示範二・戒除“數形結合”、迴歸純正算術方法或許更能培養孩子抽象思維的意識及其能力_風聞

**轉按：**愛因斯坦曾經曰過：“一個人把在學校學到的東西全都忘掉之後，剩下來的才是素質（教育）”。在小學數學的習題教學中，愛氏此論或可理解為：忘掉在學校或輔導班裏學到的解題方法（套路和技巧），剩下來的才是素質。我將這個“素質”定位為自主思考、獨立探索的能力，而這又關鍵性地或者説主要決定於抽象思維的意識及其能力。但在現實中，無論老師還是學生，大家都普遍滿足於甚至是沉溺於用“數形結合”這種實屬畸變怪胎的解法——其實質為將基於代數思想的解方程方法以形象思維的表現形式做圖像化處理的解法——去解題，這會排擠和侵害孩子們運用抽象思維的意識，有損於抽象思維能力的培養，從而抑制自主思考、獨立探索的意識及其能力的培養，故而亟需撥亂反正。在下不才，欲戰大風車。前已兩戰，風聞鏈接為：1、數學玩的就是抽象，數形結合有害於抽象思維的培養-例1；2、示範一・戒除“數形結合”、迴歸純正算術方法或許更能培養孩子抽象思維的意識及其能力。

本文例題：

建議先行自己思考一下，這樣閲讀本文時感受會更深切。

閲讀建議：

由於原文的字裏行間有很多以“小號、暗色字體”所作的註釋（如下圖），所以，進入原文，閲讀體驗更好。

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引言

略（參見：示範一・戒除“數形結合”、迴歸純正算術方法或許更能培養孩子抽象思維的意識及其能力）。

一個人把在學校學到的東西全都忘掉之後，剩下來的才是素質（教育）。——阿爾伯特・愛因斯坦（Albert Einstein，1879年3月14日-1955年4月18日）

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説明：

1、建議戒除之“數形結合”究竟何所指？

本專題中的“數形結合”——也就是我説要戒除的——所指稱的是“其實質為基於代數-方程思想及其解法的圖解形式”，並不包括通常意義上的為了將複雜的情境分析清楚所作的“圖示”【可參考《“基本原理”之“過程還原、切換視角、轉換表述”（一）……》一文的“四、推廣”一節的例題的圖示之樣式】，更不指向正規的、嚴格意義上的“將代數/算術問題幾何化的幾何表達”【比如將“1+3+5+7+……+99”這個算術問題幾何化轉換表達為“50×50的正方形點陣”的幾何形式】。

2、對兩種思維-解法的評價

我闡釋的基於抽象思維和算術方法的純正算術解法在解題效果（理解難易程度、效率高低）上或許不如基於代數思維和方程方法的“數形結合”解法，但我認為：後者雖會贏在當下，但或會輸在未來；前者或會落後於當下【用心領會並將我在本篇（“題海拾貝篇：以求學問之心講有學問之題論講題之學問”）中展示的數學思想（作為一門學問的數學的思維方式和研究方法）融會貫通後就必定不會在當下落後並且必然會超越虛幻的績優型偽或真學霸成為學霸之霸或者更嚴格的説是“學神”】，但必然會贏得未來。

打個不甚恰切的比喻：前者修煉的是內功；後者修煉的是招式；前者修的是玄門正宗，後者修的是左道旁門；前者的代表如郭靖，後者的代表如梅超風。

我的目標和企望——可能是奢望或自視過高的野望——是讓即使不夠機敏如郭靖般的孩子也能學到玄門正宗內功心法（“數學思想”——作為一門學問的數學的思維方式和研究方法）以及以此為基礎的幾大功法（三大“數學理念”——參見“小學數學教-學的重點應側重更重要也相對更難的對“數學理念”的領會而非比較容易的對“數學知識”的掌握”；幾大“基本原理”——數學的思維方式和研究方法的具體體現），並在如郭靖般長期堅持不懈地修煉後躋身頂尖高手參與華山論劍。

提示：

本文有些例題的思考過程中用到了我在““基本原理”之“過程還原、切換視角、轉換表述”（一）・技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘丨以求學問之心講有學問之題論講題之學問”一文中闡釋的“基本原理”及其藴含的數學“思想”——數學（作為一門學問的數學——而非作為一個學科的數學）的思維方式和研究方法，但在表述中我做了“淡化”處理。

例題：

本文要講解的例題如下圖，各位可以先行自己思考一下，這樣閲讀本文時感受會更深切。

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例1

甲=20，乙=60。甲和乙每次都同時增加5，當乙是甲的2倍時，甲=？，乙=？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

985學霸+資深機構明星講師傳授的“數形結合”解法

其“數形結合”解法背後的代數-方程思想和解方程的方法若有意識去看則非常明顯（若無此意識，則請參見“將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才？兼論現實教學中的掩耳盜鈴”一文第“二”節“現實版‘掩耳盜鈴’”中的論述），在學習了代數-方程及其解法（“方程”關鍵的是其中的代數思維，其解法相對簡單，無非“移項”和“合併同類項”——其本質是依據等式的性質對方程等式兩邊進行同一運算的操作比如等式兩邊同時加上或減去一個數或代數後等式依然成立或者説前後兩個等式是“等價”的）後根本用不着這種實為畸變怪胎的“數形結合”法。

【下文此處與此相同，不再複述。】

二、“算術思維”示範****

以下是運用“算術思維”（其基礎是“抽象思維”）思考出該題的解題思路及其答案的詳細思考過程，以及答題表述（可省略其中的“∵”、“∴”，或改為漢字“因為”、“所以”、“由於”、“則”、“故”等表述。另：由於題設中已經用了代數，故而在答題表述即列算式時不得不帶着這些代數符號，形式上看確實與代數運算或方程解法中的“移項與合併同類項”無異，但其中的思維卻仍然是貨真價實的算術思維）。

【下文此處與此相同，不再複述。】

思考過程

記後來的甲為甲’、後來的乙為乙’（甲’、乙’即為要求解的甲、乙）。

由於：甲、乙每次都是同時增加5

所以：二者之差是始終不變的

【如果不能在讀題後就立刻或很快直接直覺到這一點，可以“做實驗”試一下（每次用“；”隔開）：甲=20，乙=60；甲=20+5=25，乙=60+5=65；甲=25+5=30，乙=65+5=70；甲=30+5=35，乙=70+5=75；甲=35+5=40，乙=75+5=80。通過二者都是整十的數（即十的倍數）時的差可以比較容易地發現二者的差總是40，由此可知二者的差始終不變。（雖然通過“做實驗”直接獲得了答案，但這是運氣——由於數比較小故而可以直接通過有限的幾次操作就能達到“終點”，但我們不能滿足於此，要從中思考出通用的/一般的解法。）】

故有：乙’-甲’=乙-甲=60-20=40

已知：乙’是甲’的2倍

此即：乙’=2×甲’=甲’+甲'

則有：乙’-甲’=甲'

所以：甲’=40

所以：乙’=2×40=80

【或：乙’=40+40=80】

【若所問為“兩者同時增加5的操作進行了多少次”，則所求次數為：(甲’-甲)÷5=(40-20)÷5=20÷5=4（次）。通過乙’與乙的差來算也可以。】

答題表述

記後來的甲為甲’、後來的乙為乙’。

∵  甲、乙每次都同時增加5

∴  二者的差總是不變的。

∴  乙’-甲’=乙-甲

∵  甲=20，乙=60

∴  乙’-甲’=60-20=40

∵  乙’是甲’的2倍

∴  乙’=2×甲'

∴  乙’=甲’+甲'

∴  乙’-甲’=甲'

∴  甲’=40

∴  乙’=80

【本題之題設的表述不夠嚴謹，這會潛移默化地侵害孩子的“數感”（何謂“數感”可參見：“數感”乃“數學直覺”之謂也！將其僅僅理解為對“數”之“感”可謂淺薄矣丨對2022版新課標的思考丨小學數學“教-學”探索・雜談篇），或者説，會影響到孩子對於“數學理念”之一的“數學的嚴謹性”的領會（何謂“數學理念”——這是我生造的詞——可參見：學做家長｜小學數學教-學的重點應側重更重要也相對更難的對“數學理念”的領會而非比較容易的對“數學知識”的掌握）。

可將原題設重新表述為（其中的甲、乙換成小明、小華或許更好）：

甲原有20顆糖果，乙原有60顆糖果，若每次給二者同時都增加5顆糖果，當增加到乙的糖果數量是甲的糖果數量的2倍時，問這時甲、乙各有多少顆糖果？】

                               

例2

甲、乙合夥買了一本書後，剩30元；如果單獨買，則甲差27元、乙差30.6元。問：這本書多少錢？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

985學霸+資深一線教師傳授的“數形結合”解法

作者的視頻號（林老師數學思維）設置了“私密”，故只能截圖了

此處內容略（與例一此處內容相同）。

二、“算術思維”示範

此處內容略（與例一此處內容相同）。

思考過程

進入實際情境中、或構造合情合理的實際情境，“看看”其買書過程究竟是怎樣的、或者可以理解成怎樣的。

甲、乙合夥買一本書，是將甲、乙各自的錢湊到一起去買這一本書，然後剩下了30元，這剩下的也是甲、乙共有的——分不出各自剩了多少。

甲、乙雖分開單獨買，但卻仍然可以將各自的錢數合計在一起來算（因為所求的“這本書多少錢”與甲、乙各自的錢是多少沒有直接關係），所以其買的過程可以理解為合計甲、乙的錢數買了第一本，然後用剩下的30元去買第二本，結果發現，還差57.6（27+30.6=57.6，既是合計，則甲、乙各自差的錢數也要合計在一起）元。也就是説，假如用30元去這一本書，則還差57.6元。

所以，這本書的價格為：

30+57.6=87.6（元）

解答的綜合算式為：

30+27+37.6=87.6（元）

驗算：書價，87.6；甲錢，87.6-27=60.6；乙錢，87.6-30.6=57；合夥買一本剩下的總錢數，(60.6+57)-87.6=30。無誤。

答題表述

解：

根據題設，分開單獨買時，甲、乙所差錢數之和為：

27+30.6=57.6（元）

根據題意，以下情境也成立：

甲、乙湊錢買書，買1本剩30元，買2本差57.6元

所以，一本書的價格為：

30+27+37.6=30+57.6=87.6（元）

答：這本書的價格為87.6元。

                               

例3

小明買一箱牛奶差15元，買三箱差115元。問：一箱牛奶多少元？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一個“揣着明白裝糊塗的示弱型”家長訓練出來的“牛孩”示範的“數形結合”解法

此處內容略（與例一此處內容相同）。

二、“算術思維”示範

此處內容略（與例一此處內容相同）。

思考過程

買一箱牛奶已經差了15元，買三箱就更差錢了——也即差的更多了。

多差出來多少呢？

從牛奶看，是買兩箱牛奶需要的錢；

從錢數看，是100（115-15=100）元。

【一箱已差15，三箱總差115，則多差出來的為115與15之“差”——而非“和”。**可以類比理解：**温度從零下15度降到零下115度，降了多少度呢？降了115-15=100（度）。**再不理解，可以想象：**一根長長的温度計，每一度一個刻度，從零下15度所在的刻度到零下115度所在的刻度，其間間隔了多少個刻度呢？顯然，是115-15=100（個）。**或者乾脆可以“暴力”理解——比較“笨”的理解：**買一箱已經差15元了，若每再多買“一點點”——假如每“一點點”是1元——就多差1元，於是可以往下數，差16元了——這時比差15元多差出來的是1元（16-15=1），差17元了——這時比差15元多差出來的是2元（17-15=2），差18元了——這時比差15元多差出來的是3元（18-15=3），……，差113元了——這時比差15元多差出來的是98元（113-15=98），差114元了——這時比差15元多差出來的是99元（114-15=99），差115元了——這時比差15元多差出來的是100元（115-15=100）。】

所以，買兩箱牛奶需要100元。

因此，一箱牛奶的價格為50（100÷2=50）元。

答題表述

解：

根據題意，買2箱牛奶需要的錢為：

115-15=100（元）

故，1箱牛奶的價格為：

100÷2=50（元）

答：一箱牛奶50元。

                               

例4

一箱蘋果，如果每天吃15個，比原計劃少吃1天；如果每天吃10個，比原計劃多吃1天。問：原計劃每天吃幾個？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

“有多年線下教學經驗”的資深教育博主的“圖解”

此“圖解”似乎不完全是本專題所要戒除的那種“數形結合”，似乎有點“圖示”的意味，但其中似乎又有代數-方程的思想-解法的影子。不太好定性。讀者諸君自行判斷吧，可以借鑑她的“圖解”方法，當然，參考我下文講解的純正算術解法也行。

二、“算術思維”示範

此處內容略（與例一此處內容相同）。

思考過程

為表述方便，做如下設計（借用代數——用字母表示數——思想，和光同塵吧）：

將這箱蘋果的總個數記為Q；

將原計劃每天吃的個數記作A；

將原計劃可以吃的天數記作D。

題設中有三種情景，分別是（為便於比較，將原計劃置於中間的第二情景）：

情景一（吃的天數少——意味着每天多吃了）

每天吃15個，可吃“D-1”天

情景二（原計劃）

每天吃A個，可吃“D”天

情景三（吃的天數多——意味着每天少吃了）

每天吃10個，可吃“D+1”天

大致思路為：

因所求為“原計劃每天吃幾個”，所以可直接想到的求解方法就是先求出這箱蘋果的總個數（這是一個在三種情景下都不變的量）和原計劃可吃的天數然後將蘋果總個數除以可吃的天數即可求得原計劃每天吃幾個。

我們就照此大方向往下走，至於先求蘋果總個數還是先求原計劃可吃的天數，其原則是“順其自然（Let it be）”——分析所到之處可以先求出誰就先求誰。

我們照上述思路的大方向來分析。

“情景一”到“情景三”是如何發生的？其發生機理（或者換個詞叫：其中的過程和道理）有二：

其一，是由於每天少吃了5（15-10=5）個，於是可以多吃2【1+1=2，或：(D＋１)－(D－１)＝D＋１－D＋１＝２】天；

其二，是由於總共少吃了20（10×2=20，這是逆向思考所得：多吃了2天，且每天吃的是10個，則多吃——情景三相對於情景一而言——的個數為10×2=20個）個，才可以每天吃10個、吃2天。

從上述“發生機理”中，可提煉出如下事實（關於“情景三”相對於“情景一”夠多吃2天的那20個蘋果是怎麼來的）及其表述：

在情景一中，每天少吃5個（這樣每天吃的就是15-5=10個）、總共少吃了20個（如果將這少吃了的20個繼續按每天10個——即與情景三每天吃的個數相同——來吃，則可以再多吃2天——這樣就與情景三吃的天數相同了）。

所以，“情景一”中可吃的天數（即“D-1”，前面設計中已將其記作了“D-1”）——即實際吃了幾天——為：

20÷5=4（天）

由此則可知：

這箱蘋果的總個數為15×4=60（個）；

原計劃可吃的天數為4+1=5（天）。

【“情景一”比“情景二”——即原計劃的情景——少吃1天，也就是原計劃比“情景一”多吃1天，所以原計劃可吃的天數為：4+1=5（天）。】

因此，原計劃每天吃的個數為：

60÷5=12（個）

驗算：蘋果總個數為60，原計劃每天吃12個、可吃5天；情景一中，60÷15=4（天），5-4=1（天），比原計劃少吃1天，無誤；情景三中，60÷10=6（天），6-5=1（天），比原計劃多吃1天，無誤。無誤。

答題表述

解：

根據題意，每天吃10個比每天吃15個可多吃的天數為：

1+1=2（天）

每天吃10個、吃2天所吃的個數為：

10×2=20（個）

這20個是從每天吃15個減少到每天吃10個而多出來的——節省出來的，則每天吃15個時所吃的天數為：

20÷5=4（天）

所以，這箱蘋果的總個數為：

15×4=60（個）

根據題意又知，每天吃15個可吃的天數比原計劃可吃的天數少1天，則原計劃可吃的天數為：

4+1=5（天）

因此，原計劃每天所吃的個數為：

60÷5=12（個）

答：原計劃每天吃12個。

                               

例5

若：(38-Δ)÷(23-Δ)=4。問：Δ是幾？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一個“揣着明白裝糊塗的示弱型”家長訓練出來的“牛孩”示範的“數形結合”解法

本題的“數形結合”解法也很有難度，這個“牛孩”在“數形結合”解法上玩得很溜——但我為他惋惜：這麼好的腦子咋在這個年紀未有學個玄門正宗——數學學問的門道——呢？（我也只是將將站到了門檻上管窺到門內無限風光的一星半點兒但還沒入門）

此處內容略（與例一此處內容相同）。

二、“算術思維”示範

此處內容略（與例一此處內容相同）。

思考過程

將“38-Δ”視為一個整體或一個數（即“38與Δ的差”），記為甲數

將“23-Δ”視為一個整體或一個數（即“23與Δ的差”），記為乙數

根據題設可知：甲數是乙數的4倍。

則有：“甲數與乙數之差”為乙數的3倍

【不明白這個“則有”之中的變換的小朋友們請參見：正是領悟了開普勒的非凡一“念”我才想出那個公式並依其自創出純正算術解法丨科學家常玩且善玩的猜想究竟是怎麼玩的之示範與猜想-番外1】

而甲數與乙數之差為：

(38-Δ)-(23-Δ)=38-Δ-23+Δ=38-23-Δ+Δ=15

【完全拋開代數——用符號（典型的是用字母）表示數——可理解為：甲、乙各原有38、23顆糖果，分別從兩人處拿走同樣數量的糖果後，問這時甲、乙糖果個數的差；易於理解，由於從兩人處拿走的數量是一樣的，所以之後兩人的糖果個數之差與之前兩人的糖果個數之差是不變的——也即相等的，這個差即為甲乙原有數量之差，即38-23=15。】

故有：15為乙數的3倍

也即：乙數的3倍是15

則：乙數為15÷3=5

即：“23-Δ”為5

則：Δ為23-5=18

答題表述

解：

∵  (38-Δ)÷(23-Δ)=4

∴  [(38-Δ)-(23-Δ)]÷(23-Δ)=3

∴  15÷(23-Δ)=3

∴  (23-Δ)=15÷3=5

∴  Δ=23-5=18

答：Δ是18。

                               

例6

甲、乙共有198元，甲花掉自己的3/4，乙花掉自己的1/2，他們共餘69元。

問：甲、乙各原有多少元？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一線資深+海淀名師+盃賽教練的“數形結合”解法

愚見以為：她用“數形結合”解法已經入魔並且走偏——將本來沒那麼複雜的問題弄的更復雜了；海淀（海淀啊海淀啊海淀啊）名師的水平如果就這樣——或者比這高但沒有本質性的不同——的話，那未來中國在創新特別是高階創新尤其是原始創新上或仍將乏善可陳，因為如此教法，恐怕不僅給不了“潛在創新大才”以好的引導，反而可能將其教“魯鈍”了。

此處內容略（與例一此處內容相同）。

二、“算術思維”示範

此處內容略（與例一此處內容相同）。

思考過程

兩人原來共有的減去兩人合計花掉的即為兩人合計剩下的（即“共餘”的）。

以錢數的具體數值看：

兩人原來共有198元

兩人合計花掉102（198-96=102）元

兩人餘錢合計69元

以錢數的相關分率看：

記甲的錢數為1、乙的錢數為1’（其代表的分數值仍為1）

【二者以“1甲”、“1乙”（其中的甲、乙為下標形式）來區別以記更好】

甲花掉了自己的3/4，乙花掉了自己的1/2，記此情況為A

甲餘下了自己的1/4，乙餘下了自己的1/2，記此情況為B

A與B之差（即“A-B”）是什麼呢？

【為什麼要將A與B作差？因為發現乙花掉的和剩下的都是乙的1/2——是相等的，這個“發現”是誘人的，誘人去作差，而一作差乙就減沒了、就只剩下甲的分率了。】

顯然，是甲的1/2（3/4-1/4=2/4=1/2）。

A與B之差反應在錢數上多少呢？

顯然是合計花掉的與合計餘下的之差，這個“差”也就是甲的3/4與甲的1/4之差（因為：乙花掉的與剩下的都是1/2、是相等的、作差就減沒了）即甲的1/2（2/4約分的結果），這個“差”為：

102-69=32（元）

故有：甲的1/2即為32元。

所以，甲為：

32÷1/2=32×2=64（元）

則，乙為：

198-64=134（元）

故，甲、乙各自分別原有64元、134元。

驗算：

甲原有64元，乙原有134元，兩人合計共有64+134=198（元），無誤；

甲花掉了自己的3/4，對應錢數為64×3/4=48（元），餘下的1/4對應的錢數為64-48=16（元）或64×1/4=16（元）；

乙花掉了自己的1/2，對應錢數為134×1/2=67（元），餘下的1/2對應的錢數為134-67=67（元）或132×1/2=67（元）；

甲、乙餘下錢數合計為16+67=84（元），咦，怎麼不對呢——題設中這個數是69啊。

看來哪裏出錯了！

趕緊“思考（動詞）思考（名詞）”【對自己的思考再做一下審視和思考。詳見《“基本原理”之“過程還原、切換視角、轉換表述”（二）》一文例三部分內容中視頻截圖下方約十數自然段的一個註釋（以“【】”標記的暗色字體）。看來上次的教訓和總結的經驗是有效的，在這“顯靈”了】吧。

檢查發現，錯誤出在了剛開始的第四行：

“兩人合計花掉102（198-96=102）元”

填數出錯了，括號內的算式中的96應為69——馬虎大意了還是看花了或者想岔了，改正這一行的表述為：

兩人合計花掉129（198-69=129）元

後面的算式隨之做相應的改正。

甲的1/2為：

129-69=60（元）

所以，甲為：

60÷1/2=60×2=120（元）

則，乙為：

198-120=78（元）

故，甲、乙各自分別原有120元、78元。

驗算：

甲原有120元，乙原有78元，兩人合計共有120+78=198（元），此處無誤；

甲花掉了自己的3/4，對應錢數為120×3/4=90（元），餘下的1/4對應的錢數為120-90=30（元）或120×1/4=30（元）；

乙花掉了自己的1/2，對應錢數為78×1/2=39（元），餘下的1/2對應的錢數為78-39=39（元）或78×1/2=39（元）；

甲、乙餘下錢數合計為30+39=69（元），無誤。

無誤。

答題表述

解：

由題設可知：

甲花掉了自己的3/4，乙花掉了自己的1/2，甲、乙合計花掉的錢數為198-69=129（元）；

甲餘下了自己的1/4，乙餘下了自己的1/2，甲、乙合計餘下的錢數為69元。

二者對應作差，則有：

甲的3/4與1/4之差相應的錢數為甲乙合計花掉的129元與合計餘下的69元之差。

3/4-1/4=2/4=1/2

129-69=60（元）

所以：甲的1/2即為60元。

故，甲原有：

60÷1/2=60×2=120（元）

則，乙原有：

198-120=78（元）

答：甲、乙各自分別原有120元、78元。

                               

例7

若：A+B+C=100，A-B=15，B-C=8。

問：A、B、C分別是幾？

一、“數形結合”示例

視野所及下的所有老師講解這道題都是“數形結合”，且幾乎千篇一律。

一個“揣着明白裝糊塗的示弱型”家長訓練出來的“牛孩”示範的“數形結合”解法

此處內容略（與例一此處內容相同）。

二、“算術思維”示範

此處內容略（與例一此處內容相同）。

思考過程

思路的大方向是：

將含有3個字母（代表的是還不知道其分別是多少的3個數，學名“未知數”——意為“雖是一個確切的數但現在還暫時不知道它是多少”）的等式“A+B+C=100”根據三者之間的關係轉換為只含1個字母的等式。

已知的“A-B=15”意即“A比B多15”

所以可以將A用B表示為：B+15

已知的“B-C=8”意即“C比B少8”

所以可以將C用B表示為：B-8

則，可將等式“A+B+C=100”中的A和C分別用“B+15”和“B-8”替換，替換後的等式為：

(B+15)+B+(B-8)=100

由此可求得B：

B+15+B+B-8=100

3×B+7=100

【根據等式的性質之一“等式兩邊同時加減乘除一個相同的數（乘除時，需將等式左右兩邊視為一個整體即用括號括起來再去乘除一個數，且除時則要求這個數是一個“非零”的數），等式仍然成立——即原‘=’兩邊仍然相等故之間仍可用‘=’連接”。所以：可將“3×B+7=100”等式兩邊同時減去7等式仍然成立，即，3×B+7-7=100-7；則等式左邊經運算後為3×B，等式右邊經運算後為93；於是，等式變為3×B=93】

3×B=93

B=31

隨即可求得A、C：

A=B+15=31+15=46

C=B-8=31-8=23

故：A=46，B=31，C=23

驗證：A=46，B=31，C=23，則：A+B+C=46+31+23=100，無誤；A-B=46-31=15，無誤；B-C=31-23=8，無誤。無誤。

【將“A+B+C=100”中的B和C都轉換成A、或者將A和B都轉換成C也均可以算得結果。】

答題表述

解：

∵  A-B=15，B-C=8

∴  A=B+15，C=B-8

∴  等式“A+B+C=100”可變換為：

(B+15)+B+(B-8)=100

∴  B=31

∴  A=31+15=46

    C=31-8=23

答：A、B、C分別為46、31、23（或：A=46，B=31，C=23）。

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再論“掩耳盜鈴”

【一論參見：將方程從小學推延到初中有無必要、會否誤才？兼論現實教學中的掩耳盜鈴丨對2022版新課標的思考丨小學數學“教-學”探索・雜談篇】

借這本文最後一道例題再囉嗦幾句：

已經用字母表示數並寫出代數式了，那就帶着字母一起運算唄——用字母表示數並讓其出現在算式中指代未知數本來就意味着字母要與具體的數一樣參與運算的啊，幹嘛還要幹掩耳盜鈴的事情？

怎麼算？不需要講方程的思想和知識，只要根據等式的性質去運算就可以了——方程的解法的基礎仍然是等式的性質。具體算法見上述之最後這道例題的“思考過程”中的相關內容。

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——“示範二”完——

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