low了。以此理解和認識去教學（老師們在新課標解讀中能學到的就是這種理解和認識，而且在實際中老師們也確實是按此理解和認識去教學的——看看各種講小學數學的小視頻中那些所謂的資深名師的語言表述就明白了），怎能將孩子們引導到數學這門學問——或者説“作為一門學問的數學”——的學問中去呢？怎能引領孩子們領略到數學這門學問的精深奧義呢？怎能啓發孩子們領會到理解數學尤其是“做數學”的“know-how”呢？

新課標中將“數學核心素養”表述為：“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。”

《“義務教育數學課程標準（2022年版）”解讀》講座的視頻截圖

這個對“數學核心素養”的表述不可謂不高明，但如何將其落實到教育中去呢？發現新課標的解讀中和實際教學中對“數感”的如此之low的理解和認識後，我對此感到無望。

二、拋磚引玉

既有數學知識的表述形式總是從一般到特殊，然而知識的創造經常總是從特殊到一般。

所以，培養“數感”——學習如何“理解數學”和“做數學”（how to …）——的比較好的方式是以典範案例去引導、啓發孩子自己去領會其中的“學問”。

在下不才，有些許體會和實踐，不揣冒昧，略説一二，以激發想象。或許是班門弄斧（記得華羅庚説過“弄斧必到班門”的話），那就當拋磚引玉了。

其一，是我正在創作的《小學數學“教-學”探索・ 題海拾貝篇：以求學問之心講有學問之題論講題之學問》專題（系列文章，已出之文章可經《“基本原理”之“過程還原、切換視角、轉換表述”（一）・技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘丨以求學問之心講有學問之題論講題之學問》一文的文末鏈接按圖索驥去查閲）。

該專題的核心主旨就是“學問”，而我要呈現的“學問”的核心就是“做數學（to do Mathematics）”的“know-how”——這與小平邦彥所闡述的“數感”庶幾近矣（詳參：前言：要引導學生浸潤於深刻的學問而非耽溺於淺薄的知識）。

其二，在孩子正在經歷的事情中抽象出數學以引導孩子在“數學核心素養”（即：“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。”）方面有所領會。

“數感”的教-學，還可以——也應該——融入日常事務中，讓新課標所説的“數學核心素養”（即“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”）落到實處，同時也讓孩子們有更親切——因而也更深刻——的領會。

記不清是二年級還是三年級時，我娃報名參加了學校一年一度的名為“吉尼斯挑戰賽”的運動會中的兩個項目，其中一個是“乒乓球顛球1分鐘比多”（另一個是“閉眼金雞獨立”，我不確定其中的“道道”是否有與本文主題相關的“學問”，故將之附於文末，供諸君自行參詳）。這個項目的制勝策略是什麼呢？我帶娃用數學【數（數學）理（物理）不分家】進行分析發現了它。

限定時間內顛球次數的多少取決於什麼呢？取決於每次顛球球彈離球拍到再落到球拍這兩個動作之間的時間間隔最短——相當於如何將限定時間以更小或者説最小的“刻度”進行分割，如何做到這一點呢？這又取決於球彈離球拍後上升的高度儘可能低最低——重力加速度和空氣阻力可視為不變，如何做到這一點呢？這又取決於球落到球拍時再次擊打球的力度要儘可能的最小——小到能讓球彈離球拍即可（不彈離就違規了嘛，因為那就不“顛”了啊）。於是，制勝之道就是以最小的力度將乒乓球彈離球拍，當然，這只是一次的情況，假如力度最小小到只夠彈起一點點然後就因初始動能衰減完畢而落到球拍上再也彈不起來，那這樣也是不行的，所以，初始擊球力度要讓球能多顛幾次，幾次之後當球的初始動能衰減殆盡時，再次擊打時又給一個合適的力度使其再顛幾次，具體是什麼樣的力度，那就要靠在練習中去找感覺了，做到得心應手時，就成了。

這個分析過程相當於抽象出了一個數學模型，準確的説，是一個函數：

y=f（T，x1，x2，x3，……，xn）

y即限定時間T內的顛球次數，“x1，x2，x3，……，xn”是影響y的值的若干變量，其中“x3，……，xn”是如重力加速度、空氣阻力、球拍與球的彈性碰撞的能量耗損因子等等的變量，這些變量我們可以視其為不變量，x1這個變量就是每次擊球所給的力度——它決定了球彈離球拍的高度進而決定了球每顛一次的時間，x2這個變量就是我們考慮初始動能耗損而要重新擊打補充初始動能的間隔次數。所以，影響y值的只有x1和x2這兩個變量，而這兩個變量是我們可以控制的，也是制勝策略所在，也是練習的重點。

雖然其中的有些語言表述孩子未必能聽懂，但由於是正在做的事情中的數學，所以有親切感，而這份親切感能讓孩子多少能深切領會到一些其中的數學道理。即使完全不懂也無妨，至少孩子有了這次的經歷之後，就相當於種下了一顆種子，以後學到相關知識時這顆種子就能發芽。

三、辨疑釋惑

我相信新課標修訂組尤其是組長是閲讀過小平邦彥《數學是什麼？》這篇文章的，或者至少是知道“數感”其實是小平邦彥所描述的對“作為一門學問的‘數學’”之“感”而不僅僅是對“數”之“感”——用符號表示數的符號意識和在辨識用符號表示的數的大小上的敏感性——的，但其仍然在新課標解讀和其它給教師們做培訓的講座中僅僅只講後者，其原因恐怕還是我在“將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才？兼論現實教學中的掩耳盜鈴”一文中所判斷的“嚴重低估甚至辱沒了我們當今少年的智力水平和學習能力”。

我無意對新課標修訂組尤其是組長進行任何指摘，只是就事論事。實際上，我從組長那裏學到不少東西，組長的一些見解尤其是在其數學專業方面的一些見解我也深表認同。

《漫談數學的基本思想》講座的視頻截圖

其中的見解我深表認同，尤其是其中的“直觀是重要的：數學的結果是看出來的、不是證出來的”這個論斷令我不禁擊節讚歎，因為我與其所見略同（詳參：祛魅演繹｜演繹不過是個小三而已：演繹雖然在命題的確立（科技創新）中必不可少，但其重要性和次序只能排老三，以及，祛魅《幾何原本》｜《幾何原本》的“演繹”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中國象棋+元素週期表）

但，“吾愛吾師，吾更愛真理”。

四，結語

不免又想起中科院物理所曹則賢老師的感概——“多麼痛的領悟”：

在我當了物理研究員和教過不少名牌大學的教授多年以後，有一天猛然發現目前這個世界上可能99.99%的數學和物理知識都是我聞所未聞、見所未見的，我甚至有崩潰的感覺。今天中國的中學、大學裏所教的物理不僅不難，而是淺得離譜，淺得讓人無地自容，淺得有辱祖宗，淺得讓人不由得為民族的未來擔心。

入門須正，境界要高。

“必也正名乎！”【語出《論語・子路》。子路曰：“衞君待子而為政，子將奚先？”子曰：“必也正名乎！”子路曰：“有是哉？子之迂也！奚其正？”子曰：“野哉，由也！君子於其所不知，蓋闕如也。名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足。故君子名之必可言也，言之必可行也。君子於其言，無所苟而已矣。”】

— 完 —

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附：“閉眼金雞獨立”中的“道道”

略【孩子的比賽成績是23分鐘——這還是在尚有餘力時被裁判勸停了的（其它選手都早已敗下陣去了，裁判等得都着急了）】。