集合論奠基人康託的“無窮”求索之路_風聞
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康託是因何開始了對無窮的研究工作？他的觀念有什麼革新？其成就對現代數學和哲學產生了怎樣的影響？在數學創造的道路上，面對種種選擇抑或困難，康託又做出了怎樣的抉擇？這種抉擇的標準和勇氣來自何方？他的一生到底是幸還是不幸？
撰文 | 王淑紅
康託（G. F. L. P. Cantor，1845-1918）是一位具有非凡想象力和創造力的數學家。
19世紀的數學家們，比如柯西（L. A. Cauchy，1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass，1815-1897），一直為微積分的嚴格化殫心竭慮。
在這一過程當中，康託拋卻了以往的經驗與直觀，拿起理論論證的武器，衝出了數學中有限性的阻礙，打破了數學中對於無窮的一貫解釋和運用方式，創立了全新的集合論和超窮數理論。
那麼，康託是因何開始了對無窮的研究工作？他的觀念有什麼革新？其成就對現代數學和哲學產生了怎樣的影響？在數學創造的道路上，面對種種選擇抑或困難，康託又做出了怎樣的抉擇？這種抉擇的標準和勇氣來自何方？他的一生到底是幸還是不幸？這些都是我們關心的問題。
一
突破無窮概念的壁壘：由潛無窮到實無窮
在康託的年代，有一部分數學家像克羅內克那樣不承認無窮，也有一些數學家像高斯那樣只承認潛無窮，而不承認實無窮。但數學概念不能只停留在描述的層次上，必須是嚴格和精確的。於是對無窮的這種探索不僅僅是自然的，而且也是必要的。
康託在海涅的直接影響下由數論轉而研究分析，並很快便取得成果，分別於1870年和1871年在《數學雜誌》上發表了論文，證明了函數三角級數表示的唯一性定理，並證明即使在有限個間斷點處不收斂，這個定理依舊成立。
1872年，他在《數學年鑑》上發表了論文《三角級數中一個定理的推廣》，把唯一性定理推廣到允許例外值為某種無窮集合的情形。由此，他對無窮集合的重要性有了新的認識，開始對無窮集合進行一般理論研究。自此，他開始從對唯一性問題的探討轉向點集論的研究，把無窮點集上升為明確而具體的研究對象。這不僅是他個人研究的一次標誌性變化，而且開啓了數學發展的一個新時代。康託具有超乎常人的想象力，但我們知道科學需要“大膽假設，小心求證”。因此，有了設想之後，如何使理論變得嚴謹便成為一個首要和必須解決的問題。
康託為了描述這種無窮集合，引入了一些新概念，比如點集的極限點、點集的導集以及導集的導集等。1872年，他首先用有理數列來構造實數，由此説明，實數跟虛數一樣，也是純粹由人來構造的。
在康託的這一時期的研究生涯中，他有一個志同道合的朋友，那就是戴德金（J. R. Dedekind，1831-1916）。
他們結識於1872年，這一年，戴德金出版了《連續性與無理數》一書，用後人所稱的“戴德金分割”定義了無理數，建立了完整的實數理論。同樣在1872年，康託也討論了實數問題。因此二人建立起了通信聯繫。他們都關注實數理論以及集合論，之後經常彼此交流各自的研究進展情況。在1874年康託度蜜月期間，他們初次相遇，並進行了很多數學交流。他們的通信交流一直持續到1882年。
二
無窮觀念的再次進階：由實無窮到超無窮
如果説從潛無窮到實無窮是一次觀念的深刻變革，那麼從實無窮到超無窮又是一次巨大的進步。這是康託對無窮的新認知。
1874年，康託在《純粹與應用數學雜誌》（即《克雷爾雜誌》）發表論文《論所有實代數數的集合的一個性質》 。這篇論文標誌着集合論的誕生。康託的證明是開創性的。在沒有構造出一個超越數的前提下，大膽提出這樣的命題，使得當時的一部分數學家持有懷疑態度並有些出離憤怒。
實際上，康託的這一篇論文，把無窮的概念進行了深化，對無窮的認識更加明確，給無窮具體分出了不同的層次。這樣的認識打破了前人的認知，引起部分人的反對也是難免的。
1877年，康託證明了單位正方形與單位線段上的點可以建立起一一對應的關係。而這個問題是康託三年前首先對戴德金提出的。
康託得到證明後也第一時間寫信告訴了戴德金。戴德金髮現了其中一個漏洞，後來康託把這個漏洞予以彌補。康託還進一步推出：空間中的點與平面上的點一樣多等。
這與以前人們一貫的直覺相沖突。提示人們直觀有時並不可靠，理性在科學發現的過程中相當重要。
1879至1884年，康託集中探討線性連續統，康託這個階段的論文彙集為《關於無窮的線性點集》。其中，發表於1880年的文章第一次引進了“超窮數”這個概念。
發表於1883年的第5篇論文，篇幅最長，內容也最豐富。它實際上已經超出了線性點集的範疇，建立了一個超窮數的一般性理論。同年，康託將這篇論文以《集合論基礎，無窮理論的數學和哲學探討》（以下簡稱《集合論基礎》）為題作為專著單獨出版。
《集合論基礎》是康託數學研究的里程碑，是康託早期集合論思想的系統論述，其主要成果是引進了超窮數。
我很瞭解這樣做將使我自己處於某種與數學中關於無窮和自然數性質的傳統觀念相對立的地位，但我深信，超窮數終將被承認是對數概念最簡單、最適當和最自然的擴充。
1884年康託在長期精神亢奮和壓力之下，患上了抑鬱症。不過他在身體得到恢復的時候仍然自覺研究數學。1895和1897年，康託以《對超窮集合理論的解釋》Ⅰ和Ⅱ為題先後發表在《數學年鑑》上的兩篇論文，對超窮數理論具有決定意義。他把集合作為基本概念，從而改變了早期用公理定義序數的方法。至此，超窮基數和超窮序數理論基本宣告完成。這兩篇文章構成了康託的《超窮數理論基礎》。
自此，集合論成為實數理論乃至整個微積分理論的基礎，嚴密的微積分體系亦隨之建立起來。同時，集合概念在更高和更廣的層面上發揮威力，大大拓展了數學的研究疆域，為數學結構奠定了牢固的基礎，深深影響了現代數學的走向，最終成為整個數學的基礎，亦對現代哲學與邏輯的產生和發展大有裨益。不過，因為它還不是公理化的，並且它的某些邏輯前提或某些證明方法若不給予適當的限制就會導出悖論，所以康託的集合論通常稱為古典集合論或樸素集合論。
希爾伯特（D. Hilbert，1862-1943）在1900年舉辦的第二屆國際數學家大會上，高度讚揚了康託的集合論：“是人類純粹智力活動的最高成就之一”。正是在這次大會上，希爾伯特提出了指引未來數學發展的著名的23個問題，其中把康託的連續統假設列為第一個問題。
1926年，希爾伯特又再次稱讚康託的超窮數理論：“數學思想最驚人的產物，在純粹理性的範疇中人類活動的最美的表現之一”。希爾伯特在對康託的讚譽中用到了“最高”和“最美”這兩個字眼，可以説是一種至高的評價。
本文經授權轉載自微信公眾號“科學元典”，節選自北京大學出版社出版的《超窮數理論基礎》導讀，作者王淑紅，河北師範大學教授。
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