從《巖波數學辭典》(第4版)看20世紀數學的發展_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！04-13 10:54
撰文 | 陳躍
20世紀是數學飛速發展的世紀。特別是在20世紀的後50年裏，數學知識出現了前所未有的爆炸性增長，大量的重要問題得到了解決或取得了突破性的進展。如今的數學真正成為了人類知識範疇中最深奧難懂和最博大精深的一個領域，其抽象與艱深的程度登峯造極，這種狀況對於學習和運用現代數學的人們來説造成了巨大的困難。
國內外數學界歷來十分重視數學百科全書的寫作，這是因為通過全面總結和展示現代數學的基本知識和主要成就，可以幫助人們更好地學習和掌握數學，並推動數學的進一步發展。與其他的學科完全不同，數學作為一門在本質上只研究抽象模式 (Pattern) 的理論科學，其發展更多地是依靠之前歷史上所獲得數學知識的積累和發展，所以百科全書這類著作對於數學的重要性要遠超過其他學科。
早在一百多年前的1898年，人們就開始編寫全面總結19世紀數學成就的德文版數學百科全書 (Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften)，歷時二十多年才告完成。
而到了上世紀的1977年至1986年間，前蘇聯的幾百位數學家共同編撰了一部篇幅巨大的《數學百科全書》(Математическая энциклопедия)，它比較全面地總結了20世紀70年代以前的現代數學基本成就，它的出版頗受好評。不久，荷蘭的萊德爾出版公司出版了由180位西方數學家參加翻譯的英文版《數學百科全書》(Encyclopaedia of mathematics)。中國數學會在上世紀90年代組織翻譯了這部長達5卷的《數學百科全書》(科學出版社，1994-2000年)。此外，國內還陸續出版過根據日本《巖波數學辭典》(第2版) 翻譯而成的《數學百科辭典》(科學出版社，1984年)、《中國大百科全書數學卷》(中國大百科全書出版社，1988年)、《數學大辭典》(科學出版社，2010年) 等大型百科全書類的著作，它們的出版有力地促進了我國數學事業的進步和發展。
然而以今天的21世紀眼光看，儘管所有這些數學百科全書著作都有各自的優點，但是卻有一個共同的不足之處，那就是它們基本上只反映了20世紀70年代以前的數學發展狀況，所以還遠不能滿足人們在當下全面瞭解和學習現代數學的迫切需求。陳省身先生曾經在中文版《數學百科全書》的序言中説：
“數學是一種‘活’的學問：它的內容，不斷在變化，在進展。我們現在大學研究院數學活動的內容，大部分在五十年前是不存在的，其他一部分則是昔賢偉大思想的精華，將歷久彌新”，“面對着這座巨大的建築，令人惶惑。百科全書原不為有涯之身所能控制的。數學工作者的使命在對某些選定的項目，增加了解和探索。”
隨着現代數學各分支快速地交叉發展和日趨統一化，出版一部比較緊湊的、並且能夠基本上覆蓋全部20世紀數學的包羅萬象的百科全書，變得比以往更為迫切了。令人感到十分高興和振奮的是：現在居然已經有了這樣的一部數學百科全書，它就是由日本數學會在2007年重新編撰出版的《巖波數學辭典》(第4版)，這部高質量的著作可以説是全世界範圍內第一部能夠比較完整地反映在整個20世紀裏所取得的現代數學最基本成就的百科全書。
《巖波數學辭典》(第1版) 最早出版於1954年，共有591頁。它試圖按照布爾巴基的精神來全面總結20世紀上半葉數學發展的主要成就，即“自覺運用所謂抽象化方法，在不同分支中如果相同理論成立，那麼就可由相同的公理對它們加以演繹，從集合、對應等一般概念出發，可以把全部數學在拓撲和代數的基礎上重新進行組織。”從而將“全部數學儘可能透徹地納入一個體系”，作為一部辭典，它“試圖對數學及其各應用領域的重要術語都分別給出明確的定義，在介紹歷史發展背景的基礎上，敍述各分支研究的現狀，並指出未來的展望”（見《巖波數學辭典》第1版序言）。
布爾巴基的高觀點決定了這部數學百科全書從一開始就必定採用不同於其他同類書籍的寫法。《巖波數學辭典》(第1版) 最突出的優點是首創了中等詞條的做法，並且在以後的各版中都延續了這一重要的做法，這為該書在以後的巨大成功奠定了堅實的基礎。所謂“中等詞條”，是相對於大的領域詞條和小詞條來説的，例如在寫大的領域 “拓撲學”時，《巖波數學辭典》只寫它所包含的“拓撲學 (歷史概述)”、“基本羣”、“覆蓋空間”、“映射度”和“復形”等二十幾個中等詞條。每個中等詞條 (可以大致看成代表了一個分支) 實際上都是一篇有相當長度的簡明扼要的綜述性文章，裏面又各自包含了該分支至少十幾條或者幾十條小詞條（每個小詞條對應了一個小分支）。這樣，就不用再另外單獨地寫小詞條了。中等詞條的作用是將大量分散的小詞條整合成了一個整體，從而可以讓人們看到各個小詞條之間內在的有機聯繫。
《巖波數學辭典》(第1版) 的主編彌永昌吉這樣解釋為什麼要使用中等詞條：“為了很快查到各術語的定義，小詞條是比較方便的，但是數學已成為系統的學科，把相互關係密切的概念納入一個（中等）詞條下進行説明，可以在和整體的聯繫中正確掌握各個概念，同時能省去冗長的説明，也是有利的。”而與此相反，一般的數學百科全書基本上採用的都是小詞條的寫法，這樣就容易導致出現內容龐雜、主次不分和理論的整體條理不清晰等缺點，這種寫法對於像現代數學這樣的高度抽象和複雜的理論學科來説，很可能會讓人不得要領，甚至感覺像是陷入了定義和定理的汪洋大海而迷失了方向。
1968年，日本數學會根據當時數學新的發展狀況，繼續出版了《巖波數學辭典》的第2版，該版增加了不少像“範疇與函子”、“K理論”、“Abel簇”、“層論”和“同調代數”這樣的新中等詞條，同時還大幅度修訂了許多原有的中等詞條，使第2版的篇幅增加到了1140頁，幾乎是第1版的兩倍。在5年以後的1972年，美國麻省理工學院出版社出版了《巖波數學辭典》(第2版) 的英文第1版，書名為Encyclopedic Dictionary of Mathematics，它立即獲得了歐美數學界的高度關注，例如布爾巴基學派的著名數學家J.Dieudonné就在第一時間專門寫了書評，登載在《美國數學月刊》1979年第3期上。
在1985年，日本數學會緊接着又推出了《巖波數學辭典》的第3版。在第3版的前言中，主編伊藤清説，在第2版出版後的17年裏，數學內部進一步的交叉融合發展與數學對外部科學世界的大量應用，使得有必要出版第3版，以及在此基礎上的英文第2版 (它在1987年出版)。該版中等詞條的數量從原來的436條增加到450條，其中原有的許多中等詞條得到了大幅度的改寫與合併，總頁數也增加了50%。
接下來，時光又過去了20年。在進入到了21世紀的2007年，人們終於等來了《巖波數學辭典》的第4版。在這重要的20年裏，現代數學更富有戲劇性地向前發展，達到了輝煌的頂峯，費馬大定理和龐加萊猜想等一系列重大問題最終獲得了圓滿的解決，並且在幾乎所有的數學分支學科裏都發生了更顯著的變化，不僅各分支之間的聯繫不斷加深，而且數學對自然科學和社會科學的應用也進一步擴大。日本數學會認為：《巖波數學辭典》的第3版已經完全不合時宜了，這20年的數學發展都必須反映在《巖波數學辭典》的第4版中，從中可以看到現代數學的各分支比以往更加融合，現代數學統一化的趨勢應該更加明顯。與前面的第2版和第3版相比，第4版的變動最大，所增加的新的中等詞條几乎佔到了總數的三分之一，達到了515箇中等詞條，並且對原有的大部分中等詞條也都進行了大規模的改寫與擴充。所有的參考文獻也作了全新的調整，儘量提供最新的以及更容易找得到的基本文獻。第4版的總頁數比第3版增加了20%，達到了1976頁。
與第2版相比，《巖波數學辭典》(第4版)可以説幾乎就是一部全新的著作。特別是在數論、羣論與表示論、代數幾何、微分幾何學、拓撲學、複分析、泛函分析等基礎數學領域，以及應用數學和計算數學的領域中，湧現了大量的新分支學科。其中尤其以數論、代數幾何、微分幾何與拓撲學等領域表現得最為明顯，它們在《巖波數學辭典》(第4版) 中所新增加的相關內容的篇幅是原來篇幅的兩倍以上，顯示了這些分支學科在20世紀最後30年裏所取得的巨大進步。許多表現前沿分支的新中等詞條由於內容極其豐富，所以寫得特別長，例如“自守形式”和“志村簇”等詞條就是這樣。此外為適應應用數學和計算數學眾多分支的迅速增加，《巖波數學辭典》(第4版) 還專門增加了“應用分析”、“離散數學與組合論”和“信息科學中的數學”這三個領域。
除了大量吸收現代數學的新成果外，《巖波數學辭典》(第4版) 還特別注重提高各詞條文章的可讀性，它儘量採用最現代標準的數學記號和術語來清楚簡明地給出數學概念和定理，用平易的語言儘量深入淺出地解釋其所包含的意義和內涵，其中不乏真知灼見。此外為了讓讀者更好地瞭解高深複雜的現代數學的來龍去脈，《巖波數學辭典》(第4版) 還對幾乎所有的各主要領域或分支的歷史概述詞條都作了一定程度的擴充和介紹。
下面按照數學領域的劃分，詳細列出了《巖波數學辭典》(第4版) 中全部的中等詞條，並且對各個領域的發展歷史作了一點非常簡單的介紹。
01
數學基礎和數理邏輯領域
數理邏輯與數學基礎 (歷史概述)，形式體系的語義學，形式體系與證明，可計算的函數，模型論，穩定性理論，非標準分析，順序極小(o-minimal)理論，公理集合論，力迫法，大基數，描述集合論，遞歸理論，判定問題，不可解度，可構造序數，證明理論，Gödel不完全性定理，算術的非標準模型，類型論與λ-計算，Herbrand定理與分解原理，非標準邏輯，悖論。
02
集合與點集拓撲領域
集合，關係，等價關係，函數，選擇公理，基數，結構，排列與組合，數，實數，複數，序，序數，格，Boole代數，拓撲空間，度量空間，平面區域，收斂，連通，維數，一致空間，一致收斂，範疇與函子，歸納極限和射影極限，層論。
03
代數學領域
代數學(歷史概述)，矩陣與行列式、多項式與代數方程、域與伽羅瓦理論、線性空間、張量積與外積、羣論、有限羣、有限單羣、結晶體羣、典型羣、拓撲羣、緊羣、李羣、李代數、代數羣、環論、代數、模論、羣表示論、代數表示論、同調代數、Hopf代數、交換環與諾特環、範疇與函子、不變量理論、冪級數環、唯一分解整環、交換環的同調理論、優秀（excellent）環、Hensel環與逼近定理、理想的胎緊閉包（tight closure）、二次型、Clifford代數、微分環、Witt向量、賦值論、阿代爾與伊代爾、Cayley代數、Jordan代數、格論、Boole代數、對稱空間、齊性空間上的羣作用、不連續羣、模表示、酉表示、無限維表示、羣作用與不變量、D-模、量子羣、無限維李代數。
抽象代數起源於19世紀伽羅瓦等數學家在羣論方面的工作，在20世紀初數學公理化的思潮中，又出現了環與域的抽象理論。
線性代數的基本理論也產生於20世紀初，後來又進一步發展成了關於環上的模的理論。與此同時，表示論也發展了起來，羣表示論是其中最基本的內容。簡單地來説，羣表示論是把一個抽象的羣與比較具體的矩陣聯繫起來，使得羣中的運算對應到矩陣的乘法（此時稱這種聯繫為羣在有限維線性空間上的表示），這樣就能夠將羣論中的問題轉化為容易解決的線性代數問題。此外，羣還可以表示在無限維線性空間上，這時就可以運用分析學的方法來解決羣論的問題。
從1930年代開始，隨着範德瓦爾登的兩卷名著《代數學》的發表，抽象代數得到了進一步的發展，抽象代數方法被運用到了數學的各個領域中，特別是數論領域和代數幾何學領域。
李羣和李代數理論的研究在20世紀有了很大的發展，例如人們發現，李羣的齊性空間的拓撲不變量由對應的李代數的權、根和外爾房來決定。古典的調和分析與緊李羣的表示論密切相關，由此形成了非交換調和分析的理論。從半單李羣理論中，還發展出了代數羣和謝瓦萊（Chevalley）羣的理論。
在1950年代，由於受拓撲學發展的影響，同調代數誕生了，由此促進了同調方法在數學的其他分支學科中的運用。例如在代數幾何中就用到了關於交換環的同調代數理論。
在20世紀的下半葉，對代數的結構和代數表示論的研究取得了很大的進步。
04
數論領域
20世紀的下半葉數論領域所取得的最主要成就是：代數簇的算術理論、分圓域理論、朗蘭茲猜想、Weil猜想的證明、莫德爾（Mordell）猜想的證明、費馬大定理的證明。由於數論領域中所使用的方法不斷翻新，因此湧現了數論領域中一系列新分支學科。數論領域成為了大量數學理論的應用場所，用以檢驗這些數學理論的有效性，例如算術幾何就是將代數幾何的方法運用到數論裏而產生的一個新分支學科，其中的Weil猜想是通過運用了格羅滕迪克的平展（étale）上同調理論而得到證明的。
05
代數幾何學領域
代數幾何 (歷史概述)，代數曲線，代數曲面與復解析曲面，代數簇，層及其上同調理論，有理映射與奇點，除子與Abel簇，閉鏈與周環，代數空間與形式概形，極化簇，代數簇的拓撲與比較定理，代數向量叢，Hodge理論，Abel簇，有理簇與Fano簇，雙有理幾何，環面簇，相交理論，奇點理論，模空間問題。
19世紀代數幾何主要的研究對象是代數曲線。在20世紀，數學家們轉向代數曲面和高維代數簇的研究。人們開始運用抽象代數、整體微分幾何和拓撲學的方法來精確地描述代數簇的各種幾何性質，在1960年代，格羅滕迪克通過創立概形理論，為代數幾何建立了一個牢固的邏輯基礎，並且由此促進了代數幾何的大發展。
另一方面在20世紀中，複數域上代數幾何的超越方法也有了重大的進展，例如有Hodge的調和積分理論的應用、小平邦彥等人的變形理論等成果。在20世紀的下半葉，模空間理論的研究取得了很大的成就，人們對代數簇的分類有了更多的瞭解。大量的代數幾何經典問題得到了解決，並且在解決的過程中形成了不少代數幾何領域新的分支學科。
06
幾何學領域
幾何學 (歷史概述)，歐氏幾何，歐氏空間，非歐幾何，射影幾何，仿射幾何，共形幾何，埃爾蘭根綱領，幾何基礎，幾何作圖問題，正多面體，圓周率，三角學，二次曲線與二次曲面，凸集，座標，向量分析，曲線，曲面，四色問題，組合幾何。
幾何學領域相對來説比較經典，因此其中包含的新分支學科很少，在這裏只列出了一個：組合幾何。
組合幾何（又稱為幾何組合學）是對歐氏幾何內有限個幾何對象的配置分類、組合計數進行研究所產生的數學理論，它與計數幾何、圖論、離散幾何等分支學科都有些交叉。組合幾何也屬於組合數學的範疇。
07
微分幾何學領域
微分幾何 (歷史概述)，流形，Riemann流形，聯絡，張量與旋量，整體Riemann幾何，齊性空間的微分幾何，G-結構與等價問題，複流形，調和積分，曲線與曲面的微分幾何，子流形的微分幾何，極小子流形，幾何測度論，調和映射，Morse理論，仿射微分幾何，Finsler空間，積分幾何，譜幾何，剛性與幾何羣論，辛幾何與切觸幾何，模空間與偏微分方程，一些新的幾何分支介紹（如Twistor空間、Calabi-Yau流形等）。
在19世紀，微分幾何學主要還是研究流形的局部性質，而到了20世紀，幾何學家們開始研究流形的整體（或大範圍）性質。De Rham在1931年證明了流形的上同調不變量可以通過微分形式的計算來得到，接着霍奇證明了一個十分重要的定理：在緊黎曼流形上，每個上同調類中都有唯一的調和微分形式，這樣，人們就能夠用微分幾何和分析的手段來獲取流形的上同調不變量。
在1930年左右，數學家們發現了一類重要的複流形，稱為凱勒（Kähler）流形，它具有和黎曼度量相類似的凱勒度量。在凱勒流形上，可以建立起關於調和積分的極其有效的Hodge理論。由於射影代數簇也屬於凱勒流形，因此人們研究代數幾何又多了一種微分幾何的方法。
在1940年代，聯繫流形的局部與整體性質的高斯-博內定理被陳省身先生推廣到了高維，然後他由此發展了陳（省身）示性類的理論。陳類理論後來被用來表達高維的黎曼-羅赫定理，後者又進一步發展成了阿蒂亞-辛格指標定理。
在20世紀的下半葉，微分幾何學與拓撲學、微分方程、複分析、代數幾何和數學物理等領域進一步加強了聯繫，從而獲得了迅速的發展。
在講解整體微分幾何的起源時，《巖波數學辭典》(第4版)扼要地敍述了H. Hopf在1920年代開始研究黎曼空間的局部微分幾何結構與整體拓撲性質的聯繫、微分流形概念的產生促進了李羣整體理論的誕生、de Rham和Hodge用微分形式來表示拓撲不變量、Kähler流形理論的產生、流形上高斯-博內定理的證明和示性類的發現、Bochner用調和形式刻畫Kähler流形、C. Ehresman建立主叢上的聯絡理論，以及所有這一系列發展與Yang-Mills聯絡及4維流形等現代數學理論之間的關係等。通過這樣的簡單歷史介紹，就能夠使讀者大致明白整體微分幾何的宗旨就是建立起微分流形的局部微分性質與整體拓撲性質的緊密聯繫。
08
拓撲學領域
拓撲學(歷史概述)，基本羣，覆蓋空間，映射度，復形，同調論，不動點定理，同倫論，纖維叢，障礙理論，示性類，拓撲K理論，紐結理論，變換羣，可微映射的奇點，葉狀結構，動力系統，低維動力系統，雙曲動力系統，保守動力系統，動力系統中的分歧，流形的拓撲，指標定理，3維流形，4維流形，幾何拓撲。
早期不用抽象代數的拓撲學也被稱為組合拓撲學。在20世紀的上半葉，引入了同調羣的基本概念，這標誌着代數拓撲的誕生，然後數學家們建立了系統的同調論和同倫論。
從阿蒂亞-辛格指標定理出發，人們系統地發展了指標定理理論，它在刻畫流形的拓撲性質方面具有很重要的作用。
對3維流形和4維流形的研究也非常重要，這方面的研究已經取得了很大的進展。動力系統理論最早起源於常微分方程的定性理論，後來數學家們運用了微分拓撲的方法來研究微分流形上的常微分系統，建立了結構穩定性理論，由此促進了動力系統的發展。
紐結理論是拓撲學領域中很重要的一個分支學科，它與低維流形的拓撲性質的研究密切相關。
9
分析學領域
分析學 (歷史概述)，連續函數，不等式，凸分析，有界變差函數，微分學，算子演算，隱函數，初等函數，-函數、超可微函數和擬解析函數，積分學，線積分和面積分，測度論，積分理論，不變測度，長度和麪積，分形，級數，漸近級數，多項式逼近，正交函數系，Fourier級數，Fourier變換，小波，調和分析與實分析，殆週期函數，Laplace變換，積分變換，位勢論，調和函數與上(下)調和函數，Dirichlet問題，容量，變分法，Plateau問題，等周問題。特殊函數，母函數，橢圓函數，Γ函數，超幾何函數，球函數，合流型函數，Bessel函數，橢球調和函數，Mathieu函數，q級數，多重對數函數，特殊正交多項式。
分析學領域中的數學理論也比較經典，它們大多在19世紀和20世紀初就已經形成，其中就包括了數學分析（高等微積分）、實變函數論、經典的調和分析、變分法等理論。當然在20世紀，分析學領域中的許多研究也有不少的進展。
10
複分析領域
數學家們在19世紀就已經建立了複變函數論的初步理論，其中就包括了黎曼面（或黎曼曲面）理論和橢圓函數理論，這些理論對後世的影響很大。在20世紀，值分佈理論、擬共形映射、Teichmüller空間等重要理論的研究取得了很大的進展。
在20世紀初，人們開始研究多複變函數論。由於多複變函數非常複雜，所以就用到了微分幾何、代數幾何、拓撲學、微分方程等領域中的許多理論與方法。
11
泛函分析領域
泛函分析(歷史概述)，Hilbert空間，Banach空間，有序線性空間，拓撲線性空間，函數空間，廣義函數與超函數，向量值積分，線性算子，緊算子與核型算子，插值空間，算子的譜分析，算子不等式，線性算子的攝動，算子半羣和發展方程，Banach代數，﹡-代數，函數代數，von Neumann代數，非線性泛函分析。
泛函分析的起源可以追溯到Volterra在1887年的重要工作，那時他就提出了算子這個重要概念，算子將函數變成函數。如果算子的值域是數域，那麼算子就成為了泛函。Volterra與Fredholm在研究積分方程時，提煉出了泛函分析的基本思想，然後在此基礎上，希爾伯特研究了從希爾伯特空間上的連續算子，他的一個重要發現是連續譜。
在1929年，馮·諾伊曼（von Neumann）證明了一個十分重要的定理：希爾伯特空間中的閉線性算子T有實譜分解的充要條件是T是自共軛算子，這個結果為量子力學奠定了必要的數學基礎。
在1932年，數學家巴拿赫（Banach）引進了比希爾伯特空間範圍更廣的巴拿赫空間的概念，他證明了一系列關於巴拿赫空間中閉線性算子的基本定理，其中包括開映射定理、閉圖象定理和一致有界定理等，這些定理以後又被布爾巴基學派推廣到了局部凸拓撲線性空間中。
巴拿赫代數在1936年被引進，蓋爾範德（Gel’fand）在這方面的基礎工作，使得巴拿赫代數後來成為在研究局部緊羣的線性表示理論時的重要工具。
微分方程領域
微分方程論，常微分方程的初值問題，常微分方程的邊值問題，線性常微分方程，線性常微分方程的局部理論，線性常微分方程的大範圍理論，非線性常微分方程的局部理論，非線性常微分方程的大範圍理論，Painlevé方程，非線性振動，非線性問題，穩定性，積分不變量 (即積分不變式)，差分方程，泛函微分方程，全微分方程，偏微分方程的解法，亞橢圓性與可解性，偏微分方程的初值問題，複數域中的偏微分方程，一階偏微分方程，Monge-Ampère方程，橢圓型偏微分方程，雙曲型偏微分方程，拋物型偏微分方程，混合型偏微分方程，偏微分方程理論中的不等式，Green函數與Green算子，積分方程，積分微分方程，特殊微分方程，微局部分析與擬微分算子。
20世紀的常微分方程理論的研究主要有三個方面：解析理論（例如用常微分方程來描寫自守函數），定性理論（後來發展成為動力系統理論）、各種常微分方程應用的研究。
偏微分方程理論在現代數學中具有很重要的作用，它是聯繫一些數學分支學科和自然科學各個學科之間的一個橋樑。在20世紀30年代前，偏微分方程主要研究部分數學物理方程經典解的求法。從30年代起，各種泛函分析的方法被用於偏微分方程的研究，人們致力於尋求偏微分方程的廣義解。到了60年代，數學家們又將微分算子發展成了擬微分算子，後來進一步發展成微局部分析方法。
在線性偏微分方程理論發展的同時，對各種非線性偏微分方程的研究也獲得了許多進展，為此人們不斷發展出各種各樣的方法來解決大量複雜的非線性問題。
13
計算數學領域
數值分析 (歷史概述)，線性方程組的數值解法，非線性方程組的數值解法，特徵值的數值計算法，數值積分法，常微分方程的數值解法，偏微分方程的數值解法，有限差分法，有限元方法，函數值計算法，自我校正 (self-validating) 方法。
計算數學也稱為數值分析。在20世紀40年代計算機出現後，科學技術對數值計算方法的需求大幅度增加，為此人們發展出了計算函數值、求積分值、求代數方程和線性方程組的解、求微分方程的數值解的實用方法，特別是可以用很有效的有限元方法來求偏微分方程的近似解。在各種算法的理論研究中，不僅要研究算法的穩定性，以便能夠很好地控制不可避免的計算誤差，還要儘量提高算法的收斂速度。
14
應用分析領域
數學模型， 反應擴散方程，自由邊界問題，變分分析，流體力學方程，守恆定律，非線性波動方程與非線性色散方程，散射理論，反問題，黏性解。
最近幾十年來，微分方程領域與數學物理領域交叉發展，迅速形成了一系列新的分支學科。應用分析領域就是由這些新的分支學科組成的一個新領域。
15
概率論領域
概率論，概率測度，隨機過程，極限定理，Markov過程，Markov鏈，Brown運動，Lévy過程，鞅，擴散過程，隨機微分方程，Malliavin隨機分析，測度值過程，Gauss過程，平穩過程，遍歷理論，隨機控制與隨機濾波，統計物理中的概率方法。
遍歷理論最早起源於統計力學，後來它發展成為一門與平穩過程理論密切相關的重要分支學科。
16
數理統計領域
數理統計學 (歷史概述)，統計模型與統計推斷，統計量與樣本分佈，統計估計，假設檢驗，多元分析，魯棒與非參數方法，試驗設計，抽樣方法，保險數學，時間序列分析，隨機過程的統計推斷，統計計算，信息幾何。
數理統計是和概率論一起發展起來的，數理統計的方法可以應用在自然科學和社會科學的各種專門領域中。
17
離散數學與組合論領域
離散數學與組合論，圖論，計數組合學，擬陣，設計理論，離散幾何，極值集合論，代數組合學。
離散數學與組合論領域是一個專門研究離散結構性質的數學領域，它的研究內容十分廣泛，包括了排列、整數分拆、集合劃分、偏序集、圖論、擬陣、區組設計、編碼、凸多胞形、計數組合學、Ramsey（拉姆齊）理論、組合最優化、幾何組合學等多方面內容。
在現代數學中，往往對應着不少研究連續性質的數學對象的分支學科，都有相應的離散（或組合）數學對象的分支學科，例如有許多像“離散代數拓撲”和“組合交換代數”這樣的交叉分支學科。
18
信息科學中的數學
信息科學中的數學 (歷史概述)，形式語言與自動機，計算複雜性理論，信息論，編碼理論，密碼學，計算機代數，計算幾何，隨機數與Monte Carlo方法。
信息科學主要研究的範圍是：在自然科學和社會科學的各個學科領域中，不同信息的取得、度量、存儲、傳遞、分析、處理、利用和控制的普遍規律。信息科學中的數學理論主要包括了編碼理論、信息傳輸理論、信息處理理論、計算機代數、密碼理論等。
19
最優化理論領域
數學規劃，線性規劃，非線性規劃，半定規劃與整體最優化，網絡流，離散凸分析，整數規劃，組合最優化，動態規劃，隨機規劃，對策論，互補性問題，控制論，運籌學，證券投資 (portfolio) 理論，Markov決策過程。
最優化理論的目標是：怎樣在運用和籌劃各種有限的資源時，達到最大的效益。對於各種最優化的理論，一般都要研究最優解的條件、具體算法的設計、算法的收斂性與收斂速度、計算複雜性分析等。
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數學物理領域
單位制，量綱分析，變分原理，力學，天體力學，宇宙物理學，三體問題，流體力學，等離子物理學，湍流，複雜系統，相變，振動與波動，幾何光學，電磁學，網絡與迴路，熱力學，統計力學，相對論，統一場論，量子力學，Lorentz羣，Racah代數，二次量子化，場論，S矩陣，Feynman積分，基本粒子論，重正化羣，可解模型，孤立子，共形場論，物理學中的逼近方法。
數學物理主要研究以物理問題為目標的數學理論與方法。在20世紀初期，數學物理方程是數學物理的主要研究內容，這些數學物理方程來自於連續介質力學、熱學和電磁場理論。從那時以後，在等離子體物理、固體物理、非線性光學、空間技術和核技術等領域又提出了不少新的偏微分方程，其中就涉及到了孤立子波、間斷解、分歧解和反問題等方面的研究。
20世紀蓬勃發展的物理學也對數學理論的需求越來越大。例如相對論要用到整體微分幾何，量子力學與量子場論則建立在了泛函分析的基礎之上，正交羣和洛倫茲（Lorentz）羣的各種表示理論，對討論具有時空對稱性的許多物理現象有很重要的作用，對基本粒子的內在對稱性的研究更導致了楊-米爾斯理論（其中用到了纖維叢上的聯絡理論）的誕生。此外，由於物理現象具有某種隨機性，所以在像統計力學這樣的物理學科中，還需要用到隨機過程的理論。
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數學史領域
埃及與巴比倫數學、希臘與羅馬數學，中世紀西歐數學，阿拉伯的數學，印度的數學，中國的數學，日本的數學，文藝復興時期的數學，十七世紀的數學，十八世紀的數學，十九世紀的數學，Abel，Artin，Bernoulli，Cantor，Cartan，Cauchy，Dedekind，Descartes，Dirichlet，Einstein，Euler，Fermat，Fourier，Frege，Galois，Gauss，Gödel，Hilbert，Jacobi，Klein，Kronecker，Lagrange，Laplace，Lebesgue，Leibniz，Lie，Newton，Pascal，Poincaré，Ramanujan，Riemann，Siegel，Turing，Viète，von Neumann，Weierstrass，Weyl，Weil，關孝和，高木貞治，岡潔。
關於現代數學的發展歷史方面，值得注意的是《巖波數學辭典》(第4版) 還增加了對20世紀數學發展產生過重大影響的數學家Weil、Siegel以及Emil Artin等人的介紹。
本文經授權轉載自微信公眾號“小朱的讀書筆記”。
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