氣象學家與數學家的混沌接力_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！05-04 11:11
撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）
到目前為止，我在為《返樸》所寫的兩篇文章中討論的函數迭代（參見《這麼説迭代，你一定能懂》《一名生態學家的數學探索》），週期點的週期只是1和2的一些次方，而看不到其他週期的週期軌道。偶數2後面的第一個奇數是3，它也是第一個奇素數。在中國的成語中，含有“三”的那些大都與“多”這個概念有關聯，比如“三思而行”、“三令五申”、“三人成虎”、“三教九流”、“一而再，再而三”、“三人行必有我師焉”、“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”等等。中國春秋時代流傳至今的一些名言也強調了“三”，如老子的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”和屈原在《天問》中的問話“陰陽三合，何本何化？”
回到迭代上來，讀者自然會問：當給定的函數具有一個週期為三的週期點時，會有什麼發生？我們已經看到週期為一的週期點（即不動點）或週期為二的週期點的存在不一定能激發滾滾波濤。事實上，對於恆等函數f(x) = x，每一個實數都是它的不動點，所以就沒有周期大於1的週期點了，這是一個完全“規矩”並且特別簡單的嚴格遞增函數，即自變量越大則函數值越大。對於曾經做過例子的“變號函數”f(x) = -x，每一個實數被映射到它的相反數，所以除了0 這個不動點外，每一個非零數都是週期為二的週期點，故變號函數沒有周期大於2的週期點，它是一個既規矩又簡單的嚴格遞減函數，即自變量越大則函數值越小。
然而，一旦某個函數有了一個週期為三的週期點，它必定是非單調的，因而也一定是非線性的；幾何上看它的圖象或者有山峯，或者有山谷，或者二者都有。這裏給出一個簡單的證明，領略一下推理的邏輯力量。令函數f的週期-3軌道為{a, b, c}，即f(a) = b，f(b) = c，f(c) = a。不失一般性，可假設a < b < c。如果f是單調的，比方説f是單調遞增的，則由b < c 推得c = f(b) ≤ f(c) = a，與 a < c的假設矛盾；又比方説如果f是單調遞減的，則由a < b推得b = f(a) ≥ f(b) = c， 與b < c的假設矛盾。因此f不能是單調函數。讀者可對a, b, c之間的其他大小關係證明同一結論。
既然一個具有周期-3軌道的函數在其定義域上是非單調的，它會展示出豐富多彩的現象嗎？答案是確實會的，它不僅孕育出一個令人驚奇的定理，而且還催生出一個嶄新的數學名詞。然而這一切均來源於一位氣象學家的終生愛好和偶然發現，他關於天氣預報的論文引導了數學家進入混沌的天地。
01 氣象學家握住了起跑第一棒
愛德華·洛倫茨 (Edward Norton Lorenz，1917-2008) 出生於美國位於新英格蘭地區的康涅狄格州西哈特福德市，從小就是一個氣象迷，每天都要去屋外瞧一瞧温度計上的氣温數字。他先後在達特茅斯學院和哈佛大學獲得數學學士和碩士學位。在第二次世界大戰中，他的愛好派上了用場，從美國參戰後的1942年到二戰勝利後的1946年，他是美國空軍的氣象預報員。復員後他不忘初心，去了麻省理工學院讀氣象專業的研究生院，於1948年獲得博士學位。最終他成了這所理工名校的氣象學教授。從1959年起，他專心致志於數值天氣預報的研究，特別地，他選擇了十二個經過簡化的非線性常微分方程進行數值計算，用於模擬他稱之為“玩具天氣”演化過程中流體運動中的速度、温度、壓力等物理量的變化。
那個時期，科學界對長期天氣預報充滿着樂觀的氣氛，因為世界上第一台現代電子計算機已經於1946年誕生於賓夕法尼亞大學，而“現代計算機之父”馮·諾伊曼 (John von Neumann，1903-1957) 正是形成這股樂觀強氣流的超級鼓風機。50年代初，他率領一批能人在普林斯頓高等研究院繼續研製電子計算機，一直到他罹患癌症前，他都對計算機的發展傾注心血，順便成了應運而生的計算數學這一學科的創始人之一，並且對數值計算偏微分方程的差分格式穩定性理論做出了基礎性的貢獻。他深信，隨着計算機運算能力一日千里的大踏步前進，用高速計算機迅速數值求解確定大氣温度、壓強等宏觀尺度變量的流體力學方程離散化後的大型代數方程組，就能準確預報出未來幾周甚至幾個月的天氣狀態。他甚至冀望着電子計算機很快能幫助人類控制天氣。然而，馮·諾伊曼1957年英年早逝，即便像他這樣的科學天才也沒能預測到天氣預報所依賴的偏微分方程，存在與生俱來的內在的“混沌機制”。這個機制在他離世四年後被數學基礎紮實的氣象學家洛倫茨給首次揭示了出來。
到了60年代初的某天，洛倫茨像往常一樣走進他五樓的辦公室，繼續用他那台Royal McBee公司製造的八百磅重的LGP-30“台式”計算機來計算那組常微分方程初值問題的數值解。不久，這組常微分方程被他“濃縮”成三個微分方程構成的二次系統，放進了他最有名的論文裏，現在的名氣大得很，被起的名字是洛倫茨方程或洛倫茨系統，具體寫出來就是：
dx/dt = 10(y - x), dy/dt = x(28 - z) – y, dz/dt = xy – (8/3)z。
算了一陣子之後，洛倫茨想休息一會兒，便暫停了計算。於是他把打印出來的目前計算結果抄了下來，作為繼續計算的初始數據輸入到計算機裏，然後他穿過大廳下樓喝咖啡去了。
一個小時過後他回到了辦公室，卻注意到計算機並沒有精確地重複以往根據同一個初始值計算出的老結果，這似乎不是理所當然的事。學過大學微分方程基礎教程的人都知道，單個常微分方程或由幾個常微分方程構成的常微分方程組有個“基本定理”，它的要點是“初值問題的解是存在並且唯一的”，意思是説，只要解函數的初始條件給定，方程或方程組有並且僅有一個解，它滿足給定的初始值。這個性質與不證自明的“初始點唯一確定函數的迭代點軌道”之顯然性質是一致的。按照上述基本定理，程序一樣，初始值一樣，計算機輸出的結果也應該是一樣的。難以理解的是，洛倫茨發現新的計算結果同上一次的計算結果隨着時間的向前推移迅速地偏離，面目全非。經過兩個月的時間後，“天氣”就完全不一樣了，這不是應該看到的現象。細心的他將信將疑地重新算了幾次，類似的現象在反覆試驗中總是出現。他的腦海裏出現了第一個判斷：糟糕，計算機壞了。
然而，檢查機器後他發現計算機並沒有問題。就在那個時刻，洛倫茨突然明白了箇中原因。這個頓時的覺悟所引申出的觀念突破，借用美國科學記者格萊克 (James Gleick，1954-) 在其入圍普利策獎的科學報告文學Chaos：Making a New Science (《混沌：開創一門新科學》) 中寫下的一句評語，“播下了一門新科學的種子。”洛倫茨這個無意之中的滿盆收穫，表面上看雖屬於偶然發現，彷彿是一個人們常常經歷的隨機事件，本質上實屬必然結果，是他作風嚴謹的科學態度和經歷過廣泛數學訓練的雙重效應，純粹是瓜熟蒂落，水到渠成。這和上一個世紀英國細菌學家亞歷山大·弗萊明 (Alexander Fleming，1881-1955) 於1928年秋培養細菌時偶然發現盤尼西林一樣是偶然性與必然性的完美結合。
原來，當時的計算機內存中，計算後的數據僅僅保持六位小數，而打印結果時為了節省紙張，只打印出經過四捨五入後保留的三位小數，比如0.123456打印成0.123，0.456789打印成0.457。洛倫茨在去喝咖啡前從打印紙上抄下的數據只有三位小數，與算到這個時刻的實際計算結果僅僅相差不到萬分之五，但他再輸進計算機的只有三位小數的初始值，其對應的新的隨着時間推移的計算結果和原先預期的計算結果發生了越來越大的偏差，這真是一個非常奇怪的現象，與人們通常的觀念相悖。
人們習以為常的觀念是：小的輸入誤差也會保證小的輸出誤差。這是物理、幾何及工程技術測量的基礎。任何測量都有不可避免的誤差，但只要誤差是足夠地小，結果就應該是足夠地精確。譬如要算出一個長方形的面積，經驗告訴我們，只要兩個邊長量得足夠精確，算出的面積就足夠令人放心。
但是，有的時候很小的輸入誤差也會導致很大的輸出誤差。比方説，如果我們用天文望遠鏡來觀察遠在天穹的中國空間站天和核心艙，望遠鏡的仰角即便存在極其微小的偏差也會把目標定格在茫茫天空中相距空間站甚遠的另外一處地方。原因非常簡單：地球觀察點與空間站之間的距離，作為由於角度測量的誤差導致弧長計算的誤差之圓弧半徑這個“放大因子”，實在是大得不得了。
即便放大因子不算太大，持續不斷的放大也會導致“聚沙成塔、集腋成裘”的效果。一個簡單的數學迭代遊戲如下：取一個在0和1之間的數，將之加倍。如果結果還是在0和1之間，就得到下一個數，再做同樣的事；如果結果大於1，就砍掉它的整數部分，得到下一個數，再做同樣的事。如此這般地迭代下去永不停歇，就生成一個無窮數列，其中的每一個數都在0和1之間。實際上，這就是對“逐片線性函數”f(x) = 2x(mod 1)進行迭代，這裏的記號mod表示對位於1和2之間的小數進行“砍頭留尾”的操作。作為例子，如果第一個數取為1/13，那麼它後面的數依次是2/13, 4/13, 8/13, 3/13, 6/13, 12/13, 11/13, 9/13，等等。如果第一個數有了1% 的誤差，那麼第二個數的誤差就加倍為2%，第三個數的誤差大到4%，以後依次增加到8%, 16%, 32%, 64%，等等。這樣，第七個數的誤差就比第一個數的誤差放大了26 = 64 倍。每次數值都放大一倍的變量，其絕對值遞增的速度快到令人目瞪口呆，例如放大一百次後的增加倍數2100遠遠超過10的25次方，這個數大得嚇人，全世界的黃沙數比它小不知多少倍，就像俄羅斯裔美國物理學家喬治·伽莫夫 (George Gamow，1904-1968) 的科普名著《從一到無窮大——科學中的事實和臆測》中一開頭那個智者戲弄富翁的“大數故事”所講的那樣。
洛倫茨在他的計算中看到了一類微分方程的解曲線“對初始值的敏感依賴性”。他終於領悟到這一異常現象根植於天氣預報所依賴的微分方程組的這個內在特性，而不是什麼計算過程中的舍入誤差在從中作祟。後來，在1993年出版的《混沌的本質》這本書裏，他再一次回憶到自己當時的想法：
“如果實際大氣的形態像這一簡單模式的話，那麼長期天氣預報將是不可能的。温度、風以及其他和天氣有關的量，確實不能精確地測量到三位小數。即使能夠這樣，但在觀測點之間進行內插也不能達到類似的精確度。我有些激動，並且很快將我的發現告訴了一些同事。最終，我確信小的差別的放大是缺乏週期性的原因。”
洛倫茨由此得出結論：“一個確定性的系統能夠以最簡單的方式表現出非週期的性態。”後來，他把自己的後續發現和分析寫成了論文《確定性的非週期流》(Deterministic Nonperiodic Flow)，發表在美國氣象學會的《大氣科學雜誌》(Journal of the Atmospheric Sciences)出版於1963年的第二十卷第二期上，這篇文章迄今已被引用了超過27000次。他的如下斷言無情地擊碎了幻想長期天氣預報一勞永逸的美夢：“由於天氣觀測存在自不待言的非精確性和不完全性，長期、準確的天氣預報將是不可能的。”
日後，洛倫茨將這一現象形象地比喻成“蝴蝶效應”，放到了他1979年12月29日在美國科學促進會上的演講題目中：“可預見性：一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍捲風嗎？”作為有趣的小插曲，更早幾年他原先想用的比喻動物是飛翔在大洋上空的更壯觀的“海鷗”，但請他演講的一場會議主持人未能核實就在標題中寫上“蝴蝶”而丟棄了“海鷗”，從此“蝴蝶效應”取代了“海鷗效應”而登上混沌的歷史舞台。
這裏也必須提及兩位女士的名字，她們是瑪格麗特·漢密爾頓 (Margaret Hamilton，1936-) 和艾倫·費特 (Ellen Fetter，1940-)，在2019年的一篇文章《隱藏的混沌女英雄》(The Hidden Heroines of Chaos) 中，作者講述了這兩位計算機科學家鮮為人知的非凡故事。作為數學系的本科畢業生，她們年輕時一前一後為洛倫茨工作當程序員，漢密爾頓1959年加入他的小組，兩年後因參加另一個項目而離開，但走前幫洛倫茨僱來了費特。
那些年，她們都為洛倫茨的開創性數值發現混沌有相當貢獻，以至於洛倫茨曾在一篇論文的最後向前者致謝：“The writer is greatly indebted to Mrs. Margaret Hamilton for her assistance in performing the many numerical computations which were necessary in this work（作者非常感謝瑪格麗特·漢密爾頓夫人協助進行了這項工作所必需的許多數值計算）.”而在1963年發表的那篇《確定性的非週期流》的致謝處，洛倫茨第一句感謝了借給他作為天氣預報模型的三個對流方程的地球物理學家巴里·薩爾茨曼 (Barry Saltzman，1931-2001)，第二句是：“Special thanks are due to Miss Elen Fetter for handling the many numerical computations and preparing the graphical presentations of the numerical material（特別感謝艾倫·費特小姐處理了許多數值計算並準備了數值材料的圖形演示）.”今年是混沌史上最著名論文發表六十年，我們在追溯洛倫茨豐功偉績的同時，也應該感激這兩位幕後女英雄的默默奉獻。
02 數學家拿過接力棒
然而，洛倫茨論文發表後的前十年，卻沒有在科學界引起多大的漣漪，按照格萊克在《混沌：開創一門新科學》中的説法，最初幾年的文章被引用次數只是個位數，氣象學家嫌他的論文太數學化，而數學家們又不大可能去翻閲大氣科學的專業雜誌尋找靈感。然而，當一個“媒人”在不知不覺中起到“穿針引線”的獨特角色後，一位有敏鋭洞察力的數學家終於“發現”了洛倫茨這位氣象學家，後者的這篇傑作的每年被引用次數很快從一位數跳升到三位數，並且至今方興未艾。
1972年的某一天，美國馬里蘭大學流體力學及應用數學研究所（現在的名稱是“物理科學及技術研究所”）的詹姆斯·約克 (James Yorke，1941-) 教授從自己的信箱裏收到他在這個跨學科研究所的同事、流體力學家法勒 (Alan Faller，1929-2022) 放進去的四篇關於流體動力學與天氣預報模型的論文，文章發表於60年代初，包括《確定性的非週期流》，作者全是洛倫茨。法勒教授認為這些文章的數學味道很濃，一般的氣象學家可能不願意讀，但從事微分方程研究的數學家或許感興趣，於是他複印了許多份，塞進了他認為會感興趣的那些人的信箱裏。
約克教授和他畢業於台北新竹清華大學的博士研究生李天巖 (1945-2020) 閲讀了這些文章，的確感到很有趣。他們發現洛倫茨那個常微分方程組中第三個因變量z作為時間t的函數有不規則的振動行為，並且這個函數相鄰局部極大值之間存在着某種依賴關係，而這個關係從本質上講類似於所謂的“帳篷映射”。如同它的形象化名字所揭示的那樣，這個函數T的圖象很像遠遠看過去的一頂露營帳篷，它的定義很簡單：當x大於或等於0且小於或等於1/2時，T(x)等於2x，而當x大於或等於1/2且小於或等於1時，T(x)等於2(1-x)。由於它的函數圖象也像一頂尖尖的帽子，帳篷映射又常被稱為“帽子函數”；如下面的紅色折線所示：
約克出生在美國新澤西州的一座小城Plainfield，但是在某個裝潢精美的“世界名人錄”裏，他的出生地卻成了中國北平（上世紀40年代時的北京稱謂），並説他有十個孩子。2015年，在慶祝他的弟子、我的博士論文導師李天巖教授70週歲的師生聚會上，他告訴我這是他對諸如此類的出版物所玩的一出“惡作劇”，為嘲弄這些“我幫你出名，你幫我賺錢”的出版商，他故意杜撰了自己的部分歷史，其實他只養育了三個孩子。他讀高中時，數學課沒有一門成績達到90分。我在他後來電郵我的高中成績單上看到的數學考試最高分是86。然而，這個班上的中等學生卻獲得了全州高中生數學競賽的第三名。他自豪地告訴我：“我在高中階段就學會了怎樣學數學。”
當約克考進私立名校紐約哥倫比亞大學後，課堂成績依然不夠漂亮。後來，當來自台灣的李天巖選了他做博士論文指導老師後，他告訴對方，“我在大學唸書時沒有B”，大學成績幾乎都是A的弟子以為他“全是A”，沒想到老師笑眯眯地回答他：“C或C以下。”事實上，在大學的前三年，約克沒有一門課拿到A，除了體育課。不過這個零記錄在第四年終於被打破了，他拿到了至少一個A。雖然大學成績單不甚爭氣，他卻學到了許多，甚至還參加了著名的全美大學生普特南數學競賽並做得非常之好，這幫助了他被像康奈爾大學這樣的私立名校研究生院錄取深造，但他卻鍾情於馬里蘭大學的應用數學研究以及那個獨特的“流體力學及應用數學研究所”，便去了這所公立大學，於1966年獲得數學博士學位後破格受聘留校工作。他曾擔任過物理科學及技術研究所的所長和數學系的系主任，並被賦予“大學數學與物理傑出研究教授”的學校最高榮譽。他獲得過的獎項中包括2003年度的“日本國際獎”。
在約克教授的個人網頁上，有一句是他特地寫下的：A degree in mathematics is a license to explore the universe（數學學位是探索宇宙的許可證）。作為例證，洛倫茨教授的數學學士和碩士學位確實幫助他贏得世界公認的“混沌之父”桂冠。
李天巖祖籍湖南，1945年6月28日出生於福建省沙縣。他的父親早年留學日本東京帝國大學醫學院，獲得醫學博士學位，1934年回國任教湖南省湘雅醫學院，先後擔任過福建省省立醫院和福建省省立醫學院的院長，1948年去了台灣。李天巖及兩個兄長很快隨母親與父親團聚，從此他在祖國寶島接受教育，1968年考入在台灣恢復建校的新竹清華大學，為數學系的首屆畢業生。讀大學時，他成績名列前茅，興趣寬廣，全面發展，既是校足球隊隊員，又是校籃球隊隊長。1968年李天巖本科畢業，按國民黨政府的規定服兵役一年，第二年他赴美國馬里蘭大學數學系攻讀博士學位，不久就通過博士資格考試，跟隨約克教授做博士論文。據他在晚年佳作《回首來時路》中説，大學成績單很不漂亮的約克查到李天巖無比漂亮的清華成績單時“顯然嚇了一跳，以為是那路殺來的武林高手”，然而作者在文中卻認為他對數學的認知和品味以及怎樣做學術研究，都是拜約克之巨大影響所賜。
1973年3月的一個星期五下午，博士生李天巖來到約克教授的辦公室，因什麼“煩惱”的心結想嚮導師吐一吐“苦水”，但約克毫不理會他説的是什麼，劈頭就來一句，“I have a good idea for you!（告訴你一個好想法！）”這個想法就是約克從洛倫茨的文章中獲得的靈感，它已在約克的頭腦中直觀地凸現，形成了一個數學猜想，但他卻未能予以證明，所以他要請自己“微積分武功高強”的弟子試一試證實它或證否它。在那段時間裏，李天巖一直在做常微分方程方面的研究，導師收他為徒後下達的第一個任務就是研究抽象空間常微分方程的初值問題，所以學生以為老師所説的“good idea”是關於微分方程研究的一個漂亮點子。
在美國，學生與老師常常“沒大沒小”地互開玩笑，因為在中國盛行了兩千多年的古訓“師道尊嚴”在這個“年輕氣盛”的國度從未流行過，大學裏大行其道的是“真理面前人人平等”。李天巖半開玩笑地回應了導師一句問話：“Is your idea good enough for the Monthly?（你的想法是不是好得可以上《月刊》?）”
Monthly是The American Mathematical Monthly（《美國數學月刊》）的簡稱，它是全世界讀者人數最多的數學雜誌，但也是一本讀者對象主要是大學生及他們的老師的闡述性期刊。美國幾乎每所大學或學院的數學系和學校圖書館都訂閲這個數學好的大學本科生大都能看得懂的淺近雜誌，但對美國的優秀大學生正餐之外“吃小灶”的這種數學教育法有蓋世之功的這一本極佳刊物，對投稿文章作者的英文寫作要求極高，拒稿率在百分之九十五左右，不寫成闡述性而是以研究性專業雜誌可以接受的“定義、引理、定理、推論”八股格式作文，統統都被槍斃，無論其數學內容多麼漂亮。《月刊》是美國數學協會 (Mathematical Association of America) 旗下的幾大通俗刊物之一，其他的如《高校數學雜誌》(The College Mathematics Journal)，對寫作風格也有同樣的要求，我曾在這個期刊上登過一篇文章《指數函數的動力學》，主編不厭其煩地幫助我修改詞句，來回潤色加工。文章從投稿到發表歷時將近三年，最後的定稿面貌煥然一新。
當李天巖從約克嘴裏聽到用數學語言不難表達的“good idea”之後，來辦公室之前的不爽心情頓時煙消雲散，馬上感慨地説了一句:“It would be a perfect work for the Monthly!（這對《月刊》而言將是一篇完美之作！）”回到自己的研究生教學助理辦公室後，他開始認真琢磨導師從氣象學家數值天氣預報的論文裏提煉出的那個數學猜想：如果一個連續的將定義域區間映到自身的函數具有周期為三的週期點，那麼它的無窮次迭代過程既有以同自然數一樣多的週期軌道為代表的有序性態，也有以比自然數還要多的非週期軌道為特徵的無序性態。他進入了試圖證明它是對的狀態之中。
約克沒有看錯人，兩個星期過後，李天巖通過巧妙地重複運用微分學裏關於區間上連續函數的介值定理，嚴格證明了約克的想法為真。“介值定理”又稱“中間值定理”，它指出如果f是一個定義域為閉區間[a, b]的連續函數，則對嚴格位於f(a)和f(b)之間的任意實數d，都存在屬於開區間(a, b)的一點c使得f(c) = d。這個定理在幾何上看是很顯然的：連接位於一根直線兩旁各一點的任何連續曲線必定會經過這根直線。它的一個特殊情形是：如果兩數f(a)和f(b)異號，即f(a)f(b) < 0，則在(a, b)內一定存在一點c使得f(c) = 0。這個特殊結論推出兩個斷言。第一個是拓撲學中著名的布勞威爾不動點定理在最簡單的區間情形時的特例：如果連續函數f將定義域[a, b]映到自身內，即f的值域包含在定義域之中，那麼f在[a, b]中一定有不動點；這是介值定理的直接推論。第二個是：如果f的值域包含定義域[a, b]，則 f在[a, b]中也有不動點；這是李天巖為了證明約克的猜想而發現的一個全新的不動點定理，在定理條件裏只須將第一個定理假設中的定義域-值域包含關係換成反向包含關係。我在之前的文章中提到，不動點在幾何上的意義就是函數圖象與xy-座標系對角線y = x的交點座標。讀者只要畫出滿足上述兩個命題各自條件的函數圖象，馬上就能發現該曲線必定與對角線相交而得到不動點。
李天巖還需要一個結果方能完成導師的重託，於是他乾脆也把它證明了出來：設f為定義域為閉區間J的連續函數且閉區間[a, b]包含在值域f(J)之中，則J包含一個閉區間K使得f(K) = [a, b]，即[a, b]是K在f下的像。讀者也不妨畫出f的圖象，找到對應於值域中某個給定區間[a, b]的那個閉區間K。
通過首先建立以上的幾個預備結果，李天巖最終證明了如下後來名滿天下的定理，該定理現以約克和李天巖師徒二人的英文姓氏按照西方通用的數學文章首字母排序署名法“Li-Yorke”命名：
李-約克定理 設f是一個連續函數，將定義域區間映到自身。若它有周期為3的週期點，則
(i)對任一自然數n，f有一個週期為n的週期點。
(ii)存在定義域內的一個不可數的子集A，它不包含週期點，使得對A中任意兩個不同的點x0和y0，分別從它們出發的對應迭代點的距離數列|fn(x0) - fn(y0)|當n趨向於無窮大時，其下極限為0，而上極限大於0。
(iii)對A中任意一點x0及f的任一週期點p，分別從它們出發的對應迭代點的距離數列|fn(x0) –fn(p)|當n趨向於無窮大時，上極限大於0。
定理中的幾個數學術語實在太專業、太高深，連我都不想這樣寫。但本文已夠長了，應該讓讀者休息一下，等我在下一篇文章中淺顯地解釋它們，並用初等語言讓讀者信服，為什麼連續函數有周期-3點就保證有周期-n點。
致謝：作者感謝學者楊運洋閲讀原稿並提出寫法建議。
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