混沌科學幕後的兩位女性，她們的貢獻不應被遺忘 | 女性數學日_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！05-13 12:14
撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）
説起“混沌”，人們總會提到被譽為“混沌之父”的美國氣象學家愛德華·洛倫茨 (Edward Norton Lorenz，1917-2008)，可是有幾個人瞭解混沌發展史上那些被有意或無意隱藏或一帶而過的細節，尤其當細節涉及的是被媒體記者或暢銷書作家認定“無關緊要”的人物？
在洛倫茨那篇青史留名的科學論文《確定性的非週期流》(Deterministic Nonperiodic Flow) 發表54年後的2017年秋，作為該校“洛倫茨中心”的副主任，麻省理工學院的地球物理學家丹尼爾·羅斯曼 (Daniel Rothman) 在為次年初將要舉辦的一場紀念洛倫茨百年誕辰的研討會做準備而忙碌着。他再次打開了洛倫茨這篇已被成千上萬的科學論文引用過的傑作。儘管他對該文的“科學部分”非常熟悉，他甚至在以往的課堂上還專門教過有關內容，但在這一次，當他的眼光落到本文參考文獻後頭的“非科學部分”——“致謝”處時，他卻讀到他以往從未注意過的一句話，就像哥倫布突然發現了新大陸：“Special thanks are due to Miss Ellen Fetter for handling the many numerical computations and preparing the graphical presentations of the numerical material（特別感謝艾倫·費特小姐處理了許多數值計算並準備了數值材料的圖形演示）.”
費特是誰？她就是下面照片中這位美麗動人的“混沌幕後的女英雄” （攝於她23歲時）：
5月12日是Women in Mathematics Day（女性數學日），這是為慶祝菲爾茲獎首位女獲獎者瑪麗安·米爾札哈尼 (Maryam Mirzakhani，1977-2017) 在數學領域輝煌一生而於2019年設立的國際數學日。在此，回顧漢密爾頓和費特為建立混沌理論所做出的歷史性功績，是件有意義的事。
瑪格麗特·漢密爾頓
現如今，“軟件工程 (software engineering) ”早已是計算機及信息科學行當的熱門術語和賺錢職業，但正如《軟件雜誌》2018年刊登的一篇文章在文首所説的那樣，“得知他們學科的創始人是一位女性，今天的大多數軟件工程師可能會感到驚訝。”這位女性就是瑪格麗特·漢密爾頓。
這是她在半個世紀前參與美國“阿波羅登月計劃”時所做的眾多貢獻之一，在科學界廣為人知，她也獲得若干政府嘉獎。但在六十多年前她剛走出大學校門後的歲月，她對天氣預報的數值模擬工作導致混沌理論的初現，給出了她一生中的第一項科學貢獻，只不過這項成就鮮為大眾所知。
漢密爾頓原名Margaret Elain Heafield，出生於美國印第安納州一個只有三四千居民的小鎮Paoli，後來隨父母移居到北邊的密歇根州，在那裏讀完高中後於1954年考入本州最好公立大學密歇根大學。但由於她的母親曾在印第安納州的一所私立人文學院——厄勒姆學院 (Earlham College) 讀過書，她於第二年也轉到母親的母校，主修數學，副修哲學，三年後她獲得了該校的數學學士學位，和母親成了隔代校友。這所由新教徒宗教團體貴格會 (Quakers) 建於1847年，到現在學生總數也不足750人的小型學院，不僅給其學生傳輸了人文和科學知識，還注重以正直、對和平和正義的承諾、人與人之間相互尊重等價值觀影響他們。
大學剛畢業，瑪格麗特就與同在本校唸書的詹姆斯·漢密爾頓 (James Hamilton，1937-2014) 因愛而婚。後來，她在本州小城波士頓一高中短暫教書，這是美國數學系本科畢業生的常去之處，甚至任教終生。但是他們很快有了新的打算，搬到文化教育大城波士頓，漢密爾頓先生去了哈佛大學法學院讀書，漢密爾頓夫人起初計劃去布蘭迪斯大學讀抽象數學的研究生，但她很快改變了初心，去了本市最好的工程大學——麻省理工學院擔任計算機程序員。很快，她加入到氣象學教授洛倫茨的團隊併為之做計算編程工作，參與了發現天氣預報混沌現象的最初過程，見證了混沌概念的萌芽出土。
23歲的數學學士漢密爾頓夫人於1959年夏來到數學碩士、氣象學博士洛倫茨教授的研究小組時，後者剛剛購買了一台Royal McBee公司製造的LGP-30型台式計算機，並自己學會了怎樣用它。這台機器有八百磅重，一個人駕馭不了，需要熟練的程序員相助。這讓我想起四十年前當我和研究生師兄弟們在南京大學的計算中心編程算題時，機房裏有一支“程序員娘子軍”忙個不停。美國氫彈之父烏拉姆在他的自傳《一個數學家的經歷》中也回憶道，在曼哈頓原子彈研製工程中，包括他太太在內的“教授夫人”們被召集起來組成了“程序員大軍”，協助她們的丈夫完成了原子彈的繁複計算工作。
不過漢密爾頓要比一般的程序員強多了，那些程序員主要是體力勞動者，輸入卡片等人工操作幾乎不需要數學頭腦，漢密爾頓則不僅動手，而且更動腦子，她的數學訓練使得她在洛倫茨關於天氣預報的開創性數值研究中所起的作用，同她的後繼者費特一樣，等價於半個洛倫茨。
在與洛倫茨一起工作的兩年間，按漢密爾頓自己的感受説，“是我成長的歲月”。在2019年美國Quanta Magazine（量子雜誌）刊登的一篇文章裏，科學記者Joshua Sokol這樣敍述了漢密爾頓對青春年華的追憶：“有次聚會凌晨三四點結束後，她意識到 LGP-30 無法在第二天早上產生結果，於是和幾個朋友趕過去啓動它。還有一次，由於對修復錯誤後再次運行機器所必須做的所有事情感到困擾，她想出了一種方法來繞過計算機笨拙的調試過程。令洛倫茨高興的是，漢密爾頓會拿起要輸進計算機的紙帶，將它捲過走廊，然後用削尖的鉛筆編輯二進制代碼。‘我會為其中的幾個紙帶戳洞，然後用透明膠帶把其他的蓋起來，’她説。”
漢密爾頓來得正是時候，很快洛倫茨和他的助手開啓了用12個常微分方程來做數值模擬“小範圍天氣預報”的航程。作為精力充沛、事業蒸蒸日上的氣象學副教授，他自然是領航者，漢密爾頓則為他的計算想法編碼實現。他們將計算機設置成慢慢打印出眾多變量中的一個或幾個隨時間而變化的圖象。打印的結果既顯示了週期現象，也出現了一些非週期性，一切似乎都頗為合理。然而某一天， 事情出現了變化，而這碰巧是由美國紳士常有的喝咖啡愛好引發的。
那天，他們設置的打印結果不是圖象，而是幾個變量對應於時間演化同一時刻的函數值，每一行打印的是一天後的天氣數據。算了一陣子後，洛倫茨的咖啡癮上來了，於是他將打印出的一組數字作為初始數據重新輸進計算機做第二次運算，然後穿過大廳下樓喝咖啡去了。一小時後他回來，奇怪的事發生了。新的計算表明，在時間進行不長時，這一次與上一次的數值基本吻合，但隨着時間的拉長，兩個結果之間的差異呈現出“指數級的增長”，導致兩個月後的天氣形勢面目全非。
接下來的故事已是經典性的了：洛倫茨發現他喝咖啡前輸進的數據僅僅是計算機裏參與運算的六位小數四捨五入到三位的打印近似，所以第二次的計算一開始就已經帶有大約萬分之五的“初始值誤差”，而由於他們數值求解的微分方程具有對初始條件的敏感依賴性，初始誤差被快速放大，致使一段時間後誤差大到讓人無法容忍。由於實際的天氣預報依賴觀測數據，而觀測誤差不可避免，因此他的發現擊碎了長期天氣預報的幻想。後來的流行語“蝴蝶效應”形象地描繪了這一點。（參見《氣象學家與數學家的混沌接力》）
然而洛倫茨並沒有將他的科學發現很快寫成文章發表——他的名篇《確定性的非週期流》也是等到1963年上半年才正式問世——而是在1960年11月於東京召開的一次數值天氣預報學術會議上，他就此作了一個報告。報告後聽眾席中有人問：“你是否稍微改變了初始條件，看看結果有多少不同？”他回答道：“事實上，我們用同樣的方程試過一次，看看會發生什麼。”這説明他和漢密爾頓在這之前已經數次觀察到天氣預報的蝴蝶效應。在美國科學記者格萊克的報告文學名著《混沌：開創一門新科學》中，這個“播下了一門新科學的種子”的大發現，時間被向後移動了一年。
洛倫茨因為在上世紀60年代率先在自然科學領域發現混沌現象，故而在從70年代中期開始的混沌熱中於科學界和公共媒體界變得大紅大紫。然而他始終以一名紳士的舉止出現，誰幫助過他，他就真心實意地感謝對方。對於程序員漢密爾頓，他在論文的致謝處寫道：“The writer is greatly indebted to Mrs. Margaret Hamilton for her assistance in performing the many numerical computations which were necessary in this work（作者非常感謝瑪格麗特·漢密爾頓夫人協助進行了這項工作所必需的許多數值計算）.”這種虛心做法和道德情操，無疑很值得科技人員學習，尤其是那些“明星科學家”。
從形象上看，在科學記者格萊克的筆下，洛倫茨的面孔“像飽經風霜的美國老農，然而眼睛又是出奇地有神，使他看起來好像總是在笑。他很少談論自己或自己的工作，只是傾聽別人講話。”
1961年夏，漢密爾頓因加入另一個項目而離開了洛倫茨的小組，但在她走前很負責地幫洛倫茨面試並僱來了新的程序員費特。從此，她走上了一條事業上極其成功的更寬廣大道，這條金色的大道由於披上了飛往月球的“阿波羅戰袍”而使她全身越來越“金光閃閃”，其耀眼的光芒可以與她人生中的第一個編碼導師洛倫茨相媲美，甚至可能還超過了他。
她沒有離開麻省理工學院，只是換到了林肯實驗室，在那裏工作到1963年，為幾個重要項目編寫軟件程序。然後，她加入儀器實驗室，成為阿波羅探月計劃聘用的第一位程序員。兩年後，她開始領導阿波羅項目中的機載飛行軟件團隊，職務是“軟件工程部”主任。洛倫茨的“玩具天氣預報”只是一個氣象學教授的幾人小團隊科學探索，而“阿波羅登月計劃”卻是人類向太陽系空間進軍的大號角，是美國宇航局 (NASA) 的千人大集團一次雄心勃勃的宇宙探險。領導這個大工程的軟件開發，不僅需要科學知識、工程背景和技術經驗，並且需要邏輯思維和形象思維的綜合素質，受過數學和哲學雙重薰陶的漢密爾頓被委以重任。
1969年7月20日，當阿波羅 11 號宇航員尼爾·阿姆斯特朗 (Neil Armstrong，1930-2012) 成為人類歷史上第一個在月球上的行走者時，全世界的人們只被這個激動人心的新聞所震撼，他們的目光只聚焦在那個英雄男人身上。可是，正如2016年一篇卡通文意味深長的標題所云：她是“把男人送上月球的女人 (The woman who put a man on the moon)”。沒有以漢密爾頓為首領的軟件工程師團隊專門開發出的飛行軟件，阿波羅11號飛不到月球，阿姆斯特朗更跨不出人類歷史上的這一步。
歷史已經記載，正是在阿波羅計劃緊鑼密鼓進行之時，漢密爾頓發明了今天已是家喻户曉的術語“軟件工程”。多年後，她這樣回憶道：
“當我第一次提出這個詞時，之前沒有人聽説過它，至少在我們這個世界上是這樣。很長一段時間以來，這一直是個笑話。他們喜歡拿我激進的想法開玩笑。這是一個值得紀念的日子：一位最受尊敬的硬件大師在一次會議上向所有人解釋説，他同意我的觀點，即構建軟件的過程也應該被視為一門工程學科，就像硬件一樣。不是因為他接受了新的“術語”本身，而是因為我們贏得了他的認可，也贏得了房間裏其他人的認可，因為我們本身就屬於工程領域。”
在美國雜誌《連線》(Wired) 九年前的一篇文章《軟件——和一個女人——處於月球勝利的核心》中，作者寫道：“漢密爾頓與另一位早期編程的先驅、COBOL發明者格蕾絲·霍珀一起，也因幫助更多的女性進入軟件等科學、技術、工程和數學領域並取得成功而配得上巨大讚譽。” 霍珀 (Grace Hopper，1906-1992) 也是一位傳奇，她於耶魯大學獲得數學博士學位，當過“七姐妹女校”之一瓦薩學院的數學教授，二戰後期投身於海軍研發事業，發展了軟件科學，最後官拜海軍少將。
自1986年以來，漢密爾頓獲獎無數，最引人注目的是2016年奧巴馬總統授予她“總統自由勳章”，這是美國平民的最高榮譽。
艾倫·費特
艾倫·費特之所以在洛倫茨最偉大的論文裏留下了名字，是因為文章中計算機指揮打印機畫出的、看上去很像蝴蝶兩側翅膀、後來被稱為“洛倫茨吸引子”的那張圖上也有她的汗馬功勞。
1961年，恰在漢密爾頓將去林肯實驗室前，費特被她招進氣象小組繼續自己的程序員角色。這位年方21歲的青春少女，剛從美國第一家女子學院、七姐妹女校老大姐的曼荷蓮學院 (Mount Holyoke College) 獲得數學學士學位，被麻省理工學院核工程系一位管理LGP-30計算機的女士推薦給漢密爾頓，後者面試她後滿意地請她用數學的頭腦為洛倫茨的氣象研究服務。
工作的第一天，當費特進入位於麻省理工學院校園中央地帶的第24號樓，洛倫茨遞給她一本計算機使用手冊和幾個程序問題讓其先練練兵，不久她就跟上了速度。對於自己的這位領導，費特回憶道：“他腦子裏裝了許多東西，有時他會帶進來一張黃色紙片，並從口袋裏拉出小紙片，然後説‘讓我們試試這個’。”她和她的前任一樣，幾十年後依然用熱情洋溢的語言談論洛倫茨的謙遜與指導。在後來的混沌編年史家將這兩人排除在外之前，洛倫茲就在自己的論文中感謝了她們。
此時，洛倫茨發現之前採用的12個常微分方程對直擊問題的要害似乎太多了點，便從一位耶魯大學的地球物理學家薩爾茨曼 (Barry Saltzman，1932-2001) 擁有的七個方程庫中借來了三個對流方程來描述一個更簡單的非週期性系統，這組常微分方程描繪了一個燒杯中的水從下面加熱並從上面冷卻過程中的狀態變化。它們在1963年被印在《大氣科學雜誌》內一篇論文的某頁上後，從70年代起成了混沌的標誌性建築，並且有了一個人性化的稱謂“洛倫茨方程”。在發表的文章中，洛倫茨不僅寫下了本文一開始引述的對費特的致謝詞，而且也感謝了薩爾茨曼，這是他一貫的行為方式。
這些方程中的三個變量大致給出了理想化的燒杯中水的對流速度和温度變化之間的關係，它們可用三維空間中的點的三個笛卡爾座標表示；數學家稱這個空間為相空間。洛倫茨和費特讓打印機畫出這個隨着時間而變化空間位置的動點軌跡圖，結果發現這個圖的形狀像極了一隻蝴蝶的雙翅。按照微分方程的基本理論，採用連續動力系統的術語，這些解曲線形成的“非週期流”不會自我相交，但卻在那對雙翅內部向前猛遊，到處亂竄。初始條件的小小改變，將極大地改變相流動點的軌跡。當這對氣象學家發現的數值化翅膀飛遍科學界後，嚴格的數學家們開始對之進行理論研究，發現它具有所謂的“分形結構”，本身具有混亂的動力系統現象，並且吸引附近的初始點，於是將它命名為“洛倫茨吸引子”。
洛倫茨和費特通過數值模擬那三個對流方程而觀察到的“系統對初始條件的敏感依賴性”和蝴蝶雙翅吸引子，構成了他那篇1963年問世的里程碑文章《確定性的非週期流》的主要論題，十年後激發李天巖和約克在“不朽的數學珍品”《週期三則意味着混沌》中首次定義數學術語“混沌”，成為接下來蓬勃興起的混沌理論的基石。讓洛倫茨同樣愉快的是，在文章被期刊接受發表的1962年，他也被學校晉升為正教授。
就在洛倫茨這篇光輝論文發表的同一年，費特與在麻省理工學院讀博士學位的一名優秀男青年的愛情也成熟了。她與她的如意郎君結了婚，這意味着她也要離開這份她所熱愛的計算工作以及她為之效力的那個紳士，因為她的丈夫約翰·吉爾 (John Gille，1935-) 已經獲得地球物理學的博士學位，將去南方的佛羅里達州立大學任教。費特在那所大學做了幾年的計算機程序工作後決定迴歸家庭，照顧幾個孩子。到了70年代，吉爾博士轉到了卡羅拉多州的國家大氣研究中心任職，全家自然也一同跟去。吉爾太太希望繼續從事軟件工作，為此她去了同處一城的卡羅拉多大學博爾德分校充電，唸了一些計算機科學的課程，但最終她還是放棄了這類更鐘情年輕人的職業，轉向了税務工作。
費特的子女由於父母的精心培養而發展很好。她的女兒莎拉·吉爾 (Sarah Gille) 也去了父親的本科母校耶魯大學讀書，畢業後追隨父親的足跡去了麻省理工學院攻讀物理海洋學的博士學位，現在是加州大學聖地亞哥分校的物理海洋學教授。有趣的是她90年代在麻省理工學院讀博士研究生時所在的系，是於1983年由氣象系、物理海洋系和地質系“合三為一”的結果，所以系名很長，叫做“地球、大氣和行星科學系”。這樣一來，洛倫茨也算是她的“本系先輩教授”。
本文開頭所説的洛倫茨中心副主任羅斯曼也是這個系的教授。當他在洛倫茨論文的致謝處發現了陌生的“艾倫·費特小姐”後，馬上上網搜尋她，終於看到1963年7月她和新郎登在紐約時報上的結婚啓事。這時，他的一位同事記得二十年前本系有個研究生叫莎拉·吉爾，於是羅斯曼教授聯繫上了莎拉，方知她是艾倫·費特和約翰·吉爾的愛情結晶。通過莎拉的引薦，羅斯曼也和她的母親電話交談，才知道在費特小姐之前還有漢密爾頓太太和洛倫茨一起工作，這樣，在全世界傳播了幾十年的“混沌”故事背後隱藏的兩位女英雄終於浮出水面。
或許，費特的女兒在這之前並不知道自己的母親在混沌發展史上所起的作用，但是當她在本科時修讀一門關於怎樣科學編程的課程時，全班同學研究的一個案例竟是洛倫茨在那台LGP-30計算機上的發現！到了她念研究生的時候，她的一個辦公室夥伴在一項資格考試中曾被問及：“你會如何向你母親解釋混沌理論？”現在，莎拉有理由好奇，如果那時這個問題問的是她，她的對那段歷史記憶猶新的媽媽會向她全盤托出60年代初LGP-30旁的打印機如何畫出那對漂亮無比的蝴蝶翅膀嗎？
是的，雖然中年後的漢密爾頓可能被阿波羅的“可上九天攬月”宏圖忙得無暇回憶往事，費特的腦海裏卻一直沒有忘記她曾親手體驗過的數值天氣預報 “差之毫釐失之千里” 之特徵。即便離開了東海岸的波士頓，她和丈夫仍與洛倫茨保持着聯繫，也在社交活動中見到過他，但她並沒有意識到彬彬有禮的洛倫茨已經變得多麼出名了。她更沒有想到在耋壽之年，自己的名字一下子讓許多人知道。
後記
混沌的概念在十九世紀90年代法國數學家昂利·龐加萊 (Henri Poincaré，1854-1912) 的天體力學裏開始孕育，到二十世紀60年代從美國氣象學家洛倫茨的天氣預報中破土而出，再經過過去一個甲子的蓬勃發展，混沌大地“引無數英雄競折腰”。在這個天地，人們耳熟能詳、文獻記錄在案的著名人物除了上述二人外，還有美國數學家斯提芬·斯梅爾 (Stephen Smale，1930-)、澳大利亞科學家羅伯特·梅 (Robert May，1936-2020)、美國數學家詹姆斯·約克 (James Yorke，1941-)、華人數學家李天巖 (1945-2020)、美國數學物理學家米切爾·費根鮑姆 (Michelle Feigenbaum，1944-2019)、法國數學家伯努瓦·曼德勃羅 (Benoit Mandelbrot，1924-2010) 等。但是，歷史或多或少地怠慢甚至遺漏了另外一些人，有的很傑出，有的很普通，但是他們的實際貢獻都不應被忘記。好在有的遺憾之處已被人發現並彌補。
例如，老資格的普林斯頓高等研究院物理學家戴森 (Freeman Dyson，1923-2020) 在他2009年發表的膾炙人口的文章《鳥與蛙》(Birds and Frogs)中不吝筆墨，為他的英國同胞、皇家學會的第一個女數學家會士瑪麗·卡特利特 (Mary Cartwright，1900-1998) “打抱不平”，因為她比洛倫茨早二十年在為軍方分析雷達系統貢獻數學才華時，就發現了一類二階非線性常微分方程的“奇怪吸引子”。
然而，一些書寫科學史的作者雖然肯定了一些人的貢獻，卻忽視甚至無視其他人的相當貢獻。與華人有關係的一例就是格萊克的那本銷售了超過百萬冊的書《混沌：開創一門新科學》。他在書的正文裏隻字不提李天巖在建立李-約克定理中所起的歷史作用，只是在書末的第69個註釋裏才擠出幾個輕描淡寫的單詞：Written with his student Tien-Yien Li（與他的學生李天巖合寫）。他難道不知道是李天巖嚴格證明了這個定理？不錯，定理的前身是約克讀完洛倫茨文章後憑直覺獲得的猜想，但猜想如果證明不了則永遠只是猜想。比方説，法國數學家費馬 (Pierre de Fermat，1607-1665) 在350年前就認定他的“大定理”為真，但沒人能確認他真的證明出了它，只有等到懷爾斯 (Andrew Wiles，1953-) 於上世紀90年代最終證明了它，這個猜想才成為名副其實的定理。難道數學界只認同費馬猜測了它而不認同懷爾斯證明了它？事實上，正是主要因為這項傑出的工作，懷爾斯獲獎無數，包括國際數學家大會迄今獨一無二的特別獎。
科學史上對女科學家的關鍵貢獻缺乏足夠承認的例子更是不在少數。首次用實驗證實弱相互作用宇稱守恆律不成立的吳健雄就是一個典型的例子，在建立DNA雙螺旋結構的科學探索中起關鍵作用的富蘭克林則是另外一個例子。自然，相比主角洛倫茨，無論是漢密爾頓還是費特，在一前一後各自兩年為他編程計算的工作中，剛大學畢業的她們抓住問題本質的科學洞見，自然不及設計研究方案、數理知識和科研經驗均很豐富的主持人。幸虧她們為之效力的教授是個謙謙君子，極具紳士風度，在自己寫作成文的科學作品的最後真誠地感謝了她們，否則，在洛倫茨的百年誕辰之際，誰能想象，又有誰會相信，在超過半個世紀前，兩位年輕的女性，曾為混沌理論的建立，幫助打下了第一根樁？
上世紀60年代的初期，漢密爾頓和費特先後為洛倫茨負責對龐大的計算機進行編程，從而計算結果揭示出奇怪的吸引子和混沌的其他特徵。由此，上文引述過的《量子雜誌》文章總結道：“兩位女程序員在混沌理論的誕生中起到了舉足輕重的作用。 他們以前不為人知的故事説明了計算在科學中不斷變化的地位。”今日的科學成就，許多都不再是像牛頓時代那樣“單打獨鬥”的天才發現，而是集體智慧的凝聚物。無論是大人物還是小人物，無論是女性還是男性，任何人的重要貢獻都應該被記載在歷史的檔案裏，成為後來者的楷模之作。
參考文獻
1. Joshua Sokol，“The hidden heroines of chaos,” Quanta Magazine，May 20，2019.
出品：科普中國
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