一名生態學家的數學探索_風聞

Eugene Wigner的名篇《數學在自然科學中不可思議的有效性》，單從題目來看即藴含着兩重思想：1. 數學對於理解自然的必要性；2. 自然現象在抽離出研究對象以豐富數學思想方面的重要性。混沌理論的思想起源於不同領域的不同專家對於不同自然現象的數學描述的孜孜以求，最終殊途同歸，抵達了統一的認識。本文旨在講述生態學家在用邏輯斯蒂映射描述種羣動力學行為時發現的倍週期分叉的數學特徵。

撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）

我在之前的《返樸》文章《這麼説迭代，你一定能懂》（以下簡稱為《迭代》）中介紹了最基本的函數迭代現象，借多項式這一簡單道具，合用幾何法和分析法，展示了吸引或排斥的不動點或週期為二的週期點。有了這些基礎後，我們可以繼續行走在迭代的大道上，一路採擷五彩繽紛的朵朵鮮花。

這篇文章為讀者奉獻的是一簇簇特別絢麗的玫瑰之花，它們盛開在連綿不斷大枝分叉成小枝的迭代大樹上，它們也為組成“迭代春遊團”的團員歷經一場從有序到無序之旅，特地建造了一座走進混沌世界之前的緩衝裝置，讓他們在猛見混沌怪獸而發出一聲驚叫前吸足氣、定定神。這整片的花朵開在帶有一個參數的一系列二次多項式的花園裏。

然而，讓“倍週期分叉”紅玫瑰花朵光榮綻放的營養素卻來自於生物科學的一個宏觀分支——生態學，它也被稱為種羣動力學，為玫瑰樹施肥的辛勤園工是後來擔任過英國政府首席科學家並被伊麗莎白女王封爵的羅伯特·梅 (Robert May，1936-2020) 。

梅男爵生於澳大利亞大城悉尼，在悉尼大學本科畢業時才二十歲，讀的是化學工程與理論物理。三年後，他在本校獲得理論物理博士學位，接下來去哈佛大學做了兩年博士後，研究應用數學。重返母校後，他迴歸本行，以高級講師的職稱開始教書，一路升到理論物理學正教授。1971年，因為又“心血來潮”地對生物學着了迷，他再度赴美，到普林斯頓高等研究院待了一年，並與普林斯頓大學的生物學家們交上朋友。兩年後，他成為這所名校的動物學講座教授。

正是在這裏，他成了一位理論生態學家，並在基於函數迭代的創造性種羣動力學研究中出了大名。這門學科從屬於生物學中的一個分支“羣落生態學”，探索的是共同居住在同一個地理範圍或區域內的兩種或更多種不同生物種羣之間的相互依賴和制約關係，以及生物種羣數目的漲落和生命的盛衰，目標是尋找這些千變萬化的數量背後的規律、自然羣落的複雜性和穩定性之間的關係，以及能夠解釋變化規律的數學刻畫。

像一切其他自然科學家和工程技術人員，生態學家們自然也需要數學的幫助。然而，在從事像菲爾茲獎獲得者斯梅爾 (Stephen Smale，1930-) 那樣用深奧的現代數學研究動力系統的幾何或拓撲學家眼裏，梅聞名於世的研究所用到的數學似乎非常簡單。事實上，他最為天下所知的工作只用到二次多項式，只不過其表達式中多了一個參數而已。然而這族函數的無窮多個彎曲度不一的拋物線圖象，將他寫出的科學論文像喬丹手中的籃球被一舉拋進了《自然》和《科學》的期刊球籃裏。

順便一提，早在1947年，分別為波蘭裔和匈牙利裔的美國數學家烏拉姆 (Stanislaw Ulam，1909-1984) 和馮·諾伊曼 (John von Neumann，1903-1957) 就對邏輯斯蒂映射族中μ = 4時這根最長的拋物線做出了精準的統計學研究，給出了對幾乎所有初始點都一樣的迭代點軌道最終分佈規律，這將是我未來一篇關於遍歷理論的科普文章中的一朵鮮花。

這個著名的數學模型符合生態學家對種羣數量問題的直覺，就連大眾也不難理解。比如，在弱肉強食的非洲大草原，食草動物斑馬是弱者，而食肉動物獅子是強者，二者的種羣數量相互制約，弱者如果被強者吃得太多，數目就會急劇減少，強者反過來也會面臨生存危機。所以，經驗告訴我們，如果種羣數比較小，就會上升很快；而數目適中時會導致增長速度趨近於零，種羣數量很大時則急劇下降。這是生態學家從事研究時遵循的一條基本假設，它也反映在上述模型中：如果x上漲，那麼1-x就會下跌，反之，如果x減小，1-x就增加，故而它們的乘積就制約着種羣數量的變化。看來，這種函數關係確實可以在一定程度上反映生存環境下種羣數量變化的規律。

在梅教授進入這個領域之前，早期生態學家們普遍認同英國理論進化生物學家和遺傳學家史密斯 (John Smith，1920-2004) 在其經典著作《生物學中的數學思想》(Mathematical Ideas in Biology) 中所主張的觀點：種羣數往往近似為常數。他們或多或少都相信，在如上的邏輯斯蒂映射中，無論初始的種羣數有多大或多小，幾年後數目就會穩定在一個固定的數。同時，他們紛紛認為，只有“穩定解”才吸引人。如果看到不肯穩定下來的種羣數目，就會不假思索地認定是計算工具的誤差在搗亂。

這種未經科學實驗證實的信條已經在眾多科學家的腦海裏根深蒂固，因此他們極少肯坐下來對具體模型做一番數學分析的功課，更不要説無比耐心地從事枯燥無味的重複迭代運算。恰恰十年前的四月，哈佛大學已退休的一位著名生物學家威爾遜 (Edward Wilson，1929-2021) 在《華爾街日報》上撰文《偉大的科學家≠擅長數學》，試圖用自身經歷論證：“當今世界上許多最成功的科學家在數學上不過是半文盲”，該文以及四天後一名伯克利數學教授的反駁文章《不要聽愛德華·威爾遜》在當年七月被《美國數學會會刊》轉載後，引起不少數學家與科學家的熱烈討論。

作為身跨多個領域的科學家，梅教授顯然不認同傳統生物學家輕視數學的上述代表性觀點，在普林斯頓大學，他開始了對邏輯斯蒂映射的數值迭代試驗。正是集應用數學家和生態學家於一身的梅教授將數學耐心地施加於邏輯斯蒂映射族，通過親手進行迭代計算，他在種羣動力學的田野上看到了令他驚奇不已的一派新景象。

為了敍述的方便起見，在下面我們假定以年為時間段，即若x表示本年的相對種羣數，則μx(1-x)表示下年的相對種羣數。

梅逐步增加繁殖率μ，想把種羣數演變的最終趨勢與這個重要參數之間的關係搞個水落石出。很快他就發現，當μ不超過3這個數時，一切都很正常。比如説，如果參數μ不大於1，那麼無論起先是什麼樣的種羣數，最遲在第二年後，種羣的數目就會逐年下降，最終將走向消亡。然而當μ在大於1但不大於3時，不管開始的種羣數為幾，一年年迭代之後的種羣數會逐漸地穩定下來，最終將趨向於某一個固定的數。這個固定數隨着參數的增加而增加，例如，當μ取值為2.7時，最終的種羣個數會固定在0.6296，而當μ = 3時，終極種羣數則增加到0.6667。

梅繼續增加參數的值。

當μ大於3但不大於近似值約為3.45的一個精確值1 + √6時，他發現了新現象：種羣數不再最終趨向於一個固定的數，而是一年年地交替升降，最後在兩個不同的固定數附近之間不停地來回跳動，最終趨向於這兩個週期點組成的一個週期-2軌道，而與迭代初始所選的種羣個數無關。

如果讓參數值比3.45再大那麼一點點，直到差不多3.54時，種羣數則每過四年才呈現出有規律性的漲落，最終在四個固定數附近之間週而復始地跳來跳去，最終趨向於這四個週期點組成的一個週期-4軌道，而無論種羣的初始數有多大。這樣一來，種羣數的兩年週期現象就加倍成四年週期現象。

類似地，當參數值超過3.54一個微小的數後，四年週期將跳到八年週期。然後，隨着參數值不斷細微增加，十六年週期、三十二年週期……，等等等等直到無窮，依次登場。然後，在μ的一個新的取值範圍內，又有了週期不是2的次方的新的週期加倍現象。而當μ再增加到一定程度後，最終的種羣數量則看不到週期性，出現了某種“亂七八糟”的跡象。

我們將上面幾段用數學語言總結一下。

這個極限值得名如此，是因為美國數學物理學家米切爾·費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum，1944-2019）。

費根鮑姆於1970年在麻省理工學院獲得粒子物理博士學位，然後在康奈爾大學和弗吉尼亞理工學院暨州立大學各待了兩年，這四年中他只發表了一篇論文，但積累了廣泛的知識基礎，可謂厚積薄發。事實上，他一生中獨立完成或與人合作的科學論文也只有二十七篇。

他1974年被美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室招聘過去後，為以自己的方式深刻理解湍流中大小尺度之間的自相似性，並找到問題的本質，他全然不顧能不能儘快擠出文章，而是一天工作“二十五”個小時，靠他擺弄計算器的雙手和計算間隙不停思考的大腦，發現了新的普適常數。他在理論部的頂頭上司後來評價：“費根鮑姆具有正確的背景，他在正確的時候做了正確的事情，而且做得很出色。他不是做局部的事情，而是把整個事情弄清楚了。”

這是什麼原因呢？

1974年，梅教授應馬里蘭大學數學系“生物數學系列演講”之邀，報告了他對邏輯斯蒂映射數值迭代時發現的奇怪現象。演講之後，把他請來的一位教授送他去機場。路上，那位名叫詹姆斯·約克 (James Yorke，1941-) 的教授遞給梅一篇文章，一閲之下，梅教授大吃一驚：這篇文章裏的一個定理解除了他的困惑。

這篇當時還只是初稿的文章後來成為混沌史上最著名的數學論文之一，如今它的題目在中文世界也有了固定翻譯：“週期三則意味着混沌”。對於這篇已被學界引用超過5650次的區區八頁數學論文的初等詮釋，將是我不久後一篇數學科普文章的內容。

關於“倍週期分叉”數學現象的生態學故事算是大致講完了，然而，光知道“科學人物的發現軼事”而缺乏對科學原理的基本認識，就如同美國理論物理學家費曼 (Richard Feynman，1918-1988) 經常回憶的他父親在他還是孩提時特地忠告兒子的一句話“你如果對一隻鳥只知道它的名字，而對它的習性卻一無所知，那麼你對那隻鳥的瞭解幾乎為零”所表達的真理。費曼認為父親這種簡單而有智慧的觀點影響了自己的科學生涯一輩子，讓他很早就懂得了僅僅知道事物的名稱和充分了解事物的本質這一根本區別。因此，我在本文的最後一部分轉向數學，主要用淺顯易懂的初等數學語言解釋上文關於邏輯斯蒂映射族fμ的三個倍週期分叉性質中，為何當繁殖率μ越過3這個門坎後一下子冒出一個週期-2軌道，並且該軌道在μ值超過1 + √6前都是吸引的。

我在《迭代》中講過，線性函數ax + b當|a| < 1時，其唯一的不動點b/(1-a)是吸引的，但當|a| > 1時，則b/(1-a)是排斥的不動點。這裏的係數a也是對應的直線圖象的斜率。對於任意一個可微函數y = f(x)，它在一點x的導數值f’(x)就是函數的圖象在點(x, f(x))處的切線的斜率。非線性函數的圖象曲線雖然是彎曲的，然而在切點的附近，曲線和切線看上去幾乎一樣，這個觀察是為何幾百年來微積分大獲全勝的基本道理。既然不動點的“吸引性”或“排斥性”像“函數的導數”概念一樣是個“局部性質”，我們憑什麼不能借用在不動點處相切於函數圖象的簡單直線來代替複雜曲線製作數學工具，判斷函數f的不動點x*是否具有“吸引力”或“排斥力”呢？這個思想至少能幫助我們“想出”一個簡單易行的判別法，即如果f的不動點x*滿足|f’(x*)| < 1，那麼x*一定是吸引的；如果|f’(x*)| > 1，那麼x*一定是排斥的。這個想法是千真萬確的。

為什麼呢？畫一條在與對角線y = x相交點附近走向比較平坦的函數曲線，用“圖象迭代法”很容易就能幾何地證明上述斷言。但下面的“分析論證”更加令人信服：假設f(x*) = x*及|f’(x*)| < 1，由於導數f’(x*)是函數值差f(x) – f(x*)與自變量值差x – x*的比當x趨於x*時的極限，我們有理由相信當x在x*附近時，|f(x) – x*| ≤ δ |x – x*|，其中正數δ只比|f’(x*)|大了那麼一點點，但還是像|f’(x*)|那樣小於1（比如，可以取δ為|f’(x*)|和1的算術平均，即δ = (|f’(x*)| + 1)/2）。

用上面的思想同樣可以證明，如果f的不動點x*滿足|f’(x*)| > 1，那麼x*是排斥的，即它排斥了其附近的不等於它的每一點x：|f(x) – x*| ≥ Δ |x – x*|，其中Δ為某個大於1的數。

讀者自然想到當|f’(x*)| = 1時結論如何。沒有辦法，沒有一般性結論，只能是“具體問題具體分析”；就像人生一樣，數學也有遺憾。學過高等數學中的無窮級數理論的讀者定會記得這個事實：任給一個關於級數收斂與否的判別法，總能找到級數，對它而言該判別法失效。所以，世間沒有“萬能鑰匙”；當我看到一些出版社諸如“世界公認最牛學習方法！”的促銷廣告詞時，就免不了呵呵一笑，如同見到發明出永動機的新聞一樣。

歷史上首次由生態學家梅博士數值模擬的這類單參數函數族的分叉規律，在動力系統領域被形象地稱為乾草叉型的，因為上面的分叉圖如果用虛線再畫上那些排斥的週期點，就像是一個個農村裏常用的工具“乾草叉”，它與“倍週期分叉”不可分離。不過還有一種分叉現象，稱為“切線型”的，它來自於在參數跨過一個門檻的前後，函數的圖象歷經一次與對角線y = x相交兩點，相切於一點，到彼此分離的“合久必分”過程，因而不動點的個數從二減少到一再到零。它的一個典型例子是指數函數族{μex}，其中參數μ > 0。當μ = 1/e時，函數圖象與對角線相切於不動點1，當μ < 1/e時，圖象與對角線相交於兩點，而當μ > 1/e時函數圖象與對角線絕不相交。作為讀完本文後的自我測驗，我邀請讀者用“圖象迭代法”對這族指數函數就0 < μ < 1/e，μ = 1/e及μ > 1/e這三種情形， 預測一下對應於所有初始點的迭代點軌道的最終走向。

到目前為止，我們的函數迭代僅僅碰到週期為2的非負整數冪次的週期點，包括不動點。在全然有序的自然數中，緊跟着2的是3，這可是一個不同凡響的自然數，它將在函數迭代的大海里掀起巨浪，讓航行中大船的未來航線無法預見！

致謝：作者感謝學者楊運洋閲讀初稿並提出修改建議。

出品：科普中國

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。

版權説明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後台。