求教丨我在“牛吃草問題”（號稱小學最難）的變型題上遭遇的一個困惑/悖論_風聞

引言

一個人把在學校學到的東西全都忘掉之後，剩下來的才是素質（教育）。——阿爾伯特・愛因斯坦

愛因斯坦的這個論斷給我以極大的震動和啓發，並孜孜不倦地在實踐中去深入體悟。

以小學數學的習題教學來説，什麼是學校（廣義吧，校外培訓也算，從他人處學習也算）學到的東西呢？什麼是忘掉這些東西后剩下來的素質（教育）呢？

愚見以為：具體習題的具體解法是學校學到的東西，而忘了那些解法之後剩下的能自主思考、獨立探索出也即靠自己能“重新發明”出解題思路及其解法的能力就是素質（教育）。

遺憾的是，當前的小學數學的習題教學，學生們學到的就只是具體習題的具體解法而已，忘了它們就什麼都不剩了，根本鮮有習得“素養（教育）”的。

一切取得重要成果的漂亮工作，其過程中總是充滿了艱辛的在迷茫中的摸索並經歷了很多次的失敗。——融合曹則賢和其它學者的體會而作的一個“事實陳述”

要習得“素養（教育）”，首先就要求學生要堅持自主思考、獨立探索，其次也要求老師展示在沒有預知思路及其解法（真的，或假想的）的情況下對於解題思路及其解法的思考和探索過程尤其是其中的“混亂、模糊和誤入歧途”，這些才是教學中最應該講習的也是最有價值的內容，是學生習得“素養（教育）”的關鍵，或者説，學生從這些內容中才能習得愛因斯坦所説的那種“素質（教育）”。

本文所討論的當前小學數學習題教學中的“牛吃草問題”就是一塊試金石。

艾薩克·牛頓在其所著《普通算術》中提出了一類問題，按其性質屬於“消長問題”，由於是牛頓首提，故被稱為“牛頓問題”，且由於牛爵爺親自以“牛吃草”情景編了一道題目，遂在後世流傳中被俗稱為“牛吃草問題”。

當前，“牛吃草問題”已滲透到我們的小學數學中，美其名曰“思維訓練”。但在我看來，在“牛吃草問題”的教學（以習題講解的方式開展）中，根本沒有起到“思維訓練”的作用，或者説在“思維訓練”上成效甚微。

因為，在我視野所及的所有老師（其中不乏頂着985名校甚至是T2光環的和/或TOP機構明星講師名頭的以及獲得各種教學名師頭銜的教學經驗豐富的老師）的對“牛吃草問題”的講解（通過視頻號）中，基本全是直接教解法的，或者説，是在就解法講解法——也即只是對於解法的呈現（稍好點的還會加入一些解釋説明），而根本不涉及該解法是如何得來的過程。

其間原因，我的判斷是：老師們所講的解法也只不過是TA們學來的而已，根本不是自己自主思考、獨立探索出來的。當然，學來的其實也情有可原（還得尊重現實不是？！），關鍵是TA們學來解法後就不求甚解，不去深思和理清解法的創造過程，於是，也就只能就解法講解法了。

如是，則所謂的“思維訓練”也就只能流於表面了，學生學到的也就只不過是作為知識的解法而已，而如何創造解法/知識的know-how——這才是“思維訓練”的題中應有之義和最有價值之處——一點也學不到。而這樣，恐怕也辜負了牛爵爺的一番苦心和美意。

愚雖不才，卻敢於為難為之事，嘗試着通過自主思考、獨立探索去想通問題，“重新發明”解題思路及其解法。

金一南將軍説：“做難事必有所得。”此言誠不我欺也！我在對“牛吃草問題”解題思路及其解法的自主思考、獨立探索中所得甚豐、甚大，具體可參見我對“牛吃草問題”及其變型問題的原始思考和探索過程的誠實記錄：“基本原理”之“板橋畫論：意在筆先，趣在法外”（二）・技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘丨以求學問之心講有學問之題論講題之學問。

當然，由於本人資質平平（有利有弊，其利在於笨人肯——也只能——下狠功夫，且願意誠實面對自己的笨，這樣去深入思考反而可能有意外之得；其弊在於有些關鍵地方費了牛勁才能弄通，而且還有弄不通的，比如接下來要説的），難免有想不通透之處。本文將要向各位學友高人請教的就是我在“牛吃草問題”（號稱小學最難）的變型題上遭遇的一個困惑/悖論。

正文

我在“牛吃草問題”（號稱小學最難）的變型題上遭遇到一個困惑/悖論，於此請教各位學友高人。

題曰：

有三塊草地，面積分別為5公頃、6公頃和8公頃，草地上的草一樣厚，而且生長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天?

在看以下將要描述的我所遭遇的困惑/悖論——先要闡明我的思路和解法——之前，懇請各位先自己深入思考一下，想通了有了自己的定見之後再來審閲我的“思索過程”，這樣或許更能對我的偏誤和疏漏之處洞幽燭微。

板橋畫竹（與本文主題不甚相關，僅作隔離上下文用）

有了解決“牛吃草問題”原型題（即牛頓所編的那道基礎題）以及其它變式/變型題的經驗（參見：“基本原理”之“板橋畫論：意在筆先，趣在法外”（二）・技進乎道方能如庖丁解牛遊刃有餘丨以求學問之心講有學問之題論講題之學問），很自然（？或許吧）就能想到下述這種思路。

【想通“牛吃草問題”原型題解題思路的首要一步在於找到“草的消耗速度”也即“牛吃草的速度”的合宜的表示方式，這個表示方式是：每頭牛每天吃的草的數量，其中，數量可計為“1單位”或“1份”——“1”為“數量”之“數”的值、“單位”或“份”為“計量單位的虛擬指代”。故而“草的消耗速度”也即“牛吃草的速度”可表達為“1份/頭·天”，這是想通解題思路的關鍵的第一步，我是借鑑了“量綱分析”的方式才想通這一點的，而且我認為必須且唯有以“量綱分析”才能得到可將“牛吃草的速度”假定為“1份/頭·天”的這一認識。但幾乎所有對“牛吃草問題”的講解一上來就是直接端出此一假定，雖然，猶如猜謎語揭開謎底了其實也很好理解，直接給出這個假定後，對其理解也沒什麼難度，是“只知其然而不知其所以然”的，是“不究竟”的。以這種不求甚解的教學態度和方式，怎能教出有創造力的學生呢！】

其大方向-第一步為：

將面積不同的三塊草地“統一”為面積相同的三塊草地，繼而可將三塊面積相同的草地視為/等同於一塊（面積不變的）草地；

“統一”方式大致有兩種（其實或許是N種，但僅取其中兩個容易想到且方便計算的路徑），其一為將5公頃、6公頃、8公頃“統一”為1公頃，其二為將5公頃、6公頃、8公頃“統一”為120公頃（120為5、6、8的最小公倍數）。

其關鍵處-第二步為：

因應草地面積的變化/縮放，同步對原各草地面積可供多少頭牛吃多少天中的牛數和天數進行調整，其原則是使得變化前後的兩種情況等價（比如：“5公頃草地可供11頭牛吃10天”與“120公頃草地可供N頭牛吃D天”必須是等價的）。

其第三步為：

按照“牛吃草問題”原型題的解法算出統一的草地面積情況下第三種情形中的未知天數，算得的天數即為題設所求之天數（我的原始思考中這一步還得繼續做一下轉化，即：將按照統一的草地面積情況下算得的天數按照草地面積的縮放倍數再縮放還原，還原後的天數才是題設所求之天數。這與我遭遇的困惑/悖論有關）。

我遭遇的困惑/悖論在第二步中，以下是其具體描述（三種情形的道理相同，所以以下僅取其中一種情形作為代表，對其作出説明）：

要使得“5公頃草地可供11頭牛吃10天”與“120公頃草地可供N頭牛吃D天”等價，則N、D分別是多少呢？

我的原始思路是“思想實驗”：120公頃草地相當於24個5公頃草地的合併，而每個5公頃草地可供11頭牛吃10天，那24個這樣的“5公頃草地可供11頭牛吃10天”合併後，豈不就是“120公頃草地可供11✖24頭牛吃10✖24天”嗎？

但，正確的轉換是“120公頃草地可供11✖24頭牛吃10天”，也就是説，只有牛數隨草地面積數的變化同步作同等變化而天數保持不變。

我的困惑就是：“只有牛數隨草地面積數的變化同步作同等變化而天數保持不變”與“牛數與天數二者均隨草地面積數的變化同步作同等變化”，到底哪個是正確的。

言其悖論緣於：我感覺上述“思想實驗”沒問題啊，但那樣又確實會算得錯誤的結果（與以方程組的解法算出的確定為正確的結果比較一下即可知）。

為了凸顯，我將上述“思想實驗”再複製在此：

120公頃草地相當於24個5公頃草地的合併，而每個5公頃草地可供11頭牛吃10天，那24個這樣的“5公頃草地可供11頭牛吃10天”合併後，就是“120公頃草地可供11✖24頭牛吃10✖24天”。

這其中有什麼問題嗎？好像沒有。

敬請各位學友高人指點迷津。

心裏實驗工具“迷津”

（圖文無關，僅作隔離上下文用，後文/下一頁是我寫本文時突然自己想通了的過程）

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後記

（接上文）

對了，這是從正面/以正向思維去“實驗”的，如果不放心，那還可以從反面/以逆向思維去“實驗”一下以進一步證明該“思想實驗”沒毛病。

反向“思想實驗”如下：

將120公頃草地切分為24個5公頃的片區，這就是草地面積的變化了，即5✖24=120；然後在每個片區上放11頭牛，這樣120公頃草地上的牛數可不就是同步作了11✖24=264的變化了嘛；然後就是讓每片5公頃草地上的11頭牛都同時開吃，也就是120公頃上的264頭牛都開吃，夠吃幾天呢？每片5公頃的草地夠其上的11頭牛吃10天，那麼所有24片草地也即120公頃的草地夠全部264頭牛吃的天數自然是……咦~~~不對啊，不是11✖24啊，還真就只是11天哦——也即天數是保持不變的（不跟隨草地面積的變化而變化），因為24片草地中的每片草地上的11頭牛都在10天內將草吃完了，此時，所有24片草地上的草都被吃完了，而吃掉這些草的是全部264頭牛吃，也就是説，5✖24=120公頃草地上的11✖24=264頭牛在10天內就將草吃完了，按題設其它兩種情形的表述的格式就是“120公頃草地可供264頭牛吃10天”。

奇了怪了，為什麼當時沒想明白呢？為什麼當時就沒想到繼續做個“反向‘思想實驗’”再深入驗證一下呢？想來可能是當時太晚了，大腦倦怠了，導致思維不夠活躍、敏鋭。當然，更有可能是我確實遲鈍。

如果當時就做了，也不至於現在鬧了個烏龍——本來是為了求教卻在為了極力表述清楚自己的困惑的過程中自己突然意外想通了。

由此可見：

我堅持的將“思維訓練”的着力點放在“語言表述”上的方法和實踐（“題海拾貝篇：以求學問之心講有學問之題論講題之學問”）還是很有道理的。

其中的道理在於：

思維是依賴於語言的，沒有語言或許就沒有或者説無所謂思維了；

語言既是思維的載體又或是思維的本體，“能被思維者和能存在者是同一的”；

所以可以説，語言表述不通處即是思路不通處，思路不通處即是語言表述不通處；

故而，要想打通思路，一個可入手的路徑是在語言表述上作文章——比如“切換視角、轉換表述”。

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尾註

標題名稱就不改了，因為原本就是真心為了求教的。雖然我自己意外想通了，但那也可能只不過是其中其中方式，或許，還有其它的方式/解釋路徑來解我先前之困惑，若幸蒙賜教，則亦得進益。

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​附：我對該題原始“思索過程”的誠實記錄

（建議閲讀原文，因為：原文的字裏行間有很多註釋，而風聞的文本編輯器不能將其與主文明顯地區分開來）

審題後發現，此亦為“牛吃草問題”，情境都還是“牛吃草”，但卻是“變型”，而且所變甚大，因為草地都不一樣了，這意味着“存量”在三者之間亦有變化，而且“變量”（此處為增量，下文稱“增量”）之“變”也更復雜了，除了在每種情形之中隨時間變化之外，在三種情形變換之間也有變化——因為“存量”不同了也即變化的“基數”不同了（同樣的生長速度，面積不同的草地在相同時間內長出的草量是不同的：草地面積越大，新長的草量越大。也即：在相同的“增量增速”下，“存量”越大，下同一時間內的“增量”越大）。

所以，首先要統一“存量”。如何統一呢？

以“過程還原、切換視角、轉換表述”這一“基本原理”為指引來思考，我們可以想到兩個思路來完成這個統一。

思路一：將三種情形下算得的“總量”均換算為單位面積即1公頃草地情形下的“總量”。

其計算方法為：將各個“總量”分別除以各自的草地面積即公頃之數即可。

思路二：取三塊草地的公頃數5、6、8的最小公倍數120，算得120與5、6、8的商分別為24、20、15，將三種情形下算得的“總量”均換算為120公頃草地——也即將三塊不同面積的草地變換為面積相同的草地——情形下的“總量”。

其計算方法有二：

其一，將各個“總量”分別乘以最小公倍數與各草地自身公頃數之商即可【對5公頃的草地，則將從中算得的“總量”乘以24（120÷5=24）；對6公頃的草地，則將從中算得的“總量”乘以20（120÷6=20）；對8公頃的草地，則將從中算得的“總量”乘以15（120÷8=15）】。；

其二，將三種情形——即三塊面積不同的草地——中的牛數或天數分別乘以最小公倍數與各草地自身公頃數之商得到新的牛數或天數，然後以此牛數或天數算得的總量即相等於120公頃草地情形下的“總量”【若選擇調整牛數，計算過程為：在“5公頃的草地供11頭牛吃10天”的情形下，牛變換為264（11×24=264）頭，則“總量”為264×10×1=2640份（假定“總量消耗速度”即“牛吃草速度”為“1份/頭·天”），此即將“5公頃的草地供11頭牛吃10天”的情形統一到“120公頃的草地供11頭牛吃10天”情形下經過換算所得的“總量”；在“6公頃的草地供12頭牛吃14天”的情形下，略（與前述情形同理）】；

顯然，第一種計算方法更簡便，以下取第一種計算方法。

下面分別按照上述兩個思路來推進。

按“思路一”推進

“思路一”是什麼呢？我們回看一下。

咦~~~，“思路一”只思考到算得“總量”啊，還沒有思考統一“存量”的思路及其計算啊。還得先完成這未完的工作。

按“思路一”，則有——記“總量消耗速度V總量為1份/頭·天”：

“5公頃的草地可供11頭牛吃10天”情形下的“總量甲”為：

11頭×10天×1份/頭·天=110份

將其換算為“1公頃的草地可供11頭牛吃10天”情形下的“總量”為：

110÷5=22（份）

【帶單位計算則為：110份÷(5公頃÷1公頃)=22份】

“6公頃的草地可供12頭牛吃14天”情形下的“總量乙”為：

12頭×14天×1份/頭·天=168份

將其換算為“1公頃的草地可供12頭牛吃14天”情形下的“總量”為：

168÷5=33.6（份）

【帶單位計算則為：略（同上）】

33.6-22=11.6（份）

14-10=4（天）

則統一後——即“1公頃的草地可供11頭牛吃10天、可供12頭牛吃14天”——的“存量”……咦，似乎不對啊，題設“5公頃的草地可供11頭牛吃10天”，也就是説，“5公頃”的草地“才可”供11頭牛吃10天啊，也即可供11頭牛吃10天的草地面積是5公頃啊，1公頃是不夠11頭牛吃10天的啊，這説明前述思路中有疏漏之處。

回頭審視一下前述思路。

……

發現在“思路二”中的第二種計算方法中提到：

“將三種情形——即三塊面積不同的草地——中的牛數或天數分別乘以最小公倍數與各草地自身公頃數之商得到新的牛數或天數”。

其中的“牛數或天數分別乘以……得到新的牛數或天數”是説：

牛數和天數也是可以隨公頃數的調整而調整的。

這提醒了：

其實，牛數或天數必須有一個隨公頃數調整才能使調整前後的兩種情形等價。

其中的道理在於：

草地面積的變化必須與草量消耗速度的變化匹配才能使變化前後等價，而後者匹配前者的變化決定於牛數與天數二者之中有且僅有一個隨着變化；

想象一下（“思想實驗”——科學研究中經常採用的方法），以“5公頃的草地可供11頭牛吃10天”的情形為例（以“6公頃的草地可供12頭牛吃14天”的情形為例也將是同樣的道理），假若草地面積是10公頃呢，這相等於又多出了一個5公頃的草地，這多出的5公頃草地同樣可供11頭牛吃10天，則10公頃草地就可供22頭牛吃20天（由此可反思得知前面作出的“牛數與天數二者之中有且僅有一個隨着變化”的結論/判斷/預測仍是有疏漏的），這説明，一個情形中的草地面積數、牛數、天數這三者必須同步作相同變化（示例為“倍增”）才可使得變化前後的情形等價；

類比地，可用思想實驗檢驗一下調整為1公頃時的情況——用逆向思維來分析思考，先讓“5公頃的草地可供11頭牛吃10天”中的草地面積數、牛數、天數這三者均同步作同樣的變化即將其都除以5（或：變為原來的1/5），則有“1（5÷5=1）公頃的草地可供2.2（11÷5=2.2）頭牛吃2（10÷5=2）天”，草地面積由1公頃變為5公頃相當於有5個1公頃的草地，每個1公頃的草地可供2.2頭牛吃2天，則以將5個1公頃進行合併的方式復原為5公頃後，草地面積為5（1+1+1+1+1=1×5=5）公頃、牛為11頭（2.2+2.2+2.2+2.2+2.2=2.2×5=11）、天數為10（2+2+2+2+2=2×5=10）天，與原情形一致，故，前述“一個情形中的草地面積數、牛數、天數這三者必須同步作相同變化才可使得變化前後的情形等價”的結論/判斷是正確的。

“思路一”既有疏漏，則“思路二”中亦有同樣疏漏。

下面，根據上述對疏漏的修正，重新表述一下思路。

目標也需要調整：

統一的是“草地面積”（而不再是“存量”），也即將三塊面積不同的草地統一為三塊面積相等的草地繼而可以將其視為一塊草地——“可供Q頭牛吃D天”中的Q與D也隨草地面積同步作同樣的變化，如此，則“總量、”“存量”、“增量”、“增量增速”、“總量消耗速度”也就都統一了——也同步不作了同樣的（不敢再武斷了，這裏的“同樣的”僅當暫時的判斷/預測，是否正確，待後面計算時檢驗）變化。

思路一：

首先，將三塊面積不同的分別為5公頃、6公頃、8公頃的草地統一為三塊面積相等的均為1公頃的草地，並同步對“可供Q頭牛吃D天”中的Q與D作同樣的變化——分別除以5、6、8；

繼而，就可採用與“牛吃草問題”的“原型”題相同的思路和解法了，但要記得，求解出的是1公頃草地可供19/8（19÷8=19/8）頭牛吃的天數；

最後，作“情形復原”，1公頃面積復原為8公頃是倍以8，則牛的數量也將19/8頭倍以8復原為19頭，天數也要將求得的天數倍以8復原為原本所求的天數。

思路二：

首先，將三塊面積不同的分別為5公頃、6公頃、8公頃的草地統一為三塊面積相等的均為120（5、6、8的最小公倍數）公頃的草地，並同步對“可供Q頭牛吃D天”中的Q與D作同樣的變化——分別乘以24、20、15（此三數分別為5、6、8的最小公倍數與5、6、8的商）；

繼而，就可採用與“牛吃草問題”的“原型”題相同的思路和解法了，但要記得，求解出的是120公頃草地可供285（19×15=285）頭牛吃的天數；

最後，作“情形復原”，120公頃面積復原為8公頃是除以15，則牛的數量也將285頭除以15復原為19頭，天數也要將求得的天數除以15復原為原本所求的天數。

具體計算過程，略（在“答題表述”中還得再呈現，為避免重複，此處就略了）。

答題表述-思路一

解：

記8公頃草地可供19頭牛吃的天數為D。

由：

5÷1=5，6÷1=6，8÷1=8

得：

5÷1=5，11÷5=2.2，10÷5=2；

6÷1=6，12÷6=2，14÷6=7/3；

8÷1=8，19÷8=19/8，D÷8=M/8。

則：

“5公頃草地可供11頭牛吃10天”

等價於

“1公頃草地可供2.2頭牛吃2天”；

“6公頃草地可供12頭牛吃14天”

等價於

“1公頃草地可供2頭牛吃7/3天”；

“8公頃草地可供19頭牛吃D天”

等價於

“1公頃草地可供19/8頭牛吃D/8天”。

由此可知：

1公頃草地可供2.2頭牛吃2天、可供2頭牛吃7/3天、可供19/8頭牛吃D/8天。

記牛吃草的速度為：V總量，設定其為：1份/頭·天。

記草的生長速度為：V增量，單位：份/天。

記1公頃草地原有的草量為：C，單位：份。

記1公頃草地分別被2.2頭求吃2天和2頭牛吃7/3天以及19/8頭牛吃D/8天所吃掉的草的總量分別為：Z甲，Z乙，Z丙，並記其中新長的草量即草量的變化量（增量）分別為：B甲、B乙、B丙。

則可通過如下計算：

Z甲=2.2頭×2天×1份/頭·天=4.4份

Z乙=2頭×7/3天×1份/頭·天=14/3份

Z乙-Z甲=14/3-4.4=0.8/3=4/15（份）

7/3-2=1/3（天）

V增量=4/15份÷1/3天=0.8份/天

C=4.4-0.8×2=4.4-1.6=2.8（份）

算得草的生長速度為0.8份/天、1公頃草地原有的草量為1.6份。

據此則可通過如下計算：

0.8份/天÷1份/頭·天=0.8頭

19/8-0.8=63/40（頭）

D/8=2.8份÷(63/40頭×1份/頭·天)=112/63天

算得1公頃草地可供19/8頭牛吃112/63天。

則，8公頃草地可供19頭牛吃的天數D為

D=112/63×8=896/63（天）

答：8公頃草地可供19頭牛吃896/63天。

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突發靈感，想到一個新思路：

【既然“統一”有點麻煩，那就不統一了唄，反正我們主要是要先求得“存量”和“增量的增速”，而求得“增量的增速”的目的在於算第三種情形中的“增量”。而“存量”總是與草地面積線性相關的——與草地面積的變化的倍數成相同倍數的變化，“增量”總是與草地面積和時間同時線性相關的——與草地面積的變化的倍數和時間的變化的倍數之積所得的倍數成相同倍數的變化。這就意味着：……（如下文）】

只要求得單位面積的草地的“存量”以及單位面積的草地在單位時間內的“增量”就可以了——此“存量”和此“增量”是“不變量”在三種情形下是通用的；

繼而以此求得第三種情形下的“總量”；

最後以此“總量”除以“總量消耗速度”即“牛吃草的速度”（1份/頭·天）即可算得所求之天數。

【以上為新思路的大要，在作完“思路二”的答題表述後再以“答題表述-思路三”對其進行展開，檢驗一下其是否正確及是否可行。】

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答題表述-思路二

解：

記8公頃草地可供19頭牛吃的天數為D。

因：5、6、8的最小公倍數為120

由：

120÷5=24，120÷6=20，120÷8=15

得：

5×24=120，11×24=264，10×24=240；

6×20=120，12×20=240，14×20=280；

8×15=120，19×15=285，D×15=15D；

則：

“5公頃草地可供11頭牛吃10天”

等價於

“120公頃草地可供264頭牛吃240天”；

“6公頃草地可供12頭牛吃14天”

等價於

“120公頃草地可供240頭牛吃280天”；

“8公頃草地可供19頭牛吃D天”

等價於

“120公頃草地可供285頭牛吃15D天”。

由此可知：

120公頃草地可供264頭牛吃240天、可供240頭牛吃280天、可供285頭牛吃15D天。

記牛吃草的速度為：V總量，設定其為：1份/頭·天。

記草的生長速度為：V增量，單位：份/天。

記120公頃草地原有的草量為：C，單位：份。

記120公頃草地分別被264頭牛吃240天、240頭牛吃280天、285頭牛吃15D天所吃掉的草的總量分別為：Z甲，Z乙，Z丙，並記其中新長的草量即草量的變化量（增量）分別為：B甲、B乙、B丙。

則可通過如下計算：

Z甲=264頭×240天×1份/頭·天=63360份

Z乙=240頭×280天×1份/頭·天=67200份

Z乙-Z甲=67200-63360=3840（份）

280-240=40（天）

V增量=3840份÷40天=96份/天

C=63360份-96份/天×240天=40320份

算得草的生長速度為96份/天、120公頃草地原有的草量為40320份。

據此則可通過如下計算：

96份/天÷1份/頭·天=96頭

285-96=189（頭）

15D=40320份÷(189頭×1份/頭·天)=40320/189天

算得120公頃草地可供285頭牛吃40320/189天。

則，8公頃草地可供19頭牛吃的天數D為

D=40320/189÷15=2688/189=896/63天

答：8公頃草地可供19頭牛吃896/63天。

答題表述-思路三

【現在來完成在作完“思路一”的答題表述後突發靈感想到的那個新思路：先求得單位面積的草地的“存量”以及單位面積的草地在單位時間內的“增量”，繼而以此求得第三種情形下的“總量”，最後以此“總量”除以“總量消耗速度”即“牛吃草的速度”（1份/頭·天）即可算得所求之天數。】

解：

記8公頃草地可供19頭牛吃的天數為D。

……

由此可知：

1公頃草地可供2.2頭牛吃2天、可供2頭牛吃7/3天、可供19/8頭牛吃D/8天。

★★★★★★★★★★★★★★

喔哦~~~靈感又來了，又有了一個新的想法。

【上文省略號省略的是擬將“思路一”的答題表述複製於此的內容（“思路三”的答題表述計劃在此內容上修改而成，這樣是為了圖省事——很多內容不用再重寫一遍了），但複製後看到保留於上面的這句話（加黑）時，“節外生枝”了——又來了一靈感。】

“1公頃草地可供2.2頭牛吃2天、可供2頭牛吃7/3天、可供19/8頭牛吃D/8天。”

這一表述似乎隱秘地暗示着又一個新思路——或許可發展為“思路四”。下面就來試試看吧。

既然1公頃草地可供2.2頭牛吃2天，那麼按照“思路一”和“思路二”中的“切分-合併”、“倍增-均分”的“思想實驗”的結論可推導得到：

8公頃草地可供17.6頭牛吃16天（8個“1公頃草地可供2.2頭牛吃2天”合併，1×8=8，2.2×8=17.6，2×8=16）。記此為情形一。

題目所求為：

“8公頃草地可供19頭牛吃多少天”。記此為情形二。

情形一與情形二中牛吃掉的草的“總量”應該是相等的，……

【省略掉的內容是：則，17.6頭×16天×1份/頭·天=19頭×D天×1份/頭·天，算得D=……。】

誒~~~不對，總量好像不相等，不，不是“好像”，而是“就是”不相等，因為天數不一樣啊，所以“增量”不一樣，而“存量”是相同的，所以“總量”（“存量”與“增量”之和）就是不相等的。

因此，這個“思路四”是錯的。

★★★★★★★★★★★★★★

【以下接着前面被新想法中斷之處繼續作“思路三”的“答題表述”。】

記牛吃草的速度（即草的“總量”的消耗速度）為：V總耗，設定其為：1份/頭·天。

記5公頃、6公頃、8公頃三塊草地草量增速分別為：V增甲、V增乙、V增丙，單位均為：份/天。

記單位面積草的生長速度為：V單長，單位：份/天·公頃。

記單位面積草地的草的“存量”為：C，單位：份/公頃，並記三塊草地的草的“存量”分別為：C甲、C乙、C丙，單位均為：份。

記5公頃草地被11頭求吃10天、6公頃草地被12頭牛吃14天以及8公頃草地被19頭牛吃D天三種情形中各自被吃掉的草的“總量”分別為：Z甲，Z乙，Z丙，並記其中新長的草量即草的增量分別為：B甲、B乙、B丙。

則可通過如下計算：

Z甲=11頭×10天×1份/頭·天=110份

Z乙=12頭×14天×1份/頭·天=168份

Z乙-Z甲=168-110=58（份）

14-10=4（天）

V增甲=58份÷4天=14.5份/天

V單長=58份÷4天÷5公頃=2.9份/天·公頃

C甲=110-14.5×10=110-145=……

咦~~~不對，“總量”（110份）怎麼比“增量”（145份）還少呢！肯定出錯了。

回溯檢查一下。

……

哦，對，草地面積不一樣，所以算相差天數內的“增量”差是不能直接將Z乙減Z甲的。把這茬給忘了（可能是受到“思路四”帶來的興奮勁兒的影響，也可能是還沉浸在“思路一”和“思路二”因作了統一而使得草地面積相同之下的思考餘波中，……）。

那就從頭再來吧。

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

解：

記8公頃草地可供19頭牛吃的天數為D。

記牛吃草的速度（即草的“總量”的消耗速度）為：V總耗，設定其為：1份/頭·天。

記5公頃、6公頃、8公頃三塊草地草量增速分別為：V增甲、V增乙、V增丙，單位均為：份/天。

記單位面積草的生長速度為：V單長，單位：份/天·公頃。

記單位面積草地的草的“存量”為：C，單位：份/公頃，並記三塊草地的草的“存量”分別為：C甲、C乙、C丙，單位均為：份。

記5公頃草地被11頭求吃10天（以下簡稱“情形一”）、6公頃草地被12頭牛吃14天（以下簡稱“情形二”）以及8公頃草地被19頭牛吃D天（以下簡稱“情形三”）三種情形中各自被吃掉的草的“總量”分別為：Z甲，Z乙，Z丙，並記其中新長的草量即草的增量分別為：B甲、B乙、B丙。

由“總量=存量+增量”有：

Z甲=C甲+B甲

Z乙=C乙+B乙

而：

C甲=C份/公頃×5公頃=5C份

C乙=C份/公頃×6公頃=6C份

B甲=V單長份/天·公頃×10天×5公頃=50V單長份

B乙=V單長份/天·公頃×14天×6公頃=84V單長份

又：

Z甲=11頭×10天×1份/頭·天=110份

Z乙=12頭×14天×1份/頭·天=168份

則：

5C+50V單長=110

6C+84V單長=168

【誒~~~咋搞成“二元一次方程組”了啊！這個“思路三”有沒有算術解法呢？想想，……好像還真沒有，這個“思路三”的核心是先通過前兩個情形算得“每公頃草每天的‘增量’即‘V單長’”和“每公頃草地的‘存量’即‘C’”，而要算這兩個量似乎還必須得用“二元一次方程組”（暫未想到其算術解法）。那就當演練用“二元一次方程組”解決問題吧。順便用方程組解法求得的結果校核一下用“思路一”和“思路二”求得的結果是否正確。需要校核的原因之一在於：後面“兼聽則明”所附的他人的解法中，在用最小公倍數法統一草地面積為120公頃時，隨草地面積變化的僅僅是牛的數量與天數這二者其中之一而且他選擇的是牛的數量（應該是因為題目所問的是天數），比如，他將“5公頃草地可供11頭牛吃10天”轉換為（即“等價於”）“120公頃草地可供11×24頭牛吃10天”，天數沒有隨着變為10×24天，而在我們的“思路一”與“思路二”中三者是同步作同樣變化的，如在“思路二”中我們作的轉換是“120公頃草地可供11×24頭牛吃10×24天”，天數是也隨着一起作同等變化的。】

解此方程組，得：

C=7份/公頃

V單長=1.5份/天·公頃

【又：

Z丙=C丙+B丙

而：

C丙=7份/公頃×8公頃=56份

B丙=8公頃×D天×1.5份/天·公頃=12D份

Z丙=……

咦，Z丙不能通過除“Z丙=C丙+B丙”方式之外的其它方式算得啊，這就意味着不能求解出D啊（算式只能得到“Z丙=56+12D”，而“Z丙”也是未知，故而不能算得D）。

看來，這一步還是得回到“牛頓問題”的“原題”型的思路——即：分出專責吃/消“增量”的牛與專責吃/消“存量”的牛——去解。】

據此，則可通過如下計算：

C丙=7份/公頃×8公頃=56份

V增丙=1.5份/天·公頃×8公頃=12份/天

12份/天÷1份/頭·天=12頭

19-12=7（頭）

56份÷(1份/頭·天×7頭)=8天

算得8公頃草地可供19頭牛吃8天。

**答：**8公頃草地可供19頭牛吃8天。

~~~~~~~~~~~~~~~~~

“思路三”（新思路+方程組解法）及其解答過程經認真審查，可判斷為正確，則其算得的結果應該也是正確的。對比“思路一”和“思路二”算得的結果（均為896/63≈14.2···天），可知“思路一”和“思路二”肯定是哪裏出錯了。

出錯的之處最有可能就是“草地面積數、牛數、天數”三者“同步且作同樣變化”這裏。或許，正確的應該是：“牛數”與“天數”二者中僅有一個（且是“牛數”這個)隨草地面積數同步且作同樣變化而另一個（且是“天數”這個）保持不變。

但我們對此是做了“思想實驗”的啊，而且其中的思考應該説還是非常嚴謹細緻的，應該不會錯啊。

先根據“僅牛數隨着草地面積數變化而天數不變”來重新作一下“思路二”（“思路一”類同，就不再贅述了）的答題表述吧，看看算得的結果如何再討論。

~~~~~~~~~~~~~~~~~

答題表述-思路二（修正版）

解：

記8公頃草地可供19頭牛吃的天數為D。

因：5、6、8的最小公倍數為120

由：

120÷5=24，120÷6=20，120÷8=15

得：

5×24=120，11×24=264；

6×20=120，12×20=240；

8×15=120，19×15=285；

則：

“5公頃草地可供11頭牛吃10天”

等價於

“120公頃草地可供264頭牛吃10天”；

“6公頃草地可供12頭牛吃14天”

等價於

“120公頃草地可供240頭牛吃14天”；

“8公頃草地可供19頭牛吃D天”

等價於

“120公頃草地可供285頭牛吃D天”。

由此可知：

120公頃草地可供264頭牛吃10天、可供240頭牛吃14天、可供285頭牛吃D天。

記牛吃草的速度為：V總量，設定其為：1份/頭·天。

記草的生長速度為：V增量，單位：份/天。

記120公頃草地原有的草量為：C，單位：份。

記120公頃草地分別被264頭牛吃10天、240頭牛吃14天、285頭牛吃D天所吃掉的草的總量分別為：Z甲，Z乙，Z丙，並記其中新長的草量即草量的變化量（增量）分別為：B甲、B乙、B丙。

則可通過如下計算：

Z甲=264頭×10天×1份/頭·天=2640份

Z乙=240頭×14天×1份/頭·天=3360份

Z乙-Z甲=3360-2640=720（份）

14-10=4（天）

V增量=720份÷4天=180份/天

C=2640份-180份/天×10天=840份

算得120公頃草地草的生長速度為180份/天、原有的草量為840份。

據此則可通過如下計算：

180份/天÷1份/頭·天=180頭

285-180=105（頭）

D=840份÷(105頭×1份/頭·天)=8天

算得：

120公頃草地可供285頭牛吃8天。

其等價於：

8公頃草地可供19頭牛吃8天。

**答：**8公頃草地可供19頭牛吃8天。

答題表述-思路二（修正版）

解：

……（與上類同，不再贅述）

**答：**8公頃草地可供19頭牛吃8天。

~~~~~~~~~~~~~~~~~

驗證得知：

草地面積數、牛數、天數三者同步且作同樣變化，錯誤；

僅牛數隨草地面積數同步且作同樣變化而天數保持不變，正確。

【僅牛數隨着變化的情況上面已證實是正確的，僅天數隨着變化的情況我也在草稿上做了演算後發現其是錯誤的。】

仍是不明：

1、我們是做了非常嚴謹的“思想實驗”才得出了“草地面積數、牛數、天數三者同步且作同樣變化”的結論/判斷，為什麼是錯的呢？或者：“思想實驗”中的錯誤是什麼呢？

2、為什麼隨着草地面積數同步且作同樣變化的只能僅是“牛數”而不能僅是“天數”呢？【這個問題當中或許還藴含着什麼深刻的學問，值得挖掘】

這會兒腦子有點暈就不戀戰了（這次寫得時間太久，現在時間也太晚了，都快凌晨3點了，疲累得不行了），將此兩個疑問作為留給我們的思考題吧，待我以後想通透後再另文詳述吧（本文已經寫得太長了，不能再加討論上述疑問的內容了），大家也可以想想。

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