代數拓撲的誕生_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！05-05 09:15
19 世紀的代數學家發現的新的數學對象（矩陣、代數、羣、簇等）開始被數學家們運用到他們的研究工作中，他們把這些新數學對象作為解決幾何學、拓撲學、數論和函數論等其他數學領域中的問題的工具。法國數學家龐加萊最先將拓撲學的思想代數化，成為代數拓撲的創始人。而他的傳人布勞威爾，更是一位非常有想法的哲學家——直覺主義的創始人。
撰文 | 約翰·德比希爾（John Derbyshire）
翻譯 | 張浩
拓撲學通常被叫作“橡皮幾何學”。想象一個二維曲面，例如球面，假設它是由某種可伸縮的材料製成的。這個橡皮球面可以通過拉伸或擠壓變換成其他任意與球面“相同”的曲面，這就是拓撲學家關心的東西。為了讓拓撲學具備數學的精確性，你需要再製定一些規則，例如切割、黏合、把一個有限區域“擠壓”成一個沒有維度的點，或者允許這個橡皮曲面可以像霧一樣穿過自身，這些規則在不同的應用中略有不同。不過在這裏，這種寬泛而熟悉的定義已經足夠了。
直到 19 世紀末，拓撲學都沒有顯示出與代數有多大關係。事實上，它的早期發展非常緩慢。“拓撲”這個詞最早是哥廷根數學家約翰·利斯廷（Johann Listing，1808-1882）在 19 世紀 40 年代使用的。利斯廷的很多想法都似乎來自高斯，他與高斯關係很密切。然而，高斯從未發表過任何與拓撲相關的文章。1861 年，利斯廷描述了一個單側曲面，現在我們稱之為莫比烏斯帶（圖1）；莫比烏斯在四年後也寫下了關於這個曲面的文章，由於某些原因，正是他的介紹才引起了數學家們的注意。儘管現在為其正名為時已晚，但是我還是將圖 14-1 標記為利斯廷帶，為利斯廷恢復一點點公正。
另外，如果是有摺痕的球面（圖2），從上面剪下來一塊小圓片，那麼剩下的部分就與利斯廷帶拓撲等價。兩個對象在適當的拉伸和擠壓下“相同”（即拓撲等價）可以用一個更漂亮、更時髦的術語來表述：同胚。不過，説起它，要説的可就多了，為了使表述簡單起見，我還是繼續用“拓撲等價”這個詞。
1851 年，黎曼在他的博士論文中使用複雜的自相交曲面來幫助理解函數，這一做法是推動拓撲思想發展的另一個因素。在仔細研究這些黎曼曲面後，若爾當提出了一個研究這些曲面的想法——觀察嵌入在其中的封閉路徑，看看會發生什麼。我在這裏用“曲面”代替“空間”，使其更直觀一些。
例如，想象一個球面，取球面上的一點，從這一點出發，沿一個圈行走，直到回到原點。如果不對你剛才走過的這條路徑做任何非拓撲的操作，也不離開這個曲面，那麼它能一直收縮到這個出發點嗎？它能夠光滑而連續地收縮嗎？是的，它可以。這個球面上的任何一條路徑都可以做到這一點。
對於一個環面來説就不是這樣了。圖3中描繪的路徑 a或路徑 b 都不能收縮到點 P，但是路徑 c 可以收縮到點 P。因此，也許研究這些路徑確實可以讓我們瞭解關於曲面拓撲的信息。
閉路族能構成一個羣嗎？
1895 年，一位才華橫溢的法國數學家把這些想法代數化，這位數學家就是巴黎綜合理工學院的亨利·龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）。龐加萊是這樣陳述的：考慮一個曲面上的所有可能的若爾當閉路，即起點和終點相同的所有路徑。令這個基點固定不動，把所有閉路分成若干集族，如果一條閉路能夠光滑地變形為另一條閉路，那麼這兩條閉路就屬於同一個族，即它們是拓撲等價的。考慮這些族，無論它們有多少。兩個族的合成定義如下：首先經過第一個族的一條路徑，然後再經過第二個族的一條路徑（選擇哪條路徑無關緊要）。
現在，你有了一個以閉路族為元素的集合，而且還有一種將兩個元素合成為另一個元素的方法。這些元素（即閉路族）能構成一個羣嗎？龐加萊證明它確實是一個羣，於是代數拓撲就這樣誕生了。
你還需要一小步就可以得到任意曲面的基本羣的概念——你需要擺脱你的閉路對任意特定基點的依賴（事實上，它們無須是我定義的精確的若爾當閉路）。這個羣中的元素是這個曲面上的路徑族，合成兩個路徑族的法則如下：首先經過第一個族的一條路徑，再經過第二個族的一條路徑。球面的基本羣實際上是隻有一個元素的平凡羣。每一條閉路都可以光滑地收縮成這個基點，所以只有一個路徑族。
事實證明，任何以只有一個元素的平凡羣為基本羣的二維曲面一定與球面拓撲等價。現在，我們熟悉的嵌入在普通三維空間裏的二維球面在高維空間中有類似物。例如，一個彎曲的三維空間“就像”一個球面，但是它處於四維空間中，有時被稱為超球面。有時也被稱為三維球面。然而人們很難在頭腦中想象這個術語，至少對非數學專業人士來説是這樣的。“三維球面”是指普通球的二維表面彎曲地放在三維空間中的二維曲面嗎？還是指一個超球的難以想象的三維表面彎曲地放在四維空間中的三維曲面呢？對數學家來説，三維球面指的是後者，因為黎曼告訴我們要從一個流形的內部考慮流形這個空間。不過，非數學專業人士通常把二維曲面放在三維空間中觀察，所以前者也有點兒道理。
問題來了：在四維空間中，任何一個以平凡羣為基本羣的三維彎曲空間與這個超球面是否也是拓撲等價的？
1904 年，龐加萊提出了著名的龐加萊猜想，斷言上述問題的答案是肯定的。直到 2005 年末，這個猜想既沒有被證明，也沒有被推翻。在發表於2002年和2003年的一系列論文中，俄羅斯數學家格里戈裏·佩雷爾曼（Grigory Perelman，1966-）證明了它是正確的。當我在寫這本書時（本書英文版出版於2006年5月），數學家們仍在評審佩雷爾曼的工作。根據這些評審報告的非正式報道，越來越多的人認為佩雷爾曼實際上已經證明了這個猜想。龐加萊猜想是七個千禧年大獎難題之一，解決其中任何一個問題都將獲得美國馬薩諸塞州劍橋市的克雷數學研究所提供的100萬美元獎金。
當一個數學理論開始產生猜想時，它就開始活躍起來了。拓撲學就是伴隨着龐加萊 1895 年出版的著作《位置分析》而活躍起來的。在拓撲學發展的最初幾十年間，它經常被稱為“位置分析”。直到 20世紀 30 年代，人們才普遍用“拓撲學”來命名這個學科。我想這應該感謝所羅門·萊夫謝茨（Solomon Lefschetz，1884-1972）。
數學思想的“矛盾”
龐加萊成為現代拓撲學的創始人，這裏有點兒奇怪。
數學家認為，拓撲學實際上有兩種風格：一種源自幾何學的啓示，另一種源自分析學。這裏的“分析”指的是數學意義中的分析，即以函數、極限、微分和積分作為研究對象的數學分支，這些研究對象都與連續性有關。如果你回頭看一下我在前面多次提到的光滑和連續變形，你就會掌握這種拓撲意義中的聯繫。從某種意義上説，如果沒有光滑、連續、從一個位置到另一個位置的無窮小移動等基礎概念，即一些分析的思維方式，那麼拓撲學就沒有意義。
用數學術語來説，分析的對面是組合。在組合數學中，我們研究的事物可以數出來：1、2、3，等等，且整數之間不存在其他數。因為相鄰整數之間沒有整數，所以從一個整數到另一個整數沒有一條光滑的路徑，我們需要跳過一個個間隔。分析數學是連貫的，可以光滑地在連續的空間中穿梭；而組合數學是斷斷續續的，從一個整數直接跳躍到另一個整數。
如今，拓撲學應該是所有數學研究中最具有連貫性的，因為橡皮面可以光滑、連續地彎曲和伸縮。然而，最早出現的拓撲不變量卻是一個表示孔洞數的整數，它用來衡量一個曲面內環狀孔洞的個數，是由瑞士數學家西蒙·呂利耶（Simon l’Huilier，1750-1840）於 1813 年發現的。維數是另一個拓撲不變量（在拓撲意義中，你不能把一根鞋帶變成一張煎餅，或把一張煎餅變成一塊磚），它也是一個整數。甚至連龐加萊發現的那些基本羣也不是像李羣那樣的連續羣，而是可數的離散羣。儘管這些羣可能是無限羣，但是它們的元素可以數出來：1、2、3，等等。連續羣中的元素是不可數的。所以，拓撲學中所有有趣的東西似乎都是離散的，而不是連續的。
自相矛盾的是，龐加萊經由分析學進入拓撲學，確切地説，他是在研究微分方程的一些問題時來到了拓撲學領域。然而，他的研究結果以及他在《位置分析》中的所有思想都是組合的。從分析角度研究拓撲學（現在通常被稱為點集拓撲學）對他而言沒什麼吸引力。
同樣的矛盾在荷蘭數學家布勞威爾（1881-1966）的身上更加明顯，他是龐加萊最重要的代數拓撲傳人。正是布勞威爾在 1910 年證明了維數是一個拓撲不變量。在現代數學中，更為重要的是他的不動點定理。
布勞威爾不動點定理
n維球體到自身的任意連續映射都有一個不動點。
n維球體就是實心單位圓盤（平面上到原點的距離不超過一個單位的點的全體）的概念或實心單位球體（三維空間中到原點的距離不超過一個單位的點的全體）的概念在 n 維空間中的推廣。對於二維平面的情形，這個定理意味着如果你把單位圓盤上的每一個點光滑地移到另外某個點處，把非常靠近的點移到同樣非常靠近的點，那麼總有一個點在移動前後的位置不變。
不動點定理及其直接推廣有很多推論。例如，你小心平穩地攪拌杯子裏的咖啡，那麼某一滴咖啡，或者説某個分子，最終會停在它的起始位置上。（注意，從拓撲意義上説，杯中的咖啡是一個三維球體，通過攪拌，你就把咖啡中的每一個分子從這個三維球體的某個點 X移到了某個點Y，這就是我們所説的“把一個空間映射到自身”的意思。）還有一個不太明顯的例子：把一張紙放在桌子上，用記號筆在桌子上畫出它的輪廓。現在把這張紙揉皺，但不要撕破它，然後把它放進畫出的輪廓裏。這張變皺的紙上存在（至少）一個點，一定在畫出的這張紙的輪廓中這個點的正上方。
直覺主義
布勞威爾的拓撲學中潛在的自相矛盾，是他得到的結果與他的哲學思想格格不入。對於一名普通的數學家來説，這也許並不重要，但是布勞威爾是一位非常有哲學想法的數學家。他痴迷於形而上學思想（更確切地説是反形而上學的思想）以及為數學尋找一個可靠的哲學基礎。
為此，他創立了直覺主義學説，試圖將所有數學根植於人類進行連續思考的思維活動之中。布勞威爾説，一個數學命題不真，是因為它對應於某種柏拉圖式的更高實體，這種更高實體超出了我們的物理感官，而我們的大腦卻能以某種方式理解它。它不真，還因為它遵循了一些語言形符的規則，就像布勞威爾時代的邏輯學家和形式主義者（如羅素和希爾伯特）所主張的那樣。它為真，是因為我們可以進行一些適當的心理建構，一步一步體驗它的正確性。按照布勞威爾的説法，構成數學的材料（非常粗略地説）並不是從超出我們感知的世界裏的某個倉庫裏取出來的，也不僅僅是語言或者在紙上根據規則操作的符號。它是一種思想——一種人類活動，最終建立在我們對時間的直覺上，它是人類本能的一部分。
這僅僅是對直覺主義最簡單的概括，它催生了大量的文獻。瞭解這種哲學的讀者會察覺到康德和尼采對其產生的影響。
事實上，不管怎麼説，布勞威爾絕不是這條思路僅有的開創者。類似的思想貫穿數學的現代歷史，可以追溯到康德之前，至少可以追溯到笛卡兒的時代。我認為，四元數的發現者哈密頓可以被看作直覺主義者。1835 年，他在論文《作為純時間科學的代數》中試圖將康德的基於幾何學的數學思想建立在“直覺”和“構造”之上，並引進到代數中。
19 世紀後期，利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker，1823-1891）強烈反對格奧爾格·康托爾（Georg Cantor，1845-1918）把“實無窮”引入集合論中，你可以稱克羅內克為前直覺主義者。克羅內克認為，像這樣的不可數集合不屬於數學，數學即使沒有它們也能發展，它們把無用且不必要的形而上學的包袱帶到了數學中，數學應該根植於計數、算法和計算。
正是這個思想學派被布勞威爾帶到20世紀，傳播給後來的數學家，例如美國數學家埃裏特·畢曉普（Errett Bishop，1928-1983）。布勞威爾的學説被稱為“直覺主義”，畢曉普的學説被稱為“構造主義”。這些思想現在都被稱為“構造主義”，它們在美國的倡導者是美國柯朗數學科學研究所的哈羅德·愛德華茲（Harold M. Edwards，1936-）教授。愛德華茲教授在其 2004 年的著作《構造數學論著集》（Essays in Constructive Mathematics）中很好地説明了這種方法（事實上，他的其他著作也是如此）。
愛德華茲教授認為，隨着功能強大的計算機便捷化，構造主義現已迎來了它的時代，而且一旦人們對思維方式做出了適當調整，那麼人們自1880年以來取得的很多數學成果看起來都會是誤解。我沒有資格評判這個預言，但就其特點而言，我個人覺得構造主義的方法非常有吸引力。
總之，在布勞威爾 30 歲左右的那幾年裏，他在代數拓撲方面的研究一定與他的哲學觀點有衝突。十年後，他的同胞範德瓦爾登來到荷蘭阿姆斯特丹跟隨他學習。範德瓦爾登在接受《美國數學學會通告》採訪時説：
儘管布勞威爾最重要的研究貢獻在拓撲學領域，但是他從來沒有開設過拓撲學課程，而且總是隻開設直覺主義基礎課程。他似乎不再相信自己在拓撲學方面的成果，因為從直覺主義的觀點來看，它們是不正確的。根據他自己的哲學，他認為之前做過的每一件事情——甚至他最偉大的成果——都是錯誤的。他是一個非常奇怪的人，他瘋狂地熱愛自己的哲學。
作者簡介
約翰·德比希爾（John Derbyshire），出生於英國，是一位美國系統分析師、作家和評論家，曾學習過數學和語言學。他曾是美國《國家評論》的專欄作家，其寫作題材非常廣泛，著有《素數之戀》《夢見柯立芝》等多部作品。
本文經授權節選自《代數的歷史：人類對未知量的不捨追蹤》（人民郵電出版社·圖靈新知，2021.4）第14章《代數無處不在》，小標題為編者所加。
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