菲爾茲獎得主皮埃爾-路易·利翁：數學研究如警察辦案_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！06-16 09:02
撰文 | 皮埃爾-路易·利翁
翻譯 | 法臨婧
數學家的生活和普通人並無差別
在國家博士論文答辯的兩天後，我與日後成為我兒子母親的女人結了婚。我秉承了自己接受的教育中關於工作和私生活之間需要有個優先順序的觀念：家庭應該在人類的生活中佔據主導。此外，工作和生活之間健康的平衡需要各種活動和娛樂。儘管我熱愛數學，但從沒打算把它當作人生中的唯一。作為一個年輕的科研人員，我同樣對電影、音樂、文學保持着濃厚的興趣；我也從未錯過一場歐洲六國橄欖球賽，不管是電視轉播的，還是現場進行的。橄欖球承載着我所認同的價值觀，其中之一我自己一直身體力行，那就是集體的重要性。
數學研究絕非一項個人體育運動。就像我所提到的，那種瘋狂科學家把自己鎖在家或辦公室裏，終日拉着百葉窗苦攻方程式的神話已經不復存在。研究人員是以團隊為單位展開工作的。他們會與研究其他課題的同事進行交流，那些同事又會在實驗室內外開設講座，從而接觸到國內外同行——甚至一些知識淵博的業餘愛好者的觀點，以此來豐富自己的研究興趣。我十分喜歡自己的工作中關於團隊合作的這一方面，並在職業生涯的初始階段就躬行實踐了。很抱歉又一次打破神話，但一個高級數學家的生活與成千上萬的勞動者其實並無差別。
儘管如此，數學家的日常工作有着兩個令人十分愉悦的特點，這是其他職業——哪怕是其他領域的科學家——無法比擬的。首先，數學家的工作能夠在沒有任何硬件支持的情況下進行，電腦或複雜的機器都不是必需的，某些情況下甚至不需要紙筆！因為在被轉化成方程式之前，數學首先是思維鍛鍊的產物，這一點還是容我們稍後再談。由此衍生出的第二個特點是，我們的工作不需要特定的場所，無論何時，無論何地，不管是在辦公室還是在火車上，抑或夜晚躺在自己的牀上……這是幸運的，同時也是不幸的。我身邊的很多人常常為此對我抱怨，因為我有時會毫不誇張地與現實脱節，而這讓他們相當惱火。比如，我經常大清早在淋浴間一待就是半個小時，忙着構建一個睡醒時突然想到的有趣推理。在我的家人眼裏，這絕對算不上什麼好事。
專注的思考
那麼，當我思考問題的時候，我的大腦裏到底發生了什麼呢？想要解釋清楚並不容易。我陷入沉思時的狀態十分接近於冥想。那是一種絕對的專注——1小時轉瞬即逝，彷彿只過了5分鐘。有時我會放些背景音樂，但自己是聽不到的，因為我全身心地投入到了那一刻的思考當中。全家一起吃飯時，我又會不時陷入沉思，家人經常帶着審查員一般的目光詢問我：“你到底有沒有在聽我講話？”過去、未來，縈繞在我周圍的人、聲音、物體……思考時，一切都是不存在的。
那麼，我思考的時候又具體看到了些什麼呢？還是讓我們放棄那些關於數學的常見誤解吧：我既看不到任何數字，也看不到任何圖形。我不研究幾何，也不是代數學家。我的工作是數學分析。給我的工作在視覺上、精神上以支撐的是方程及其解法，也就是它們彼此之間的各種函數及不等式。它們使用的符號通常取自希臘字母，其中許多由德國人戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）—一位17世紀末傑出的多面手所創造，今天仍被人們用於數學分析。我試圖像個登山者那樣，採用全新的、未經探索的方式來攻克這些方程，為此我會使用各種科學操作、評估或計算方法，這些術語往往被人們錯誤地與單純的數字化操作聯繫到一起，但那些東西在我的方程式中並不存在，或寥寥無幾。
我工作的習慣大約是這樣的：我先把方程或要處理的問題寫在一塊黑板上、一張紙上、我的電腦裏或一張表格上，之後試着用第一種方法展開論證。這一過程往往漫長而複雜，在整體驗證了所得結果的合理性和一致性後，我會將其分割成幾個部分並加以記憶。接着，我在腦海中想象着同一張表格，一個接一個地寫出公式，對每一個步驟進行必要的操作和計算——就像建築架構那樣。整個過程中我會鎖定一些中間環節，它們猶如座標，時刻提醒我處於正確的軌道上。有時我也會跳過一些我認為容易或可行的步驟。一旦完成了這項基本的腦力工作，部分或完整的架構也就呼之欲出了。接着，我將對草稿上得出的各種要素加以説明，詳細羅列腦海中每一個步驟所需的運算和操作。當然，大多數情況下我會發現其中的錯誤，它們有時能讓我更好地理解問題，但無論如何，論證必須重新開始。有時甚至方法都需要重新嘗試……
數學研究如“警察辦案”
我絕不認為自己是個天才，也不希望被人當成天才，但必須承認，記憶力超羣這一優勢時常讓我感到如虎添翼。很多數學家都有一副好記性，但也不是所有人都有。這一特點還讓我們得以最大限度地享受數學工作者這一職業所帶來的邏輯的靈活性。比如在職業生涯的早期，我也明白為保證充足的睡眠應該避免晚上工作，而晚飯時開始推導公式很容易導致失眠。因為我一向能夠在任何情況下快速、輕鬆地集中精力，但脱離這一高度集中的狀態卻很困難。不過隨着年齡的增長，我還是學會了從數學的經緯網絡中迅速抽身。
數學非常適合這種近乎冥想的智力訓練，因為我們的大腦能夠與它完美契合。人類的大腦喜歡結構，即使在結構不存在時也能見微知著，通過概念和系統進行推理。給它一張像拼圖遊戲那樣切成小塊兒的照片，它就會千方百計去重現原始圖形。而數學的任務只有一個：它在不同的概念之間穿針引線，將各種結構彙集起來，最終形成一個連貫的整體。它能識別拼圖的碎片，從而將其拼成完整的照片。一張也不多，一張也不少。
“警察辦案”是另一個在我看來很適合描述這一工作的例子，這個比喻不僅貼切，而且與我對驚悚片的喜好相得益彰。當受害者的身份得到確定後，到底誰才是罪魁禍首呢？我們將就此展開調查、尋找線索，把一個個線索聯繫在一起，再一項項地驗證假設，直到最終鎖定肇事者和犯罪現場。高等級數學的難點在於我們需要同時調查10~20起犯罪，因此，組織意識和清晰的思路都是必不可少的。
之前已經提到過，我工作的各個環節中有一部分遠遠超前於其他，它承載着我的全部思考，就像一個基座一樣。一旦確立好方程，我就會展開自己的調查策略：我會把這個問題或它的一部分牢牢握緊，然後翻來覆去地對它又擰又搖！我的目的是找到一個突破口—一個全新的、前所未有的切入方式。這有點像我把一個物體或形狀在內心中展現出來，然後試着從另一個角度對它進行觀察，但具體來説，我又沒有看到任何物體或幾何形狀，在我的腦海中以非視覺化的方式呈現出來的只是一些方程、一些不等式或數學公式而已。
就像任何警察辦案一樣，直覺在這裏發揮着重要的作用。我是一個直覺型的人，這是我在好記性以外的另一大優勢。所有讓我得到認可併為我的職業生涯指明方向的工作都有一個共同點，那就是它們都始於直覺。比如，當我遇到一個問題或問題提交到我面前的時候，我立刻就會意識到它有一個解法，而且是可以實現的。但應該怎麼做，又需要使用哪些工具……？我並沒有頭緒。我只是確信解法確實在某個地方存在着，哪怕需要花點時間來尋找。我在可壓縮流體力學方面有過一項廣為人知的成果，它最初就是源於一個簡單的直覺，但我卻耗費了整整9年才達到預期的結論。不過，整個過程中我對成功從未有過動搖。直覺很少讓我失望，它真的是功不可沒。
在闡明數學家工作的類比遊戲中，除了之前提到的警察辦案，還有另一個十分恰當的例子——下國際象棋。解方程就像下國際象棋，我們需要努力預測自己每走一步可能產生的後果，並提前應對對手可能作出的反應。這一隱喻又引出了另一個更深層次的問題：誰是我們的對手？
數學就是大腦的運轉
圍繞着這個疑問，讓我來具體談談自己關於數學基本性質的看法吧。有些科學家或哲學家有着某種柏拉圖式的數學觀，他們認為數學的存在先於人類的源起。換句話説，數學在遙遠的矇昧時代就已存在，數學家的遊戲就是掀起它的神秘面紗，將其呈現給我們這些凡夫俗子的大腦。儘管我不怎麼相信，但也可以説，無論是從宗教意義上還是更加平凡的意義上來看，棋盤另一邊的對手正是上帝——那位宇宙傑出的建築師。
這種形而上學式的數學觀我並不十分贊同，當然也不打算全盤否定。沒有人能在這個問題上提出決定性的論點，但它不符合我的無神論思想，也不符合我腳踏實地的性格。儘管如此，我發現自己喜歡凝視“結構之美”——一個數學公式的美，併為之着迷。在那神奇的一刻，一切都水乳交融，以如此和諧的方式閃着光，甚至讓人感到辛苦計算出來的結果其實一直都在那兒。它被銷子鎖着，隱匿在陰影裏，它就那麼靜靜地等待着，等着一個多少受到啓發的靈魂拿着正確的鑰匙前來，好向他展示自己……不過，就算我能體驗到這種強烈的、令人眩暈的感受，我還是會給它提出一種不那麼華麗的解釋：那是我們的大腦在運轉，而我又不懂它運轉的機能。這使得我的言論頗具爭議性，甚至可能是相當荒謬的。
在我看來，人類的大腦有兩個特點，它同時促進數學推理和那種有時會相伴而生的唯美的暈眩。第一點我已經簡單談過：我們的大腦對各種概念有着與生俱來的喜愛，面對種種彼此間多少有所關聯的信息，它會努力將其分區整合，由此找出其中隱藏的、具有一致性的結構。例如，人人都理解“狗”這一概念，即使狗有數百個不同的品種。面對一個不熟悉的品種時，我們的大腦依然能夠聯繫各種線索，從而得知自己是在與一條狗打交道。這是一種由點到面、在各種聯繫間穿針引線的能力，而它恰恰是數學推理的根源。
至於第二個特點，應該説我們的大腦是一個奇妙的快樂製造機。這種關於美與和諧的感受伴隨着發現油然而生，雖然它被一些人解釋為上帝的氣息，但在我看來，那只是為了回報我們的努力而自然產生的某種化學反應。話雖如此，我還是要再重複一遍：這只是一種信念而已。因為我和那些持相反觀點的人都無法在這個問題上證明任何事情。何況我也不是神經科學或心理學方面的專家，而且我經常告訴自己，哪怕是對數學我也不太瞭解……
本文節選自《一個數學家的自畫像》（文匯出版社·貝頁，2023.2）第七章《通往麥迪遜數學研究中心之路》，小標題為編者所加。
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