最小作用量原理及其量子實驗_風聞

撰文 | 朱詩亮、温永立、顏輝（華南師範大學物理學院 原子亞原子結構與量子調控教育部重點實驗室 粵港量子物質聯合實驗室）

來源 | 本文選自《物理》2023年第7期

物理學家的夢想是在一張小紙片中寫下整個宇宙的秘密，而最小作用量原理可能就是必寫的原理之一。最小作用量原理的提出有着極為深刻的科學與哲學內涵：它最早來自於生活中各種極值的思想，以及自然界中的各種極值現象，並最終演化成在物理和數學領域都有廣泛應用的變分方法。物理學是研究物質結構及其運動規律的科學，物質的結構往往由體系的能量最小或熵最大等某些物理量的極值確定，如水珠的形狀、凝聚態物相，甚至銀河系的形狀等，這正體現了最小作用量原理的威力。另一方面，我們現在所知道的物質運動方程都可以在寫出相應的拉格朗日量後，通過最小作用量原理推導出。因此，最小作用量原理被科學家看作是物理學，甚至是自然界最具普適性的基本原理，它具備簡潔和統一的科學美學特徵，在物理學乃至科學發展史中有着極其重要的地位[1，2]。經典物理世界的最小作用量原理被無數實驗驗證。雖然該原理在量子力學的建立，特別是費曼路徑積分方法的建立中處於核心位置，但量子最小作用量原理的實驗驗證，還僅是最近由我們的實驗首次實現[3]。本文將簡要介紹最小作用量原理的歷史和我們最近的實驗。

最小作用量原理的發現和逐步推廣譜寫了科學史的華美篇章。古代科學家，如公元前2世紀的埃及人希羅 (Hero) 就猜想光的傳播遵從最短時間法則，並由此論證了光在球面鏡中反射時，入射角等於反射角。最小作用量原理的第一個成功範例是1650年法國數學家費馬對光的傳播原理作的概括性敍述：從空間一點A到另一點B，光沿着所需時間為最小值的路徑傳播。但光在不同介質中的折射角度究竟是否對應最短時間的路徑，還要結合折射定律以及光在介質中的傳播速度公式進一步計算。折射定律早在1620年就由斯涅耳在實驗的基礎上得出。1690年，惠更斯基於他的光的波動理論，給出介質折射率之比等於光在這兩種介質中的速度之比，從而證明了費馬時間最小原理和光折射中的斯涅耳折射定律一致。費馬原理作為最小作用量原理早期最成功的例子，它那簡潔、優美的形式和對光現象的高度概括意味着可能存在某種更普遍的原理。

為紀念該原理的創立者之一，科學家莫培督 (P. Maupertuis)，最小作用量原理有時也叫莫培督原理。莫培督最早 (大約在1744年) 提出作用量的概念，並在後續研究中給出了力學和光學體系中的一些作用量形式。他堅信自然界的簡單性源自作用量最小化，提出“自然界總是以一種最節省的方式運行”，他一生都在為闡述該原理而奮鬥。同一年，數學家歐拉寫下了現在稱為歐拉—拉格朗日方程的一個特例，開啓了最小作用量原理在數學、力學和物理學中的應用傳奇。用現在的語言，最小作用量原理的核心思想是：物體從一個狀態變為另

歐拉—拉格朗日方程是最小作用量原理的數學表述形式之一。它的基本思想是：在給定的邊界條件下，使作用量S達到極小值的軌跡就是物體的實際運動軌跡。根據最小作用量原理，力學系統的性質都由其拉格朗日量確定，要找到作用量的表達式只需確定拉格朗日量即可，但是拉格朗日量是如何確定的呢？在諾特定理發現之前，物理學家們在尋找作用量時需要經過各種嘗試。如果這樣，最小作用量原理很難成為應用廣泛的物理學研究方法。幸運的是，數學家諾特把該原理和對稱性結合，推導出諾特定理：作用量的每一種連續對稱性都有一個守恆量與之對應，給出了物理學的又一基石——對稱性和守恆律的關係。通過對稱性、守恆量和作用量三者之間的關係，可以互相推導，進而獲得作用量的表達式。

最小作用量原理充當着物理學的核心角色，它可以推導出物理學中幾乎全部關鍵的物質運動方程！表1列出了經典力學、電動力學、狹義和廣義相對論、量子力學和Yang—Mills場的拉格朗日量，利用最小作用量原理δS=0，可以很方便地計算出對應的運動方程。歷史上，最小作用量原理在希爾伯特推導廣義相對論方程和薛定諤給出量子力學波動方程中都起到了關鍵作用。在文獻[2]中記載，數學家希爾伯特知道了愛因斯坦關於廣義相對論研究的初步思想後，首先猜出了現在稱為愛因斯坦—希爾伯特作用量的廣義相對論作用量，並利用最小作用量原理，比愛因斯坦早5天推導出了廣義相對論場方程，即現在稱為愛因斯坦場方程的廣義相對論方程。不過，希爾伯特是否比愛因斯坦更早正確得出了廣義相對論場方程目前仍有爭議，但他確實是用不同的方法獨立得出了場方程。

表1 物理學中的最小作用量原理

因為之前沒有實驗能直接測量傳播子，量子力學中的最小作用量原理一直沒有實驗檢驗。測量傳播子的主要困難在於，傳播子是複數，傳統的量子測量技術無法直接對其進行測量。我們通過借鑑近年來國際上發展的直接測量波函數的方法[5]，設計和構建了傳播子的理論測量方案，該方案將傳播子的實部和虛部分別對應到實驗可觀測量，然後重構出傳播子。其後，我們根據此方案設計並搭建了量子光學實驗系統，實驗中先通過將單光子的空間模式和偏振模式進行耦合，然後將其輸送至漸變折射率光學材料中進行演化，最後用可探測單光子的相機對光子的空間分佈進行探測，傳播子的實部和虛部最終便可以在不同偏振態光子空間分佈圖中被分析並重構出來。這個實驗中傳播子的測量結果與路徑積分的理論結果高度吻合，從而首次在實驗中測出了傳播子。

在成功測量出傳播子之後，我們進一步開展通過傳播子驗證量子力學的最小作用量原理的研究。由於作用量正比於傳播子的相位因子，因此，對測量所得傳播子的相位進行分析，通過最小作用量原理，找到傳播子相位的極值所在位置，便能得到單光子的經典路徑。經過對海量的傳播子實驗數據進行計算和分析，我們成功地得到了單光子在自由空間和諧振勢場中的經典路徑，這些路徑與理論所預測的路徑吻合，從而首次在實驗中演示和驗證了量子力學中的最小作用量原理，揭示了最小作用量原理在量子力學和經典力學中的統一性。實驗測量到的傳播子和最小作用量原理確定的經典路徑如圖2所示。

路徑積分表述極大地推動了現代量子物理學的發展，是量子場論、量子統計、量子引力等多個領域的基石。然而，物理學界一直未有實驗測量出路徑積分中的關鍵物理量——傳播子，這使得路徑積分的基本概念研究一直停留在理論階段。此外，因為傳播子測量技術的缺失，量子力學中的最小作用量原理一直也未能被實驗直接演示或驗證。我們的工作[3]首次實現了對傳播子的測量，打開了實驗研究路徑積分相關的量子現象的大門。最小作用量原理是物理學中的普適性原理，在量子系統中實現對其實驗的演示也可為量子—經典界限等基本物理問題的研究提供新的視角。

參考文獻

[1] 徐良. 最小作用量原理與物理學的發展. 四川教育出版社，2001

[2] Rojo A，Bloch A. The Principle of Least Action：History and Physics. Cambridge University Press，2018

[3] Wen Y L，Wang Y，Tian L M et al. Nat. Photon.，2023，https://doi.org/10.1038/s41566-023-01212-1

[4] Feynman R P. Rev. Mod. Phys.，1948，20：367

[5] Lundeen J S，Sutherland B，Patel A et al. Nature，2011，474：188

本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。

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