拉馬努金：我做數學只用三個詞，“顯然”、“顯然”還是“顯然”_風聞

“拉馬努金更像莫扎特，在他眼裏數學是一門自然而然、顯而易見的學問。”

撰文 | Kasper Müller

翻譯 | 藏痴

審校 | 牧羊

你能解出下面的式子嗎？

這是1911年拉馬努金尚未成名時公開提出的第一個問題。答案會在下面的“數學”章節公佈，如果你想試着求一下，記得在滑到那裏之前得到答案。

斯里尼瓦薩·拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan) 是有史以來最偉大的數學家之一。今天的數學家還沒能完全理解他的成果。他的工作不僅被應用到數學中，後來還被用到物理學的黑洞和絃論中。

著名數學家小野健（Ken Ono）寫道：“拉馬努金的智慧甚至比全世界所有頂尖數學家的加起來還要多。”

與拉馬努金相識的大數學家林特伍德（J. E. Littlewood）説“所有自然數都是拉馬努金的密友”，他彷彿知道每個數字的個性一樣。

弗里曼·戴森（Freeman Dyson）這樣評價他：“我覺得拉馬努金更像莫扎特，在他眼裏數學是一門自然而然、顯而易見的學問。他的天賦是我們無法理解的奇蹟。”

更出名的是這樣一則軼事：

儘管擁有非凡的成就，但拉馬努金基本上是自學成才，沒有接受過正規的數學教育。

他對分析、數論、無限級數和連分數等領域做出了重大貢獻，包括解決當時被認為無法解決的數學問題。事實上，人們估計在拉馬努金短暫的一生中，他發現了大約3900個有意義的公式！

拉馬努金的故事是數學界最偉大的故事之一。通過對薄薄一本書的啓發和研究，拉馬努金能夠提出數千個定理。其中一些是對數學界已經證明和已知的結果的重新發現（他獨立推導出了歐拉、高斯等人在他之前發現的許多結果），還有一些是前所未見的新發現。

在這裏，我們將嘗試瞭解拉馬努金的生平和數學天賦。我們還將看到他的一些驚人成就，直到今天，數學家們還不知道他是如何取得這些成就的。

自學成才的神童

拉馬努金小時候就才華出眾。

1887年，拉馬努金生於印度。全家住在一個傳統的小房子裏。他的母親是家庭主婦，有時會去當地寺廟祈誦。大約十歲時，拉馬努金以全地區第一的成績從小學畢業。進入中學後，他第一次接觸到了正式的數學。

13歲時，他借到了一本高等三角學的書，掌握了這個領域。這個年紀，他已經獨立發現了一些複雜的定理。14歲時，他幫助老師把1200名學生分派給35名老師指導。

在數學考試裏，拉馬努金只用一半時間就能答完題，並且他對幾何和無窮級數也十分熟悉。1902年，拉馬努金已經了掌握如何求解三次方程。後來，他發展出了自己獨特的四次方程解法。

真正喚醒拉馬努金天賦的轉折點是在1903年，16歲的拉馬努金拿到了一本凱爾（G. S. Carr）的《純粹和應用數學基本結果概要》。這本書寫於1886年，總結了當時已知的絕大多數數學結論。據説拉馬努金仔細地研究了這本書裏面5000個數學定理。

第二年，拉馬努金髮現並研究了伯努利數，並將歐拉-馬斯切羅尼常數計算到了小數點後15位——這是一項里程碑式的成就。當拉馬努金1904年中學畢業時，校長説他是一個應當獲得比滿分還高的分數的優秀學生。

接下來在大學裏，只有數學才能讓拉馬努金集中注意力。這給他帶來了一些麻煩，因為他很難通過其他課程。他最終肄業，也沒找到工作。他陷入了極端貧困中，經常食不果腹。然而，他仍然盡一切可能進行獨立研究。

當時，拉馬努金疾病纏身，到1910年下半年，他已經十分虛弱了。他把筆記本交給一位朋友，並叮囑朋友，如果自己出現意外，就把筆記本寄給其他數學家。好在拉馬努金最終康復並拿回了筆記本。就在同一年，其他數學家逐漸瞭解了拉馬努金的才華。最終，他的一些工作發表在了印度數學會的學報上。

拉馬努金與哈代

1913年1月16日，拉馬努金向當時第一流的數學家哈代（G. H. Hardy）寫了一封信。在信的開頭，拉馬努金提到自己是自學成才。他寫道：“我是一名職員…… 我並未受過大學教育…… 但我正在為自己開闢一條新道路……”

接下來是幾頁數學推演，其中一些內容之前有人推導過，還有一些不完全正確，但這封信結尾有三個非凡的公式。哈代被這幾個公式震驚了，他回信説：

這些公式完全征服了我。我之前從未見過類似的東西……能寫下它們的人一定是最頂尖的數學家。這些公式肯定是對的，因為沒有人會擁有發明它們的想象力。

——哈代

哈代請同事林特伍德來審讀這些論文。林特伍德同樣被拉馬努金的天才所震驚。在與林特伍德討論過這些論文後，哈代總結説拉馬努金一定是“最優秀的數學家，一個擁有非凡創造力和力量的人”

隨後哈代給拉馬努金回信，請他來英國學習。但哈代也強調證據的重要性，“很有必要讓我看一下你所寫斷言的證明。”

拉馬努金在信中只簡單寫下了受書啓發得到的公式，而完全沒有寫證明。但對於數學家而言，沒有證明的命題並不比猜想更好。他們很快建立了通信聯繫，拉馬努金給哈代寄了更多的數學內容。

僅僅在最初兩封信中，拉馬努金就給哈代提供了120個定理！哈代不知道的是，拉馬努金有厚厚兩本記滿了漂亮的數學命題的筆記本，其中第二本就有21章。在與林特伍德一起看過筆記本中一部分內容以後，哈代評論説，“只有歐拉和雅克比能與拉馬努金並肩。”

拉馬努金在劍橋與哈代和林特伍德合作了近五年。儘管拉馬努金的天賦肉眼可見，但他們之間的合作並不容易。哈代追求嚴謹的證明，但拉馬努金有着完全不同的信仰，並且十分堅定。他相信女神在夢中賦予他數學直覺。

哈代和拉馬努金開始一起證明拉馬努金的一些命題。哈代竭盡所能以現代數學的方式教育和指導拉馬努金。

一戰期間，拉馬努金在英國的處境十分困難。他是素食主義者，但幾乎買不到蔬菜。作為印度人，他在英國受到了嚴酷的種族歧視，而且非常孤獨（儘管他有無窮多個自然數朋友）。好在，拉馬努金最終克服了這些障礙。

1918年5月2日，拉馬努金憑藉“對橢圓函數及對數論的貢獻”當選英國皇家學會會員，他也是皇家學會史上最年輕的會員之一。1918 年 10 月 13 日，他成為第一位當選為劍橋大學三一學院院士的印度人。

拉馬努金的數學

每篇介紹拉馬努金的文章都會包含一些他的數學成果，所以在這裏，我們列出了他的一些發現。但需要強調的是，這篇文章不可能包含他發現的所有公式，因為總共有3900個！

哈代曾説拉馬努金的發現異常豐富，而且往往有比最初看上去更豐富的內容。拉馬努金的發現還有另一個鮮明的特點，那就是它通常都涉及到很大的數字或者很複雜的表達式，幾乎只能用計算機才能計算。當然，在20世紀初，還沒有這樣的計算機。

事實上，我們並不清楚拉馬努金是如何做到的。這是整篇故事裏最大的謎團。

拉馬努金的π表達式

這部分很有趣，拉馬努金髮現了1/π的一個新的表達式，這是一個無窮級數。

這個級數收斂得極快，現在人們用來計算π的算法就以它為基礎。這個級數的第一項就給出了π的前七位有效數字，前兩項給出了15位有效數字。事實上，每多計算一項，這個級數就可以多給出8位有效數字！

發散級數

拉馬努金研究了無窮髮散級數——根據阿貝爾的説法，這是魔鬼的傑作，凡人不可觸碰。然而，拉馬努金可以給不同的發散求和賦予一些數學意義。其實，一個後來震撼互聯網的發散級數就是拉馬努金髮現的：

我們可以通過為等號賦予特殊的含義來使這個式子成立。事實上，這樣的結果與物理中的一些實驗現象吻合，例如兩個金屬板之間的卡西米爾力。

無窮嵌套平方根

回到印度以後，拉馬努金向數學界提出了一項挑戰：求出下列無窮嵌套平方根的值。

拉馬努金等了六個月，但沒人能給出答案。於是他直接發表了答案，答案並不複雜，就是3。

幾乎是整數

沒人知道拉馬努金是怎麼做到的，但他確實找出了這樣幾個很接近整數的冪指數：

實際上，上面公式中的平方根通過L函數、橢圓曲線和模形式理論與所謂“類數”相聯繫。

無限連乘的積分

在寄給哈代的第一封信中，拉馬努金在第三頁末尾寫下了一個逆天的積分：

它在0 < a < b + 1/2時成立。

一般來説，把這種倒黴函數連乘再積分，還能得到封閉且美觀的解，是一件幾乎不可能的事。這實在讓人難以相信。

劃分數

在集合論中，一個集合分成的一組非空子集叫做劃分。對於一個n元集合，不同劃分的方式叫做劃分數p(n)。

拉馬努金推導出了下面這個用於計算劃分數的公式

其中，

這個級數的第一項就是p(n)的一個很好的近似，而拉馬努金髮現

最後的評論

拉馬努金的公式優美、巧妙而獨特。有些公式如同神蹟，直到今天我們仍不知道拉馬努金是怎麼得到它們的，這是一個巨大的謎團。

拉馬努金的成果主要包括：

解出了沒人覺得有解的上古數學謎題啓迪並引領了許多現代數學的研究領域，比如數論中模形式的重要性、韋伊猜想（Weil conjectures）、L函數和朗蘭茲綱領（Langlands program）黑洞物理、類θ函數、弦論和量子引力理論等物理理論

拉馬努金的身體一直不好，最終不幸病逝於1920年。他臨終前的工作後來成為黑洞和絃論等複雜物理理論的數學基礎。當然，拉馬努金沒法想象出黑洞這樣的東西，但這洽洽凸顯出他強大的直覺和天賦。

著名物理學家加來道雄這樣評價拉馬努金：“拉馬努金是整個數學界，甚至可能是整個科學史上最奇怪的人。他如同一顆爆發的超新星，照亮了數學最黑暗、最深刻的角落，然後在 33 歲時不幸被肺結核擊倒，就像他的前輩黎曼一樣。”

人們把拉馬努金的故事改編成了小説和電影，希望他的故事能繼續激勵年輕人追求數學——不僅作為一門學科，而且作為一門藝術。

本文經授權轉載自微信公眾號“中科院物理所”，原文鏈接：Ramanujan: The Greatest Mathematical。

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