數學，發現還是發明｜數學真理是什麼？-上_風聞

**按：**數學究竟是發明的還是發現的？這個問題曾因一篇貼文（教者應當認識到對其所教的內容該比學生更沒有把握）在風聞曾有討論，我當時給出的自己的一點不太成熟的認識是：“數是被髮明的，數學是被發現的。猶如圍棋，圍棋的器具和規則是發明的，棋道是被發現的。”隨後分享了一篇討論該問題的學術性的文章。我對這個問題也作過不少思考，但未有定論，所以，在《小學數學教-學探索｜作為概念的（自然）數是如何被認識到——發明和/或發現——的？一個猜想｜以重新發明數學的方式學習數學》一文中我用了“認識到——發明和/或發現——的”的有點彆扭的表述（行文中我是以“發明”為基調的），當時就想給這篇文章寫一個“跋”，作些補充討論，但由於手頭文獻資料匱乏，遲遲未動筆。恰好近日發現一篇學術文章，與我擬討論的主題非常契合，遂轉。

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原文來自“返樸”，鏈接：What’s Mathematical Truth 數學真理是什麼？

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現代物理學告訴我們，宇宙可能是有窮的，時空也可能是離散而非連續的，但在現代數學中我們似乎有着非常確定的、關於某些無窮和連續的數學對象和結構的真理。這些獨立於物質世界的數學對象和結構果真存在嗎？數學定理果真是關於它們的客觀真理？我們的物質性的、有限的大腦又如何真的可能認識那些獨立於物質世界的、而且是無窮的事物？也許不應該以這種方式理解數學真理？這是令當代西方一些哲學家困惑的一個問題。本文的目的是向哲學專業以外的讀者介紹近代與當代一些哲學家對這個問題的思考，並作一些評述。

**撰文 ****|******葉峯（首都師範大學哲學系教授）

1

數學真理是什麼？

如果問題是數學的內容是什麼，那麼回答自然是，數學包括分析、代數、幾何等等。但我們這裏關心的是，這些分析、代數、幾何中的定理是什麼性質的真理，它們與我們所認識到的其它真理，比如自然科學中的真理，有什麼共同點與差異？尤其是，數學真理的基礎是什麼？或者説，數學定理之為真，是依賴於什麼？

比如，自然科學中的一個論斷的真假，是依賴於該論斷是否與現實的物質世界的實情相符合。大爆炸宇宙模型是真的，指的是這個現實的宇宙確實是像這個模型所描述的,或者説，這個模型符合這個現實的宇宙；同樣，牛頓運動定律是近似地真的，指的是它們近似準確地描述了現實世界中的物質運動的實情。這些都是常識，沒有什麼特別深奧的。那麼，説一個數學命題是真的，也是指該命題真實地描述了某個數學世界中真實存在着的數學對象與結構嗎？比如，説一個關於自然數的命題是真的，也是指該命題真實地描述了真實存在着的自然數嗎？聽起來這好象是顯然的，但是仔細分析一下我們會看出，它實際上藴含了一個謎。

首先，它藴含了存在着一個獨立於物質世界的抽象的數學世界。因為現代物理學告訴我們，我們生存於其中的這個物質世界可能是有窮的：在宏觀上，大爆炸宇宙模型提供了一個宏觀上有窮的宇宙模型；在微觀上，有關量子引力的一些現象，顯示着在微觀的普朗克尺度上，時空的自由度可能是有限的，這意味着，時空在微觀上可能是離散的而不是連續的。而另一方面，數學中的許多對象和結構是很確定地被描述成無窮的對象和結構。最簡單的自然數也有無窮多個。雖然宇宙是有窮還是無窮在現代物理學中沒有定論，但我們可以假設，即使現實的物質世界果真是有窮的，數學定理的真理性應該還是不變的。至少，“對任一自然數，都有一個比它大的另外一個自然數”這樣一個命題應該還是真的。這已經意味着，數學中的無窮的對象和結構，應該是與現實的物質世界無關的對象和結構。即使現實的物質世界果真是有窮的，我們還是有同樣的無窮多個自然數、同樣的數學真理。我們甚至將數學應用於明顯是有窮的領域，比如經濟學中。可見，即是整個宇宙是有窮的，那也不過就像在經濟學領域一樣，我們還是可以應用同樣的數學。在那裏，雖然無窮的數學模型只是近似地描述了現實世界中的現象，但是數學定理對於那些無窮數學模型來説，應該是嚴格準確地真的。所以，那些無窮數學模型中的數學對象和結構，只能是存在於一個獨立於現實的物質世界的數學世界中。換句話説，數學世界只能是一個獨立於現實的物質世界的獨立王國。

是否果真存在着這樣一個獨立的數學王國，當然會引起我們的懷疑。更重要的是，我們人類應該是這個現實的物質世界中的一個部分。我們的大腦，應該是這個現實的物質世界長期進化的產物。我們的知識應該來源於我們的大腦通過我們的感覺器官與物質世界的相互作用。所以，一個哲學上的謎就是：這樣一個有限的大腦與有限的物質世界的相互作用，如何能夠產生對那個獨立王國中的無窮、甚至超無窮的數學對象和結構的知識？這是否意味着我們有着獨立於物質性的大腦的某種心靈，而且我們的心靈有着某種神秘的直覺，可以認識超出有限的物質世界之外的無窮、甚至超無窮的數學對象和結構？這是否意味着神秘主義？換句話説，它是這樣一個謎：一方面，直觀上我們似乎確實有着關於無窮、甚至超無窮的數學對象和結構的知識；另一方面，如果它們真的是獨立於現實的物質世界的對象和結構，我們究竟是如何得到關於它們的知識的？究竟是依據什麼來斷定一個數學定理或公理是真的？我們不能觀察到那些無窮的對象和結構，不能像對牛頓力學那樣，用觀察來驗證它是近似地真的，用觀察來驗證它不如相對論更準確等等。所以，一個數學命題之為真的依據究竟是什麼？

也許，並沒有這樣一個獨立於現實的物質世界的數學上的獨立王國。那麼，數學真理又是什麼？數學定理還是客觀真理嗎？一種自然的想法是，數學公理只是假設。它們本身不是客觀真理。數學家們只是從那些假設推導出定理。但是，數學家們顯然不是在隨意地作假設。科學家們作一些科學假説，是因為他們揣測那些假説可能是真的，然後他們用實驗去驗證或反駁那些假設。同樣地，數學家們接受了一些公理，從那些公理推導出定理，是因為他們確實直覺到那些公理的自明性。他們不會任意地選擇一些命題作為公理，然後就去推導定理。比如，假設用現有的公理可以證明哥德巴赫猜想，而用另外一些公理可以推導出哥德巴赫猜想的否定。假如公理僅僅是一些任意的假設，那麼是不是説哥德巴赫猜想本身也無所謂真假了？將數學公理僅僅看成假設，可能是因為混淆了兩類不同意義上的公理。一種是像一些數學結構的定義公理，比如羣的定義公理。這些公理確實只是假設。羣的定義只刻畫了羣這一類結構，它們本身不藴涵羣存在。要證明羣存在，需要一些更基本的更實質性的公理，也就是集合論中的公理，它們斷言空集存在，兩個集合的並集存在等等。特別地，要證明無窮羣存在，需要集合論中的所謂無窮公理，即至少存在一個無窮集。無窮公理似乎不僅僅是假設。它直接地斷定無窮集存在。如果它是假的，如果無窮集不存在，那麼很大一部分數學似乎就無意義了。而且，從另一方面看，既然像無窮公理、選擇公理這樣的假設，使得所推導出的數學定理在科學中有着廣泛的應用，我們能否説科學就證明了這些假設不僅僅是隨意的假設，而是藴含着真正的真理？

這些問題，是關於數學真理是什麼的主要問題。概括起來是：數學真理是什麼性質的真理？一個數學命題之為真是依賴於什麼？我們是依據什麼來認識數學真理和判斷一個數學命題（包括公理）為真的？我們將稱之為數學的真理性問題，或關於數學真理性的困惑**[1****]**。

本文的目的不是回答這些問題。本文的目的是簡要地介紹歷史上哲學家們對數學真理的本質的思考，考察它們是否提供了對這個問題的答案。同時我們還想從中尋找一些發展脈絡，尤其是考察，種種困難如何迫使哲學家們對數學真理的定位搖擺於邏輯真理與經驗科學的真理之間。這裏，我們是從現代數學的角度提出這些疑問的。現代數學產生之前的對數學真理的本質的哲學思考，不可避免地有着它們的時代侷限性，但是它們在今天還是會有一些啓發性的意義。所以本文將從考察恩格斯對數學的定義和康德對數學真理的定位開始。但我們將主要考察最近一百年來西方哲學家對這些問題的思考，並對之作出一些評價。另外，本文的目的不是要完整地描述數學哲學的歷史，所以我們將只考察那些與數學真理的本質與定位有關的哲學思想。

我們將側重於這些哲學問題，但是本文將不假設讀者具備任何哲學史或現代數理邏輯的知識。關於數學真理的本質的問題，應該是任何具備了一些現代數學和自然科學常識的人都可以認真思考的問題。本文的目的之一，是希望能引起非哲學專業的讀者們對這一問題的興趣。因此，我們將不繁瑣地引證我們對一些哲學家的思想的闡釋的正確性，而將側重於用非專業性的語言，勾畫出歷史上哲學家們對這些問題的思考的脈絡。另一方面，對數學真理的本質的思考，確實又是西方哲學的主要動力之一。從畢達哥拉斯和柏拉圖，到康德，又到二十世紀以來的西方分析哲學，哲學家們都想為數學真理在我們的知識大廈中找到一個合適的位置。而這種努力所遭遇到的困難，使得一些哲學家們提出了一些深刻的見解，也迫使一些哲學家提出了一些從常識看來似乎是荒謬的世界觀。理解這一點，也有助於理解西方哲學。

2

數學與自然科學

最常聽到的對數學的定義也許是恩格斯的定義：“數學是研究現實世界的數量關係與空間形式的科學”。許多人已經正確地指出，現代數學的內容已經遠遠超出“現實世界的數量關係與空間形式”所能概括的範圍。現代代數學中所研究的代數結構，和現代分析中所研究的函數空間等等，很難用“數量關係”來概括；現代幾何學所研究的，也遠遠超出了“現實世界的”空間形式。尤其是，現代數學中研究的許多對象是無窮的對象，包括無窮的代數結構，無窮的幾何空間等等，而現代物理學告訴我們，我們生存的這個物理世界有可能是有窮的。所以數學中研究的許多對象，已經遠遠超出了“現實世界”。基於這一點，特別是由於布爾巴基學派的影響，有人提出，恩格斯的定義可以修改為：“數學是關於抽象模式或抽象結構的科學”。

但是，這種簡單草率的推廣忽略了一個非常嚴重的問題。在恩格斯原來的定義中，“現實世界”這個限制與“科學”這個概括其實是密切相關的。自然科學探索關於現實世界的真理。自然科學中的論斷的真理性依賴於現實世界的實際構成，是對現實世界的反映。大爆炸宇宙模型如果是真的，那是由於現實的宇宙恰好是如此。牛頓引力理論是近似地正確的，那也是由於現實的物質世界恰好是如此。自然科學可能會發現一些一般性的定律，獨立於我們在這個現實世界中觀察到的偶然的初始條件，但是它們也是關於現實世界的一般性定律。我們也許可以想象另外一種物質世界，在其中，物理定律與這個真實的世界中的物理定律完全不同。但這不是自然科學所關心的。自然科學關心的是這個真實的世界。對自然科學真理的驗證，依賴於我們對現實世界的觀察，來源於我們的經驗。如果數學研究的也是現實世界中的數量關係與空間形式，那麼數學與自然科學在本質上是相同的，因此數學可以被歸類在科學之下。比如，也許與物理學相比，數學只是考慮現實世界中物體的一些更簡單、更一般的屬性。比如只考慮物體的個數、形狀等“數量與幾何屬性”，而不考慮它們的質量、顏色等物理屬性。也許m+n=n+m與物理定律一樣，是對現實世界中物體的個數的真實描述，只不過它比物理定律更簡單，已經經過了無數次的經驗驗證。同樣地，也許平面幾何中的定理，是對現實世界中物體的形狀的真實描述，雖然在幾何學中我們可以通過證明來得到許多這些真理，而不必去直接地測量，因為只要那些公理是對現實世界中物體的形狀的真實描述，由公理嚴格推導出的定理也一定是對現實世界中物體的形狀的真實描述。所以恩格斯的定義雖然不能概括現代數學，但至少在邏輯上是自洽的，在概念上是清晰的，而且用於初等數學時，有明顯的合理性。

但是，如前所述，現代數學研究的是所謂抽象結構，包括與現實物質世界毫不相干的結構，比如與現實的宇宙毫不相干的一些幾何空間，因此現代數學應該在本質上不同於自然科學。將研究抽象結構的數學稱為“科學”，掩蓋了一些根本性的問題：比如，所謂的抽象結構，尤其是超出這個現實世界的結構，究竟是什麼？它們果真存在嗎？數學真理的基礎又是什麼？比如集合論中的所謂無窮公理，即至少存在一個無窮集，假如現實的物理世界在微觀和宏觀上都是有限的，那麼無窮公理的真理性的基礎又是什麼？還有，現代數學中廣泛地用到選擇公理，它的真理性的基礎又是什麼？顯然它們不能像自然科學中的真理一樣，是基於它們與現實的物質世界相符合，因為現實的物質世界中可能根本不存在無窮。如果它們的真理性依賴於它們與所謂的抽象結構相符合，那麼就有了上一節所提到的那些謎：既然我們不能用眼睛，甚至不能用望遠鏡去觀察它們是否符合，我們究竟是如何認識那些公理的真理性的？

這些都顯示着現代數學與自然科學的差異，以及將現代數學描述為關於抽象模式或抽象結構的科學所帶來的問題。所以，對現代數學而言，關於數學真理的基礎究竟是什麼這一問題，恩格斯的定義沒有提示明確的答案。

 

3

康德：數學真理是先天綜合判斷

其實，即使限於初等數學，而且限於將初等數學定理看作是關於現實世界中的數量關係與空間幾何形式的真理，將數學視為同物理學一樣的經驗科學，也有着一些難點。所以，與之相對應的，有哲學家康德對數學的定位：數學真理是所謂先天綜合判斷。下面我們將簡要地解釋一下這意味着什麼。

首先，我們可以想象一個有着不同的物理規律的世界，但我們似乎無法想象一個2+3不等於5的世界。所以2+3=5似乎有着與物理規律不同的普遍性與必然性。兒童們可能是通過數石子、積木等物體來學習2+3=5，但這與科學家們通過觀測來發現或驗證物體間萬有引力的平方反比定律，似乎有着實質性的區別。我們有着關於引力的概念，有着關於距離的概念，但這些概念本身並不必然地藴涵着物體間的引力與距離的平方成反比。這個定律的真實性依賴於這個世界的偶然的構成；同時，要認識和驗證這個定律，我們必須實際地去觀測這個世界中的物體。可是，一旦我們掌握了數與加法的概念，我們並不再用數石子去驗證關於加法的真理，比如1234+5678=6912，或者m+n=n+m。假如有人真的找了那麼兩堆石子來數，然後聲稱得出的結果是1234+5678不等於6912，我們不會認為他找到了一個反例。這與科學家通過觀測光線通過太陽附近的彎曲來尋找牛頓力學的反例不同。我們也不能通過數石子來驗證像m+n=n+m這樣一般性的結論。對於非常大的兩個數的和，有限的宇宙間也許根本沒有那麼多物體來數。我們認為1234+5678=6912與m+n=n+m的正確性是依賴於數與加法的概念，而不是依賴於這個物質世界的偶然構成。在現實世界中，2升的酒精加到3升的水中，由於溶解作用，可能我們並不得到5升的溶液，但我們認為這與2+3=5的真理性不相干。在這些意義上，像2+3=5與m+n=n+m這樣的數學真理，是所謂先天真理：它們是必然的，它們的普遍性超出我們任何可能的經驗；雖然我們可能是通過經驗才意識到它們的真理性，但它們的真理性不依賴於我們的經驗。

另一方面，有一種類型的判斷，其為真確實不依賴於我們具體的經驗，而是僅僅依賴於其中的邏輯連接詞的含義或概念的定義。這些是所謂分析真理。通常所説的邏輯真理是分析真理中簡單的一種。邏輯真理指的是那些僅僅依邏輯連接詞的含義就為真的判斷，比如“今天下雨或者今天不下雨”，“如果今天下雨而且今天打雷，那麼今天下雨”。他們之為真，僅僅依賴於其中的邏輯連接詞的意義，也就是“或者”，“而且”，“不”，“如果，那麼”這些詞的意義，甚至與“下雨”等這些概念無關，更不用説與今天是否真的下雨無關。另外一種類型的分析真理，是依概念的定義為真的真理，比如，“植物是生物”。這個判斷為真，僅僅依賴於“植物”與“生物”這兩個概念的定義，其中“植物”的定義，就包含着植物是某種生物，而不論宇宙中是否真有植物或生物。要認識這個真理，我們也不需要去觀測宇宙中是否真有植物或生物，或者宇宙中的植物或生物是怎樣的。對於一個像“植物是生物”這樣的分析真理，如果將其中相關的概念的定義明確地表達出來作為一些前提，那麼這個分析真理就是這些前提的邏輯推論。例如，“植物”的定義也許是“植物是……的生物”，以此為前提，就可以邏輯地推導出“植物是生物”。換句話説，一個命題P是分析真理，當且僅當“如果P*，那麼P” 是純粹邏輯上的真理，其中P*是表達P中的相關概念的定義的命題。如果P本身就是像上面所説的“A 或者並非A”那樣的邏輯真理，那麼它是這個分析真理的定義的一個特例，因為在這種情形下，“如果P*，那麼P”自然也是邏輯真理。分析真理的真理性基礎應該是清楚的。它們之為真，是依賴於相關的概念的涵義。它們近於所謂的同語反覆，是空洞地真的。給定了相關的概念的涵義後，一個分析真理，不含任何超出概念的涵義之外的事實內容，不對現實世界中的事實作任何肯定或否定。就像“今天下雨或者今天不下雨”，對現實世界中的事實作沒有作任何肯定或否定。

但是康德認為，2+3=5不是分析真理，因為“2”、“3”和“+”的概念中似乎不包含“5”這個概念。“2”、“3”、“5”和“+”這些概念必然地藴含着2+3=5為真，但是康德認為這不能僅僅由分析這些概念得出。同時，這樣的真理似乎不是同語反覆，不像“植物是生物”或者“今天下雨或者今天不下雨”那樣，對現實世界中的事實作不作任何肯定或否定。它們似乎有着一些真實的內容。

與分析真理相對立的就是所謂綜合真理。所以康德的結論是，數學真理是先天綜合真理。一方面，它們有着與普通的經驗真理不同的必然性，它們之為真，不依賴於我們有意識地觀測到的關於這個世界的一些偶然事實，而且，對它們的認識和驗證，也不依賴於對現實世界的觀測；另一方面，它們之為真，也不僅僅依賴於我們的概念的定義，它們不是簡單的同語反覆。從這後一結論我們可能會得出，既然它們不僅僅依賴於我們的概念的定義，它們就一定依賴於關於這個世界的一些實際的事實。比如，既然它們不像“今天下雨或者今天不下雨”那樣是一個空洞的真理，那麼它們就應該像“今天不下雨”那樣，是一個有事實內容的真理，因此這似乎就與前一結論，即與它們的必然性與先天性相矛盾。同樣地，從它們的必然性與先天性我們可能會得出，既然對它們的認識和驗證不依賴於對現實世界的觀測，它們應該就沒有對現實世界中的事實作作任何肯定或否定，因此應該就是像“今天下雨或者今天不下雨”那樣，是一個空洞的分析真理。這個困惑，就是康德的哲學所要回答的。他要回答，先天綜合真理是如何可能的，我們關於先天綜合真理的知識又是如何可能的。由此也就回答了，數學真理是什麼以及我們是如何得到數學真理的。

康德的回答，用通俗的語言極其簡單地概括起來是：我們用於認識世界的認知官能本身有一些結構和功能（又叫先天認知形式）；我們的認知官能，用這樣一些“先天”的結構和功能，來組織我們的感官所接受到的、從外部世界來的感覺材料；而先天綜合真理，就是由我們的認知官能的這些先天的結構和功能決定了的真理。換句話説，我們認識世界的器官，不是簡單地反映外部世界。它對我們的感官所接受到的原始的感覺材料，如視覺形象、聲音等等，作了一些組織和處理，使得感官所接受到的感覺材料不是無秩序的、無結構的。比如，將相關的感覺材料組合成關於一個物體的印象，將它們排列成時間空間上的順序和關係，排列成因果關係上的關聯順序等等。這樣組織的結果，自然使得我們得到的對外部世界的印象，符合某些規律。這些規律，實際上是我們的認知官能加在外部世界上的。因此，有些真理，比如幾何學中關於空間關係的一些最基本的真理，是我們認識世界的器官的這種運作的結果，是由我們認識世界的器官的這種功能本身決定的。換句話説，也許並非外部世界是真正地如此，而是我們認識世界的器官的一些內在的結構，決定了我們只能以某種方式來認識這個世界，所以使得我們所認識的世界只能符合某些真理，也就是説，使得一些關於這個世界的判斷對我們來説是必然地真的。同時，對這些真理的驗證，也並不真的依賴於對這個世界的實際的觀察，因為所有可以觀察到的東西，由於我們本身用於觀察和認知的器官的一些內在的結構，都已經必然地符合這些真理了。所以它們是先天的真理。另一方面，既然我們的認知官能確實對我們的感官所接受到的原始的感覺材料作了組織和處理，那麼反映組織和處理的結果的真理，就不會僅僅是空洞的同語反覆，而是有着確實的內容。因此它們不是分析的真理。先天綜合真理就是這樣一些對我們來説必然的，絕對普遍的，不真正地依賴於經驗的，但又是有內容的，有所肯定的，不僅僅是同語反覆的真理。

康德的哲學非常複雜，我們不可能在這裏做深入的討論。這裏，我們只想指出它的兩個難點。首先，如果僅僅限於對現實世界中我們所能直接觀察到的數量關係與空間形式的判斷，康德的解釋，似乎確實比簡單地將數學等同於其它經驗科學更合理、更深刻。從現代科學的角度看，由現代語言學與現代認知科學所揭示的，我們的大腦顯然有着某種先天結構。並非我們所有的知識都是對我們的感官所接收到信息的簡單記錄或簡單概括。我們的一些知識可能是由我們的大腦的先天結構決定的。比如，一個能夠學習的人工智能系統或機器人，在開始學習之前，必定是先掌握了一些最基本的知識，它們是由系統的程序的結構所決定的。所以，即使是從現代科學的角度看，康德的解釋也有它的合理性，雖然康德是從所謂超驗的角度來考察這個問題，不是像現代認知科學那樣，是從經驗的角度研究人如何獲得知識。

但問題是，現代數學似乎有它自己的獨立於現實世界的對象。因此，現代數學的真理是否也是由我們的認知官能的先天結構決定的，有很大的疑問。如果我們的認知官能的功能，是對我們的感官所接受到的感覺材料進行組織和處理，那麼由於我們的感官所接受到的感覺材料都是有窮的，這種認知官能的先天的結構如何能夠決定現代數學中關於無窮數學對象和結構的真理？包括關於超窮的集合的真理？康德本人對無窮所導致的所謂二律背反的態度也説明了，要將現代數學中對無窮數學對象和結構所肯定的真理納入康德式的解釋，會有實質性的困難。現代數學與初等數學不同。初等數學中的基本公理，似乎是由我們最直接、最原始的直觀就能認識到。現代數學中對一些概念和數學公理的認識，比如對超窮集合概念、無窮基數概念，選擇公理等等的認識，是經歷了類似於科學中的嘗試、錯誤、再嘗試的長期的經驗過程，不是像學習數數那樣，僅僅是伴隨着兒童的大腦發育過程的學習過程。因此，很難認為我們對超窮集合、選擇公理等等的知識，也是先天地由我們的認知官能的先天結構決定的。

關於康德的數學觀的第二個難點是，康德沒有對“2”、“3”，“5”和“+”這些概念究竟是怎樣的概念作出足夠清晰的分析。比如，“3”這個概念，是否就包含着“3是2後面的那一個自然數”？如果是的話，這是否意味着，2+1=3就是依概念的定義而為真的？由此更進一步，我們能否通過更仔細的分析得出，（2+1）+1=4，乃至2+2=4，2+3=5等等都是依概念的定義而為真的？因此實際上它們都是分析真理？

這兩個難點説明，康德對數學真理的解説是不完全的，而且不適於現代數學，至少在未經改造之前不適於現代數學。但同時我們也看到了康德的努力的動因：數學真理，一方面似乎不像“今天下雨或者今天不下雨”那樣是一些空洞的、與內容無關的真理；另一方面，它們也不像“今天不下雨”那樣是一個直截了當的事實的真理。

 

4

弗雷格：數學真理就是分析真理

前面提到，康德沒有對數的概念作足夠細緻的分析。十九世紀末，邏輯學家與哲學家弗雷格正是對包括“2”、“3”，“5”和“+”等的算術概念作了更深刻的分析，由此他試圖證明，算術中的真理實際上也是由概念的定義而為真的，就像上面所提示的那樣，因此也就是分析真理。**[2****]**作為這種分析的工具，弗雷格發明了現代數理邏輯，成為繼亞里士多德以來邏輯學中最偉大的成就。康德之所以未能做到這一點，就是因為他缺乏這種分析所需要的邏輯工具。

弗雷格對自然數概念的分析很容易通過集合與集合之間的等勢關係來理解。兩個集合等勢，指的是兩個集合的元素之間有一個一一對應，也就是兩個集合的元素的個數相等。這裏很重要的是，“兩個集合的元素的個數相等”這個概念並沒有真正依賴於“數”這個概念，它只依賴於“一一對應” 這個概念。這個概念是可以用弗雷格所發明的現代數理邏輯語言表達的。然後，一個自然數，就可以定義為一個由所有兩兩等勢的集合（也就是所有元素個數等於那個自然數的集合）所組成的一個類。比如2這個數，就相當於所有恰好包含兩個元素的集合組成的類。

這是用了現代集合論的術語來解釋弗雷格的自然數概念。弗雷格本身是將“概念”作為他的理論的初始概念，而將一個集合或類看成一個概念的外延。對於概念，我們説某個東西會“落在這個概念當中”，比如，弗雷格落在“人” 這個概念當中，因為弗雷格是一個人。這相當於説，弗雷格屬於“人” 這個概念的外延，即所有的人組成的集合。這樣，相應於將數看成一個由所有兩兩等勢的集合所組成的一個類，弗雷格認為一個自然數是一個所謂的二階概念，或一個概念的概念。一個概念的概念的外延就是一個由一些概念組成的集合或類。概念之間也有等勢關係。兩個概念是等勢的，假如它們的外延是等勢的集合。所以，一個自然數是這樣一個概念的概念，它的外延是由所有兩兩等勢的概念組成的一個類。比如，“2”就是這樣一個概念的概念：一個概念P落在“2”這個概念的概念之中，當且僅當P的外延恰好包含兩個元素。更具體地説，自然數0是這樣一個概念的概念：一個概念P落在0中，當且僅當P的外延是空的，即P是一個空概念；1是這樣一個概念的概念：一個概念P落在1中，當且僅當對任何落在這個概念P中的對象x，概念“是P但不等於x”是落在0中的一個概念，即是一個空概念。顯然地，一個概念P落在1中，當且僅當P的外延恰好只有一個個體。但是，要特別注意到的是，“0”和“1”的定義中沒有循環，尤其是，沒有用到自然數的概念。一般地，當我們定義了自然數n以後，n後面的那個自然數(n+1)就是這樣一個概念的概念：一個概念P落在(n+1)中，當且僅當對任何落在這個概念P中的對象x，概念“是P但不等於x”是落在n中的一個概念。不難看出，假如落在“n”這個概念的概念中的概念的外延都恰好由n個個體組成，那麼落在“n+1”這個概念的概念中的概念的外延也都恰好由n+1個個體組成。自然數的加法運算，也是在這個基礎上定義的：假如m和n都是自然數，那麼m+n是這樣一個概念的概念，它使得，假如概念P是落在m這個概念的概念中，而且概念Q是落在n這個概念的概念中，而且概念P與概念Q不相交，那麼概念“P或Q”就落在m+n這個概念的概念中；而且反之，任何落在m+n中的概念都等價於這樣的某個“P或Q”。

有了這樣一些明確的關於自然數與算術運算的定義後，弗雷格試圖證明，算術中的定理是依概念的定義而為真的分析真理。也就是説，一旦將相關的概念的定義都明確地表達出來，一個算術定理其實就是邏輯真理。以m+n=n+m為例，由上面對m+n的定義不難看出，它之為真，其實是基於“P或Q”在邏輯上等價於“Q或P”這個事實。同樣，如果將“2”，“3”，“5”，“+”等等都按前面的定義展開，2+3=5將變成一個在句法結構上非常複雜的命題。但是，弗雷格的結論是，2+3=5本質上就像“今天下雨或者今天不下雨”一樣，是一個僅僅依“或者”、“不”這樣的邏輯連接詞的含義就為真的邏輯真理。當然，2+3=5展開後還會用到很多其它的邏輯連接詞，比如“而且”，“對任何”，“如果…，則…”，“當且僅當”等等。弗雷格的具體分析很複雜，我們不能在這裏詳細介紹，它需要現代數理邏輯的專門知識。但如果成功的話，弗雷格的方法可以很自然地推廣到實數理論或其它高等數學中，由此説明，高等數學中的定理也是概念上的真理，或邏輯真理。

我們看到，弗雷格的計劃是宏偉的。一方面，他要通過更深入的概念分析，説明像2+3=5這樣的判斷，也是依概念的意義就為真的，可以由有關概念的定義，通過邏輯推理推導出來。另一方面，他所要概括的不僅僅是這樣的初等數學，原則上還要包括所有的數學。他要根除康德的先天綜合真理的必要性，給我們一個關於我們的知識的更簡單的圖畫。在這個圖畫中只有兩類真理：一類是事實的真理，它們對現實世界有所肯定，它們之為真，是依賴於現實世界的偶然的實際構成，就像“今天不下雨”那樣；另一類就是邏輯真理或分析真理，它們之為真，是由概念的含義本身決定的，與現實世界的實際構成無關，它們對現實世界中的事物無所肯定也無所否定，就像“今天下雨或者今天不下雨”那樣。前一類是自然科學中的真理，後一類則包括邏輯和數學中的真理。邏輯和數學就是同樣的東西。

如果成功的話，弗雷格應該能比康德更好地提供關於現代數學真理性問題的答案。前面提到，對於現代數學來説，這個問題的難點是，直觀上，一方面我們似乎確實有着關於獨立於物質世界的無窮的抽象數學對象和結構的知識；另一方面，考慮到我們自身是生存於這個有限的物質世界中的生物，我們如何能夠具有那些知識成為一個謎。比如，我們究竟是依據什麼知道存在着無窮多個自然數？我們不能通過去數星星或原子的數目來證明有無窮多個自然數。事實上，這個數目甚至可能是有限的。依弗雷格的思想，回答應該是，斷言存在着無窮多個自然數，與斷言存在着無窮多個星星或原子不同。前者，是純粹由“自然數”這個概念本身決定的。要認識它，並不需要我們有限的大腦通過感官與某些非物質的無窮的數學對象相接觸，只需要我們能夠掌握“自然數”這個很具體的概念。通過分析這個概念，我們就可以純粹從邏輯上，從“而且”、“對任何” 、“如果…，則…”、“當且僅當”等等這樣的邏輯連接詞的涵義，推導出這個論斷。所以，如果成功的話，一方面弗雷格的解答可以包括現代數學，另一方面，它又消解了那個認識論上的謎，而不必去假設我們認知官能的先天結構等等，因此就超越了康德。

但從另一方面看，弗雷格的思想確實也有神秘之處。邏輯真理應該是對任何事物都是真的真理，不管是有窮多個事物還是無窮多個事物。但是回憶一下前面關於自然數0，1，等等的定義。既使物質世界是空無一物，0作為“是一個空概念”這樣一個概念的概念還是存在的。然後1，2，3，等等作為概念的概念都存在。由“空”就神秘地生出無窮多個東西來了。這一點，其實與所謂的羅素悖論，及其導致的弗雷格的計劃的失敗，是密切相關的。

要理解羅素悖論，可以首先注意一下，直觀上，有些概念的概念可以應用於自身，有些則不可。比如，“是一個概念”本身也是一個概念，所以，“是一個概念”是一個概念，即這個概念可以應用於自身；反之，“不是一個概念”本身還是一個概念，所以，這個概念不可以應用於自身。現在考慮這樣一個概念的概念：“是一個不可應用於自身的概念”。記這個概念為R，那麼對任何一個概念X，X是R，當且僅當X是一個不可應用於自身的概念。特別地，概念R是R，當且僅當R是一個不可應用於自身的概念，也就是説，當且僅當R不可應用於R自身，即當且僅當R不是R。所以我們有：概念R是R，當且僅當R不是R。這是一個矛盾。這説明，“概念”這個概念本身並不清晰，無限制的運用會導致矛盾。

在弗雷格的嚴格的邏輯系統中，這個矛盾可以被嚴格地推導出來，也就是説，弗雷格的系統是自相矛盾的。所以弗雷格的計劃未能成功，而對於數學真理究竟是什麼真理，它們之為真的基礎究竟是什麼這個問題，弗雷格未能給出答案。

5

 小結：描述數學真理的幾個座標

如果我們將普通的經驗真理，比如像“今天下雨”那樣的經驗真理，還有自然科學中的描述現實世界的真理放在左邊，將像“A或者並非A”那樣的空洞、與現實世界的實際構成無關的邏輯真理放在右邊，那麼，將數學視為一種自然科學的觀點是“左派”，弗雷格的邏輯主義是 “右派”，而康德的先天綜合真理想法則是“中間派”。這是描述數學真理的一個尺度。我們將要看到，一些哲學家們對數學真理本性的思考，是在這左、中、右之間搖擺。（當然，這與政治上的左、中、右毫不相干。）

另一方面，有一些對數學的解釋在不同程度上否認數學定理是真理。這是描述數學真理的另外一個尺度，即從完全否認數學定理表達真理，到接受某些數學定理為真理而否認另外一些，到相信所有的數學定理都表達真理。比如，二十世紀初數學家希爾伯特提出的形式主義。**[3****]**它承認初等數學或有窮數學包含真理，但是認為無窮數學本身只是一些無意義的符號演算。希爾伯特提出一個希爾伯特方案，試圖用來説明為什麼那些無意義的符號演算能夠有用，也能夠幫助推導出一些初等數學的真理。由於著名的哥德爾不完全性定理，這個方案不能按原來所設想的那樣得到成功。又如，與希爾伯特同時代的數學家布勞維爾提出的直覺主義數學，認為像自然數那樣的數學對象是我們在直覺中的構造，而且，只有我們能在直覺中構造出的數學對象才是存在的，關於這些對象的數學命題才是有意義的，因此才可能有真假。換句話説，超出這些數學對象的命題，比如關於無窮基數的一些命題，是沒有意義的。直覺主義對數學作了一些限制，使得數學證明變得更復雜，而且似乎是沒有必要地複雜，所以它沒有被數學家們採納。還有一些工具論者，他們認為數學僅僅是工具，數學命題沒有真假可言，因為它們不是邏輯意義上有真假的判斷。他們認為對於數學命題，我們只能問它們是否有用。限於篇幅，我們不能詳細介紹這些對數學真理的解釋。

這兩個尺度就像兩個座標，可以標示不同的對數學真理的解釋。由於種種難點，使得哲學家們在解釋什麼是數學真理時，不得不在這兩個座標所標示各個位置之間擺動。

當然，這樣兩個尺度還不足以描述數學真理性問題的複雜性。比如，就數學真理的對象來説，有些哲學家，即所謂的柏拉圖主義者，認為數學對象是真實存在的獨立於物質世界與我們的心靈的抽象實體。有些哲學家，即所謂的結構主義者，強調數學真理表達的是關於結構的真理，而不是關於對象的真理，因此真正存在着的是結構，而不是抽象實體。還有一些哲學家，即唯名論者，認為抽象實體（包括抽象結構）都不存在，因而數學對象也不存在。所以他們實際上認為，數學判斷至少在字面意義上是假的，因為它們在字面意義上所説的數與集合等抽象數學對象都不存在。這是描述數學真理的另外一個尺度。當然，這些哲學家強調要區分數學命題字面上的意義和它們的真正的意義，或經過某種解釋後的意義。在字面意義上，一個數學命題似乎是在描述一些獨立於物質世界與我們的心靈的抽象實體。但是，有些哲學家認為，數學命題的真正意義是與數學對象無關的，而且是純邏輯的判斷；而有另外一些哲學家則認為，經過某種解釋後，一個數學命題就是在描述物質世界，因此也就與自然科學中的命題一樣。（見下面的第八小節。）

限於篇幅，我們將側重於前面所提到的第一個尺度，也就是問，數學真理是處於從自然科學中的事實真理，到邏輯真理之間的什麼位置上。這也許是比較重要的一個尺度，因為即使是完全否認數學命題本身就是真理的哲學家，也無法否認，在經過恰當的解釋後，一個數學定理藴含着某種意義上的真理。這些哲學家的觀點之間的區別，實質上是在於什麼才是恰當的解釋，如何去作恰當的解釋等等。

（未完待續）