説到數學的實用性，再沒有比這段描述更簡潔的了_風聞

宇宙是一本“大書”, “在掌握它的語言並學習組成它的符號之前, 你是無法理解它的。它是由數學語言寫成的”。

——伽利略

撰文 | [美] 威廉·鄧納姆（William Dunham）

翻譯 | 馮速

多少世紀以來, 當我們挖掘出石油層或者岩石層時, 學者們追溯過去, 通過簡單的觀測來推測史前遺蹟的相對年代。這是很容易的。但是,一個被挖掘出來的鹿角、一塊古埃及人的裹屍布、一塊來自窯洞的燒焦了的木頭, 它們的絕對年代是什麼呢？考古學家如何估測這些物品自出現以來已經歷時十年、一百年甚至是一千年了呢？這樣的信息似乎不可知並永遠丟失了。

但事實並非如此。科學最深刻的屬性之一就是不懈的探索, 即使面對絕望的境地。用托馬斯·布朗（Thomas Brown）爵士一段風趣的話説：“塞壬女妖唱的什麼歌, 阿喀琉斯用的是什麼名字混在女人堆裏, 這些問題都令人費解, 儘管如此, 它們卻並非琢磨不透。”

正是有了這種精神, 化學家威拉德·利比（Willard Libby）和他的助手在第二次世界大戰爆發後的幾年間做出了放射性碳測年法的重大發現。因為這項成果, 利比在 1960 年獲得了諾貝爾化學獎, 他也因為揭示了古代取火及史前骨骼的秘密而得到了充分的認可。利比發現, 那些古老的骨頭和木頭碎片的確是微小而精確的時鐘。而破譯其中隱藏着的信息, 需要了解碳的化學性質和自然對數的數學性質。

首先看一下化學。碳存在着三種同位素。其中兩種在地球上含量豐富而且比較穩定, 分別被稱為碳 12 和碳 13；而第三種比較稀有且不穩定, 是碳 14, 這是一種放射性同位素, 半衰期約是 5568 年。半衰期是一個術語, 具有簡單的含義：經過 5568 年, 碳 14 的質量的一半將由於放射性衰變而失去。因此, 今天質量為 1 磅的碳 14 在不受干擾的情況下在 5568 年之後將降低到半磅, 從那時開始再過 5568 年將降低到四分之一磅。

碳 14 源於高層大氣的宇宙輻射, 在那裏碳 14 與氧反應生成放射性二氧化碳。最終放射性二氧化碳沉積到地球表面, 成為所有生物賴以生存的碳混合物的一部分。利比直截了當地指出：“因為植物的生存依賴於二氧化碳, 所以所有植物都是放射性的；因為地球上所有動物的生存都依賴於植物, 所以所有動物也是放射性的。”因此, 放射性碳就存在於你用作午餐的胡蘿蔔之中, 存在於你花園裏的牽牛花裏, 存在於你的寵物倉鼠的身體裏, 存在於副總統的身上。它是地球上生物的共同標誌。

利用複雜而巧妙的化學, 我們可以確定活體組織中放射性碳和非放射性碳的比例, 從而合理地假定過去的動物和植物體內也有類似的比例。有機體從事着生命活動, 它們不斷地從食物鏈中補充丟失的碳14, 該比例能維持相當持久的平衡。

但是, 在龐大的動物死去或樹木倒下之際, 它補充碳的日子就結束了。自此, 它體內組織中的碳將永遠不會增加了。隨着年代的流逝, 非放射性碳保持不變, 而碳 14 進行放射性衰變, 也就是説, 它在逐漸消失。放射性碳和非放射性碳之間的相對比例因此會隨着時間的流逝減小。就如一台失調的老鍾一樣, 放射性的釋放成比例地減慢。碳 14 的這種衰變是從有機體的死亡開始的, 一直持續到這些骨頭或木製物品被從地裏挖出來的那一天。

使用特殊的儀器, 化學家能夠確定物品中碳 14 的當前放射量, 生命逝去的時間越長, 放射性的量就越少。因為我們知道碳 14 衰變的速率, 所以能夠在一定的精度範圍內計算出某一物品已經花費了多長時間到達目前這一減少了的放射水平。當然, 這就是一塊骨頭或木頭不再是生物體的一部分的精確的時間長度; 再簡潔點説, 這就是這個物品的年齡。這就是我們在這裏展示的科學偵探的傑作, 它的確應該獲得諾貝爾獎。

但是, 正如科學中常有的事, 整理最終的細節需要數學。

無論是測量珠穆朗瑪峯的高度、測量光速, 還是測量法老的遺物,數學已經穿過層層疑雲證實了自己的用途。莫里斯·克萊因更斷言：“數學的首要價值不在於這門學科本身提供瞭如此之多的東西, 而在於它能夠幫助人類實現對物質世界的認識。”

很多人也許會爭論説, 克萊因有些言過其實。他似乎是要説, 如果天文學家和化學家突然得到他們所需的所有數學知識, 那麼數學家就會清理辦公桌, 退休回家。

堪稱“純數學家”之首的哈代提出了相反的觀點。一貫言語犀利的哈代承認：“很多的初等數學……都相當實用。”但是隨後他又聲稱,這些實用的思想“大體上都相當無趣；它們恰恰是最沒有美學價值的部分。‘真正的’數學家的‘真正的’數學, 費馬、歐拉、高斯、阿貝爾和黎曼的數學幾乎統統是‘不實用的’”。

雖然大部分數學家不會因哈代堅定的不實用論而有絲毫退縮, 但是職業數學家有這樣一種共識, 即數學不僅僅是科學的奴僕。例如, 質數定理結果儘管根本沒有實際用途, 但仍是那樣地完美和迷人, 因此有數學的合法性。當我們僅以功利思想判斷數學時, 就忽視了人類的一個重要特權：尋找享受思想自由翱翔的機會。

儘管真理可能存在於克萊因和哈代之間, 但數學的實用性是無法迴避的, 數學家們毫不動搖地致力於數學的應用。你可能會聽到數學家們這樣的至理名言：成為一名普普通通的應用數學家很容易, 成為一名普普通通的純數學家稍微困難些, 最艱難的是成為一名傑出的純數學家。為了在數學應用中做出傑出的貢獻, 你必須掌握多門學科：數學、天文學、化學以及工程學。純數學家可以隨意修改基本條件或者假設使得他們的工作更容易, 相比之下, 應用數學家卻只能湊合着利用外部世界無法控制的事實。純數學家受邏輯驅動, 應用數學家受邏輯和自然驅動。純數學家可以改變基本原則, 而應用數學家卻被迫接受現實給予他們的一切。

説到數學的實用性, 再沒有比伽利略談論宇宙時的這段描述更簡潔的了：宇宙是一本“大書”, “在掌握它的語言並學習組成它的符號之前, 你是無法理解它的。它是由數學語言寫成的”。

本文轉載自微信公眾號“圖靈新知”。特 別 提 示

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