孔涅給數學新手的忠告：數學被分割後就會消亡_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！06-08 13:45
本文出自菲爾茲獎得主、劍橋大學數學教授蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers） 主編的《普林斯頓數學指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部獨具特色的高水平著作，介紹了很多 20 世紀的數學，且都出自數學大家之筆。該文是阿蒂亞、孔涅等當代五位頂級數學家根據自己的數學研究經驗，對後輩新人給出的忠告——一些寶貴的經驗性建議。令人驚喜的是，它們很少有重複。雖然這些話是針對數學新手而説的，但相信它們值得任何年紀的數學家閲讀。日前，我們已刊發過英國數學家阿蒂亞爵士和匈牙利裔英國數學家Béla Bollobas以及英國女數學家杜薩·麥克杜夫的建議，今日奉上著名的法國數學家阿蘭·孔涅（Alain Connes）的部分。
撰文 | Alain Connes
翻譯 | 陳躍（上海師範大學數學系副教授）
來源 | 《數學文化》
數學是現代科學的支柱，它是許多新概念與新工具的相當有效的源泉，藉助於這些新概念和新工具，我們才得以理解置身其中的“現實世界”。這些新概念本身就是人類思維這個蒸餾器經歷長期“蒸餾”過程的結果。
我被要求寫一些對於年輕數學家的忠告。首先我感到每一位數學家都是一個個特殊的案例，總體來講數學家們都傾向於成為（喜歡獨立的）“費米子”，即他們儘量避免在太大眾化的領域裏做研究，而物理學家們的表現則更像（羣居的）“玻色子”，他們組合成很大的團隊，並經常“過分誇大”他們取得的結果——這種態度是會被數學家們鄙夷的。
人們一般總是首先將數學劃分成一些相互獨立的分支學科，例如幾何學、代數學、分析學、以及數論等等。其中，幾何學主要是試圖理解“空間”的概念，代數學主要研究字母符號的操作藝術，而分析學則主要關注涉及“無窮”與“連續”的對象等等。
但是，這種看法與數學這門學科的一個最重要的本性相違背，即把上述那些分支學科中的任何一個在不剝離自身本質的前提下從其餘的分支中獨立出來是根本不可能的。實際上，整個數學就像一個完整的生命體，只有在結為一體的情況下才能生存，如果它被分割成若干不相連的部分，那麼它就會消亡。
數學家們的研究生涯可以被描述成是在“數學的現實世界”王國裏的一次探險旅行，他們用自己的知識架構逐步揭開它的神秘面紗。
這個過程往往開始於對現存書本上關於數學王國的教條描述的不滿與反叛。想要成為數學家的年輕人開始意識到，他們自己關於數學世界的看法已經抓住了數學的某些特徵，而這又與已有的教條不相符合。在大多數的情況下，這種初期的反叛來源於無知，但卻不無益處，因為它可以幫助人們從對權威的敬畏中解放出來，使得他們可以依靠他們的直覺，並且用實際的證明來支撐他們的直覺。一旦一個數學家真正開始了自己的研究並獲得瞭解，哪怕是以一種非常原始和“個人化的”方式，或者是處在數學世界的一個非常狹小的領域裏，並且無論初看起來是多麼怪異[1]，那麼這個探險旅行實際上就已經開始了。當然，很重要的是不要去打破“阿莉阿尼線團”[2]：在始終保持用一種新鮮的眼光看待旅途中遇到的各種問題的同時，還能夠在一次次感到迷路的時候回到出發點。
同樣重要的是，一直保持對各種數學的興趣。否則，我們就會冒着一種風險，將自己完全侷限於一個已經被高度技術化了的非常狹小的領域裏，從而限制了我們對於巨大的變幻莫測的數學世界洞察力的發揮。
在這方面最基本的要點是：儘管有許多數學家畢其一生在探索數學世界中各不相同的領域，而且看問題的角度是那樣的不同，可是他們都同意他們其實是在研究同一對象的各個不同部分。不管我們各自旅行的出發點在哪裏，總有一天，當我們走了足夠長的距離後，會發現大家都不約而同地走到了數學王國的同一座著名城堡：例如橢圓函數、模形式、或者zeta函數等。“條條道路通羅馬”，數學世界也是相互連通的。當然這並不是説數學的所有各個部分都是相似的，在這裏很值得引用格羅騰迪克（在《收穫與播種》一書中）對分析學與代數幾何學所作的比較，前者是他最初涉足的研究領域，而對後者的研究則耗盡了他之後數學生涯的全部心血：
我仍然記得這種強烈的印象（當然完全是主觀的），就好象我自己從貧瘠的荒野轉瞬間突然來到了“神所授予的”富饒土地，它們無邊無際，你可以盡情地在其中探究，施展自己的身手與才華。
大多數的數學家們都很務實地將自己看成是這個“數學世界”的探索者，他們並不是很關心它是否真的存在，他們只是用自己的直覺以及大量的理性思維來揭示這個數學世界的結構。這種直覺離所謂的“理想化的願望”並不太遠（就像法國詩人Paul Valery所強調的那樣），而大量的理性思維則需要高度集中的思考時間。
每一代數學家都構建了反映他們自己對這個數學王國理解的智力圖景。他們建造了越來越敏鋭的智力工具，這樣就能夠來開發先前未被發現的各種研究領域。
真正有趣的事情是：在數學王國的各個不同的領域之間找到了意想不到的聯繫橋樑，這種聯繫在前輩數學家們的智力圖景中還是顯得非常模糊和遙遠的。而當這種情形產生時，就像突然之間一陣清風吹散了籠罩在我們美麗大地上的迷霧。在我自己的工作中，這種類型的巨大驚喜常來自於與物理學密切相關的數學研究。數學概念很自然地來源於物理學，這已經成為了一個基本共識，就像阿達瑪 (Hadamard) 所曾經指出的那樣。對他來説，他們所展示的
不僅僅是短暫的能讓數學家們暈頭轉向的新奇小技巧，而是那種從事物本身湧現出來的真正富饒多產的新穎。
下面我將用一些比較“實用”的忠告來結束這篇短文。只是要注意每一位數學家都是一個“特殊的案例”，不用太在意這些忠告。
散步 當你正在與一個非常複雜的問題搏鬥時（常常涉及計算），一個非常明智的練習是出去走一段距離很長的路（不帶紙和筆），一邊走一邊在腦子裏做計算，不用擔心這初看起來是否“太複雜了，不可能這樣做”。即使不成功，也能夠訓練超人的記憶力和不斷完善自己的方法。
躺下 數學家們一般很難向他們的同事解釋，他們研究工作最辛苦緊張的時刻竟然是他們在黑暗中躺在沙發上的時候。很不幸的是，隨着e-mail和電腦屏幕侵入所有的數學研究機構和場所，將自己完全孤立起來、從而集中心思的彌足珍貴的機會就變得十分稀少了。
再勇敢些 在通向新的數學發現的過程中，一般有好幾個階段。儘管處在後面的只需要我們理性與專心的（證明與計算）核查階段的工作量大得驚人，但相比較而言，位於前面的更加富有創造性的（探索與構思）階段則完全不同。在某種程度上，這個探索階段還需要一種你對自己無知的保護意識，因為總是有千萬個理由叫我們不要盯在那些其他許多數學家們都沒有解決的問題上。
挫折 在數學家們的研究生涯中，包括很早的時期，他們會不斷收到來自競爭者們的論文預印本，這時他們會因為落後而感到倍受打擊。在這裏我所能給出的建議是，應當努力將這種挫敗感轉化為鼓勵你更加勤奮工作的前進的動力。然而這做起來並不容易。
懷有妒忌的認可 我的一個同事曾經説，“我們（數學家）的工作，説到底就是為了得到幾個朋友的懷有妒忌的認可。”確實，由於我們的研究工作本質上講還是相當冷僻孤立的，所以不幸的是我們總是以各種方式極度渴求這種認同感，可是坦率講我們不應該期望過高。實際上，真正的判斷來自於自己。沒有人能比自己更明白自己所做的工作究竟是什麼，過分地擔心在乎別人的看法是在浪費時間：因為迄今為止還沒有一個定理是通過被選舉出來的方式獲得證明的。就像費曼 (Feynman) 曾經説過的那樣，“你為什麼要在乎別人怎麼想？”
註釋
[1]我自己最初的出發點是研究多項式根的分佈問題。幸運的是我在很小年紀就被邀請參加在西雅圖舉行的一次會議，在那裏我受到引導，後來我所有的在因子理論方面的工作都起源於此。
[2]阿莉阿尼是古希臘傳説中的克里特國王彌諾斯的長女。國王養了一頭怪物，每年要吃七對童男童女。雅典王子忒修斯決心到島上的迷宮裏除掉怪物。在進迷宮前，他偶遇阿莉阿尼公主，公主愛上了他，交給他一個線團，讓他將一端放在迷宮外，一端拿在手中，以免迷路。忒修斯殺死怪物後順線走出迷宮。
本文摘自原載於《數學文化》第4卷第2期的《給年輕數學家的忠告》，經譯者授權刊發。
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