數學，發現還是發明｜《數學沉思錄：古今數學思想的發展與演變》第一章“神秘的數學”_風聞

按：數學究竟是發明的還是發現的？這個問題前些天風聞曾有討論，我當時給出的自己的一點不太成熟的認識是：“數是被髮明的，數學是被發現的。猶如圍棋，圍棋的器具和規則是發明的，棋道是被發現的。”今天偶爾翻閲到自己曾保存了一篇討論該問題的學術性的文章，而且是大數學家寫的，甚是歡喜，同時也覺得值得與學友們分享，故特此轉發。

**《數學沉思錄：古今數學思想的發展與演變》**​

[美]Mario Livio著，黃徵 譯

第一章神秘的數學

幾年前，我在康奈爾大學發表演講時，我的幻燈片中有一個標題是：“上帝是數學家嗎？”當這個標題剛投影出來時，我聽到坐在前排的一個學生倒吸了一口涼氣：“天啊，我可不希望這樣。”

這個一語驚人的問題，並不代表我打算從哲學上來定義上帝，也不是用來恐嚇那些討厭數學的人們的。事實上，我只是提出了一個迷，這個謎曾令那些最富有創新精神的先賢們苦苦思索了幾個世紀：數學無處不在、無所不能。這些正是會讓人們聯想到神的特性。正如英國物理學家詹姆斯·瓊斯（James Jeans，1877-1946）曾指出的：“宇宙似乎是由一位理論數學家設計的。”數學似乎不僅是描述和解釋整個宇宙最有效的工具，而且可以用來解釋最複雜的人類活動。

今天，無論是物理學家試圖創立一種關於宇宙的新理論，股票市場分析員苦苦思索以預測下一輪股市暴跌，神經生物學家構建大腦功能模型，還是軍事情報專家優化各種軍事資源配置，他們都要使用數學。而且，即使他們在形式上發展出了數學的不同分支，在基礎研究中他們依然需要求助於通用、一致的數學基本理論。是什麼賦予數學如此令人難以置信的力量？或者，正如愛因斯坦曾經驚歎的：“數學，這個獨立於人類經驗存在的人類思維產物，怎麼會如此完美地與物理現實中的物質相一致？”

這種困惑並非一件新鮮事。一些古希臘哲學家，特別是畢達哥拉斯和柏拉圖學派的，已經清晰認識到了數學在形成和支配宇宙方面所具有的能力，並對之懷有深深的敬畏之心。他們發現（數學的）這種能力似乎真實存在，而且超越了人類改變、引導和影響它的能力。英國政治哲學家托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588-1679）毫不掩飾他對此能力的崇敬之情。在他的《利維坦》（Leviathan）一書中，霍布斯關於社會和政府基礎的闡述給人留下了深刻印象。他選擇幾何學作為理性論證的範例。

可以看到，真理存在於把各種名稱正確排序後所組成的斷言中，因此，追求嚴謹真理的人需要記住他所使用的每個名稱的含義，並把它們正確的排列好，否則就會發現自己繞在了文字表述中，就好像一隻陷在椴樹樹枝中的小鳥，掙扎得越厲害，就越不能自拔。為此，在幾何學中（這是迄今為止唯一令上帝滿意並恩賜給人類的學問），人們首先確定名稱的含義（這種含義稱為“定義”），並且把它們作為認知的起點。

上千年來給人以深刻印象的數學研究和廣博的哲學思考，都沒有真正解釋清楚數學力量的奧秘，甚至可以説，在某種意義上，數學的這種神秘感又加劇了。比如，著名的牛津數學物理學家羅傑·彭羅斯（Rorer Penrose）意識到，人類周圍並不是僅有1個世界，而應該有3個神秘世界。按彭羅斯的劃分，這3個世界是：意識感知的世界、物理現實的世界和數學形式的柏拉圖世界。第一個世界是我們所有精神影像的家園，包括我們看到自己孩子笑臉時的歡欣愉悦、欣賞落日餘暉壯美景色時的心曠神怡，或者觀察觸目驚心的戰爭場面時的恐懼和憎惡。在這個世界中還包括愛、嫉妒、偏見、害怕，以及我們欣賞音樂、聞到美食時的感覺。第二個世界就是我們日常所提到的物理現實世界，包括鮮花、阿司匹林藥片、白雲、噴氣式飛機，還有星系、行星、原子、狒狒的心臟、人類的大腦，這些真實存在的東西構成了這個世界。第三個世界是數學形式的柏拉圖世界，這裏是數學的家園，對彭羅斯而言，和精神世界和物理世界一樣，這個世界也是真實存在的。這裏有自然數1、2、3、4……，歐幾里得幾何學所有圖形和定理、牛頓運動定律、弦論、突變論，以及研究股票市場行為的數學模型等。彭羅斯還觀察到了這3個世界之間神秘相聯的3種現象。首先，物理世界的運行似乎遵循着一定的法則，而這些法則真實存在於數學世界中。這也令愛因斯坦感到困惑。諾貝爾物理學獎得主尤金·維格納（Eugene Wigner，1902-1995）也有同樣的疑惑：

數學語言適於表達物理法則，這種神奇是上天賜予我們的絕妙禮物。事實上我們並未真正理解這份禮物，同時也受之有愧。我們應當感謝這份禮物，希望在未來的研究中它仍然有效，而且繼續擴展以拓展人類知識，無論這是好是壞，也無論這帶給我們的是歡樂還是困惑。

其次，人類洞察性思維本身——我們主觀認知能力的源泉——似乎來自於物理世界。思維究竟是如何從物質中產生的？我們是否能夠將思維的工作機理上升為一種理論，如同今天的電磁場理論那樣條理清晰、令人信服？最後，這3個世界神秘地聯到一起，形成了一個閉合的圓。通過發現或創造抽象的數學公式和概念，並將它們清晰地表達出來，洞察性思維才得以奇蹟般地進入數學王國之中。

彭羅斯並未給出任何關於這3個世界神秘現象的解釋。實際上，他的結論非常簡潔：“毫無疑問，並不真正存在3個世界，而是隻有1個世界。並且直到目前為止，對於這個真實世界的本質，我們對它的認識甚至連膚淺也談不上。”與戲劇《四十年來》（Forty Years On，由英國作家艾倫·貝內特創作）中的那位教師回答類似的問題相比，彭羅斯的回答可謂謙遜而坦白。下面即是那位教師的回答。

**福斯特（Foster）：**先生，我仍然對（聖父、聖靈、聖子）三位一體的説法有點困惑。

**教師：**三合為一，一分為三，非常直接，如果有任何疑問就去請教你的數學老師。

這個謎題甚至比我剛才提到的那個更錯綜複雜。利用數學成功解釋我們周圍的世界（維格納稱之為“數學無理由的有效性”），實際上可以從兩個方面去認識，它們都同樣令人驚奇。第一，是其“主動”的一面。當物理學家在自然的迷宮裏迷失方向時，數學會為他們照亮前方的道路，他們使用和創造的工具、建立的模型，和他們所期望得到的解釋，所有這些都離不開數學。顯然，這本身就是一個奇蹟。牛頓觀察到落地的蘋果、月亮、海灘上潮汐（我不是很確信他是否真正看見了），不過他所看到的可都不是數學方程式。但是牛頓卻從這些自然現象中抽象、總結出了清晰、簡潔和精準的數學規律。同樣，蘇格蘭物理學家麥克斯韋（1831-1879）在19世紀60年代拓展了經典物理學範疇。他僅僅使用4個數學公式，就解釋了所有已知的電磁學現象。可以想象，電磁學和光學實驗通常充斥着大量細節性信息，數據量十分巨大，以前都需要用大量篇幅才能歸納和解釋所有這些現象的結論，但現在只需要4個簡潔的方程式！愛因斯坦的廣義相對論更使人驚歎，它是極度精確與自相一致的數學理論中的一個完美範例，這個理論所揭示的正是如時空結構一類的基礎事物。

除了“主動”的一面外，數學神秘的效應中還包括“被動”的一面，它甚至令前者黯然失色，這可能讓你十分驚訝。數學家研究探索數學概念以及各種概念之間的關係時，有時僅僅是出於理論研究的目的，絕對沒有考慮過理論的實用性問題。但是在幾十年後（有時甚至是幾百年後）人們突然發現，他們的理論出人意料地為物理現實問題提供瞭解決方案。你可能要問這怎麼可能呢？那位行為古怪的英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）的例子就十分有趣。哈代為他的純理論數學研究感到非常自豪，他曾斷然宣稱：“我的發現沒有一項已經或者將要給世界帶來絲毫影響，無論這種影響是直接的還是間接的，有益的抑或是有害的。”猜猜結果如何？他錯了！他的一項研究成果被命名為哈代-温伯格定律，這是以哈代和德國物理學家威廉温·伯格的名字命名的，該定律是遺傳學家研究人口進化的基礎。簡單地説，哈代-温伯格定律認為：如果一個基數很大的人口羣體隨機婚配（沒有人口遷移、基因突變和選擇性婚配），基因構成將保持恆定，而且不因世代變化而變化。表面上，哈代研究的是抽象的數論——一門研究自然數的學科，卻出乎意料地被發現能解決現實問題。1973年，英國數學家克利福德柯克斯利用數論在密碼學領域取得了突破性進展。柯克斯的研究成果再次證明了哈代言論的過時。哈代在他1940年出版的那本著名的著作《一個數學家的自白》（A Mathematician’s Apology）中聲稱：“任何人都不可能把數論用於戰爭。”很明顯，他又錯了！密碼學在現代軍事信息傳遞中絕對不可或缺。因此，即使哈代這位最有名的實用數學批判論者也被“拽入”研究具有實用價值的數學理論（如果他還在世的話，一定會對此高聲抱怨）。

這還只是冰山一角。開普勒和牛頓發現了太陽系行星運行軌道是橢圓形的，而古希臘數學家門奈赫莫斯兩千年前就已經研究過這個曲線了。喬治·弗里德里希·伯恩哈特·黎曼（1826-1866）在1854年的一次經典演講中概括了幾門新興幾何學的主要內容，它們恰好是愛因斯坦解釋宇宙結構時所必需的工具。還有一門叫羣論（group theory）的數學“語言”，它是由年輕的數學天才伽瓦羅（1811-1832）所創建的。起初僅僅用來判別代數方程式的可解性，但今天它已經被物理學家、工程師、語言學家甚至人類生態學家們廣泛使用，以研究幾乎所有的對稱性問題。此外，數學上對稱的概念在某種程度上還顛覆了整個科學研究過程。幾個世紀以來，科學家認識宇宙的第一步，都是在反覆試驗和觀察後，收集彙總數據和結果，再從中歸納出通用的自然規律。這種梳理過程從局部觀察開始，之後像拼拼圖一樣一塊塊地拼起來。進入20世紀後，人們認識到條理清晰的數學設計描述了亞原子世界的基礎結構，當代物理學家們開始反其道而行之。他們把數學對稱性置於第一位，堅持認為自然法則和構成事物的基本要素應當遵循某種特定模式，於是根據這種要求，他們推演出通用規律。自然界又是如何知道應當遵循數學上的對稱原理呢？

在1975牛的某天，年輕的數學物理學家米奇·費根鮑姆在洛斯阿拉莫斯國家實驗室利用他的HP-65便攜式計算器演算一個簡單的方程式。他漸漸注意到計算器上的數越來越接近一個特定的數字：4.669……。他驚奇地發現，在他演算其它方程式時，這個神奇的數字再次出現了。雖然費根鮑姆還不能解釋其原因，但他很快就得出結論，他所發現的這個數字似乎標誌着從有序到混沌過渡時的某種普遍性規律。對此，你大可不必驚訝，物理學家們在剛開始時都是懷疑論者。究竟什麼原因導致那些看起來差異極大的系統行為背後卻有相同的數學特徵呢？經過半年的專家評審，費根鮑姆就此專題撰寫的第一篇論文被退稿了。不久之後，實驗證明當液態氦從下面開始加熱時，其變化過程同費根鮑姆通用解決方案預測的結果恰恰一樣。人們發現不僅這一種體系會如此表現。費根鮑姆發現的這個令人驚訝的數字，不但出現在液體從有序流向紊亂的轉換過程中，也會出現在水龍頭滴水的過程中。

這種首先在數學上“預言”規律存在的必要性，爾後才被後人證實其的確存在的例子還有很多，並且仍然在上演。數學世界和真實（物理）世界之間那種神秘的、意想不到的相互影響，在紐結理論（這是一門研究繩結的學科）中得到了生動體現。數學上的“紐結”與現實中繩索上的結十分類似，只不過這根繩索的頭與尾必須拼接在一起。也就是説，數學上的紐結是在一條閉合的、沒有自由活動繩端的曲線之上。説來奇怪，創建紐結理論的主要起因是19世紀發展起來的一種錯誤的原子結構模型。這個模型在提出20年後就被證明是錯誤的了，但是紐結理論作為一門相對難以理解的理論數學分支，卻在不斷發展演化。出人意料的是，數學家在紐結理論領域所做的那些抽象的探索，突然間在現代科學研究中有了十分廣泛的應用。其應用範圍涵蓋DNA分子結構、弦論，等等（弦論試圖將亞原子世界和重力世界統一起來）。我們將在第8章詳細討論這個不同尋常的故事，因為這段循環的歷史也許是一個最好的例證，它充分説明了數學各分支是如何在人類試圖解釋物理現象的過程中產生的，以及隨後如何進入數學的抽象王國，並在其中發展，最終又如何出人意料地回到了起點。

發現還是發明

到目前為止，所有這些簡短的敍述都充分證明，我們所處的世界受數學支配，至少其認識分析過程深受數學影響。正如本書將要提出的，大多數（也許是全部）人類活動似乎都源自於數學，對此，人類自己甚至根本都沒有意識到。讓我們再用一個金融領域的例子來證明——布萊克-斯科爾斯期權定價模型。布萊克-斯科爾斯期權定價模型為其發現者贏得了諾貝爾經濟學獎。該模型中的關鍵平衡等式能幫助我們理解如何確定股票期權價格（期權是一種金融工具，投資者以此共同商定未來某個特定日期股票的價格，並以此價格買入或賣出股票）。令人難以置信的是，該模型的核心問題，布朗運動已經被物理學家研究了幾十年了。布朗運動描述了微粒的不規則、無休止的運動狀態，它可以通過水中懸浮的花粉粒子和空氣中煙塵粒子的運動觀察到。同樣的方程式也可以在星團裏無數個星體運動中觀察到。這是不是有點像《愛麗絲夢遊仙境》中所説的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何運行，畢竟商業和經濟顯然是人類思維所主導創造的世界。

讓我們再來看一個在電路板製造和計算機設計中常見的問題。這些領域裏，都可能要利用激光在平板上鑽出數以萬計的小孔。為了節約成本，設計人員不希望鑽孔行為是一種隨機行為，就像“隨意遊客”。他們希望在鑽孔前找出最短的“路徑”，每個孔都將被“光顧”到，且只“光顧”一次。其實，從上個世紀20年代起，數學家們就開始研究這個“旅行商問題”了。簡單地説，所謂“旅行商問題”，就是假設有一位商人，或者是一位參加競選的參選人，想要以一種最經濟的方式訪問給定數量的所有城市，其中任意兩座城市之間旅行的花費是已知的。他的問題就是找出一條能將所有城市都訪問完、並且最後要回到原始出發點的、最便宜的那條路線。1954年，美國人給出了49個城市的“旅行商問題”解決方案，2004年瑞典人給出了24978個城市的解決方案。今天，電子工業、物流公司發送包裹，甚至日本彈珠盤遊戲機（與彈珠類似，需要擊打數千次手指）製造都可以最終簡化為這個數學問題，並且其效率提高都依賴於這個問題的答案。

數學還進入了一些傳統上與之聯繫並不十分緊密的學科領域。例如，有本期刊叫《數理社會學雜誌》（2006年出版了第30卷）。其所謂的數理社會學，是通過數學工具來研究和分析複雜的社會結構、組織和非正式羣體。該雜誌所發表的文章主題涵蓋很廣，包括預測公眾觀點的數學模型、預測社會羣體中某些交互行為的數學模型，等等。

讓我們換個方向，把目光從數學轉向人文學科，來看看計算語言學。這門學科起初只涉及計算機科學家，但今天它已經發展為一門跨學科的研究領域，它把語言學家、認知心理學家、邏輯學家以及人工智能專家集中在一起，共同研究自然進化語言的複雜性。

這難道是捉弄我們的惡作劇嗎？人類所有試圖領會和理解世界奧秘的努力，最終卻帶領我們發現了越來越精細複雜的數學領域，而這些領域正是宇宙，甚至人類所有行為的基礎。難道數學就是教育工作者所謂的秘籍嗎？（為了防止“教會徒弟，餓死師傅”，老師通常會把書上的知識藏起來一部分不教給學生，這樣老師就總顯得比學生高明。）或者，借用聖經上的一個隱喻：數學是智慧之樹結出的最終果實嗎？

正如我在本章開始部分所介紹的，數學無理由的有效性產生了許多有趣的問題：數學是一種完全獨立於人類思維的存在嗎？換句話説，就像天文學家們發現先前未被人類所觀察到的星系那樣，我們是否只是發現了本已存在的數學真理？若不是，難道數學只是人類的發明？如果數學真實存在於某個抽象的世界中，那麼這個神秘的世界與物理現實世界之間是什麼關係呢？只擁有有限知識的人類如何才能超越時空限制進入這個永恆不變的神秘殿堂？另一方面，假如數學僅僅是人類的發明，並且只存在於人類意識中，那麼我們又如何解釋，發明出來的這麼多數學真理怎麼會如神蹟般地準確預言了幾十年後，甚至幾百年之後才出現的宇宙和人類生活中的某些問題呢？這些問題並不像表面上看到的那麼簡單。正如我在書中反覆講到的，即使在今天，數學家、認知學家、哲學家們對此還存在分歧。1989年，法國數學家阿蘭·孔涅（Alain Connes，他贏得了數學界最有名望的兩項榮譽：1982年的菲爾茲將和2001年的克拉夫獎）曾很清晰地表達了他的觀點：

根據我的觀察，質數（僅能被1和自己整除的數）組成的世界，遠比我們周圍的物質世界穩定。數學家的工作可以與探險家發現世界相媲美。他們都是從經歷中發現基本事實。舉例來説，通過簡單的計算，我們發現質數的序列似乎永無窮盡。那麼，數學家的任務就是證明存在無窮多的質數，當然這是歐幾里得提出的一個古老結論。這個論證中最有趣的一個推論就是，如果某一天有人宣稱他發現了最大的質數，很容易就能證明他是錯誤的對任何其他論證來説同樣如此。由此可見，我們面對的數學如物理現實一樣無可爭議。

著名的多產數學科普作家馬丁·加德納支持“數學是一種發現”的觀點。對他來説，無論人類認識與否，數字及數學都是獨立於人類認知存在的，這一點毫無疑問。他曾風趣地評論：“如果森林中有兩隻恐龍與另外兩隻恐龍相遇，不管周圍是否有人類在觀察，那兒都會有4只恐龍。但是愚蠢的熊卻不會知道。”正如孔涅強調的，“數學是一種發現”的觀點（這也是柏拉圖的看法）的支持者認為，一旦人們理解了某個數學概念，如自然數1,2,3,4,……，那麼就會面臨一些無可爭議的事實，如32+42=52，這與人們如何看待它們之間的聯繫無關。這至少給我們留下一種印象，我們接觸的是已經存在的真實世界。

當然，不是所有人都這麼認為。在為孔涅的一本書（在該書中，孔涅表達了他的上述觀點）撰寫評論文章時，英國數學家邁克爾·阿蒂亞爵士（他在1966年獲得了菲爾茲獎，2004年獲得阿貝爾獎）寫道：

每一位數學家都會支持孔涅。我們都感到整數、圓在某種抽象意義上是真實存在的，並且柏拉圖的觀點（我在本書第2章會詳細討論）十分有吸引力。但是我們真的能支持它嗎？假如宇宙是一維空間的話，或者甚至是離散的，很難想象幾何學在這個一維空間中如何孕育發展的。對人類來説，我們對整數似乎更在行，並且計數是真正原始的概念。但是想象一下，如果文明不是出現在人類中，而是出現在太平洋深處，出現在獨居並與世隔絕的水母中，情況又會如何？水母不會有個體的體驗，只會感覺到周圍的水。運動、温度和壓力將給它提供基本感知經驗。在這樣的環境中不會出現離散的概念，也不需要計數。

由於阿蒂亞確信：“通過理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人類創造了數學。”語言學家喬治·萊考夫（George Lakoff）和物理學家拉斐爾·努涅斯也持同樣的觀點。在他們合著的《數學從哪裏來》（Where Mathematics Comes From）一書中，他們總結道：“數學是人類天性的一部分，它源於我們的身體、大腦以及我們在這個世界中每天的經歷。”

阿蒂亞、萊考夫和努涅斯的觀點又引出了另一個有趣的問題：如果數學完全是人類發明的話，它真的具有普遍性嗎？想象一下，如果外星文明真的存在的話，它們是否也會發明出與我們相同的數學呢？卡爾·薩根（Carl Sagan，1934-1996）過去認為答案是肯定的。在他的《宇宙》（Cosmos）一書中，當探討智能文明會將哪種訊息傳播到外空間時，他提出：“任何自然的物理進程都不可能在傳播無線信息時只包括質數。假設接收到這樣的信息，我們就能推斷出那裏存在至少喜歡質數的文明。”但這如何確定呢？在新書《一門新科學》（A New Kind of Science）中，數學物理學家史蒂芬·沃爾夫拉姆（Stephen Wolfram）認為這種稱為“人類的數學”的智慧，也許僅代表從數學之樹上開放的、眾多不同的“花朵”中的一朵。例如，如果不使用基於數學公式的法則來描述自然的話，人類也可以使用其他不同類型的法則（比如，在簡單的計算程序中所體現的法則）。另外，一些宇宙學家們最近已經開始討論我們身處的宇宙可能是多元宇宙（眾多宇宙的集合體）的一個組成部分。如果這種多元宇宙真實存在的話，其他宇宙空間中所發展出的數學與我們的數學一致嗎？

有一些分子生物學家和認知學家基於大腦功能的研究提出了另外一種觀點，數學同語言區別不大。換句話説，基於這種“認知”，人類在注意自己的雙手、雙眼、兩胸無數世代後，數字“2”的抽象定義慢慢形成。同樣，“鳥”這個字的概念也是這樣形成的——人們逐漸認識到這個字代表有兩隻翅膀、並且能夠飛起來的動物。正如法國神經系統學家讓皮埃爾·尚熱（Jean-Pierre Changeux）所説的：“對我而言，公理法（例如歐幾里得幾何學就是建立在幾條公理之上的）就是與使用大腦相關聯的理性能力的表現。”但是，如果數學算另外一種語言的話，我們又如何解釋孩子們在學習語言時會相對比較輕鬆，但其中相當一部分在學習數學時卻倍感吃力呢？蘇格蘭天才兒童馬喬裏·弗萊明（Marjory Fleming，1803-1811）就用一種極為無奈的語氣描述了她在面對數學時的那種痛苦。弗萊明不到9歲就夭折了，在她的日記中留下9000多字的散文和500多行的詩歌。在一篇日記中她曾抱怨道：“我要告訴你的是乘法表帶給了我無盡痛苦和煩惱，你可能難以想象。最難對付的就是8乘8和7乘7，這真是讓人無法忍受。”

這個問題很難回答。如果考慮其他一些因素的話，它可能就會轉變成另一個問題：與其他表現人類思維的方式（如美術和音樂）相比，數學和它們有什麼本質不同？如果沒有什麼本質不同的話，那麼，為什麼數學會表現出一種不可思議的邏輯性和自相一致性，而這些特徵是其他任何一種人類創造都不具備的？以歐幾里得幾何學為例，雖然它是在公元前300年創立的，但直到目前，它依然是正確的（當然要看它的應用領域），它表達的某些“真理”現在仍然被遵守。相比之下，今天我們既無法強迫現代人喜歡古希臘人所聽的音樂，也無法再繼續堅持亞里士多德幼稚的宇宙模型。

一方面，在科學研究的各領域中，很少會出現繼續沿用300年前的思想和概念的情形；另一方面，最新的數學研究可能會參考去年甚至上週才發表的數學定理，但是也有可能引用公元前250年阿基米德所證明的球表面積公式。19世紀的原子結構模型的理論僅僅存在了20年就被拋棄了，那是因為有新的發現證明該理論基本原理有錯誤，這也是大多數科學研究發展的一般過程。因為站在了巨人的肩膀上，所以才能看得更遠，所以牛頓對那些巨人不吝溢美之詞（也許沒有，參見第4章）。但同時，牛頓也許還應該向那些巨人們道歉，因為他的工作使很多他腳下巨人的理論過時了。

但這不是數學理論發展的路線圖，儘管用來證明某些結論的形式已經改變了，但是數學結論本身卻始終沒有什麼差別。事實上，正如數學家及作家伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）曾經指出的：“在數學領域裏，謬誤一詞表示先前以為是正確的、而後來卻發現有錯誤並被糾正的結論。”並且它們之所以被證明是謬誤的結論，也不是因為在其他學科領域有了新的發現，而是通過更仔細、更嚴格地參考那些同樣古老的數學真理才被證實的。難道數學真的是上帝的語言嗎？

如果你認為對數學究竟是一種“發現”或是一種“發明”的理解無關緊要，請想想這兩個詞之間的差異在下面這個問題裏的深長意味：“上帝是一種發現還是一種發明？”或者另一個更刺激的問題：“上帝是按自己的模樣創造了人，還是人類以自己的形象創造了上帝？”

在本書中我將和大家一直探尋這些以及其他問題的答案。我們將回顧那些歷史上和當今最偉大的數學家、物理學家、哲學家、認知學家和語言學家們在各自領域所作出的卓越貢獻，以及在其研究過程中體現出的遠見卓識。書中還要回顧一些近代思想家們的觀點、警言和他們對這些問題所持有的保留意見。讓我們先以早期哲學家們的某些開創性觀點為起點，開始這段激動人心的旅程吧。